2021年北京西城区徐悲鸿中学高二上学期期末数学试卷

这是一份2021年北京西城区徐悲鸿中学高二上学期期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共8小题；共40分）
1. 命题 p:∀x∈R，x≥0 的否定是
A. ¬p:∀x∈R，x0”是“曲线 ax2+by2=1 为椭圆”的
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件

4. 执行如图的程序框图，若输入 t=−1，则输出 t 的值等于
A. 3B. 5C. 7D. 15

5. 从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球，则与事件恰有两个红球既不对立也不互斥的事件是
A. 至少有一个黑球B. 恰好一个黑球
C. 至多有一个红球D. 至少有一个红球

6. 已知 F1，F2 是双曲线的两个焦点，过 F2 作垂直于实轴的直线 PQ 交双曲线于 P，Q 两点，若 ∠PF1Q=π2，则双曲线的离心率 e 等于
A. 2+2B. 2+1C. 2D. 2−1

7. 已知正方体 ABCD−A1B1C1D1，点 E，F，G 分别是线段 B1B，AB 和 A1C 上的动点，观察直线 CE 与 D1F，CE 与 D1G．给出下列结论：
①对于任意给定的点 E，存在点 F，使得 D1F⊥CE；
②对于任意给定的点 F，存在点 E，使得 CE⊥D1F；
③对于任意给定的点 E，存在点 G，使得 D1G⊥CE；
④对于任意给定的点 G，存在点 E，使得 CE⊥D1G．
其中正确结论的个数是
A. 4 个B. 3 个C. 2 个D. 1 个

8. 如图所示，在三角形 ABC 中，AD⊥BC，AD=1，BC=4，点 E 为 AC 的中点，DC⋅BE=152，则 AB 的长度为
A. 2B. 32C. 2D. 3

二、填空题（共6小题；共30分）
9. 某校高一年级三个班共有学生 120 名，这三个班的男、女生人数如下表．
一班二班三班女生人数20xy男生人数2020z
已知在全年级学生中随机抽取 1 人，抽到二班女生的概率是 0.2．则 x= ；
现用分层抽样的方法在全年级抽取 30 名学生，则应在三班抽取的学生人数为 ．

10. 双曲线 x24−y212=1 的离心率等于 ；渐近线方程为 ．

11. 执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为 ．

12. 在某次摸底考试中，随机抽取 100 个人的成绩频率分布直方图如图，若参加考试的共有 4000 人，那么分数在 90 分以上的人数约为 人，根据频率分布直方图估计此次考试成绩的中位数为 ．

13. 抛物线 y2=4x 的焦点为 F，经过 F 的直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A，与准线 l 交于点 B，且 AK⊥l 于 K，如果 AF=BF，那么 △AKF 的面积是 ．

14. 平面内到定点 F0,1 和定直线 l：y=−1 的距离之和等于 4 的动点的轨迹为曲线 C．关于曲线 C 的几何性质，给出下列三个结论：
①曲线 C 关于 y 轴对称；
②若点 Px,y 在曲线 C 上，则 ∣y∣≤2；
③若点 P 在曲线 C 上，则 1≤∣PF∣≤4．
其中，所有正确结论的序号是 ．

三、解答题（共6小题；共78分）
15. 如图，在四棱锥 P−ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，点 E 是 PB 的中点，点 F 在边 BC 上移动．
（1）若 F 为 BC 中点，求证：EF∥平面PAC；
（2）求证：AE⊥PF；
（3）若二面角 E−AF−B 的余弦值等于 1111，求 BFBC 的值．

16. 已知 A，B，C 为椭圆 W：x2+2y2=2 上的三个点，O 为坐标原点．
（1）若 A，C 所在的直线方程为 y=x+1，求 AC 的长；
（2）设 P 为线段 OB 上一点，且 OB=3OP，当 AC 中点恰为点 P 时，判断 △OAC 的面积是否为常数，并说明理由．

17. 惠州市某学校需要从甲、乙两名学生中选 1 人参加数学竞赛，抽取了近期两人 5 次数学考试的分数，统计结果如下表：
第一次第二次第三次第四次第五次甲8085719287乙9076759282
（1）若从甲、乙两人中选出 1 人参加数学竞赛，你认为选谁合适?请说明理由．
（2）若数学竞赛分初赛和复赛，在初赛中答题方案如下：每人从 5 道备选题中随机抽取 3 道作答，若至少答对其中 2 道，则可参加复赛，否则被淘汰．假设被选中参赛的学生只会 5 道备选题中的 3 道，求该学生能进人复赛的概率．

18. 工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标 Y 进行检测，一共抽取了 48 件产品，并得到如下统计表．该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标 Y 有关，具体见表．
质量指标 Y9.4,9.89.8,10.210.2,10.6频数82416一年内所需维护次数201
（1）以每个区间的中点值作为每组指标的代表，用上述样本数据估计该厂产品的质量指标 Y 的平均值（保留两位小数）；
（2）用分层抽样的方法从上述样本中先抽取 6 件产品，再从 6 件产品中随机抽取 2 件产品，求这 2 件产品的指标 Y 都在 9.8,10.2 内的概率；
（3）已知该厂产品的维护费用为 300 元/次．工厂现推出一项服务：若消费者在购买该厂产品时每件多加 100 元，该产品即可一年内免费维护一次．将每件产品的购买支出和一年的维护支出之和称为消费费用．假设这 48 件产品每件都购买该服务，或者每件都不购买该服务，就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用，并以此为决策依据，判断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维护服务?

19. 如图，在三棱台 ABC−DEF 中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90∘，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3．
（1）求证：BF⊥平面ACFD；
（2）求直线 BD 与平面 ACFD 所成角的余弦值．

20. 已知抛物线 W:x2−2px p>0 的焦点为 F，点 A 在 W 上，AF 的中点坐标为 2,2．
（1）求抛物线 W 的方程．
（2）若直线 l 与拋物线 W 相切于 P （异于原点），与抛物线 W 的准线相交于点 Q，证明：FP⊥FQ．
答案
第一部分
1. C
2. A
3. B
4. C
5. D
【解析】从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球，
在A中，至少有一个黑球与事件恰有两个红球是对立事件，故A不成立；
在B中，恰好一个黑球与事件恰有两个红球是互斥事件，故B不成立；
在C中，至多一个红球与事件恰有两个红球是对立事件，故C不成立；
在D中，至少一个红球与事件恰有两个红球既不对立也不互斥的事件，故D成立．
6. B【解析】由题意可知通径 ∣PQ∣=2b2a，∣F1F2∣=2c，∣QF1∣=b2a，
因为 ∠PF2Q=90∘，所以 2b4a2+4c2=4b4a2，所以 b4=4a2c2，
因为 c2=a2+b2，所以 c4−6a2c2+a4=0，所以 e4−6e2+1=0，
所以 e2=3+22 或 e2=3−22（舍去），
所以 e=2+1．
7. C【解析】①只有 D1F⊥平面BCC1B1，即 D1F⊥平面ADD1A1 时，才能满足对于任意给定的点 E，存在点 F，使得 D1F⊥CE，
因为过 D1 点于平面 DD1A1A 垂直的直线只有一条 D1C1，而 D1C1∥AB，
所以①错误；
②当点 E 与 B1 重合时，CE⊥AB，且 CE⊥AD1，
所以 CE⊥平面ABD1，
因为对于任意给定的点 F，都有 D1F⊂平面ABD1，
所以对于任意给定的点 F，存在点 E，使得 CE⊥D1F，
所以②正确；
③只有 CE 垂直 D1G 在平面 BCC1B1 中的射影时，D1G⊥CE，
所以③正确；
④只有 CE⊥平面A1CD1 时，④才正确，
因为过 C 点的平面 A1CD1 的垂线与 BB1 无交点，
所以④错误．
8. C【解析】以 D 为原点，分别以 BC，AD 所在直线为 x，y 轴，建立如图所示平面直角坐标系，
设 BD=x，CD=4−x，则：D0,0，A0,−1，B−x,0，C4−x,0，E4−x2,−12；
所以 DC=4−x,0，BE=4+x2,−12；
所以 DC⋅BE=16−x22+0=152；
因为 x>0，所以解得 x=1；
所以 B−1,0，又 A0,−1；
所以 ∣AB∣=1+1=2．
第二部分
9. 24，9
10. 2，y=±3x
11. 527
12. 2600，97.5
13. 43
【解析】抛物线 y2=4x 的焦点 F1,0，准线为 l：x=−1，由抛物线的定义可得 AF=AK，由直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，可得 FK=AF，即有 △AKF 为正三角形，由 F 到 l 的距离为 d=2，则 AK=4，△AKF 的面积是 34×16=43．
14. ①②③
【解析】
设 Px,y 是曲线 C 上的任意一点，
因为曲线 C 是平面内到定点 F0,1 和定直线 l：y=−1 的距离之和等于 4 的点的轨迹，
所以 ∣PF∣+∣y+1∣=4．即 x2+y−12+∣y+1∣=4，
解得 y≥−1 时，y=2−14x2，当 ys22，乙的成绩较稳定，故选派乙参赛比较合适．
（2） 5 道备选题中会的 3 道分别记为 a，b，c，不会的 2 道分别记为 E，F．
学生从 5 道备选题中任意抽出 3 道的结果共 10 种，分别是：a,b,c，a,b,E，a,b,F，a,c,E，a,c,F，a,E,F，b,c,E，b,c,F，b,E,F，c,E,F．
抽中至少 2 道会的备选题的结果共 7 种，分别是：a,b,c，a,b,E，a,b,F，a,c,E，a,c,F，b,c,E，b,c,F，
所以学生能进入复赛的概率 P=710．
18. （1） 指标 Y 的平均值为 9.6×16+10×36+10.4×26≈10.07．
（2） 由分层抽样法知，先抽取的件产品中，
指标 Y 在 9.8,10.2 内的有 3 件，记为 A1，A2，A3，
指标 Y 在 10.2,10.6 内的有 2 件，记为 B1，B2，
指标 Y 在 9.4,9.8 内的有 1 件，记为 C，
从 6 件产品中，随机抽取 2 件产品，共有基本事件 15 个，分别为：
A1,A2，A1,A3，A1,B1，A1,B1，A1,B2，
A1,C，A2,A3，A2,B1，
A2,B2，A2,C，A3,B1，A3,B2，A3,C，
B1,B2，B1,C，B2,C，
其中，指标 Y 都在 9.8,10.2 内的概率为 P=315=15．
（3） 不妨设每件产品的售价为 x 元，假设这 48 件样品每件都不购买该服务，
则购买支出为 48x 元，其中有 16 件产品一年内的维护费用为 300 元/件，
有 8 件产品一年内的维护费用为 600 元/件，
此时平均每件产品的消费费用为 η=14848x+16×300+8×600=x+200 元．
假设为这 48 件产品每件产品都购买该项服务，则购买支出为 48x+100 元，
一年内只有 8 件产品要花费维护，需支出 8×300=2400 元，
平均每件产品的消费费用 ξ=148×48x+100+8×300=x+150 元，
所以该服务值得购买．
19. （1） 延长 AD，BE，CF 相交于一点 K，如图所示，
因为 平面BCFE⊥平面ABC，平面 BCEF∩平面ABC=BC ，且 AC⊥BC，
所以 AC⊥平面BCK，
因此 BF⊥AC，
又因为 EF∥BC，BE=EF=FC=1，BC=2，
所以 △BCK 为等边三角形，且 F 为 CK 的中点，则 BF⊥CK，
所以 BF⊥平面ACFD . CK∩AC=C .
（2） 因为 BF⊥平面ACK，
所以 ∠BDF 是直线 BD 与平面 ACFD 所成的角．
在 Rt△BFD 中，BF=3，DF=32，得 cs∠BDF=217，
所以直线 BD 与平面 ACFD 所成的角的余弦值为 217．
20. （1） 由题知 F0,p2，
设 AxA,xA22p，因为 AF 的中点坐标为 2,2，
所以 xA+02=2,xA22p+p22=2, 解得：xA=4，p=4．
所以抛物线 W 的方程为：x2=8y．
（2） 由 y=18x2 得 yʹ=14x，
设点 Px0,18x02，则直线 l 的方程为 y−18x02=14x0x−x0，
即为 y=14x0x−18x02．
令 y=−2，得 Qx02−162x0,−2，
所以 FP=x0,18x02−2，FQ=x02−162x0,−4，
所以 FP⋅FQ=x0×x02−162x0−418x02−2=0，
所以 FP⊥FQ．