人教A版 (2019)必修 第二册第九章 统计9.2 用样本估计总体导学案

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9.2.2　总体百分位数的估计【学习目标】【自主学习】 一．第p百分位数的定义一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有 的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值.二．计算一组n个数据的第p百分位数的步骤第1步，按 排列原始数据.第2步，计算i＝n×p%.第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的 .三．四分位数25%,50%,75%这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数，其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数.【小试牛刀】思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若一组样本数据各不相等，则其75%分位数大于25%分位数． (　　)(2)若一组样本数据的10%分位数是23，则在这组数据中有10%的数据大于23.(　　)(3)若一组样本数据的24%分位数是24，则在这组数据中至少有76%的数据大于或等于24.(　　)【经典例题】题型一 百分位数的计算例1 某车间12名工人一天生产某产品(单位：kg)的数量分别为13.8,13,13.5,15.7,13.6,14.8,14,14.6,15,15.2,15.8,15.4，则所给数据的第25,50,75百分位数分别是 .【跟踪训练】1 求下列数据的四分位数. 13,15,12,27,22,24,28,30,31,18,19,20．题型二 百分位数的综合应用点拨：根据频率分布直方图计算样本数据的百分位数，首先要理解频率分布直方图中各组数据频率的计算，其次估计百分位数在哪一组，再应用方程的思想方法，设出百分位数，解方程可得.例2 某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间.将测试结果分成5组：[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17)，[17,18]，得到如图所示的频率分布直方图.如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1︰3︰7︰6︰3，那么成绩的70%分位数约为 秒.【跟踪训练】2 　某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费．(1)求某户居民用电费用y(单位：元)关于月用电量x(单位：千瓦时)的函数解析式．(2)为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图．若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的占80%，求a，b的值．(3)根据(2)中求得的数据计算用电量的75%分位数．【当堂达标】1.下列一组数据2.1,3.0,3.2,3.8,3.4,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6的第25百分位数是(　　)A．3.2 B．3.0　　C．4.4　　　D．2.52.已知100个数据的第75百分位数是9.3，则下列说法正确的是(　　)A．这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3B．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据C．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数D．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的平均数3.数据7.0,8.4,8.4,8.4,8.6,8.7,9.0,9.1的第30百分位数是________．4.对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失，则依据此图可得：(1)[25,30)年龄组对应小矩形的高度为________；(2)由频率分布直方图估计志愿者年龄的95%分位数为________岁．5.一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的第50百分位数为________．【参考答案】【经典例题】p% 从小到大 平均数【自主学习】(1)√　(2)×　(3)√【小试牛刀】例1 13.7,14.7,15.3 解析：将12个数据按从小到大排序：13,13.5,13.6,13.8,14,14.6,14.8,15,15.2,15.4,15.7,15.8.由i＝12×25%＝3，得所给数据的第25百分位数是第3个数据与第4个数据的平均数即eq \f(13.6＋13.8,2)＝13.7；由i＝12×50%＝6，得的给数据的第50百分位数是第6个数据与第7个数据的平均数，即eq \f(14.6＋14.8,2)＝14.7；由i＝12×75%＝9，得所给数据的第75百分位数是第9个数据和第10个数据的平均数，即eq \f(15.2＋15.4,2)＝15.3.【跟踪训练】1 把12个数据按从小到大的顺序排列可得：12,13,15,18,19,20,22,24,27,28,30,31，计算12×25%＝3,12×50%＝6,12×75%＝9，所以数据的第25百分位数为eq \f(15＋18,2)＝16.5，第50百分位数为eq \f(20＋22,2)＝21，第75百分位数为eq \f(27＋28,2)＝27.5．例2 16.5 解析：设成绩的70%分位数为x，因为eq \f(1＋3＋7,1＋3＋7＋6＋3)＝0.55，eq \f(1＋3＋7＋6,1＋3＋7＋6＋3)＝0.85，所以x∈[16,17)，所以0.55＋(x－16)×eq \f(6,1＋3＋7＋6＋3)＝0.70，解得x＝16.5(秒).【跟踪训练】2 解 (1)当0≤x≤200时，y＝0.5x；当200400时，y＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×(x－400)＝x－140.所以y与x之间的函数解析式为y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(0.5x，0≤x≤200，,0.8x－60，200400.))(2)由(1)可知，当y＝260时，x＝400，即用电量不超过400千瓦时的占80%，结合频率分布直方图可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(0.001×100＋2×100b＋0.003×100＝0.8，,100a＋0.000 5×100＝0.2，))解得a＝0.001 5，b＝0.002 0.(3)设75%分位数为m，因为用电量低于300千瓦时的所占比例为(0.001＋0.002＋0.003)×100＝60%，用电量不超过400千瓦时的占80%，所以75%分位数为m在[300,400)内，所以0.6＋(m－300)×0.002＝0.75，解得m＝375千瓦时，即用电量的75%分位数为375千瓦时．【当堂达标】1.A 解析：把这组数据按照由小到大排列，可得：2.1,3.0,3.2,3.4,3.8, 4.0,4.2,4.4,5.3,5.6，由i＝10×25%＝2.5，不是整数，则第3个数据3.2是第25百分位数．2.C 解析：因为100×75%＝75为整数，所以第75个数据和第76个数据的平均数为第75百分位数，是9.3，故选C．3.8.4　解析：因为8×30%＝2.4，故30%分位数是第三项数据8.4.4. (1)0.04　(2)42.5　解析：(1)设[25,30)年龄组对应小矩形的高度为h，则5×(0.01＋h＋0.07＋0.06＋0.02)＝1，解得h＝0.04.(2)由题图可知年龄小于40岁的频率为(0.01＋0.04＋0.07＋0.06)×5＝0.9，且所有志愿者的年龄都小于45岁，所以志愿者年龄的95%分位数在[40,45]内，因此志愿者年龄的95%分位数为40＋eq \f(0.95－0.9,1－0.9)×5＝42.5岁．5.eq \f(100,9)　解析：样本数据低于10的比例为0.08 ＋0.32＝0.40，样本数据低于14的比例为0.40 ＋0.36＝0.76，所以此样本数据的第50百分位数在[10,14]内，估计此样本数据的第50百分位数为10＋eq \f(0.1,0.36)×4＝eq \f(100,9).素 养 目 标学 科 素 养1.理解百分位数的概念；2.掌握计算百分位数的方法.1.数学运算；2.数据分析