2021年北京丰台区北京师范大学第四附属中学高中部高二上学期期末数学试卷

这是一份2021年北京丰台区北京师范大学第四附属中学高中部高二上学期期末数学试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共8小题；共40分）
1. 已知 a∈R，命题“∀x∈0,+∞，等式 lnx=a 成立”的否定形式是
A. ∀x∈0,+∞，等式 lnx=a 不成立
B. ∀x∈−∞,0，等式 lnx=a 不成立
C. ∃x0∈0,+∞，等式 lnx0=a 不成立
D. ∃x0∈−∞,0，等式 lnx0=a 不成立

2. 若焦点在 x 轴上的椭圆 C：x2a2+y25=1a>0 的离心率为 23，则 a 的值为
A. 9B. 6C. 3D. 2

3. 设 m，n 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，且 m⊂α，n⊂β，下列命题中正确的是
A. 若 α⊥β，则 m⊥nB. 若 α∥β，则 m∥n
C. 若 m⊥n，则 α⊥βD. 若 n⊥α，则 α⊥β

4. 如图，长方体 ABCD−A1B1C1D1 中，AB=BC=12AA1，E 为 BC 的中点，则异面直线 A1E 与 D1C1 所成角的正切值为
A. 2B. 455C. 172D. 22121

5. 已知 A−3,0，B0,4，点 P 为直线 y=x 上一点，过 A，B，P 三点的圆记作圆 C，则“点 P 为原点”是“圆 C 的半径取得最小值”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件

6. 图中的两条曲线分别表示某理想状态下捕食者和被捕食者数量随时间的变化规律．对捕食者和被捕食者数量之间的关系描述正确的是
A. B.
C. D.

7. 经过两点 A4,2y+1，B2,−3 的直线的倾斜角为 3π4，则 y=
A. −1B. −3C. 0D. 2

8. 某空间几何体的三视图及尺寸如图，则该几何体的体积是
A. 2B. 1C. 23D. 13

二、填空题（共6小题；共30分）
9. 点 −1,1 到直线 x+y−2=0 的距离为 ．

10. 双曲线 x24−y2=1 的渐近线方程为 ．

11. 若 x，y 满足约束条件 x−y+1≥0,x+y−3≥0,x−3≤0, 则 z=x+2y 的最小值为 ．

12. 已知球的体积为 36π，球的表面积是 ．

13. 已知点 M2,26，点 F 为抛物线 y2=2pxp>0 的焦点，点 P 是该抛物线上的一个动点．若 ∣PF∣+∣PM∣ 的最小值为 5，则 p 的值为 ．

14. 已知直线 lk:y=kx+k2k∈R，下列说法中正确的是 ．（注：把你认为所有正确选项的序号均填上）
① lk 与抛物线 y=−x24 均相切；
② lk 与圆 x2+y+12=1 均无交点；
③存在直线 l，使得 l 与 lk 均不相交；
④对任意的 i,j∈Ri≠j，直线 li，lj 相交．

三、解答题（共6小题；共78分）
15. 已知 △ABC 的顶点 A5,1，AB 边上的中线 CM 所在的直线方程为 2x−y−5=0，AC 边上的高 BH 所在的直线方程为 x−2y−5=0．求：
（1）AC 所在的直线方程；
（2）点 B 的坐标．

16. 三棱柱 ABC−A1B1C1 中，AB=AC，侧棱AA1⊥平面ABC，E，F 分别为 A1B1，A1C1 的中点．
（1）求证：B1C1∥面BEF；
（2）过点 A 存在一条直线与平面 BEF 垂直，请你在图中画出这条直线（保留作图痕迹，不必说明理由）．

17. 已知圆 C 的圆心在直线 x−3y=0 上，且与 y 轴相切于点 0,1．
（1）求圆 C 的方程；
（2）若圆 C 与直线 l：x−y+m=0 交于 A，B 两点，分别连接圆心 C 与 A，B 两点，若 CA⊥CB，求 m 的值．

18. 如图 1，在等边 △ABC 中，D，E，F 分别为 AB，AC，BC 的中点．将 △ABF 沿 AF 折起，得到如图 2 所示的三棱锥 A−BCF．
（1）证明：AF⊥BC；
（2）当 ∠BFC=120∘ 时，求二面角 A−DE−F 的余弦值．
（3）在（2）的条件下，在线段 BC 上是否存在一点 N，使得 平面ABF⊥平面FDN?若存在，求出 ∣BN∣∣BC∣ 的值；若不存在，说明理由．

19. 已知动点 P 到点 A−2,0 与点 B2,0 的斜率之积为 −14，点 P 的轨迹为曲线 C．
（1）求曲线 C 的轨迹方程；
（2）过点 D1,0 作直线 l 与曲线 C 交于 P，Q 两点，连接 PB，QB 分别与直线 x=3 交于 M，N 两点．若 △BPQ 和 △BMN 的面积相等，求直线 l 的方程．

20. 在平面直角坐标系中，设 Ax1,y1，Bx2,y2．定义：dαA,B=x1−x2α+y1−y2α1α，其中 α∈R+（R+ 表示正实数）．
（1）设 A1,1，B2,3，求 d1A,B 和 d2A,B 的值；
（2）求证：对平面中任意两点 A 和 B 都有 d2A,B≤d1A,B≤2d2A,B；
（3）设 Mx,y，O 为原点，记 Dα=Mx,ydαM,O≤1,α∈R+．若 0