必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示第1课时导学案

这是一份必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示第1课时导学案

6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示（第1课时）【学习目标】【自主学习】一．平面向量的正交分解把一个向量分解为 的向量，叫做把向量正交分解．二．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使a＝xi＋yj，我们把有序实数对 叫做向量a的坐标，记作a＝ ，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．在向量的直角坐标中i，j，0的坐标分别为i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．三．平面向量的坐标运算(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则①a＋b＝ ；②a－b＝ ；③λa＝ ．(2)一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的 坐标减去 坐标．注意：(1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．(2)已知向量eq \o(AB,\s\up6(→))的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则eq \o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)．【小试牛刀】1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)．(　　)(2)若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2.(　　)(3)若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的始点是原点O.(　　)(4)若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)．(　　)2.已知A(3，1)，B(2，－1)，则eq \o(BA,\s\up6(→))的坐标是(　　)A．(－2，－1)　　　　　　　　 B．(2，1)C．(1，2) D．(－1，－2)【经典例题】题型一 平面向量的坐标表示点拨： (1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标．(2)求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标．例1 分别用基底{ i，j }表示向量a，b，c，d，并求出它们的坐标。【跟踪训练】1 已知O是坐标原点，点A在第一象限，|eq \o(OA,\s\up6(→))|＝4eq \r(3)，∠xOA＝60°，（1）求向量eq \o(OA,\s\up6(→))的坐标；（2）若B(eq \r(3)，－1)，求eq \o(BA,\s\up6(→))的坐标． 【跟踪训练】3题型二 平面向量的坐标运算点拨： (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．(2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．(3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行例2 已知a＝(2,1)，b＝(－3，4)，求a＋b， a－b，3a＋4b坐标。【跟踪训练】2（1）已知A，B，C的坐标分别为(2，－4)，(0，6)，(－8，10)，则eq \o(AB,\s\up6(→))＋2eq \o(BC,\s\up6(→))＝____________，eq \o(BC,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \o(AC,\s\up6(→))＝____________．题型三 向量坐标运算的综合应用例3.已知▱ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别为(－2,1)，(－1,3)，(3,4)，求顶点D的坐标．分析：教材P30例，解法1利用向量相等(即eq \o(AB,\s\up6(→))＝eq \o(DC,\s\up6(→)))求解，解法2利用向量的加法求解．想一想还有别的方法吗？ 【跟踪训练】3已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，及eq \o(OP,\s\up6(→))＝eq \o(OA,\s\up6(→))＋teq \o(AB,\s\up6(→)).(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？(2)四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．【当堂达标】1.设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量，O为坐标原点，若eq \o(OA,\s\up6(→))＝4i＋2j，eq \o(OB,\s\up6(→))＝3i＋4j，则2eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \o(OB,\s\up6(→))的坐标是(　　)A．(1，－2)　　B．(7,6) C．(5,0) D．(11,8)2.已知向量a＝(1,2)，2a＋b＝(3,2)，则b＝(　　)A．(1，－2) B．(1,2) C．(5,6) D．(2,0)3．已知eq \o(MA,\s\up6(→))＝(－2，4)，eq \o(MB,\s\up6(→))＝(2，6)，则eq \f(1,2)eq \o(AB,\s\up6(→))等于(　　)A．(0，5) B．(0，1) C．(2，5) D．(2，1)4.在▱ABCD中，A＝(1,2)，B＝(3,5)，eq \o(AD,\s\up6(→))＝(－1,2)，则eq \o(AC,\s\up6(→))＋eq \o(BD,\s\up6(→))＝(　　)A．(－2,4) B．(4,6) C．(－6，－2) D．(－1,9)5.已知A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，0)，D(x，y)，且eq \o(AC,\s\up6(→))＝2eq \o(BD,\s\up6(→))，则x＋y＝________．6.已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设eq \o(AB,\s\up6(→))＝a，eq \o(BC,\s\up6(→))＝b，eq \o(CA,\s\up6(→))＝c.(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值．【课堂小结】平面向量坐标运算的技巧:(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．【参考答案】【自主学习】两个互相垂直 (x，y) (x，y) (x1＋x2，y1＋y2) (x1－x2，y1－y2) (λx1，λy1) 终点 起点【小试牛刀】1. (1)√　(2)×　(3)×　(4)×2.C【经典例题】例1 解：由图可知a＝2i＋3j＝(2，3)，b＝－2i＋3j＝(－2，3)，c＝－2i－3j＝(－2，－3)，d＝2i－3j＝(2，－3).【跟踪训练】1解：(1)设点A(x，y)，则x＝4eq \r(3)cos 60°＝2eq \r(3)，y＝4eq \r(3)sin 60°＝6，即A(2eq \r(3)，6)，eq \o(OA,\s\up6(→))＝(2eq \r(3)，6)．(2) eq \o(BA,\s\up6(→))＝eq \o(OA,\s\up6(→))－eq \o(OB,\s\up6(→))＝(2eq \r(3)，6)－(eq \r(3)，－1)＝(eq \r(3)，7).例2解：∵a＝(2,1)，b＝(－3，4)，∴a＋b＝(2,1) ＋(－3，4)＝(－1，5)，a－b＝(2,1) －(－3，4)＝(5，－3)，3a＋4b＝3(2,1) ＋4(－3，4)＝(6,3) ＋(－12，16)＝(－6,19)。【跟踪训练】2（1）(－18，18)　(－3，－3) 解析：因为A(2，－4)，B(0，6)，C(－8，10)，所以eq \o(AB,\s\up6(→))＝(－2，10)，eq \o(BC,\s\up6(→))＝(－8，4)，eq \o(AC,\s\up6(→))＝(－10，14)，所以eq \o(AB,\s\up6(→))＋2eq \o(BC,\s\up6(→))＝(－18，18)，eq \o(BC,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \o(AC,\s\up6(→))＝(－3，－3)．（2）已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且eq \o(CM,\s\up6(→))＝3eq \o(CA,\s\up6(→))，eq \o(CN,\s\up6(→))＝2eq \o(CB,\s\up6(→))，求点M，N的坐标．（2）[解]　解法一：∵A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，∴eq \o(CA,\s\up6(→))＝(－2,4)－(－3，－4)＝(1,8)，eq \o(CB,\s\up6(→))＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6,3)．∵eq \o(CM,\s\up6(→))＝3eq \o(CA,\s\up6(→))，eq \o(CN,\s\up6(→))＝2eq \o(CB,\s\up6(→))，∴eq \o(CM,\s\up6(→))＝3(1,8)＝(3,24)，eq \o(CN,\s\up6(→))＝2(6,3)＝(12,6)．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴eq \o(CM,\s\up6(→))＝(x1＋3，y1＋4)＝(3,24)，eq \o(CN,\s\up6(→))＝(x2＋3，y2＋4)＝(12,6)，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x1＋3＝3，,y1＋4＝24，))eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋3＝12，,y2＋4＝6.))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x1＝0，,y1＝20，))eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＝9，,y2＝2.))∴M(0,20)，N(9,2)．解法二：设O为坐标原点，则由eq \o(CM,\s\up6(→))＝3eq \o(CA,\s\up6(→))，eq \o(CN,\s\up6(→))＝2eq \o(CB,\s\up6(→))，可得eq \o(OM,\s\up6(→))－eq \o(OC,\s\up6(→))＝3(eq \o(OA,\s\up6(→))－eq \o(OC,\s\up6(→)))，eq \o(ON,\s\up6(→))－eq \o(OC,\s\up6(→))＝2(eq \o(OB,\s\up6(→))－eq \o(OC,\s\up6(→)))，∴eq \o(OM,\s\up6(→))＝3eq \o(OA,\s\up6(→))－2eq \o(OC,\s\up6(→))，eq \o(ON,\s\up6(→))＝2eq \o(OB,\s\up6(→))－eq \o(OC,\s\up6(→)).∴eq \o(OM,\s\up6(→))＝3(－2,4)－2(－3，－4)＝(0,20)，eq \o(ON,\s\up6(→))＝2(3，－1)－(－3，－4)＝(9,2)．∴M(0,20)，N(9,2)．例3 解：方法1(利用平行四边形对边对应的向量相等，即eq \o(AD,\s\up6(→))＝eq \o(BC,\s\up6(→)))如图①，设顶点D的坐标为(x，y)，在▱ABCD中，eq \o(AD,\s\up6(→))＝eq \o(BC,\s\up6(→))，又eq \o(AD,\s\up6(→))＝(x＋2，y－1)，eq \o(BC,\s\up6(→))＝(4,1)，∴(x＋2，y－1)＝(4,1)，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋2＝4，,y－1＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2，))∴顶点D的坐标为(2,2)．方法2(利用向量加法)如图②，设顶点D的坐标为(x，y)，并连接OA，OD，则eq \o(OD,\s\up6(→))＝eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \o(AD,\s\up6(→)).∵eq \o(AD,\s\up6(→))＝eq \o(BC,\s\up6(→))，∴eq \o(OD,\s\up6(→))＝eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \o(BC,\s\up6(→))，∴(x，y)＝(－2,1)＋(4,1)＝(2,2)．∴顶点D的坐标为(2,2)．方法3(利用向量减法)如图③，设顶点D的坐标为(x，y)，并连接OA，OD，则eq \o(OD,\s\up6(→))＝eq \o(AD,\s\up6(→))－eq \o(AO,\s\up6(→))，∵eq \o(AD,\s\up6(→))＝eq \o(BC,\s\up6(→))，∴eq \o(OD,\s\up6(→))＝eq \o(BC,\s\up6(→))－eq \o(AO,\s\up6(→))，∴(x，y)＝(4,1)－(2，－1)＝(2,2)，∴顶点D的坐标为(2,2)．方法4(利用中点的向量表达式)如图④，在▱ABCD中，设AC的中点为M，则点M也是BD的中点．∵eq \o(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \o(OC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(eq \o(OB,\s\up6(→))＋eq \o(OD,\s\up6(→)))，∴eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \o(OC,\s\up6(→))＝eq \o(OB,\s\up6(→))＋eq \o(OD,\s\up6(→))，∴eq \o(OD,\s\up6(→))＝eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \o(OC,\s\up6(→))－eq \o(OB,\s\up6(→))＝(－2,1)＋(3,4)－(－1,3)＝(2,2)．∴顶点D的坐标为(2,2)．【跟踪训练】3【解】　(1)eq \o(OP,\s\up6(→))＝eq \o(OA,\s\up6(→))＋teq \o(AB,\s\up6(→))＝(1，2)＋t(3，3)＝(1＋3t，2＋3t)．若点P在x轴上，则2＋3t＝0，所以t＝－eq \f(2,3).若点P在y轴上，则1＋3t＝0，所以t＝－eq \f(1,3).若点P在第二象限，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋3t＜0，,2＋3t＞0，))所以－eq \f(2,3)＜t＜－eq \f(1,3).(2)eq \o(OA,\s\up6(→))＝(1，2)，eq \o(PB,\s\up6(→))＝(3－3t，3－3t)．若四边形OABP为平行四边形，则eq \o(OA,\s\up6(→))＝eq \o(PB,\s\up6(→))，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－3t＝1，,3－3t＝2，))该方程组无解．故四边形OABP不能为平行四边形．【当堂达标】1.D 解析：选D　因为eq \o(OA,\s\up6(→))＝(4,2)，eq \o(OB,\s\up6(→))＝(3,4)，所以2eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \o(OB,\s\up6(→))＝(8,4)＋(3,4)＝(11,8)．故选D.2.A 解析：选A　b＝(3,2)－2a＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)．故选A．3.D解析：选D.eq \f(1,2)eq \o(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(MB,\s\up6(→))－eq \o(MA,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(2，6)－eq \f(1,2)(－2，4)＝(2，1)．4.A 解析：在▱ABCD中，因为A(1,2)，B(3,5)，所以eq \o(AB,\s\up6(→))＝(2,3)．又eq \o(AD,\s\up6(→))＝(－1,2)，所以eq \o(AC,\s\up6(→))＝eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(AD,\s\up6(→))＝(1,5)，eq \o(BD,\s\up6(→))＝eq \o(AD,\s\up6(→))－eq \o(AB,\s\up6(→))＝(－3，－1)，所以eq \o(AC,\s\up6(→))＋eq \o(BD,\s\up6(→))＝(－2,4)，故选A．5. eq \f(11,2) 解析：因为eq \o(AC,\s\up6(→))＝(－2，0)－(－1，－2)＝(－1，2)，eq \o(BD,\s\up6(→))＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)，又2eq \o(BD,\s\up6(→))＝eq \o(AC,\s\up6(→))，即(2x－4，2y－6)＝(－1，2)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－4＝－1，,2y－6＝2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,2)，,y＝4，))所以x＋y＝eq \f(11,2).6.解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－6m＋n＝5，,－3m＋8n＝－5，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－1，,n＝－1.))素 养 目 标学 科 素 养1.理解向量正交分解以及坐标表示的意义。（重点）2.掌握两个向量的和、差及向量数乘的坐标运算法则。（重点）3.应用向量运算解决相关问题。1.数学运算;2.直观想象;3.数学抽象。