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人教版八年级下册第十六章 二次根式综合与测试课时作业
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这是一份人教版八年级下册第十六章 二次根式综合与测试课时作业，共27页。试卷主要包含了阅读下面的文字后，回答问题等内容，欢迎下载使用。
《二次根式》综合练习题
一．选择题（共10小题）
1．（2021•荆门）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣x3）2＝x5 B．＝x
C．（﹣x）2+x＝x3 D．（﹣1+x）2＝x2﹣2x+1
2．（2021春•海淀区校级期末）下列各组中互为有理化因式的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
3．（2021春•龙口市期中）若二次根式有意义，且关于x的分式方程+2＝有正数解，则符合条件的整数m的和是（ ）
A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4
4．（2021春•龙口市期中）下列计算中，正确的是（ ）
A．+＝
B．（）2020•（）2021＝+
C．＝﹣5
D．2﹣2＝
5．（2020春•德阳期末）已知：a+b＝﹣5，ab＝1，则+的值为（ ）
A．5 B．﹣5 C．25 D．5或﹣5
6．（2019秋•永嘉县期中）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为cm，宽为4cm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（ ）
A．4cm B．16cm C．2（+4）cm D．4（﹣4）cm
7．（2019春•济宁期中）若实数x满足|x﹣3|+＝7，化简2|x+4|﹣的结果是（ ）
A．4x+2 B．﹣4x﹣2 C．﹣2 D．2
8．（2018春•涿州市期末）阅读下面的文字后，回答问题：
小强和小芳解答题目：先化简下式，再求值：，其中a＝9时，得出了不同的答案．
小强的解答是：原式＝；
小芳的解答是：原式＝．
请你判断，解答正确的是（ ）
A．小强 B．小芳
C．小强和小芳 D．小强与小芳均错误
9．（2020秋•崇川区校级月考）若x2+y2＝1，则++的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．（2019•随州）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：＝＝7+4，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于﹣，设x＝﹣，易知＞，故x＞0，由x2＝（﹣）2＝3++3﹣﹣2＝2，解得x＝，即﹣＝．根据以上方法，化简+﹣后的结果为（ ）
A．5+3 B．5+ C．5﹣ D．5﹣3
二．填空题（共10小题）
11．（2021春•海淀区校级期末）已知x＝﹣3，y＝，则＝ ．
12．（2021春•江夏区校级月考）已知实数a，b满足|2a﹣3|+|b+2|+＝1，则a+b等于 ．
13．（2021春•江油市月考）已知a，b都是实数，b＝+，则ab的值为 ．
14．（2020秋•宜阳县期中）已知＝z，＝3，则多项式2x2z﹣4xyz+2zy2的值为 ．
15．（2019秋•温江区校级期末）已知a+b＝3，ab＝2，则的值为 ．
16．（2020•浙江自主招生）化简＝ ．
17．（2018秋•金牛区校级期中）若m＝，则m3﹣m2﹣2017m+2015＝ ．
18．（2019秋•港南区期末）若|2017﹣m|+＝m，则m﹣20172＝ ．
19．（2019秋•嘉定区期中）已知a，b是实数，且（+a）（+b）＝1，问a，b之间有怎样的关系： ．
20．（2014秋•资中县月考）实数a、b满足+＝10﹣|b+4|﹣|b﹣2|，则a2+b2的最大值为 ．
三．解答题（共10小题）
21．（2020秋•商河县期中）阅读下面计算过程：﹣1；.﹣2
请解决下列问题
（1）根据上面的规律，请直接写出＝ ．
（2）利用上面的解法，请化简：．
（3）你能根据上面的知识化简吗？若能，请写出化简过程．
22．（2020•唐山二模）阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：＝＝
＝＝
＝＝＝﹣1
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（1）化简
（2）化简．
（3）化简：+++…+．
23．（2020秋•浦东新区月考）我们已经学过完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如2＝（）2，3＝（）2，7＝（）2，0＝02，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：
例：求3﹣2的算术平方根．
解：3﹣2，∴3﹣2﹣1．
你看明白了吗？请根据上面的方法化简：
（1）
（2）
（3）．
24．（2020春•孟村县期末）观察下列各式，﹣，，，…
（1）化简以上各式，并计算出结果；
（2）以上各式的结果存在一定的规律，请按规律写出第5个式子及结果
（3）用含n（n≥1的整数）的式子写出第n个式子及结果，并给出证明的过程．
25．（2020春•泗水县期末）阅读下面的解答过程，然后作答：
有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2＝a且mn＝，则a+2可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得＝m+n，化简：
例如：∵5+2＝3+2+2＝（）2+（）2+2＝（+）2．
∴＝＝+．
请你仿照上例将下列各式化简：
（1）；
（2）．
26．（2019秋•峨眉山市月考）计算：
（1）2（4﹣3+2）；
（2）+﹣（﹣π）0+3﹣2
（3）若a＝+1，b＝﹣1，求a2b+ab2的值．
（4）已知a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简：﹣|a+b|++|b+c|
27．（2019•随县模拟）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ ，b＝ ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： + ＝（ + ）2；
（3）若a+6＝（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值？
28．（2019春•宁波期中）先阅读下面的解题过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，即，，那么便有：．
根据上述方法化简：
（1）．
（2）．
29．（2018春•常州期末）阅读材料：像（+）（﹣）＝3、•＝a（a≥0）、（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．
在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如：；＝．
解答下列问题：
（1）3﹣与 互为有理化因式，将分母有理化得 ；
（2）计算：；
（3）已知有理数a、b满足，求a、b的值．
30．（2017春•江津区校级月考）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+2＝（1+）2，善于思考的小明进行了以下探索：
设x+y＝（a+b）2（其中x、y、a、b均为整数），则有x+y＝a2+2b2+2ab，
∴x＝a2+2b2，y＝2ab，这样小明就找到了一种把类似x+y的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当x、y、a、b均为正整数时，若x+y＝（a+b）2，用含a、b的式子分别表示x、y，得x＝ ，y＝ ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数x、y、a、b填空： + ＝（ + ）2；
（3）若x+8＝（a+b）2，且x、a、b均为正整数，求x的值．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．（2021•荆门）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣x3）2＝x5 B．＝x
C．（﹣x）2+x＝x3 D．（﹣1+x）2＝x2﹣2x+1
【考点】合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式；二次根式的性质与化简．
【专题】实数；运算能力．
【分析】根据有理数乘方，二次根式化简及整式乘法分别计算求解．
【解答】解：A．（﹣x3）2＝x6，错误，不满足题意．
B.＝|x|，错误，不满足题意．
C．（﹣x）2+x＝x2+x，错误，不满足题意．
D．（﹣1+x）2＝x2﹣2x+1，正确，满足题意．
故选：D．
【点评】本题考查实数的运算，解题关键是熟练掌握实数运算的方法．
2．（2021春•海淀区校级期末）下列各组中互为有理化因式的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【考点】分母有理化．
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据有理化因式的意义，结合各个选项的两个代数式求积后作出判断即可．
【解答】解：A．（+）•（﹣﹣）＝﹣（+）2，因此+和﹣﹣不是有理化因式，故选项A不符合题意；
B．（2﹣）•（﹣2）＝﹣（2﹣）2，所以2﹣和﹣2不是有理化因式，因此选项B不符合题意；
C．（a+）（﹣a）＝（）2﹣（a）2＝3﹣2a2，所以a+和﹣a是有理化因式，因此选项C符合题意；
D．•＝a，因此．和不是有理化因式，所以选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查分母有理化，正确判断有理化因式是正确解答的前提．
3．（2021春•龙口市期中）若二次根式有意义，且关于x的分式方程+2＝有正数解，则符合条件的整数m的和是（ ）
A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4
【考点】二次根式有意义的条件；分式方程的解．
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据二次根式 有意义，可得m≤2，解出关于x的分式方程 +2＝的解为x＝，解为正数解，进而确定m的取值范围，注意增根时m的值除外，再根据m为整数，确定m的所有可能的整数值，求和即可．
【解答】解：去分母得，﹣m+2（x﹣1）＝3，
解得，x＝，
∵关于x的分式方程+2＝有正数解，
∴＞0，
∴m＞﹣5，
又∵x＝1是增根，当x＝1时，＝1，即m＝﹣3
∴m≠﹣3，
∵有意义，
∴2﹣m≥0，
∴m≤2，
因此﹣5＜m≤2且m≠﹣3，
∵m为整数，
∴m可以为﹣4，﹣2，﹣1，0，1，2，其和为﹣4，
故选：D．
【点评】考查二次根式的意义、分式方程的解法，以及分式方程产生增根的条件等知识，理解正数解，整数m的意义是正确解答的关键．
4．（2021春•龙口市期中）下列计算中，正确的是（ ）
A．+＝
B．（）2020•（）2021＝+
C．＝﹣5
D．2﹣2＝
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据同类二次根式的概念、二次根式的运算法则和性质逐一判断即可．
【解答】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
B．（）2020•（）2021＝[（）（）]2020•（+）＝（﹣1）2020•（+）＝+，此选项正确；
C．＝|﹣5|＝5，此选项错误；
D．2与2不是同类二次根式，此选项错误；
故选：B．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
5．（2020春•德阳期末）已知：a+b＝﹣5，ab＝1，则+的值为（ ）
A．5 B．﹣5 C．25 D．5或﹣5
【考点】二次根式的化简求值．
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】先把+进行化简，再把a+b＝﹣5，ab＝1代入，即可求出答案．
【解答】解：∵a+b＝﹣5，ab＝1，
∴a＜0，b＜0，
+＝﹣﹣＝﹣，
又∵a+b＝﹣5，ab＝1，
∴原式＝﹣＝5；
故选：A．
【点评】此题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是把要求的式子进行化简，再进行计算．
6．（2019秋•永嘉县期中）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为cm，宽为4cm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（ ）
A．4cm B．16cm C．2（+4）cm D．4（﹣4）cm
【考点】整式的加减；二次根式的应用．
【专题】二次根式；几何直观．
【分析】根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果．
【解答】解：设小长方形卡片的长为x，宽为y，
根据题意得：x+2y＝，
则图②中两块阴影部分周长和是2+2（4﹣2y）+2（4﹣x）＝2+4×4﹣4y﹣2x＝2+16﹣2（x+2y）＝2+16﹣2＝16（cm）．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次根式的应用，整式的加减运算，在解题时要根据题意结合图形得出答案是解题的关键．
7．（2019春•济宁期中）若实数x满足|x﹣3|+＝7，化简2|x+4|﹣的结果是（ ）
A．4x+2 B．﹣4x﹣2 C．﹣2 D．2
【考点】二次根式的性质与化简．
【专题】二次根式．
【分析】根据x的取值﹣4≤x≤3以及二次根式的性质，化简绝对值即可得到结果．
【解答】解：∵|x﹣3|+＝7，
∴|x﹣3|+|x+4|＝7，
∴﹣4≤x≤3，
∴2|x+4|﹣
＝2（x+4）﹣|2x﹣6|
＝2（x+4）﹣（6﹣2x）
＝4x+2，
故选：A．
【点评】此题考查二次根式和绝对值问题，此题难点是由绝对值和二次根式的化简求得x的取值范围，要求对绝对值的代数定义和二次根式的性质灵活掌握．
8．（2018春•涿州市期末）阅读下面的文字后，回答问题：
小强和小芳解答题目：先化简下式，再求值：，其中a＝9时，得出了不同的答案．
小强的解答是：原式＝；
小芳的解答是：原式＝．
请你判断，解答正确的是（ ）
A．小强 B．小芳
C．小强和小芳 D．小强与小芳均错误
【考点】二次根式的化简求值．
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据二次根式的性质：＝|a|，可得答案．
【解答】解：原式＝a+＝a+|1﹣a|＝a+（a﹣1）＝2a﹣1＝2×9﹣1＝17,
∴小芳的解答正确，
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，熟记二次根式的性质是解题关键．
9．（2020秋•崇川区校级月考）若x2+y2＝1，则++的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】二次根式的化简求值．
【专题】二次根式．
【分析】先根据x2+y2＝1，可得﹣1≤x≤1，﹣1≤y≤1，再根据二次根式有意义的条件得到x＝﹣1，进一步求出y＝0，再代入计算即可求解．
【解答】解：∵x2+y2＝1，
∴﹣1≤x≤1，﹣1≤y≤1，
∵＝＝，
x+1≥0，y﹣2＜0，（x+1）（y﹣2）≥0，
∴x+1＝0，
∴x＝﹣1，
∴y＝0，
∴++
＝2+1+0
＝3．
故选：D．
【点评】考查了二次根式的化简求值，关键去求出x、y的取值范围，根据二次根式有意义的条件得到x＝﹣1．
10．（2019•随州）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：＝＝7+4，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于﹣，设x＝﹣，易知＞，故x＞0，由x2＝（﹣）2＝3++3﹣﹣2＝2，解得x＝，即﹣＝．根据以上方法，化简+﹣后的结果为（ ）
A．5+3 B．5+ C．5﹣ D．5﹣3
【考点】无理数；平方差公式；二次根式的性质与化简；分母有理化．
【专题】二次根式．
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：设x＝﹣，且＞，
∴x＜0，
∴x2＝6﹣3﹣2+6+3，
∴x2＝12﹣2×3＝6，
∴x＝，
∵＝5﹣2，
∴原式＝5﹣2﹣
＝5﹣3，
故选：D．
【点评】本题考查二次根式的运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于较难题型．
二．填空题（共10小题）
11．（2021春•海淀区校级期末）已知x＝﹣3，y＝，则＝ 3 ．
【考点】二次根式的性质与化简．
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】把x与y的值代入并化简求解．
【解答】解：＝＝＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查二次根式的性质与化简，解题关键是熟练掌握二次根式的性质与化简方法．
12．（2021春•江夏区校级月考）已知实数a，b满足|2a﹣3|+|b+2|+＝1，则a+b等于 0 ．
【考点】二次根式的性质与化简．
【专题】计算题；二次根式；运算能力．
【分析】根据≥0，b2≥0，可得a≥2，进而可得a和b的值．
【解答】解：∵≥0，b2≥0，
∴a﹣2≥0，
∴a≥2，
∴|2a﹣3|≥1，|b+2|≥0，≥0，
∵|2a﹣3|+|b+2|+＝1，
∴|2a﹣3|＝1，|b+2|＝0，
∴a＝2，b＝﹣2，
∴a+b＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是掌握二次根式的性质．
13．（2021春•江油市月考）已知a，b都是实数，b＝+，则ab的值为 4 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得，
，
解得：a＝，
则b＝﹣2，
故ab的值为（）﹣2＝4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出a，b的值是解题关键．
14．（2020秋•宜阳县期中）已知＝z，＝3，则多项式2x2z﹣4xyz+2zy2的值为 486 ．
【考点】二次根式的化简求值．
【专题】整式；二次根式；运算能力．
【分析】先根据算术平方根的定义求出z＝3，x﹣y＝9，再把2x2z﹣4xyz+2zy2分解因式，最后求出答案即可．
【解答】解：∵＝z，＝3，
∴z＝3，x﹣y＝9，
∴2x2z﹣4xyz+2zy2
＝2z（x2﹣2xy+y2）
＝2z（x﹣y）2
＝2×3×92
＝486，
故答案为：486．
【点评】本题考查了算术平方根，分解因式和二次根式的化简求值等知识点，灵活运用知识点进行计算和变形是解此题的关键．
15．（2019秋•温江区校级期末）已知a+b＝3，ab＝2，则的值为 ．
【考点】二次根式的化简求值．
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据a+b＝3，ab＝2，可以判断出a＞0，b＞0，将所求数字化简，然后a+b＝3，ab＝2代入即可解答本题．
【解答】解：
＝
＝
＝，
∵a+b＝3，ab＝2，
∴a＞0，b＞0，
∴原式＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．
16．（2020•浙江自主招生）化简＝ ．
【考点】分母有理化；二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】先利用完全平方公式得到4﹣2＝（﹣1）2，则原式可化为简为，再利用2+＝，则原式可化简为，然后就计算二次根式的除法运算．
【解答】解：∵4﹣2＝（﹣1）2，
∴原式＝＝，
∵2+＝＝，
∴原式＝
＝
＝．
故答案为．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
17．（2018秋•金牛区校级期中）若m＝，则m3﹣m2﹣2017m+2015＝ 4030 ．
【考点】二次根式的化简求值．
【专题】二次根式．
【分析】由于2015＝2016﹣1，可利用平方差公式把m化简，然后代入多项式求值．
【解答】解：∵m＝＝
＝
＝，
∴原式＝m2（m﹣1）﹣2017m+2015
＝（+1）2×﹣2017（+1）+2015
＝（2017+2）﹣2017﹣2017+2015
＝2017+2×2016﹣2017﹣2017+2015
＝4032﹣2
＝4030
【点评】本题考查了平方差公式、二次根式的化简求值．解决本题的关键是利用平方差公式化简m．
18．（2019秋•港南区期末）若|2017﹣m|+＝m，则m﹣20172＝ 2018 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】二次根式．
【分析】根据二次根式的性质求出m≥2018，再化简绝对值，根据平方运算，可得答案．
【解答】解：∵|2017﹣m|+＝m，
∴m﹣2018≥0，
m≥2018，
由题意，得m﹣2017+＝m．
化简，得＝2017，
平方，得m﹣2018＝20172，
m﹣20172＝2018．
故答案为：2018．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质化简绝对值是解题关键．
19．（2019秋•嘉定区期中）已知a，b是实数，且（+a）（+b）＝1，问a，b之间有怎样的关系： a+b＝0 ．
【考点】二次根式的化简求值．
【专题】二次根式．
【分析】等式的两边分别乘以（﹣a）、（﹣b）得两个等式，两式相加可得a、b间关系．
【解答】解：∵（+a）（+b）＝1，
等式的两边都乘以（﹣a），得+b＝﹣a①，
等式的两边都乘以（﹣b）得+a＝﹣b②，
①+②，得+b++a＝﹣b+﹣a，
整理，得2a+2b＝0
所以a+b＝0
故答案为：a+b＝0
【点评】本题考查了二次根式的乘法和加减．解决本题的关键是发现（+a）与（﹣a）的关系，找到解决问题的办法．
20．（2014秋•资中县月考）实数a、b满足+＝10﹣|b+4|﹣|b﹣2|，则a2+b2的最大值为 41 ．
【考点】二次根式的性质与化简．
【专题】计算题．
【分析】首先化简+＝10﹣|b+4|﹣|b﹣2|，可得：|a﹣1|+|a﹣5|+|b+4|+|b﹣2|＝10；然后根据|a﹣1|+|a﹣5|≥4，|b+4|+|b﹣2|≥6，判断出a、b的取值范围，求出a2+b2的最大值是多少即可．
【解答】解：∵+＝10﹣|b+4|﹣|b﹣2|，
∴|a﹣1|+|a﹣5|＝10﹣|b+4|﹣|b﹣2|，
∴|a﹣1|+|a﹣5|+|b+4|+|b﹣2|＝10，
∵|a﹣1|+|a﹣5|≥4，|b+4|+|b﹣2|≥6，
∴|a﹣1|+|a﹣5|＝4，|b+4|+|b﹣2|＝6，
∴1≤a≤5，﹣4≤b≤2，
∴a2+b2的最大值为：
52+（﹣4）2＝41．
故答案为：41．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质和化简，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
三．解答题（共10小题）
21．（2020秋•商河县期中）阅读下面计算过程：﹣1；.﹣2
请解决下列问题
（1）根据上面的规律，请直接写出＝ ﹣ ．
（2）利用上面的解法，请化简：．
（3）你能根据上面的知识化简吗？若能，请写出化简过程．
【考点】分母有理化．
【专题】阅读型．
【分析】（1）利用前面的计算结果可得到两相邻非负整数的算术平方根的和的倒数等于它们的算术平方根的差；
（2）利用（1）中的规律易得原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣+﹣，然后合并即可；
（3）把分子分母都乘以+，然后利用平方差公式计算．
【解答】解：（1）＝＝﹣．
（2）
＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣+﹣
＝﹣1
＝10﹣1
＝9；
（3）
＝
＝+．
故答案为：+．
【点评】本题考查了分母有理化：分母有理化是指把分母中的根号化去；分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
22．（2020•唐山二模）阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：＝＝
＝＝
＝＝＝﹣1
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（1）化简
（2）化简．
（3）化简：+++…+．
【考点】分母有理化．
【专题】计算题．
【分析】（1）分子分母分别乘即可；
（2）分子分母分别乘﹣即可；
（3）分母有理化后，合并同类二次根式即可；
【解答】解：（1）＝＝
（2）化简＝＝﹣
（3）化简：+++…+
＝（﹣1+﹣+﹣+…+﹣）
＝（﹣1）
【点评】本题考查二次根式的化简、分母有理化等知识，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法，属于中考常考题型．
23．（2020秋•浦东新区月考）我们已经学过完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如2＝（）2，3＝（）2，7＝（）2，0＝02，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：
例：求3﹣2的算术平方根．
解：3﹣2，∴3﹣2﹣1．
你看明白了吗？请根据上面的方法化简：
（1）
（2）
（3）．
【考点】完全平方公式；二次根式的混合运算．
【专题】计算题；二次根式．
【分析】（1）将3分成2+1，利用完全平方公式即可求出结论；
（2）结合（1）将原式变形为，将18分成16+2，利用完全平方公式即可求出结论；
（3）将3分成2+1、5分成2+3、7分成3+4、9分成4+5、11分成5+6，利用完全平方公式结合二次根式的加、减法，即可求出结论．
【解答】解：（1）＝＝＝＝+1；
（2）＝＝＝＝＝＝4+；
（3）原式＝++++，
＝++++，
＝++++，
＝﹣1+﹣+2﹣+﹣2+﹣，
＝﹣1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式，读懂题意，将整数分成两个合适的整数相加是解题的关键．
24．（2020春•孟村县期末）观察下列各式，﹣，，，…
（1）化简以上各式，并计算出结果；
（2）以上各式的结果存在一定的规律，请按规律写出第5个式子及结果
（3）用含n（n≥1的整数）的式子写出第n个式子及结果，并给出证明的过程．
【考点】分母有理化．
【专题】规律型．
【分析】（1）分别把每个式子的第二项进行分母有理化，观察结果；
（2）根据（1）的结果写出第5个式子及结果；
（3）根据（1）的规律可得﹣，然后分母有理化，求出结果即可．
【解答】解：（1）﹣＝﹣＝﹣＝﹣1，
＝﹣＝﹣2，
＝＝﹣3，
＝﹣＝﹣4，
（2）﹣＝﹣5，
（3）﹣＝﹣＝﹣n．
【点评】本题主要考查分母有理化的知识点，解答本题的关键是找出上述各式的变化规律，此题难度一般．
25．（2020春•泗水县期末）阅读下面的解答过程，然后作答：
有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2＝a且mn＝，则a+2可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得＝m+n，化简：
例如：∵5+2＝3+2+2＝（）2+（）2+2＝（+）2．
∴＝＝+．
请你仿照上例将下列各式化简：
（1）；
（2）．
【考点】二次根式的性质与化简．
【分析】（1）利用完全平方公式把4+2化为（1+）2，然后利用二次根式的性质化简即可．
（2）利用完全平方公式把7﹣2化为（﹣）2然后利用二次根式的性质化简即可．
【解答】解：（1）∵4+2＝1+3+2＝12++2＝（1+）2，
∴＝＝1+；
（2）＝＝＝﹣．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是熟记掌握完全平方公式．
26．（2019秋•峨眉山市月考）计算：
（1）2（4﹣3+2）；
（2）+﹣（﹣π）0+3﹣2
（3）若a＝+1，b＝﹣1，求a2b+ab2的值．
（4）已知a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简：﹣|a+b|++|b+c|
【考点】实数与数轴；零指数幂；负整数指数幂；分母有理化；二次根式的化简求值．
【专题】计算题；整体思想；应用意识．
【分析】（1）根据二次根式的混合运算顺序进行计算即可求解；
（2）利用分母有理化、零指数幂、负整数指数幂的知识即可求解；
（3）根据二次根式混合运算知识和平方差公式即可求解；
（4）根据数轴和绝对值的意义确定每个式子的取值进而化简求解．
【解答】解：（1）原式＝2（8﹣9+2）
＝2×
＝10；
（2）原式＝+1+3﹣1+
＝4；
（3）∵a＝+1，b＝﹣1，
∴a+b＝2，ab＝4，
∴a2b+ab2＝ab（a+b）
＝4×2
＝8；
（4）由图可知：a＜0，a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＜0．
∴﹣|a+b|++|b+c|
＝﹣a+a+b+c﹣a﹣b﹣c
＝﹣a．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值、实数与数轴、零指数幂、负整数指数幂、分母有理化，解决本题的关键是对基础知识的掌握．
27．（2019•随县模拟）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ m2+3n2 ，b＝ 2mn ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： 7 + 4 ＝（ 2 + 1 ）2；
（3）若a+6＝（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值？
【考点】完全平方式；二次根式的混合运算．
【专题】计算题．
【分析】（1）利用完全平方公式展开得到（m+n）2＝m2+3n2+2mn，从而可用m、n表示a、b；
（2）先取m＝2，n＝1，则计算对应的a、b的值，然后填空即可；
（3）利用a＝m2+3n2，2mn＝6和a、m、n均为正整数可先确定m、n的值，然后计算对应的a的值．
【解答】解：（1）（m+n）2＝m2+3n2+2mn，
∴a＝m2+3n2，b＝2mn；
（2）m＝2，n＝1，则a＝7，b＝4，
∴7+4＝（2+）2，
（3）a＝m2+3n2，2mn＝6，
∵a、m、n均为正整数，
∴m＝3，n＝1或m＝1，n＝3，
当m＝3，n＝1时，a＝9+3＝12，
当m＝1，n＝3时，a＝1+3×9＝28，
∴a的值为12或28．
故答案为m2+3n2，2mn；7，4，2，1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
28．（2019春•宁波期中）先阅读下面的解题过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，即，，那么便有：．
根据上述方法化简：
（1）．
（2）．
【考点】二次根式的性质与化简．
【专题】二次根式．
【分析】（1）直接利用完全平方公式化简求出答案；
（2）直接利用完全平方公式化简求出答案．
【解答】解：（1）＝＝；
（2）＝＝2+．
【点评】此题主要考查了二次根式的化简，正确应用完全平方公式是解题关键．
29．（2018春•常州期末）阅读材料：像（+）（﹣）＝3、•＝a（a≥0）、（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．
在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如：；＝．
解答下列问题：
（1）3﹣与 3+ 互为有理化因式，将分母有理化得 ；
（2）计算：；
（3）已知有理数a、b满足，求a、b的值．
【考点】分母有理化；二次根式的混合运算．
【专题】阅读型．
【分析】（1）根据题意可以得到所求式子的分母有理化因式，并将题目中的二次根式化简；
（2）根据分母有理化的方法可以化简题目中的式子；
（3）根据题意，对所求式子变形即可求得a、b的值．
【解答】解：（1）3﹣与3+互为有理化因式，＝，
故答案为：3，；
（2）
＝﹣2
＝2﹣；
（3）∵，
∴（﹣1）a+b＝﹣1+2，
∴﹣a+（a+）＝﹣1+2，
∴﹣a＝﹣1，a+＝2，
解得，a＝1，b＝2．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式的混合运算的计算方法．
30．（2017春•江津区校级月考）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+2＝（1+）2，善于思考的小明进行了以下探索：
设x+y＝（a+b）2（其中x、y、a、b均为整数），则有x+y＝a2+2b2+2ab，
∴x＝a2+2b2，y＝2ab，这样小明就找到了一种把类似x+y的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当x、y、a、b均为正整数时，若x+y＝（a+b）2，用含a、b的式子分别表示x、y，得x＝ a2+3b2 ，y＝ 2ab ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数x、y、a、b填空： 4 + 2 ＝（ 1 + 1 ）2；
（3）若x+8＝（a+b）2，且x、a、b均为正整数，求x的值．
【考点】完全平方式；二次根式的混合运算．
【专题】计算题．
【分析】（1）利用完全平方公式把（a+b）2展开后合并即可得到x、y的值；
（2）先取a、b的值，再计算x和y的值；
（3）把右边展开得到a2+3b2＝x，2ab＝8，再利用整除性求出a、b，然后计算x、y的值．
【解答】解：（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2＝（a2+3b2）+2ab，
所以x＝a2+3b2，y＝2ab；
（2）x、y、a、b的值分别取4，2，1，1；
故答案为a2+3b2，2ab；4，2，1，1；
（3）由题意得 a2+3b2＝x，2ab＝8，
∵ab＝4，且a、b为正整数，
∴a＝2，b＝2或a＝1，b＝4或a＝4，b＝1，
∴当a＝2，b＝2时，x＝22+3×22＝16
当a＝1，b＝4时，x＝12+3×42＝49
当a＝4，b＝1时，x＝42+3×12＝19．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
《二次根式》综合练习题
一．选择题（共10小题）
1．（2021•荆门）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣x3）2＝x5 B．＝x
C．（﹣x）2+x＝x3 D．（﹣1+x）2＝x2﹣2x+1
2．（2021春•海淀区校级期末）下列各组中互为有理化因式的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
3．（2021春•龙口市期中）若二次根式有意义，且关于x的分式方程+2＝有正数解，则符合条件的整数m的和是（ ）
A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4
4．（2021春•龙口市期中）下列计算中，正确的是（ ）
A．+＝
B．（）2020•（）2021＝+
C．＝﹣5
D．2﹣2＝
5．（2020春•德阳期末）已知：a+b＝﹣5，ab＝1，则+的值为（ ）
A．5 B．﹣5 C．25 D．5或﹣5
6．（2019秋•永嘉县期中）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为cm，宽为4cm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（ ）
A．4cm B．16cm C．2（+4）cm D．4（﹣4）cm
7．（2019春•济宁期中）若实数x满足|x﹣3|+＝7，化简2|x+4|﹣的结果是（ ）
A．4x+2 B．﹣4x﹣2 C．﹣2 D．2
8．（2018春•涿州市期末）阅读下面的文字后，回答问题：
小强和小芳解答题目：先化简下式，再求值：，其中a＝9时，得出了不同的答案．
小强的解答是：原式＝；
小芳的解答是：原式＝．
请你判断，解答正确的是（ ）
A．小强 B．小芳
C．小强和小芳 D．小强与小芳均错误
9．（2020秋•崇川区校级月考）若x2+y2＝1，则++的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．（2019•随州）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：＝＝7+4，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于﹣，设x＝﹣，易知＞，故x＞0，由x2＝（﹣）2＝3++3﹣﹣2＝2，解得x＝，即﹣＝．根据以上方法，化简+﹣后的结果为（ ）
A．5+3 B．5+ C．5﹣ D．5﹣3
二．填空题（共10小题）
11．（2021春•海淀区校级期末）已知x＝﹣3，y＝，则＝ ．
12．（2021春•江夏区校级月考）已知实数a，b满足|2a﹣3|+|b+2|+＝1，则a+b等于 ．
13．（2021春•江油市月考）已知a，b都是实数，b＝+，则ab的值为 ．
14．（2020秋•宜阳县期中）已知＝z，＝3，则多项式2x2z﹣4xyz+2zy2的值为 ．
15．（2019秋•温江区校级期末）已知a+b＝3，ab＝2，则的值为 ．
16．（2020•浙江自主招生）化简＝ ．
17．（2018秋•金牛区校级期中）若m＝，则m3﹣m2﹣2017m+2015＝ ．
18．（2019秋•港南区期末）若|2017﹣m|+＝m，则m﹣20172＝ ．
19．（2019秋•嘉定区期中）已知a，b是实数，且（+a）（+b）＝1，问a，b之间有怎样的关系： ．
20．（2014秋•资中县月考）实数a、b满足+＝10﹣|b+4|﹣|b﹣2|，则a2+b2的最大值为 ．
三．解答题（共10小题）
21．（2020秋•商河县期中）阅读下面计算过程：﹣1；.﹣2
请解决下列问题
（1）根据上面的规律，请直接写出＝ ．
（2）利用上面的解法，请化简：．
（3）你能根据上面的知识化简吗？若能，请写出化简过程．
22．（2020•唐山二模）阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：＝＝
＝＝
＝＝＝﹣1
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（1）化简
（2）化简．
（3）化简：+++…+．
23．（2020秋•浦东新区月考）我们已经学过完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如2＝（）2，3＝（）2，7＝（）2，0＝02，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：
例：求3﹣2的算术平方根．
解：3﹣2，∴3﹣2﹣1．
你看明白了吗？请根据上面的方法化简：
（1）
（2）
（3）．
24．（2020春•孟村县期末）观察下列各式，﹣，，，…
（1）化简以上各式，并计算出结果；
（2）以上各式的结果存在一定的规律，请按规律写出第5个式子及结果
（3）用含n（n≥1的整数）的式子写出第n个式子及结果，并给出证明的过程．
25．（2020春•泗水县期末）阅读下面的解答过程，然后作答：
有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2＝a且mn＝，则a+2可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得＝m+n，化简：
例如：∵5+2＝3+2+2＝（）2+（）2+2＝（+）2．
∴＝＝+．
请你仿照上例将下列各式化简：
（1）；
（2）．
26．（2019秋•峨眉山市月考）计算：
（1）2（4﹣3+2）；
（2）+﹣（﹣π）0+3﹣2
（3）若a＝+1，b＝﹣1，求a2b+ab2的值．
（4）已知a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简：﹣|a+b|++|b+c|
27．（2019•随县模拟）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ ，b＝ ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： + ＝（ + ）2；
（3）若a+6＝（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值？
28．（2019春•宁波期中）先阅读下面的解题过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，即，，那么便有：．
根据上述方法化简：
（1）．
（2）．
29．（2018春•常州期末）阅读材料：像（+）（﹣）＝3、•＝a（a≥0）、（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．
在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如：；＝．
解答下列问题：
（1）3﹣与 互为有理化因式，将分母有理化得 ；
（2）计算：；
（3）已知有理数a、b满足，求a、b的值．
30．（2017春•江津区校级月考）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+2＝（1+）2，善于思考的小明进行了以下探索：
设x+y＝（a+b）2（其中x、y、a、b均为整数），则有x+y＝a2+2b2+2ab，
∴x＝a2+2b2，y＝2ab，这样小明就找到了一种把类似x+y的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当x、y、a、b均为正整数时，若x+y＝（a+b）2，用含a、b的式子分别表示x、y，得x＝ ，y＝ ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数x、y、a、b填空： + ＝（ + ）2；
（3）若x+8＝（a+b）2，且x、a、b均为正整数，求x的值．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．（2021•荆门）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣x3）2＝x5 B．＝x
C．（﹣x）2+x＝x3 D．（﹣1+x）2＝x2﹣2x+1
【考点】合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式；二次根式的性质与化简．
【专题】实数；运算能力．
【分析】根据有理数乘方，二次根式化简及整式乘法分别计算求解．
【解答】解：A．（﹣x3）2＝x6，错误，不满足题意．
B.＝|x|，错误，不满足题意．
C．（﹣x）2+x＝x2+x，错误，不满足题意．
D．（﹣1+x）2＝x2﹣2x+1，正确，满足题意．
故选：D．
【点评】本题考查实数的运算，解题关键是熟练掌握实数运算的方法．
2．（2021春•海淀区校级期末）下列各组中互为有理化因式的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【考点】分母有理化．
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据有理化因式的意义，结合各个选项的两个代数式求积后作出判断即可．
【解答】解：A．（+）•（﹣﹣）＝﹣（+）2，因此+和﹣﹣不是有理化因式，故选项A不符合题意；
B．（2﹣）•（﹣2）＝﹣（2﹣）2，所以2﹣和﹣2不是有理化因式，因此选项B不符合题意；
C．（a+）（﹣a）＝（）2﹣（a）2＝3﹣2a2，所以a+和﹣a是有理化因式，因此选项C符合题意；
D．•＝a，因此．和不是有理化因式，所以选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查分母有理化，正确判断有理化因式是正确解答的前提．
3．（2021春•龙口市期中）若二次根式有意义，且关于x的分式方程+2＝有正数解，则符合条件的整数m的和是（ ）
A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4
【考点】二次根式有意义的条件；分式方程的解．
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据二次根式 有意义，可得m≤2，解出关于x的分式方程 +2＝的解为x＝，解为正数解，进而确定m的取值范围，注意增根时m的值除外，再根据m为整数，确定m的所有可能的整数值，求和即可．
【解答】解：去分母得，﹣m+2（x﹣1）＝3，
解得，x＝，
∵关于x的分式方程+2＝有正数解，
∴＞0，
∴m＞﹣5，
又∵x＝1是增根，当x＝1时，＝1，即m＝﹣3
∴m≠﹣3，
∵有意义，
∴2﹣m≥0，
∴m≤2，
因此﹣5＜m≤2且m≠﹣3，
∵m为整数，
∴m可以为﹣4，﹣2，﹣1，0，1，2，其和为﹣4，
故选：D．
【点评】考查二次根式的意义、分式方程的解法，以及分式方程产生增根的条件等知识，理解正数解，整数m的意义是正确解答的关键．
4．（2021春•龙口市期中）下列计算中，正确的是（ ）
A．+＝
B．（）2020•（）2021＝+
C．＝﹣5
D．2﹣2＝
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据同类二次根式的概念、二次根式的运算法则和性质逐一判断即可．
【解答】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
B．（）2020•（）2021＝[（）（）]2020•（+）＝（﹣1）2020•（+）＝+，此选项正确；
C．＝|﹣5|＝5，此选项错误；
D．2与2不是同类二次根式，此选项错误；
故选：B．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
5．（2020春•德阳期末）已知：a+b＝﹣5，ab＝1，则+的值为（ ）
A．5 B．﹣5 C．25 D．5或﹣5
【考点】二次根式的化简求值．
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】先把+进行化简，再把a+b＝﹣5，ab＝1代入，即可求出答案．
【解答】解：∵a+b＝﹣5，ab＝1，
∴a＜0，b＜0，
+＝﹣﹣＝﹣，
又∵a+b＝﹣5，ab＝1，
∴原式＝﹣＝5；
故选：A．
【点评】此题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是把要求的式子进行化简，再进行计算．
6．（2019秋•永嘉县期中）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为cm，宽为4cm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（ ）
A．4cm B．16cm C．2（+4）cm D．4（﹣4）cm
【考点】整式的加减；二次根式的应用．
【专题】二次根式；几何直观．
【分析】根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果．
【解答】解：设小长方形卡片的长为x，宽为y，
根据题意得：x+2y＝，
则图②中两块阴影部分周长和是2+2（4﹣2y）+2（4﹣x）＝2+4×4﹣4y﹣2x＝2+16﹣2（x+2y）＝2+16﹣2＝16（cm）．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次根式的应用，整式的加减运算，在解题时要根据题意结合图形得出答案是解题的关键．
7．（2019春•济宁期中）若实数x满足|x﹣3|+＝7，化简2|x+4|﹣的结果是（ ）
A．4x+2 B．﹣4x﹣2 C．﹣2 D．2
【考点】二次根式的性质与化简．
【专题】二次根式．
【分析】根据x的取值﹣4≤x≤3以及二次根式的性质，化简绝对值即可得到结果．
【解答】解：∵|x﹣3|+＝7，
∴|x﹣3|+|x+4|＝7，
∴﹣4≤x≤3，
∴2|x+4|﹣
＝2（x+4）﹣|2x﹣6|
＝2（x+4）﹣（6﹣2x）
＝4x+2，
故选：A．
【点评】此题考查二次根式和绝对值问题，此题难点是由绝对值和二次根式的化简求得x的取值范围，要求对绝对值的代数定义和二次根式的性质灵活掌握．
8．（2018春•涿州市期末）阅读下面的文字后，回答问题：
小强和小芳解答题目：先化简下式，再求值：，其中a＝9时，得出了不同的答案．
小强的解答是：原式＝；
小芳的解答是：原式＝．
请你判断，解答正确的是（ ）
A．小强 B．小芳
C．小强和小芳 D．小强与小芳均错误
【考点】二次根式的化简求值．
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据二次根式的性质：＝|a|，可得答案．
【解答】解：原式＝a+＝a+|1﹣a|＝a+（a﹣1）＝2a﹣1＝2×9﹣1＝17,
∴小芳的解答正确，
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，熟记二次根式的性质是解题关键．
9．（2020秋•崇川区校级月考）若x2+y2＝1，则++的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】二次根式的化简求值．
【专题】二次根式．
【分析】先根据x2+y2＝1，可得﹣1≤x≤1，﹣1≤y≤1，再根据二次根式有意义的条件得到x＝﹣1，进一步求出y＝0，再代入计算即可求解．
【解答】解：∵x2+y2＝1，
∴﹣1≤x≤1，﹣1≤y≤1，
∵＝＝，
x+1≥0，y﹣2＜0，（x+1）（y﹣2）≥0，
∴x+1＝0，
∴x＝﹣1，
∴y＝0，
∴++
＝2+1+0
＝3．
故选：D．
【点评】考查了二次根式的化简求值，关键去求出x、y的取值范围，根据二次根式有意义的条件得到x＝﹣1．
10．（2019•随州）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：＝＝7+4，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于﹣，设x＝﹣，易知＞，故x＞0，由x2＝（﹣）2＝3++3﹣﹣2＝2，解得x＝，即﹣＝．根据以上方法，化简+﹣后的结果为（ ）
A．5+3 B．5+ C．5﹣ D．5﹣3
【考点】无理数；平方差公式；二次根式的性质与化简；分母有理化．
【专题】二次根式．
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：设x＝﹣，且＞，
∴x＜0，
∴x2＝6﹣3﹣2+6+3，
∴x2＝12﹣2×3＝6，
∴x＝，
∵＝5﹣2，
∴原式＝5﹣2﹣
＝5﹣3，
故选：D．
【点评】本题考查二次根式的运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于较难题型．
二．填空题（共10小题）
11．（2021春•海淀区校级期末）已知x＝﹣3，y＝，则＝ 3 ．
【考点】二次根式的性质与化简．
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】把x与y的值代入并化简求解．
【解答】解：＝＝＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查二次根式的性质与化简，解题关键是熟练掌握二次根式的性质与化简方法．
12．（2021春•江夏区校级月考）已知实数a，b满足|2a﹣3|+|b+2|+＝1，则a+b等于 0 ．
【考点】二次根式的性质与化简．
【专题】计算题；二次根式；运算能力．
【分析】根据≥0，b2≥0，可得a≥2，进而可得a和b的值．
【解答】解：∵≥0，b2≥0，
∴a﹣2≥0，
∴a≥2，
∴|2a﹣3|≥1，|b+2|≥0，≥0，
∵|2a﹣3|+|b+2|+＝1，
∴|2a﹣3|＝1，|b+2|＝0，
∴a＝2，b＝﹣2，
∴a+b＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是掌握二次根式的性质．
13．（2021春•江油市月考）已知a，b都是实数，b＝+，则ab的值为 4 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得，
，
解得：a＝，
则b＝﹣2，
故ab的值为（）﹣2＝4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出a，b的值是解题关键．
14．（2020秋•宜阳县期中）已知＝z，＝3，则多项式2x2z﹣4xyz+2zy2的值为 486 ．
【考点】二次根式的化简求值．
【专题】整式；二次根式；运算能力．
【分析】先根据算术平方根的定义求出z＝3，x﹣y＝9，再把2x2z﹣4xyz+2zy2分解因式，最后求出答案即可．
【解答】解：∵＝z，＝3，
∴z＝3，x﹣y＝9，
∴2x2z﹣4xyz+2zy2
＝2z（x2﹣2xy+y2）
＝2z（x﹣y）2
＝2×3×92
＝486，
故答案为：486．
【点评】本题考查了算术平方根，分解因式和二次根式的化简求值等知识点，灵活运用知识点进行计算和变形是解此题的关键．
15．（2019秋•温江区校级期末）已知a+b＝3，ab＝2，则的值为 ．
【考点】二次根式的化简求值．
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据a+b＝3，ab＝2，可以判断出a＞0，b＞0，将所求数字化简，然后a+b＝3，ab＝2代入即可解答本题．
【解答】解：
＝
＝
＝，
∵a+b＝3，ab＝2，
∴a＞0，b＞0，
∴原式＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．
16．（2020•浙江自主招生）化简＝ ．
【考点】分母有理化；二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】先利用完全平方公式得到4﹣2＝（﹣1）2，则原式可化为简为，再利用2+＝，则原式可化简为，然后就计算二次根式的除法运算．
【解答】解：∵4﹣2＝（﹣1）2，
∴原式＝＝，
∵2+＝＝，
∴原式＝
＝
＝．
故答案为．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
17．（2018秋•金牛区校级期中）若m＝，则m3﹣m2﹣2017m+2015＝ 4030 ．
【考点】二次根式的化简求值．
【专题】二次根式．
【分析】由于2015＝2016﹣1，可利用平方差公式把m化简，然后代入多项式求值．
【解答】解：∵m＝＝
＝
＝，
∴原式＝m2（m﹣1）﹣2017m+2015
＝（+1）2×﹣2017（+1）+2015
＝（2017+2）﹣2017﹣2017+2015
＝2017+2×2016﹣2017﹣2017+2015
＝4032﹣2
＝4030
【点评】本题考查了平方差公式、二次根式的化简求值．解决本题的关键是利用平方差公式化简m．
18．（2019秋•港南区期末）若|2017﹣m|+＝m，则m﹣20172＝ 2018 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】二次根式．
【分析】根据二次根式的性质求出m≥2018，再化简绝对值，根据平方运算，可得答案．
【解答】解：∵|2017﹣m|+＝m，
∴m﹣2018≥0，
m≥2018，
由题意，得m﹣2017+＝m．
化简，得＝2017，
平方，得m﹣2018＝20172，
m﹣20172＝2018．
故答案为：2018．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质化简绝对值是解题关键．
19．（2019秋•嘉定区期中）已知a，b是实数，且（+a）（+b）＝1，问a，b之间有怎样的关系： a+b＝0 ．
【考点】二次根式的化简求值．
【专题】二次根式．
【分析】等式的两边分别乘以（﹣a）、（﹣b）得两个等式，两式相加可得a、b间关系．
【解答】解：∵（+a）（+b）＝1，
等式的两边都乘以（﹣a），得+b＝﹣a①，
等式的两边都乘以（﹣b）得+a＝﹣b②，
①+②，得+b++a＝﹣b+﹣a，
整理，得2a+2b＝0
所以a+b＝0
故答案为：a+b＝0
【点评】本题考查了二次根式的乘法和加减．解决本题的关键是发现（+a）与（﹣a）的关系，找到解决问题的办法．
20．（2014秋•资中县月考）实数a、b满足+＝10﹣|b+4|﹣|b﹣2|，则a2+b2的最大值为 41 ．
【考点】二次根式的性质与化简．
【专题】计算题．
【分析】首先化简+＝10﹣|b+4|﹣|b﹣2|，可得：|a﹣1|+|a﹣5|+|b+4|+|b﹣2|＝10；然后根据|a﹣1|+|a﹣5|≥4，|b+4|+|b﹣2|≥6，判断出a、b的取值范围，求出a2+b2的最大值是多少即可．
【解答】解：∵+＝10﹣|b+4|﹣|b﹣2|，
∴|a﹣1|+|a﹣5|＝10﹣|b+4|﹣|b﹣2|，
∴|a﹣1|+|a﹣5|+|b+4|+|b﹣2|＝10，
∵|a﹣1|+|a﹣5|≥4，|b+4|+|b﹣2|≥6，
∴|a﹣1|+|a﹣5|＝4，|b+4|+|b﹣2|＝6，
∴1≤a≤5，﹣4≤b≤2，
∴a2+b2的最大值为：
52+（﹣4）2＝41．
故答案为：41．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质和化简，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
三．解答题（共10小题）
21．（2020秋•商河县期中）阅读下面计算过程：﹣1；.﹣2
请解决下列问题
（1）根据上面的规律，请直接写出＝ ﹣ ．
（2）利用上面的解法，请化简：．
（3）你能根据上面的知识化简吗？若能，请写出化简过程．
【考点】分母有理化．
【专题】阅读型．
【分析】（1）利用前面的计算结果可得到两相邻非负整数的算术平方根的和的倒数等于它们的算术平方根的差；
（2）利用（1）中的规律易得原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣+﹣，然后合并即可；
（3）把分子分母都乘以+，然后利用平方差公式计算．
【解答】解：（1）＝＝﹣．
（2）
＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣+﹣
＝﹣1
＝10﹣1
＝9；
（3）
＝
＝+．
故答案为：+．
【点评】本题考查了分母有理化：分母有理化是指把分母中的根号化去；分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
22．（2020•唐山二模）阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：＝＝
＝＝
＝＝＝﹣1
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（1）化简
（2）化简．
（3）化简：+++…+．
【考点】分母有理化．
【专题】计算题．
【分析】（1）分子分母分别乘即可；
（2）分子分母分别乘﹣即可；
（3）分母有理化后，合并同类二次根式即可；
【解答】解：（1）＝＝
（2）化简＝＝﹣
（3）化简：+++…+
＝（﹣1+﹣+﹣+…+﹣）
＝（﹣1）
【点评】本题考查二次根式的化简、分母有理化等知识，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法，属于中考常考题型．
23．（2020秋•浦东新区月考）我们已经学过完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如2＝（）2，3＝（）2，7＝（）2，0＝02，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：
例：求3﹣2的算术平方根．
解：3﹣2，∴3﹣2﹣1．
你看明白了吗？请根据上面的方法化简：
（1）
（2）
（3）．
【考点】完全平方公式；二次根式的混合运算．
【专题】计算题；二次根式．
【分析】（1）将3分成2+1，利用完全平方公式即可求出结论；
（2）结合（1）将原式变形为，将18分成16+2，利用完全平方公式即可求出结论；
（3）将3分成2+1、5分成2+3、7分成3+4、9分成4+5、11分成5+6，利用完全平方公式结合二次根式的加、减法，即可求出结论．
【解答】解：（1）＝＝＝＝+1；
（2）＝＝＝＝＝＝4+；
（3）原式＝++++，
＝++++，
＝++++，
＝﹣1+﹣+2﹣+﹣2+﹣，
＝﹣1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式，读懂题意，将整数分成两个合适的整数相加是解题的关键．
24．（2020春•孟村县期末）观察下列各式，﹣，，，…
（1）化简以上各式，并计算出结果；
（2）以上各式的结果存在一定的规律，请按规律写出第5个式子及结果
（3）用含n（n≥1的整数）的式子写出第n个式子及结果，并给出证明的过程．
【考点】分母有理化．
【专题】规律型．
【分析】（1）分别把每个式子的第二项进行分母有理化，观察结果；
（2）根据（1）的结果写出第5个式子及结果；
（3）根据（1）的规律可得﹣，然后分母有理化，求出结果即可．
【解答】解：（1）﹣＝﹣＝﹣＝﹣1，
＝﹣＝﹣2，
＝＝﹣3，
＝﹣＝﹣4，
（2）﹣＝﹣5，
（3）﹣＝﹣＝﹣n．
【点评】本题主要考查分母有理化的知识点，解答本题的关键是找出上述各式的变化规律，此题难度一般．
25．（2020春•泗水县期末）阅读下面的解答过程，然后作答：
有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2＝a且mn＝，则a+2可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得＝m+n，化简：
例如：∵5+2＝3+2+2＝（）2+（）2+2＝（+）2．
∴＝＝+．
请你仿照上例将下列各式化简：
（1）；
（2）．
【考点】二次根式的性质与化简．
【分析】（1）利用完全平方公式把4+2化为（1+）2，然后利用二次根式的性质化简即可．
（2）利用完全平方公式把7﹣2化为（﹣）2然后利用二次根式的性质化简即可．
【解答】解：（1）∵4+2＝1+3+2＝12++2＝（1+）2，
∴＝＝1+；
（2）＝＝＝﹣．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是熟记掌握完全平方公式．
26．（2019秋•峨眉山市月考）计算：
（1）2（4﹣3+2）；
（2）+﹣（﹣π）0+3﹣2
（3）若a＝+1，b＝﹣1，求a2b+ab2的值．
（4）已知a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简：﹣|a+b|++|b+c|
【考点】实数与数轴；零指数幂；负整数指数幂；分母有理化；二次根式的化简求值．
【专题】计算题；整体思想；应用意识．
【分析】（1）根据二次根式的混合运算顺序进行计算即可求解；
（2）利用分母有理化、零指数幂、负整数指数幂的知识即可求解；
（3）根据二次根式混合运算知识和平方差公式即可求解；
（4）根据数轴和绝对值的意义确定每个式子的取值进而化简求解．
【解答】解：（1）原式＝2（8﹣9+2）
＝2×
＝10；
（2）原式＝+1+3﹣1+
＝4；
（3）∵a＝+1，b＝﹣1，
∴a+b＝2，ab＝4，
∴a2b+ab2＝ab（a+b）
＝4×2
＝8；
（4）由图可知：a＜0，a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＜0．
∴﹣|a+b|++|b+c|
＝﹣a+a+b+c﹣a﹣b﹣c
＝﹣a．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值、实数与数轴、零指数幂、负整数指数幂、分母有理化，解决本题的关键是对基础知识的掌握．
27．（2019•随县模拟）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ m2+3n2 ，b＝ 2mn ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： 7 + 4 ＝（ 2 + 1 ）2；
（3）若a+6＝（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值？
【考点】完全平方式；二次根式的混合运算．
【专题】计算题．
【分析】（1）利用完全平方公式展开得到（m+n）2＝m2+3n2+2mn，从而可用m、n表示a、b；
（2）先取m＝2，n＝1，则计算对应的a、b的值，然后填空即可；
（3）利用a＝m2+3n2，2mn＝6和a、m、n均为正整数可先确定m、n的值，然后计算对应的a的值．
【解答】解：（1）（m+n）2＝m2+3n2+2mn，
∴a＝m2+3n2，b＝2mn；
（2）m＝2，n＝1，则a＝7，b＝4，
∴7+4＝（2+）2，
（3）a＝m2+3n2，2mn＝6，
∵a、m、n均为正整数，
∴m＝3，n＝1或m＝1，n＝3，
当m＝3，n＝1时，a＝9+3＝12，
当m＝1，n＝3时，a＝1+3×9＝28，
∴a的值为12或28．
故答案为m2+3n2，2mn；7，4，2，1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
28．（2019春•宁波期中）先阅读下面的解题过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，即，，那么便有：．
根据上述方法化简：
（1）．
（2）．
【考点】二次根式的性质与化简．
【专题】二次根式．
【分析】（1）直接利用完全平方公式化简求出答案；
（2）直接利用完全平方公式化简求出答案．
【解答】解：（1）＝＝；
（2）＝＝2+．
【点评】此题主要考查了二次根式的化简，正确应用完全平方公式是解题关键．
29．（2018春•常州期末）阅读材料：像（+）（﹣）＝3、•＝a（a≥0）、（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．
在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如：；＝．
解答下列问题：
（1）3﹣与 3+ 互为有理化因式，将分母有理化得 ；
（2）计算：；
（3）已知有理数a、b满足，求a、b的值．
【考点】分母有理化；二次根式的混合运算．
【专题】阅读型．
【分析】（1）根据题意可以得到所求式子的分母有理化因式，并将题目中的二次根式化简；
（2）根据分母有理化的方法可以化简题目中的式子；
（3）根据题意，对所求式子变形即可求得a、b的值．
【解答】解：（1）3﹣与3+互为有理化因式，＝，
故答案为：3，；
（2）
＝﹣2
＝2﹣；
（3）∵，
∴（﹣1）a+b＝﹣1+2，
∴﹣a+（a+）＝﹣1+2，
∴﹣a＝﹣1，a+＝2，
解得，a＝1，b＝2．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式的混合运算的计算方法．
30．（2017春•江津区校级月考）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+2＝（1+）2，善于思考的小明进行了以下探索：
设x+y＝（a+b）2（其中x、y、a、b均为整数），则有x+y＝a2+2b2+2ab，
∴x＝a2+2b2，y＝2ab，这样小明就找到了一种把类似x+y的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当x、y、a、b均为正整数时，若x+y＝（a+b）2，用含a、b的式子分别表示x、y，得x＝ a2+3b2 ，y＝ 2ab ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数x、y、a、b填空： 4 + 2 ＝（ 1 + 1 ）2；
（3）若x+8＝（a+b）2，且x、a、b均为正整数，求x的值．
【考点】完全平方式；二次根式的混合运算．
【专题】计算题．
【分析】（1）利用完全平方公式把（a+b）2展开后合并即可得到x、y的值；
（2）先取a、b的值，再计算x和y的值；
（3）把右边展开得到a2+3b2＝x，2ab＝8，再利用整除性求出a、b，然后计算x、y的值．
【解答】解：（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2＝（a2+3b2）+2ab，
所以x＝a2+3b2，y＝2ab；
（2）x、y、a、b的值分别取4，2，1，1；
故答案为a2+3b2，2ab；4，2，1，1；
（3）由题意得 a2+3b2＝x，2ab＝8，
∵ab＝4，且a、b为正整数，
∴a＝2，b＝2或a＝1，b＝4或a＝4，b＝1，
∴当a＝2，b＝2时，x＝22+3×22＝16
当a＝1，b＝4时，x＝12+3×42＝49
当a＝4，b＝1时，x＝42+3×12＝19．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
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