2021年北京顺义区力迈学校高二上学期期末数学试卷

这是一份2021年北京顺义区力迈学校高二上学期期末数学试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 若图中直线 l1，l2，l3 的斜率分别为 k1，k2，k3 ，则
A. k1
2. 已知椭圆 x225+y29=1 上的点 M 到该椭圆一个焦点 F 的距离为 2，N 是 MF 的中点，O 为坐标原点，那么线段 ON 的长是
A. 2B. 4C. 8D. 32

3. 已知 m，n 为两条不同的直线，α，β 为两个不同的平面，则下列命题中正确的是
A. m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β
B. α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n
C. m⊥α，m⊥n⇒n∥α
D. n∥m，n⊥α⇒m⊥α

4. 已知 m>0 ，则点 P−m,2m 到直线 y=x 的距离为
A. 22mB. 322mC. 52mD. 12m

5. 用数字 1，2，3，4，5 组成的无重复数字的四位数，其中偶数的个数为
A. 8B. 24C. 48D. 120

6. 如图，在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，E 为 A1C1 的中点，则异面直线 CE 与 BD 所成的角为
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘

7. 以点 2,−1 为圆心且与直线 3x−4y+5=0 相切的圆的方程为
A. x−22+y+12=3B. x+22+y−12=3
C. x−22+y+12=9D. x+22+y−12=9

8. 过平面 α 外一点 A 引线段 AB，AC 以及垂段 AO，若 AB 与 α 所成角是 30∘，AO=6，AC⊥BC，则线段 BC 长的范围是
A. 0,6B. 6,+∞C. 0,63D. 63,+∞

9. 圆 C1:x2+y2+2x+2y−2=0 与圆 C2:x2+y2−4x−2y+1=0 的公切线有且仅有
A. 1 条B. 2 条C. 3 条D. 4 条

10. 函数 y=4xx2+1 的图象大致为
A. B.
C. D.

二、填空题（共5小题；共25分）
11. 在二项式 2+x9 的展开式中，常数项是 ，系数为有理数的项的个数是 ．

12. 与双曲线 x2−y24=1 有共同渐近线，且过点 M2,2 的双曲线方程是 ．

13. 若 a，b 表示直线，α 表示平面，下列命题：
① a⊥α，b∥α⇒a⊥b；② a⊥α，a⊥b⇒b∥α；③ a∥α，a⊥b⇒b⊥α；④ a⊥α，b⊥α⇒a∥b．
其中正确的是 ．（将你认为正确的序号都填上）

14. 空间四边形 ABCD 中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD=90∘，∠BCD=90∘，且 AB=AD，则 AC 与平面 BCD 所成的角是 ．

15. 已知直线 l：y=kx+1k>0 经过抛物线 C:x2=2py 的焦点 F，且 l 与 C 交于 A，B 两点，l 与 C 的准线交于点 E，若 EF=FB，则 p= ，k= ．

三、解答题（共5小题；共65分）
16. 已知圆 x2+y2−4x+2y+m=0 与 y 轴交于 A，B 两点，圆心为 P，若 ∠APB=90∘．求 m 的值．

17. 如图，在直三棱柱 ABC−A1B1C1 中，D，E 分别为 AB，BC 的中点，点 F 在侧棱 B1B 上，且 B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．
求证：
（1）直线 DE∥平面A1C1F；
（2）平面 B1DE⊥ 平面 A1C1F．

18. 如图，正方形中心为 G−1,0，一边所在直线的斜率为 3，且此正方形的面积为 14.4，求此正方形各边所在的直线方程．

19. 如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE=AD．△ABC 是底面的内接正三角形，P 为 DO 上一点，PO=66DO．
（1）证明：PA⊥平面PBC；
（2）求二面角 B−PC−E 的余弦值．

20. 已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦点为 F1,0，离心率为 22．直线 l 过点 F 且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为 M．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）证明：直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值；
（3）延长线段 OM 与椭圆 C 交于点 P，若四边形 OAPB 为平行四边形，求此时直线 l 的斜率．
答案
第一部分
1. D【解析】由图可知，l1 的倾斜角 α1>90∘，
所以 k1<0，l2，l3 的倾斜角满足 0∘<α3<α2<90∘，
所以 k32. B【解析】设椭圆左焦点为 F，右焦点为 F1，
因为 2a=10，∣MF∣=2，
所以 MF1=8，
因为 N 为 MF 的中点，O 为 FF1 的中点，
所以 ∣ON∣=12MF1=4．
3. D【解析】选项 A，当 m∥n 时，得不到 α∥β，A 错；
选项 B，m，n 两条直线可能为异面直线；
选项 C，直线 n 可能在平面 α 内．
4. B
5. C
【解析】末位数字排法有 A21 种，其他位置排法有 A43 种，共有 A21A43=48（种）．
6. D【解析】连接 AC，
底面是正方形，则 AC⊥BD，几何体是正方形，可知
所以 BD⊥AA1，AC∩AA1=A，
所以 BD⊥平面CC1AA1，
因为 CE⊂平面CC1AA1，
所以 BD⊥CE，
所以异面直线 BD，CE 所成角是 90∘．
7. C
8. C【解析】如图，
AO⊥α，则 AO⊥BC，又 AC⊥BC，
所以 BC⊥平面AOC，则 BC⊥OC，
在 Rt△AOB 中，由已知可得 OB=63，
则在平面 α 中，要使 △OCB 是以 OB 为斜边的直角三角形，
则 BC∈0,63．
9. B【解析】圆 C1:x+12+y+12=4，C1−1,−1，r1=2，
圆 C2:x−22+y−12=4，C22,1，r2=2．
∵C1C2=2+12+1+12=13 ∴⊙C1 与 ⊙C2 相交，
∴⊙C1 与 ⊙C2 有两条外公切线．
10. A
【解析】函数 y=4xx2+1 的定义域为实数集 R，关于原点对称，
函数 y=fx=4xx2+1，则 f−x=−4xx2+1=−fx，
则函数 y=fx 为奇函数，故排除C，D，
当 x>0 是，y=fx>0，故排除B．
第二部分
11. 162，5
【解析】由二项展开式的通项公式可知 Tr+1=C9r⋅29−r⋅29−r⋅xr，r∈N，0≤r≤9，
当项为常数项时，r=0，T1=C90⋅29⋅x0=29=162．
当项的系数为有理数时，9−r 为偶数，
可得 r=1,3,5,7,9，即系数为有理数的项的个数是 5．
12. x2−y24=3
13. ①④
【解析】a⊥α，b∥α，由线面垂直的性质得出 a⊥b，故①正确；由 a⊥α，a⊥b 可得出 b∥α 或 b⊂α，故②不正确；由 a∥α，a⊥b 可得出 b⊂α 或 b⊥α 或 b∥α，故③不正确；由线面垂直的性质定理可知④正确．
14. 45∘
【解析】如图所示，取 BD 的中点 O，连接 AO，CO，
因为 AB=AD，
所以 AO⊥BD，又 平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AO⊂平面ABD，
所以 AO⊥平面BCD，
因此，∠ACO 即为 AC 与平面 BCD 所成的角．
由于 ∠BAD=90∘=∠BCD，
所以 AO=OC=12BD，
又 AO⊥OC，
所以 ∠ACO=45∘．
15. 2，33
第三部分
16. 由题设 △APB 是等腰直角三角形，
所以圆的半径为圆心到 y 轴的距离的 2 倍．
将圆的方程 x2+y2−4x+2y+m=0 配方得 x−22+y+12=5−m．
圆心是 P2,−1，半径 r=5−m，
所以 5−m=22．
解得 m=−3．
17. （1） 因为 D，E 为中点，
所以 DE 为 △ABC 的中位线，
所以 DE∥AC．
又因为 ABC−A1B1C1 为棱柱，所以 AC∥A1C1，
所以 DE∥A1C1．
又因为 A1C1⊂ 平面 A1C1F，且 DE⊄A1C1F，
所以 DE∥平面A1C1F．
（2） 因为 ABC−A1B1C1 为直棱柱，所以 AA1⊥ 平面 A1B1C1，
所以 AA1⊥A1C1．
又因为 A1C1⊥A1B1，且 AA1∩A1B1=A1，
AA1，A1B1⊂ 平面 AA1B1B，
所以 A1C1⊥ 平面 AA1B1B，
又因为 DE∥A1C1，所以 DE⊥ 平面 AA1B1B．
又因为 A1F⊂ 平面 AA1B1B，所以 DE⊥A1F．
又因为 A1F⊥B1D，DE∩B1D=D，
且 DE，B1D⊂ 平面 B1DE，
所以 A1F⊥ 平面 B1DE，
又因为 A1F⊂A1C1F，
所以平面 B1DE⊥ 平面 A1C1F．
18. 设斜率为 3 的直线方程为 l:y=3x+b，即 3x−y+b=0，则中心到 l 的距离 d=∣−3+b∣10，
所以正方形的边长 2d，
由已知正方形面积 14.4=4×b−3210，
所以 b−32=36，
所以 b−3=±6，
所以 b=9 或 b=−3，
故正方形的两边所在的直线方程为 y=3x+9 或 y=3x−3，即 3x−y+9=0 或 3x−y−3=0．
可设另外两条边所在的直线方程为 y=−13x+n，
同理得 n=53 或 n=−73，
故正方形的另外两条边所在的直线方程为 x+3y−5=0 或 x+3y+7=0．
19. （1） 由题设，知 △DAE 为等边三角形，设 AE=1，
则 DO=32，CO=BO=12AE=12．
所以 PO=66DO=24，
PC=PO2+OC2=64，PB=PO2+OB2=64．
又 △ABC 为等边三角形，则 BAsin60∘=2OA，
所以 BA=32．
PA2+PB2=34=AB2，则 ∠APB=90∘，
所以 PA⊥PB．
同理 PA⊥PC，又 PC∩PB=P，
所以 PA⊥平面PBC．
（2） 过 O 作 ON∥BC 交 AB 于点 N．
因为 PO⊥平面ABC，以 O 为坐标原点，
OA 为 x 轴，ON 为 y 轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则 E−12,0,0，P0,0,24，B−14,34,0，C−14,−34,0，
PC=−14,−34,−24，PB=−14,34,−24，PE=−12,0,−24，
设平面 PCB 的一个法向量为 n=x1,y1,z1，
由 n⋅PC=0,n⋅PB=0, 得 −x1−3y1−2z1=0,−x1+3y1−2z1=0,
令 x1=2，得 z1=−1，y1=0，
所以 n=2,0,−1；
设平面 PCE 的一个法向量为 m=x2,y2,z2，
由 m⋅PC=0,m⋅PE=0, 得 −x2−3y2−2z2=0,−2x2−2z2=0,
令 x2=1，得 z2=−2，y2=33，
所以 m=1,33,−2．
故 csm,n=n⋅mn⋅m=223×103=255，
设二面角 B−PC−E 的大小为 θ，则 csθ=255．
20. （1） 由已知 c=1，e=ca=22，
又 a2=b2+c2，解得 a=2，b=1，
所以椭圆方程为 x22+y2=1．
（2） 设直线 l 的方程为 y=kx−1（k≠0），
联立 x22+y2=1,y=kx−1k≠0,
消去 y 得 2k2+1x2−4k2x+2k2−2=0，
不妨设 Ax1,y1，Bx2,y2，
则 x1+x2=4k22k2+1，
因为 M 为线段 AB 的中点，
所以 xM=x1+x22=2k22k2+1，yM=kxM−1=−k2k2+1，
所以 kOM=yMxM=−12k，
所以 kOM×kl=−12k×k=−12 为定值．
（3） 若四边形 OAPB 为平行四边形，则 OA+OB=OP，
所以 xP=x1+x2=4k22k2+1，
yP=y1+y2=kx1−1+kx2−1=kx1+x2−2=−2k2k2+1，
应为点 P 在椭圆上，
所以 4k22k2+12+2×−2k2k2+12=2，
解得 k2=12 即 k=±22，
所以当四边形 OAPB 为平行四边形时，直线 l 的斜率为 k=±22．