2021学年6.3 平面向量基本定理及坐标表示第2课时导学案

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6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示(第2课时)【学习目标】【自主学习】两个向量共线的坐标表示(1) 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)≠0，则a∥b⇔a＝λb(λ∈R)．(2)若用坐标表示，可写为 (x1，y1)＝λ(x2，y2)，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x1＝λx2，,y1＝λy2))，消去λ，可得向量 a，b(b≠0)共线的充要条件 .注意：平面向量共线的坐标表示还可以写成eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)(x2≠0，y2≠0)，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．【小试牛刀】1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a∥b，则必有x1y2＝x2y1.( 　)(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a与b共线，则eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2).(　 　)(3)若A，B，C三点共线，则向量eq \o(AB,\s\up6(→))，eq \o(BC,\s\up6(→))，eq \o(CA,\s\up6(→))都是共线向量．(　 　)(4)向量(2,3)与向量(－4，－6)反向．(　　)(5)已知a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋b与a－2b平行，则m＝－eq \f(1,2).(　 　)2.已知a＝(3，1)，b＝(2，λ)，若a∥b，则实数λ的值为________．【经典例题】题型一 向量共线的坐标表示点拨：(1)向量是否共线，利用向量共线的坐标表示或eq \o(b,\s\up10(→))＝λeq \o(a,\s\up10(→))验证．(2)判断eq \o(AB,\s\up10(→))∥eq \o(CD,\s\up10(→))，只要把点的坐标代入公式x1y2－x2y1＝0，看是否成立．例1　(1)下列各对向量中，共线的是(　　)A. a＝(2,3)，b＝(3，－2)B．a＝(2,3)，b＝(4，－6)C．a＝(eq \r(2)，－1)，b＝(1，eq \r(2))D．a＝(1，eq \r(2))，b＝(eq \r(2)，2)(2) 向量a＝(4， 2)，b＝(6，y)，且a∥b，求y．【跟踪训练】1 已知向量a＝(1，－2)，b＝(3，4)．若(3a－b)∥(a＋kb)，则k＝________．题型二 三点共线问题点拨：三点共线问题转化成向量共线问题，向量共线常用的判断方法有两种：一是直接用eq \o(AB,\s\up6(→))与＝λeq \o(AC,\s\up6(→))；二是利用坐标运算.例2已知A (－1，－1)，B(1，3)，C(2，5)，判断A，B，C三点之间的位置关系。【跟踪训练】2 设向量eq \o(OA,\s\up6(→))＝(k，12)，eq \o(OB,\s\up6(→))＝(4，5)，eq \o(OC,\s\up6(→))＝(10，k)，求当k为何值时，A，B，C三点共线．题型三 向量共线的应用点拨：向量共线在几何中的应用可分为两个方面：一是已知两向量共线，求点或向量的坐标；二是证明或判断三点共线、直线平行.解题时要注意联系平面几何的相关知识，由两向量共起点或共终点确定三点共线，由两向量无公共点确定直线平行.例3 设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．(1)当点P是线段P1P2上的中点时，求点P的坐标；(2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求P的坐标．变式：设，P1、P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，点P是线段P1P2上的一点。当 时，点P的坐标是什么？【跟踪训练】3 如图，已知直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，M为CE的中点，用向量的方法证明：(1)DE∥BC；(2)D，M，B三点共线．【当堂达标】1.（多选）下列各组向量中，可以作为基底的是(　　)A.a＝(－2,3)，b＝(4,6)B．a＝(2,3)，b＝(3,2)C．a＝(1，－2)，b＝(7,14)D．a＝(－3,2)，b＝(6，－4)2.若A(2,1)，B(－1，－2)，C(0，y)三点共线，则y等于(　 　)A．－1 B．0 C．eq \f(1,2) D．23.已知向量a＝(1，－2)，b＝(m，4)，且a∥b，那么2a－b＝(　　)A．(4，0)　 B．(0，4) C．(4，－8) D．(－4，8)4.已知A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0)，给出下列结论：①直线OC与直线BA平行；②eq \o(AB,\s\up10(→))＋eq \o(BC,\s\up10(→))＝eq \o(CA,\s\up10(→))；③eq \o(OA,\s\up10(→))＋eq \o(OC,\s\up10(→))＝eq \o(OB,\s\up10(→))；④eq \o(AC,\s\up10(→))＝eq \o(OB,\s\up10(→))－2eq \o(OA,\s\up10(→)).其中，正确结论的序号为________．5.已知点O(0，0)，向量eq \o(OA,\s\up6(→))＝(2，12)，eq \o(OB,\s\up6(→))＝(6，－3)，点P是线段AB的三等分点，求点P的坐标。6.已知a＝(1，0)，b＝(2，1)．(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？(2)若eq \o(AB,\s\up6(→))＝2a＋3b，eq \o(BC,\s\up6(→))＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．【课堂小结】已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)≠0，则a∥b充要条件有(1)a＝λb(λ∈R) (2) x1y2－x2y1＝0．(3)当x2≠0，y2≠0时， eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)(x2≠0，y2≠0)，即两个对应坐标成比例．【参考答案】【自主学习】思考：当两个非零向量共线时，通过坐标如何判断它们是同向还是反向？x1y2－x2y1＝0 思考：当两个向量的对应坐标同号时，同向．当两个向量的对应坐标异号时，反向．例如，向量(1,2)与(－1，－2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向．【小试牛刀】1. (1) √ ，(2) ×，(3) √ ，(4) √ ，(5) √ 2.eq \f(2,3)【经典例题】例1 (1)D 解析：由向量共线的充要条件可知：非零向量a与b共线，当且仅当存在唯一实数λ，使得b＝λa.而只有D满足：因为a＝(1，eq \r(2))，b＝(eq \r(2)，2)，所以b＝eq \r(2)a. (2)解：因为a∥b，所以4 y－2×6＝0.解得y＝3.【跟踪训练】1 －eq \f(1,3) 解析：3a－b＝(0，－10)，a＋kb＝(1＋3k，－2＋4k)，因为(3a－b)∥(a＋kb)，所以0－(－10－30k)＝0，所以k＝－eq \f(1,3).例2 解：猜想A，B，C三点共线，证明：由题意知eq \o(AB,\s\up6(→))＝(1，3)－(－1，－1)＝(2，4)，eq \o(AC,\s\up6(→))＝(2，5)－(－1，－1)＝(3，6)，因为 2×6－4×3＝0，所以eq \o(AB,\s\up6(→))与eq \o(AC,\s\up6(→))共线，又因为eq \o(AB,\s\up6(→))与eq \o(AC,\s\up6(→))有公共点A，所以点A，B，C共线．【跟踪训练】2法一：因为A，B，C三点共线，即eq \o(AB,\s\up6(→))与eq \o(AC,\s\up6(→))共线，所以存在实数λ(λ∈R)，使得eq \o(AB,\s\up6(→))＝λeq \o(AC,\s\up6(→)).因为eq \o(AB,\s\up6(→))＝eq \o(OB,\s\up6(→))－eq \o(OA,\s\up6(→))＝(4－k，－7)，eq \o(AC,\s\up6(→))＝eq \o(OC,\s\up6(→))－eq \o(OA,\s\up6(→))＝(10－k，k－12)，所以(4－k，－7)＝λ(10－k，k－12)，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－k＝λ（10－k），,－7＝λ（k－12），))解得k＝－2或k＝11.所以当k＝－2或k＝11时，A，B，C三点共线．法二：由已知得eq \o(AB,\s\up6(→))与eq \o(AC,\s\up6(→))共线，因为eq \o(AB,\s\up6(→))＝eq \o(OB,\s\up6(→))－eq \o(OA,\s\up6(→))＝(4－k，－7)，eq \o(AC,\s\up6(→))＝eq \o(OC,\s\up6(→))－eq \o(OA,\s\up6(→))＝(10－k，k－12)，所以(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0，所以k2－9k－22＝0，解得k＝－2或k＝11.所以当k＝－2或k＝11时，A，B，C三点共线．例3变式：设点P坐标为(x，y)，则（x - x1）=λ（(x2- x） 所以x =（λx2+ x1）/（1+λ），同理y=（λy2+ y1）/（1+λ）.所以点P的坐标是(（λx2+ x1）/（1+λ），（λy2+ y1）/（1+λ）).【跟踪训练】3 [证明]　如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，令|eq \o(AD,\s\up15(→))|＝1，则|eq \o(DC,\s\up15(→))|＝1，|eq \o(AB,\s\up15(→))|＝2.∵CE⊥AB，而AD＝DC，∴四边形AECD为正方形．∴可求得各点坐标分别为E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)，A(－1,0)．(1)∵eq \o(ED,\s\up15(→))＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，eq \o(BC,\s\up15(→))＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)．∴eq \o(ED,\s\up15(→))＝eq \o(BC,\s\up15(→))，∴eq \o(ED,\s\up15(→))∥eq \o(BC,\s\up15(→))，即DE∥BC.(2)连接MB，MD，∵M为EC的中点，∴M(0，eq \f(1,2))，∴eq \o(MD,\s\up15(→))＝(－1,1)－(0，eq \f(1,2))＝(－1，eq \f(1,2))，eq \o(MB,\s\up15(→))＝(1,0)－(0，eq \f(1,2))＝(1，－eq \f(1,2))．∴eq \o(MD,\s\up15(→))＝－eq \o(MB,\s\up15(→))，∴eq \o(MD,\s\up15(→))∥eq \o(MB,\s\up15(→)).又MD与MB有公共点M，∴D，M，B三点共线．【当堂达标】1. ABC 解析：由两向量共线的坐标表示知，对于D，(－3)×(－4)－2×6＝0，所以共线，其他均不满足．2.A 3.C 解析：因为向量a＝(1，－2)，b＝(m，4)，且a∥b，所以1×4＝(－2)×m，所以m＝－2，所以2a－b＝(2－m，－4－4)＝(4，－8)．4. ①③④ 解析：①因为eq \o(OC,\s\up10(→))＝(－2,1)，eq \o(BA,\s\up10(→))＝(2，－1)，所以eq \o(OC,\s\up10(→))＝－eq \o(BA,\s\up10(→))，又直线OC，BA不重合，所以直线OC∥BA，所以①正确；②因为eq \o(AB,\s\up10(→))＋eq \o(BC,\s\up10(→))＝eq \o(AC,\s\up10(→))≠eq \o(CA,\s\up10(→))，所以②错误；③因为eq \o(OA,\s\up10(→))＋eq \o(OC,\s\up10(→))＝(0,2)＝eq \o(OB,\s\up10(→))，所以③正确；④因为eq \o(AC,\s\up10(→))＝(－4,0)，eq \o(OB,\s\up10(→))－2eq \o(OA,\s\up10(→))＝(0,2)－2(2,1)＝(－4,0)，所以④正确．5.6.解：(1)ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．因为ka－b与a＋2b共线，所以2(k－2)－(－1)×5＝0，得k＝－eq \f(1,2).所以当k＝－eq \f(1,2)时，ka－b与a＋2b共线．(2)因为A，B，C三点共线，所以eq \o(AB,\s\up6(→))＝λeq \o(BC,\s\up6(→))，λ∈R，即2a＋3b＝λ(a＋mb)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＝λ，,3＝mλ，))解得m＝eq \f(3,2).素 养 目 标学 科 素 养1.理解向量共线的坐标表示的条件。（重点）2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线。（重点）3.掌握三点共线的判断方法。（难点）1.数学运算;2.直观想象