2020-2021学年8.5 空间直线、平面的平行学案

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8.5.3 平面与平面平行【学习目标】【自主学习】 一．平面与平面平行的判定(1)文字语言：如果一个平面内的两条 直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．(2)符号语言：a⊂β，b⊂β， ，a∥α，b∥α⇒β∥α.(3)图形语言：如图所示．注意：等价转化思想，即把面面平行转化为线面平行．二．平面与平面平行的性质定理(1)文字语言：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线 ．(2)符号语言：α∥β，α∩γ＝a， ⇒a∥b.(3)图形语言：如图所示．(4)作用：证明两直线 ．思考：如果两个平面平行，那么这两个平面内的所有直线都相互平行吗？【小试牛刀】1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)α内有无数多条直线与β平行，则α∥β. (　　)(2)α内的任何直线都与β平行，则α∥β. (　　)(3)直线a∥α，a∥β，则α∥β. (　　)(4)直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥α，则α∥β. (　　)(5)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一个平面内的直线异面．(　　)2.已知平面α∥平面β，直线l∥α，则(　　)A．l∥β B．l⊂βC．l∥β或l⊂β D．l, β相交【经典例题】题型一 平面与平面平行的判定点拨：平面与平面平行的判定方法1.定义法：两个平面没有公共点.2.判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面.3.利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.例1 在正方体ABCDA1B1C1D1中，如图．求证：平面AB1D1∥平面C1BD。【跟踪训练】1 如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为平行四边形．点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD．求证：平面MNQ∥平面PBC．题型二 面面平行性质定理的应用点拨：应用平面与平面平行性质定理的基本步骤面面平行性质定理的实质：面面平行⇒线线平行，体现了转化思想．与判定定理交替使用，可实现线面、线线、面面平行间的相互转化．　 例2 如图，已知α∥β，点P是平面α、β外的一点(不在α与β之间)，直线PB、PD分别与α、β相交于点A、B和C、D.(1)求证：AC∥BD；(2)已知PA＝4 cm，AB＝5 cm，PC＝3 cm，求PD的长．【跟踪训练】2 如图，已知平面α∥平面β，P∉α且P∉β，过点P的直线m与α、β分别交于A、C，过点P的直线n与α、β分别交于B、D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的长．变式：若点P在平面α，β之间(如图所示)，其他条件不变，试求BD的长．题型三 平行关系的综合应用点拨：解决平行关系的综合问题的方法1.在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质．2.要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的性质，实现相互联系、相互转化．解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．　 例3 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN.求证：MN∥平面AA1B1B.【跟踪训练】3如图(甲)，在直角梯形ABED中，AB∥DE，AB⊥BE，AB⊥CD，F，H，G分别为AC，AD，DE的中点，现将△ACD沿CD折起，如图(乙)．求证：平面FHG∥平面ABE.【当堂达标】1.a∥α，b∥β，α∥β，则a与b位置关系是(　　)A．平行 B．异面 C．相交 D．平行或异面或相交2.如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于(　　)A．2∶25　　　B．4∶25 C．2∶5 D．4∶53.已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于A，C两点，过点P的直线n与α，β分别交于B，D两点，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为(　　)A．16 B．24或eq \f(24,5) C．14 D．204.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．5.已知a，b表示两条直线，α，β，γ表示三个不重合的平面，给出下列命题：①若α∩γ＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥β；②若a，b相交且都在α，β外，a∥α，b∥β，则α∥β；③若a∥α，a∥β，则α∥β；④若a⊂α，a∥β，α∩β＝b，则a∥b.其中正确命题的序号是________．6.如图所示，在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是梯形，AB∥CD，CD＝2AB，P，Q分别是CC1，C1D1的中点，求证：平面AD1C∥平面BPQ.【课堂小结】一．常用的面面平行的其他几个性质1.两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．2.夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．3.经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．4.两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．5.如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．二．三种平行关系的转化．【参考答案】【自主学习】相交 a∩b＝P 平行 β∩γ＝b 平行 思考：不一定．它们可能异面．【小试牛刀】1.(1)×(2)√　(3)×　(4)×　(5)×2.C 解析：假设l与β相交，又α∥β，则l与α相交，与l∥α矛盾，则假设不成立，则l∥β或l⊂β.【经典例题】例1 【解】　(1)证明：因为在正方体ABCDA1B1C1D1中，ADeq \o(\s\do3(═),\s\up3(∥))B1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AB1∥C1D.又因为C1D⊂平面C1BD，AB1⊄平面C1BD.所以AB1∥平面C1BD.同理B1D1∥平面C1BD.又因为AB1∩B1D1＝B1，AB1⊂平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD.【跟踪训练】1 [证明]　∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，∴MQ∥AD，NQ∥BP.又∵BP⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC，∴NQ∥平面PBC．∵四边形ABCD为平行四边形．∴BC∥AD，∴MQ∥BC．又∵BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，∴MQ∥平面PBC．又∵MQ∩NQ＝Q，∴平面MNQ∥平面PBC．例2 解：(1)证明：因为PB∩PD＝P，所以直线PB和PD确定一个平面γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.又α∥β，所以AC∥BD.(2)由(1)得AC∥BD，所以eq \f(PA,AB)＝eq \f(PC,CD)，所以eq \f(4,5)＝eq \f(3,CD)，所以CD＝eq \f(15,4)(cm)，所以PD＝PC＋CD＝eq \f(27,4)(cm)．【跟踪训练】2 [解]　因为AC∩BD＝P，所以经过直线AC与BD可确定平面PCD，因为α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，所以AB∥CD．所以eq \f(PA,AC)＝eq \f(PB,BD)，即eq \f(6,9)＝eq \f(8－BD,BD).所以BD＝eq \f(24,5). 变式：[解]　与本例同理，可证AB∥CD．所以eq \f(PA,PC)＝eq \f(PB,PD)，即eq \f(6,3)＝eq \f(BD－8,8)，所以BD＝24.例3 证明：如图，作MP∥BB1交BC于点P，连接NP，因为MP∥BB1，所以eq \f(CM,MB1)＝eq \f(CP,PB).因为BD＝B1C，DN＝CM，所以B1M＝BN，所以eq \f(CM,MB1)＝eq \f(DN,NB)，所以eq \f(CP,PB)＝eq \f(DN,NB)，所以NP∥CD∥AB.因为NP⊄平面AA1B1B，AB⊂平面AA1B1B，所以NP∥平面AA1B1B.因为MP∥BB1，MP⊄平面AA1B1B，BB1⊂平面AA1B1B.所以MP∥平面AA1B1B.又因为MP⊂平面MNP，NP⊂平面MNP，MP∩NP＝P，所以平面MNP∥平面AA1B1B.因为MN⊂平面MNP，所以MN∥平面AA1B1B.【跟踪训练】3 证明：因为F，H，G分别为AC，AD，DE的中点，所以FH∥CD，HG∥AE.又AB⊥CD，AB⊥BE，所以CD∥BE，所以FH∥BE.因为BE⊂平面ABE，FH⊄平面ABE，所以FH∥平面ABE.因为AE⊂平面ABE，HG⊄平面ABE，所以HG∥平面ABE.又FH∩HG＝H，所以平面FHG∥平面ABE.【当堂达标】1.D解析：如图①②③所示，a与b的关系分别是平行、异面或相交．　　　　②　　　　　③　　2.B 解析：选B.因为平面α∥平面ABC，平面PAB与它们的交线分别为A′B′，AB，所以AB∥A′B′，同理B′C′∥BC，易得△ABC∽△A′B′C′，S△A′B′C′∶S△ABC＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A′B′,AB)))eq \s\up12(2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(PA′,PA)))eq \s\up12(2)＝eq \f(4,25).3.B 解析：选B.由α∥β得AB∥CD.分两种情况：若点P在α，β的同侧，则eq \f(PA,PC)＝eq \f(PB,PD)，所以PB＝eq \f(16,5)，所以BD＝eq \f(24,5)；若点P在α，β之间，则有eq \f(PA,PC)＝eq \f(PB,PD)，所以PB＝16，所以BD＝24.4. 平行四边形 解析：因为平面ABFE∥平面CDHG，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面CDHG＝HG，所以EF∥HG.同理EH∥FG.所以四边形EFGH的形状是平行四边形．5. ④ 解析：①错误，α与β也可能相交；②错误，α与β也可能相交；③错误，α与β也可能相交；④正确，由线面平行的性质定理可知．6.证明：因为D1Qeq \o(\s\do3(═),\s\up3(∥))eq \f(1,2)CD，ABeq \o(\s\do3(═),\s\up3(∥))eq \f(1,2)CD，所以D1Qeq \o(\s\do3(═),\s\up3(∥))AB，所以四边形D1QBA为平行四边形，所以D1A∥QB.因为D1A⊄平面BPQ，BQ⊂平面BPQ，所以D1A∥平面BPQ.因为Q，P分别为D1C1，C1C的中点，所以QP∥D1C.因为D1C⊄平面BPQ，QP⊂平面BPQ，所以D1C∥平面BPQ，又D1A∩D1C＝D1，所以平面AD1C∥平面BPQ.素 养 目 标学 科 素 养1.掌握空间平面与平面平行的判定定理和性质定理，并能应用这两个定理解决问题．2.平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用．1.直观想象;2.逻辑推理；