高中数学人教A版 (2019)必修第二册6.4 平面向量的应用第2课时导学案

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6.4.3 余弦定理、正弦定理第2课时正弦定理【学习目标】【自主学习】一．正弦定理二．正弦定理的变形 a＝eq \f(bsinA,sinB)＝eq \f(csinA,sinC)， b＝eq \f(csinB,sinC)＝eq \f(asinB,sinA)， c＝eq \f(asinC,sinA)＝eq \f(bsinC,sinB)；sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；R为△ABC外接圆的半径: asinA=bsinB=csinC=a+b+csinA+sinB+sinC=2R思考:1.正弦定理的变形公式的作用是什么？正弦定理的适用范围是什么？2.利用正弦定理能解什么条件下的三角形？3.在△ABC中，A>B与sinA>sinB的关系怎样？【小试牛刀】思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)正弦定理不适用于直角三角形．(　　)(2)在一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值．(　　)(3)在△ABC中必有asin A＝bsin B．(　　)(4)在△ABC中，若a＞b，则必有sin A>sin B．(　　)(5)在△ABC中，若sin A＝sin B，则必有A＝B.(　　)【经典例题】题型一已知两角及一边解三角形点拨： (1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对的边，再由三角形内角和定理求出第三个角．(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．　例1 在△ABC中，已知A＝15°，B＝45°，c=3+3,解这个三角形．【跟踪训练】1 在△ABC中，A＝60°，sin B＝eq \f(1,2)，a＝3，求三角形中其他边与角的大小．题型二已知两边及其中一边的对角解三角形点拨：①首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；②如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角；③如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论，由“三角形中大边对大角”来判定．设A为锐角，若a≥b，则A≥B，从而B为锐角，有一解；若a1，无解；②sinB＝1，一解；③sinB<1，两解．例2 在△ABC中，已知B＝30°，b＝eq \r(2)，c＝2，解这个三角形。【跟踪训练】2 下列三角形是否有解？有解的作出解答．(1)a＝7，b＝8，A＝105°；(2)b＝10，c＝5eq \r(6)，C＝60°；(3)a＝2eq \r(3)，b＝6，A＝30°.题型三正弦定理的应用--正弦定理中的比例性质点拨：由于正弦定理是比例形式的连等式，因此通常与等比性质联系．可设：eq \f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝eq \f(a,sinA)＝eq \f(b,sinB)＝eq \f(c,sinC)＝2R＝k(k>0)，得a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC等结论，利用它们来解决三角形中的比值问题．例3在△ABC中，已知A＝60°，a＝3，则eq \f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝________.【跟踪训练】3 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝(　　)A．1∶2∶3　　　　　　 B．3∶2∶1C．2∶eq \r(3)∶1 D．1∶eq \r(3)∶2题型四正弦定理的应用--判断三角形的形状点拨：判断三角形的形状，可以从三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出角与角的关系，从而作出准确判断.要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别.例4 已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，满足eq \f(a,cosA)＝eq \f(b,cosB)＝eq \f(c,cosC)，则△ABC的形状是(　　)A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形【跟踪训练】4在△ABC中，已知a2tan B＝b2tan A，则△ABC的形状是　(　　)A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【当堂达标】1.在△ABC中，若eq \r(3)a＝2bsin A，则B＝(　　)A.eq \f(π,3) B.eq \f(π,6)C.eq \f(π,3)或eq \f(2π,3) D.eq \f(π,6)或eq \f(5π,6)2.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，那么下列给出的各组条件能确定三角形有两解的是(　　)A．a＝10，b＝8，A＝30° B．a＝8，b＝10，A＝45°C．a＝10，b＝8，A＝150° D．a＝8，b＝10，A＝60°3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c－acos B＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状是(　　)A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形4.在△ABC中，a＝eq \r(6)，b＝2，B＝45°，则C＝ .5.在△ABC中，AB＝eq \r(6)，∠A＝75°，∠B＝45°，则AC＝__________.6.已知△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos C＋eq \f(\r(3),2)c＝b.(1)求角A的大小；(2)若a＝1，b＝eq \r(3)，求c的值．【课堂小结】1.正弦定理的结构形式正弦定理实际上是边角连等式：eq \f(a,sinA)＝eq \f(b,sinB)＝eq \f(c,sinC) ，描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．2. 正弦定理的主要功能：实现三角形中边角关系的转化．3.三角形解的个数的确定当三角形的两角和任一边确定时，三角形唯一确定；当三角形中已知两边和其中一边的对角时，三角形不能唯一确定，可能出现一解、两解或无解的情况．可由“三角形中大边对大角”来判定．【参考答案】【自主学习】 eq \f(b,sin B) eq \f(c,sin C) 正弦1.由正弦定理的变形公式可以实现三角形中边与角之间的相互转化，正弦定理对任意的三角形都成立．2.知两角及一边可解三角形；知两边及一边的对角也可解三角形．3.在△ABC中，若A>B，则a>b.由正弦定理得2RsinA>2RsinB，即sinA>sinB.若sinA>sinB，则2RsinA>2RsinB(R是△ABC的外接圆半径)．由正弦定理得a>b.综上所述，在△ABC中，A>B与sinA>sinB等价．【小试牛刀】(1)×　(2)√ (3)×　(4)√　(5)√【经典例题】例1 解：由三角形内角和定理，得由正弦定理，得【跟踪训练】1 解：因为sin B＝eq \f(1,2)，所以B＝30°或150°.当B＝30°时，由A＝60°得C＝90°；所以由正弦定理eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝eq \f(a,sin A)，得b＝eq \f(sin B,sin A)·a＝eq \f(sin 30°,sin 60°)×3＝eq \r(3)，c＝eq \f(sin C,sin A)·a＝eq \f(sin 90°,sin 60°)×3＝2eq \r(3).当B＝150°时，不合题意，舍去．例2 解：由正弦定理，得因为c ＞b，B＝30°，所以30°＜C＜180°.于是C＝45°，或C＝135°.（1）当C＝45°时，A＝105°此时（2）当C＝105°时，A＝15°此时【跟踪训练】2　(1)a＝7，b＝8，a90°，本题无解．(2)b＝10，c＝5eq \r(6)，bbsinA，∴本题有两解．由正弦定理得：sinB＝eq \f(bsinA,a)＝eq \f(6sin30°,2\r(3))＝eq \f(\r(3),2)，∴B＝60°或120°，当B＝60°时，C＝90°，c＝eq \f(asinC,sinA)＝eq \f(2\r(3)sin90°,sin30°)＝4eq \r(3)；当B＝120°时，C＝30°，c＝eq \f(asinC,sinA)＝eq \f(2\r(3)sin30°,sin30°)＝2eq \r(3).∴B＝60°，C＝90°，c＝4eq \r(3)或B＝120°，C＝30°，c＝2eq \r(3).例3 2eq \r(3) 解析：由正弦定理eq \f(a,sinA)＝eq \f(b,sinB)＝eq \f(c,sinC)＝eq \f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)，可得eq \f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝eq \f(3,sin60°)＝2eq \r(3). 【跟踪训练】3 D 解析：在△ABC中，因为A∶B∶C＝1∶2∶3，所以B＝2A，C＝3A，又A＋B＋C＝180°，所以A＝30°，B＝60°，C＝90°，所以a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝sin 30°∶sin 60°∶sin 90°＝1∶eq \r(3)∶2.例4 C 解析：方法一：由正弦定理得eq \f(a,sinA)＝eq \f(b,sinB)＝eq \f(c,sinC)，又eq \f(a,cosA)＝eq \f(b,cosB)＝eq \f(c,cosC)，得eq \f(sinA,cosA)＝eq \f(sinB,cosB)＝eq \f(sinC,cosC)，即tanA＝tanB＝tanC，所以A＝B＝C，即△ABC为等边三角形．【跟踪训练】4 D 解析：选D.将a＝2Rsin A，b＝2Rsin B(R为△ABC外接圆的半径)代入已知条件，得sin2Atan B＝sin2Btan A，则eq \f(sin2Asin B,cos B)＝eq \f(sin Asin2B,cos A).因为sin Asin B≠0，所以eq \f(sin A,cos B)＝eq \f(sin B,cos A)，所以sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，所以A＝B或A＋B＝eq \f(π,2)，故△ABC为等腰三角形或直角三角形．【当堂达标】1.C 解析：由正弦定理，得eq \r(3)sin A＝2sin Bsin A，所以sin A(2sin B－eq \r(3))＝0.因为0b可判断只有一解；对于D,8<10sin 60°＝5eq \r(3)可知无解；对于B,10sin 45°＝5eq \r(2)<8<10，可知有两解．故选B.3.D 解析：选D.已知c－acos B＝(2a－b)cos A，由正弦定理得sin C－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，所以sin(A＋B)－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，化简得cos A(sin B－sin A)＝0，所以cos A＝0或sin B－sin A＝0，则A＝90°或A＝B，故△ABC为等腰三角形或直角三角形．4. 75°或15° 解析：由正弦定理eq \f(a,sinA)＝eq \f(b,sinB)，得sinA＝eq \f(\r(3),2).∵a>b，∴A＝60°或A＝120°，∴C＝75°或15°.5. 2 解析：由三角形内角和定理，得∠C＝60°，根据正弦定理，得eq \f(AB,sin C)＝eq \f(AC,sin B)，所以AC＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(6),\f(\r(3),2))＝2.6.解析：(1)由acos C＋eq \f(\r(3),2)c＝b和正弦定理，得sin Acos C＋eq \f(\r(3),2)sin C＝sin B.∵sin B＝sin (A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，∴eq \f(\r(3),2)sin C＝cos Asin C.∵sin C≠0，∴cos A＝eq \f(\r(3),2).∵0

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