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2020-2021学年9.2 用样本估计总体导学案
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9.2.1 总体取值规律的估计【学习目标】【自主学习】 一．画频率分布直方图的步骤(1)求极差：极差为一组数据中 与 的差．(2)决定组距与组数：当样本容量不超过100时，常分成 组，为了方便起见，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”．(3)将数据分组．(4)列频率分布表：一般分四列：分组、 、频数、 ．其中频数合计应是样本容量，频率合计是1.(5)画频率分布直方图：横轴表示分组，纵轴表示 .小长方形的面积＝组距× ＝ ．各小长方形的面积和等于1.思考：如何确定组距？二．其它统计图表【小试牛刀】1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)频率分布直方图中小长方形的高表示该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值．( ) (2)频率分布直方图中小矩形的面积表示该组的个体数．( )(3)扇形统计图表示的是比例，条形统计图不表示比例．( )2.从一堆苹果中任取10个，称得它们的质量如下(单位：克)：125,120,122,105,130,114,116,95,120,134，则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为( )A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5【经典例题】题型一 频率分布直方图的绘制点拨：绘制频率分布直方图应注意的问题1.频率分布直方图中两坐标轴上的单位长度是不一致的，合理的定高方法是“找一个恰当的单位长度”(没有统一规定)，然后以各组的“eq \f(频率,组距)”来定高． 2.在频率分布直方图中，各个小长方形的面积等于相应各组的频率，小长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本量，频率之和为1.例1 为了解中学生的身高情况，对某中学同龄的50名男生的身高进行了测量，结果如下(单位：cm)：175 168 170 176 167 181 162 173 171 177171 171 174 173 174 175 177 166 163 160166 166 163 169 174 165 175 165 170 158174 172 166 172 167 172 175 161 173 167170 172 165 157 172 173 166 177 169 181(1)列出频率分布表；(2)绘制频率分布直方图．【跟踪训练】1 为了检测某种产品的质量，抽取了一个样本量为100的样本，数据的分组如下：[10.75,10.85)，3；[10.85,10.95)，9；[10.95,11.05)，13；[11.05,11.15)，16；[11.15,11.25)，26；[11.25,11.35)，20；[11.35,11.45)，7；[11.45,11.55)，4；[11.55,11.65]，2．(1)列出频率分布表；(2)画出频率分布直方图.题型二 频率分布直方图的应用点拨：频率分布直方图的性质1.因为小矩形的面积＝组距× eq \f(频率,组距)＝频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率.这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小.2.在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1.3.样本容量＝ eq \f(频数,相应的频率).例2 从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示.(1)求直方图中x的值；(2)在这些用户中，求用电量落在区间[100,250)内的户数.【跟踪训练】2如图是样本量为200的频率分布直方图.根据样本的频率分布直方图估计，下列说法正确的是( )A．样本数据落在[6,10)内的频数为64，数据落在[2,10)内的百分比为0.4B．样本数据落在[6,10)内的频数为16，数据落在[2,10)内的百分比为0.1C．样本数据落在[10,14)内的频数为18，数据落在[6,14)内的百分比为0.68D．样本数据落在[14,22]内的频数为48，数据落在[10,18)内的百分比为0.12题型三 折线图、条形图、扇形图及应用点拨：1.条形图是用一个单位长度表示一定的数量或频率，根据数量的多少或频率的大小画成长短不同的矩形条，条形图能清楚地表示出每个项目的具体数目或频率.2.扇形图是用整个圆面积表示总数(100%)，用圆内的扇形面积表示各个部分所占总数的百分数.3.在画折线图时，要注意明确横轴、纵轴的实际含义.例3-1 甲、乙两个城市2020年4月中旬每天的最高气温统计图如图所示，则这9天里，气温比较稳定的是________(选填“甲”或“乙”)城市．例3-2 如图是甲、乙、丙、丁四组人数的扇形统计图的部分结果，根据扇形统计图的情况可以知道丙、丁两组人数和为( )A．250 B．150C．400 D．300例3-3 某班计划开展一些课外活动，全班有40名学生报名参加，他们就乒乓球、足球、跳绳、羽毛球4项活动的参加人数做了统计，绘制了条形统计图(如图所示)，那么参加羽毛球活动的人数的频率是________．【当堂达标】1.从一群学生中抽取一个一定容量的样本对他们的学习成绩进行分析，已知不超过70分的人数为8，其累计频率为0.4，则这个样本量是( )A．20 B．40 C．70 D．802.如图所示是一容量为100的样本的频率分布直方图，则由图中的数据可知，样本落在[15,20]内的频数为( )A．20 B．30C．40 D．503.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出(单位：元)在[50,60]内的学生有30人，则n的值为( )A．100 B．1 000 C．90 D．9004.某公司2019年在各个项目中总投资500万元，如图是几类项目的投资占比情况，已知在1万元以上的项目投资中，少于3万元的项目投资占eq \f(8,21)，那么不少于3万元的项目投资共有( )A．56万元 B．65万元C．91万元 D．147万元5.一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表：则样本数据落在[10,40)上的频率为________．6.生产过程中，测得纤维产品的纤度(表示纤细的一种量)共有100个数据，将数据分组如下表：(1)完成频率分布表，并画出频率分布直方图；(2)估计纤度落在[1.38,1.50)内的可能性及纤度小于1.42的可能性各是多少？【课堂小结】1.样本数据的频率分布表和频率分布直方图，是通过各小组数据在样本容量中所占比例大小来表示数据的分布规律，它可以让我们更清楚地看到整个样本数据的频率分布情况，并由此估计总体的分布情况．2.条形统计图及折线统计图特别适用于数据量很大的情况，但却损失了数据的部分信息．扇形统计图适合表示总体的各个部分所占比例的问题，但不适用于总体分成部分较多的问题．【参考答案】【自主学习】最大值 最小值 5～12 频数累计 频率 eq \f(频率,组距)eq \f(频率,组距) 频率 思考：组距的选择应力求“取整”，如果极差不利于分组(如不能被组数整除)，可适当增大极差，如在左、右两端各增加适当范围(尽量使两端增加的量相同)．【小试牛刀】1.(1)√ (2)× (3)×2.C 解析：在125,120,122,105,130,114,116,95,120,134这10个数字中，落在[114.5,124.5)内的有116,120,120,122，共4个，∴样本数据在[114.5,124.5)内的频率为0.4.故选C.【经典例题】例1 解： 极差为181－157＝24，将样本数据分成7组，组距为4.(1)列频率分布表如下.(2)绘制频率分布直方图如图．【跟踪训练】1 (1)频率分布表如下：(2)频率分布直方图如图例2 解: (1)由频率分布直方图知[200,250)小组的频率为1－(0.002 4＋0.003 6＋0.006 0＋0.002 4＋0.001 2)×50＝0.22，于是x＝eq \f(0.22,50)＝0.004 4．(2)∵数据落在[100,250)内的频率为(0.003 6＋0.006 0＋0.004 4)×50＝0.7，∴所求户数为0.7×100＝70．【跟踪训练】2 A 解析: 根据样本的频率分布直方图，样本数据落在[6,10)内的频率为0.08×4＝0.32，所以频数为0.32×200＝64；样本数据落在[2,6)内的频率为0.02×4＝0.08，所以频数为0.08×200＝16，故数据落在[2,10)内的百分比约为eq \f(64＋16,200)＝0.4．故选A．例3-1 甲 解析：这9天里，乙城市的最高气温约为35 ℃，最低气温约为20 ℃；甲城市的最高气温约为25 ℃，最低气温约为21 ℃.故甲城市气温较稳定．例3-2 A 解析：甲组人数是120，占30%，则总人数是eq \f(120,30%)＝400．则乙组人数是400×7.5%＝30，则丙、丁两组人数和为400－120－30＝250．例3-2 0.1 解析：[参加羽毛球动的人数是4，则频率是eq \f(4,40)＝0.1.【当堂达标】1.A 解析：由已知不超过70分的人数为8，累计频率为0.4，则这个样本量n＝eq \f(8,0.4)＝20.2.B 解析: 样本数据落在[15,20]内的频数为100×[1－5×(0.04＋0.1)]＝30．3.A 解析：由题意可知，前三组的频率之和为(0.01＋0.024＋0.036)×10＝0.7，∴支出在[50,60]内的频率为1－0.7＝0.3，∴n＝eq \f(30,0.3)＝100.4.B 解析: 由题意，因为在1万元以上的项目投资中，少于3万元的项目投资占eq \f(8,21)，所以在1万元以上的项目投资中，不少于3万元的项目投资占比为eq \f(13,21)，而1万元以上的项目投资占总投资的比例为1－46%－33%＝21%，所以不少于3万元的项目投资共有500×21%×eq \f(13,21)＝65(万元)．故选B．5. 0.52 解析：样本数据落在[10,40)上的频数为13＋24＋15＝52.则样本数据落在[10,40)上的频率为eq \f(52,100)＝0.52.6.解：(1)频率分布表如下：频率分布直方图如图所示.(2)利用样本估计总体，则纤度落在[1.38,1.50)的可能性即为纤度落在[1.38,1.50)的频率，即为0.30＋0.29＋0.10＝0.69＝69%.纤度小于1.42的可能性即为纤度小于1.42的频率，即为0.04＋0.25＋0.30＝0.59＝59%. 素 养 目 标学 科 素 养1.学会用频率分布直方图表示样本数据；2.能通过频率分布直方图对数据做出总体统计．1.数学运算；2.数据分析统计图表主要应用扇形图直观描述各类数据占总数的比例条形图和直方图直观描述不同类别或分组数据的频数和频率折线图描述数据随时间的变化趋势组别[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]频数1213241516137分组频数频率[1.30,1.34)4[1.34,1.38)25[1.38,1.42)30[1.42,1.46)29[1.46,1.50)10[1.50,1.54]2合计100分组频数频率[156.5,160.5)30.06[160.5,164.5)40.08[164.5,168.5)120.24[168.5,172.5)130.26[172.5,176.5)130.26[176.5,180.5)30.06[180.5,184.5)20.04合计501分组频数频率[10.75,10.85)30.03[10.85,10.95)90.09[10.95,11.05)130.13[11.05,11.15)160.16[11.15,11.25)260.26[11.25,11.35)200.20[11.35,11.45)70.07[11.45,11.55)40.04[11.55,11.65]20.02合计1001.00分组频数频率[1.30,1.34)40.04[1.34,1.38)250.25[1.38,1.42)300.30[1.42,1.46)290.29[1.46,1.50)100.10[1.50,1.54]20.02合计1001.00
9.2.1 总体取值规律的估计【学习目标】【自主学习】 一．画频率分布直方图的步骤(1)求极差：极差为一组数据中 与 的差．(2)决定组距与组数：当样本容量不超过100时，常分成 组，为了方便起见，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”．(3)将数据分组．(4)列频率分布表：一般分四列：分组、 、频数、 ．其中频数合计应是样本容量，频率合计是1.(5)画频率分布直方图：横轴表示分组，纵轴表示 .小长方形的面积＝组距× ＝ ．各小长方形的面积和等于1.思考：如何确定组距？二．其它统计图表【小试牛刀】1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)频率分布直方图中小长方形的高表示该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值．( ) (2)频率分布直方图中小矩形的面积表示该组的个体数．( )(3)扇形统计图表示的是比例，条形统计图不表示比例．( )2.从一堆苹果中任取10个，称得它们的质量如下(单位：克)：125,120,122,105,130,114,116,95,120,134，则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为( )A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5【经典例题】题型一 频率分布直方图的绘制点拨：绘制频率分布直方图应注意的问题1.频率分布直方图中两坐标轴上的单位长度是不一致的，合理的定高方法是“找一个恰当的单位长度”(没有统一规定)，然后以各组的“eq \f(频率,组距)”来定高． 2.在频率分布直方图中，各个小长方形的面积等于相应各组的频率，小长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本量，频率之和为1.例1 为了解中学生的身高情况，对某中学同龄的50名男生的身高进行了测量，结果如下(单位：cm)：175 168 170 176 167 181 162 173 171 177171 171 174 173 174 175 177 166 163 160166 166 163 169 174 165 175 165 170 158174 172 166 172 167 172 175 161 173 167170 172 165 157 172 173 166 177 169 181(1)列出频率分布表；(2)绘制频率分布直方图．【跟踪训练】1 为了检测某种产品的质量，抽取了一个样本量为100的样本，数据的分组如下：[10.75,10.85)，3；[10.85,10.95)，9；[10.95,11.05)，13；[11.05,11.15)，16；[11.15,11.25)，26；[11.25,11.35)，20；[11.35,11.45)，7；[11.45,11.55)，4；[11.55,11.65]，2．(1)列出频率分布表；(2)画出频率分布直方图.题型二 频率分布直方图的应用点拨：频率分布直方图的性质1.因为小矩形的面积＝组距× eq \f(频率,组距)＝频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率.这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小.2.在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1.3.样本容量＝ eq \f(频数,相应的频率).例2 从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示.(1)求直方图中x的值；(2)在这些用户中，求用电量落在区间[100,250)内的户数.【跟踪训练】2如图是样本量为200的频率分布直方图.根据样本的频率分布直方图估计，下列说法正确的是( )A．样本数据落在[6,10)内的频数为64，数据落在[2,10)内的百分比为0.4B．样本数据落在[6,10)内的频数为16，数据落在[2,10)内的百分比为0.1C．样本数据落在[10,14)内的频数为18，数据落在[6,14)内的百分比为0.68D．样本数据落在[14,22]内的频数为48，数据落在[10,18)内的百分比为0.12题型三 折线图、条形图、扇形图及应用点拨：1.条形图是用一个单位长度表示一定的数量或频率，根据数量的多少或频率的大小画成长短不同的矩形条，条形图能清楚地表示出每个项目的具体数目或频率.2.扇形图是用整个圆面积表示总数(100%)，用圆内的扇形面积表示各个部分所占总数的百分数.3.在画折线图时，要注意明确横轴、纵轴的实际含义.例3-1 甲、乙两个城市2020年4月中旬每天的最高气温统计图如图所示，则这9天里，气温比较稳定的是________(选填“甲”或“乙”)城市．例3-2 如图是甲、乙、丙、丁四组人数的扇形统计图的部分结果，根据扇形统计图的情况可以知道丙、丁两组人数和为( )A．250 B．150C．400 D．300例3-3 某班计划开展一些课外活动，全班有40名学生报名参加，他们就乒乓球、足球、跳绳、羽毛球4项活动的参加人数做了统计，绘制了条形统计图(如图所示)，那么参加羽毛球活动的人数的频率是________．【当堂达标】1.从一群学生中抽取一个一定容量的样本对他们的学习成绩进行分析，已知不超过70分的人数为8，其累计频率为0.4，则这个样本量是( )A．20 B．40 C．70 D．802.如图所示是一容量为100的样本的频率分布直方图，则由图中的数据可知，样本落在[15,20]内的频数为( )A．20 B．30C．40 D．503.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出(单位：元)在[50,60]内的学生有30人，则n的值为( )A．100 B．1 000 C．90 D．9004.某公司2019年在各个项目中总投资500万元，如图是几类项目的投资占比情况，已知在1万元以上的项目投资中，少于3万元的项目投资占eq \f(8,21)，那么不少于3万元的项目投资共有( )A．56万元 B．65万元C．91万元 D．147万元5.一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表：则样本数据落在[10,40)上的频率为________．6.生产过程中，测得纤维产品的纤度(表示纤细的一种量)共有100个数据，将数据分组如下表：(1)完成频率分布表，并画出频率分布直方图；(2)估计纤度落在[1.38,1.50)内的可能性及纤度小于1.42的可能性各是多少？【课堂小结】1.样本数据的频率分布表和频率分布直方图，是通过各小组数据在样本容量中所占比例大小来表示数据的分布规律，它可以让我们更清楚地看到整个样本数据的频率分布情况，并由此估计总体的分布情况．2.条形统计图及折线统计图特别适用于数据量很大的情况，但却损失了数据的部分信息．扇形统计图适合表示总体的各个部分所占比例的问题，但不适用于总体分成部分较多的问题．【参考答案】【自主学习】最大值 最小值 5～12 频数累计 频率 eq \f(频率,组距)eq \f(频率,组距) 频率 思考：组距的选择应力求“取整”，如果极差不利于分组(如不能被组数整除)，可适当增大极差，如在左、右两端各增加适当范围(尽量使两端增加的量相同)．【小试牛刀】1.(1)√ (2)× (3)×2.C 解析：在125,120,122,105,130,114,116,95,120,134这10个数字中，落在[114.5,124.5)内的有116,120,120,122，共4个，∴样本数据在[114.5,124.5)内的频率为0.4.故选C.【经典例题】例1 解： 极差为181－157＝24，将样本数据分成7组，组距为4.(1)列频率分布表如下.(2)绘制频率分布直方图如图．【跟踪训练】1 (1)频率分布表如下：(2)频率分布直方图如图例2 解: (1)由频率分布直方图知[200,250)小组的频率为1－(0.002 4＋0.003 6＋0.006 0＋0.002 4＋0.001 2)×50＝0.22，于是x＝eq \f(0.22,50)＝0.004 4．(2)∵数据落在[100,250)内的频率为(0.003 6＋0.006 0＋0.004 4)×50＝0.7，∴所求户数为0.7×100＝70．【跟踪训练】2 A 解析: 根据样本的频率分布直方图，样本数据落在[6,10)内的频率为0.08×4＝0.32，所以频数为0.32×200＝64；样本数据落在[2,6)内的频率为0.02×4＝0.08，所以频数为0.08×200＝16，故数据落在[2,10)内的百分比约为eq \f(64＋16,200)＝0.4．故选A．例3-1 甲 解析：这9天里，乙城市的最高气温约为35 ℃，最低气温约为20 ℃；甲城市的最高气温约为25 ℃，最低气温约为21 ℃.故甲城市气温较稳定．例3-2 A 解析：甲组人数是120，占30%，则总人数是eq \f(120,30%)＝400．则乙组人数是400×7.5%＝30，则丙、丁两组人数和为400－120－30＝250．例3-2 0.1 解析：[参加羽毛球动的人数是4，则频率是eq \f(4,40)＝0.1.【当堂达标】1.A 解析：由已知不超过70分的人数为8，累计频率为0.4，则这个样本量n＝eq \f(8,0.4)＝20.2.B 解析: 样本数据落在[15,20]内的频数为100×[1－5×(0.04＋0.1)]＝30．3.A 解析：由题意可知，前三组的频率之和为(0.01＋0.024＋0.036)×10＝0.7，∴支出在[50,60]内的频率为1－0.7＝0.3，∴n＝eq \f(30,0.3)＝100.4.B 解析: 由题意，因为在1万元以上的项目投资中，少于3万元的项目投资占eq \f(8,21)，所以在1万元以上的项目投资中，不少于3万元的项目投资占比为eq \f(13,21)，而1万元以上的项目投资占总投资的比例为1－46%－33%＝21%，所以不少于3万元的项目投资共有500×21%×eq \f(13,21)＝65(万元)．故选B．5. 0.52 解析：样本数据落在[10,40)上的频数为13＋24＋15＝52.则样本数据落在[10,40)上的频率为eq \f(52,100)＝0.52.6.解：(1)频率分布表如下：频率分布直方图如图所示.(2)利用样本估计总体，则纤度落在[1.38,1.50)的可能性即为纤度落在[1.38,1.50)的频率，即为0.30＋0.29＋0.10＝0.69＝69%.纤度小于1.42的可能性即为纤度小于1.42的频率，即为0.04＋0.25＋0.30＝0.59＝59%. 素 养 目 标学 科 素 养1.学会用频率分布直方图表示样本数据；2.能通过频率分布直方图对数据做出总体统计．1.数学运算；2.数据分析统计图表主要应用扇形图直观描述各类数据占总数的比例条形图和直方图直观描述不同类别或分组数据的频数和频率折线图描述数据随时间的变化趋势组别[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]频数1213241516137分组频数频率[1.30,1.34)4[1.34,1.38)25[1.38,1.42)30[1.42,1.46)29[1.46,1.50)10[1.50,1.54]2合计100分组频数频率[156.5,160.5)30.06[160.5,164.5)40.08[164.5,168.5)120.24[168.5,172.5)130.26[172.5,176.5)130.26[176.5,180.5)30.06[180.5,184.5)20.04合计501分组频数频率[10.75,10.85)30.03[10.85,10.95)90.09[10.95,11.05)130.13[11.05,11.15)160.16[11.15,11.25)260.26[11.25,11.35)200.20[11.35,11.45)70.07[11.45,11.55)40.04[11.55,11.65]20.02合计1001.00分组频数频率[1.30,1.34)40.04[1.34,1.38)250.25[1.38,1.42)300.30[1.42,1.46)290.29[1.46,1.50)100.10[1.50,1.54]20.02合计1001.00
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