初中数学北师大版八年级下册第一章 三角形的证明综合与测试课堂检测

这是一份初中数学北师大版八年级下册第一章 三角形的证明综合与测试课堂检测，共49页。试卷主要包含了平方单位等内容，欢迎下载使用。
《三角形的证明》综合练习题
一．选择题（共10小题）
1．（2021春•江都区校级期末）等腰三角形的面积为24平方厘米，腰长8厘米．在底边上有一个动点P，则P到两腰的距离之和为（　　）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
2．（2021•南山区校级二模）下列命题中真命题是（　　）
A．的算术平方根是3
B．数据a+2，a，a+3，a+2，a+3与2，0，3，2，3的方差相同
C．正六边形的内角和为360°
D．对角线相等的四边形是矩形
3．（2021春•武汉期中）已知等边三角形的边长为4，则其面积为（　　）平方单位．
A．4 B．8 C．12 D．16
4．（2021春•沙坪坝区期中）在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：5：3，则△ABC的形状是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
5．（2021•坪山区二模）如图，在△ABC中，∠B＝90°，C是BD上一点，BC＝10，∠ADB＝45°，∠ACB＝60°，则CD长为（　　）

A．10﹣ B．10﹣10 C．10﹣3 D．10﹣10
6．（2021春•汉寿县期中）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，垂足是D且∠ADB＝∠C，点P是边BC上的一动点，则DP的最小值是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2021•滨湖区一模）如图所示，在等边三角形ABC中，BC＝6，E是中线AD上一点，现有一动点P沿着折线A﹣E﹣C运动，在AE上的速度是4单位/秒，在CE上的速度是2单位/秒，则点P从A运动到C所用时间最少时，AE长为（　　）

A．3 B． C． D．2
8．（2021•蜀山区一模）如图，在△ABC中，AB＝AD，E为BD中点，连接AE，∠BAD＝∠CAE，若BD＝CD＝6，则AB的长为（　　）

A．6 B．3 C． D．
9．（2020秋•承德县期末）如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则B6B7的边长为（　　）

A．6 B．12 C．32 D．64
10．（2021•安徽模拟）如图，等边△ABC中，AB＝10，E为AC中点，F，G为AB边上动点，且FG＝5，则EF+CG的最小值是（　　）

A．5 B．5 C．5+5 D．15
二．填空题（共10小题）
11．（2021•天心区一模）如图，点O是三角形ABC内的一点，OA＝OB＝OC＝4，∠BAC＝45°，已知S△AOC﹣S△AOB＝2，则∠BOC＝　 　，S△ABC＝　 　．

12．（2020秋•江岸区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，D为BC上一动点，EF垂直平分AD分别交AC于E、交AB于F，则BF的最大值为　 　．

13．（2021•巩义市模拟）点P是等边三角形ABC内部一点，过点P作三边的垂线，分别记为PH1，PH2，PH3，设△ABC的边长为a．若PH1＝1，PH2＝3，PH3＝5，则a＝　 　；若a＝2，则PH1+PH2+PH3＝　 　．
14．（2021春•金牛区校级期中）已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC的数量关系是：∠BOC＝　 　．

15．（2020•皇姑区校级模拟）在平面直角坐标系中，A（0，3）、B（，0）、Q（0，），C是x轴上一点，以AC为边向右侧作正△ACD，P为AD的中点．当C从O运动到B点时，PQ的最小值为　 　．

16．（2020春•新都区期末）边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点顺次连接，又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图）…，按此方式依次操作，则第7个正六边形的边长是　 　．

17．（2019•雁塔区校级四模）如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，CD⊥BD于D，AC＝5，边BC与AB的长度差为2，当△ADC面积最大时，边AD的长为　 　．

18．（2021•长沙模拟）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，∠ACB＝3∠B，CE⊥AD，AC＝8，BC＝BD，则CE＝　 　．

19．（2018秋•江岸区期末）如图，已知∠AOB＝α（0°＜α＜60°），射线OA上一点M，以OM为边在OA下方作等边△OMN，点P为射线OB上一点，若∠MNP＝α，则∠OMP＝　 　．

20．（2019•鄞州区一模）如图，△ABC中，AB＝AC＝15，∠BAC＝120°，小明要将该三角形分割成两个直角三角形和两个等腰三角形，他想出了如下方案：在AB上取点D，过点D画DE∥AC交BC于点E，连接AE，在AC上取合适的点F，连接EF可得到4个符合条件的三角形，则满足条件的AF长是　 　．

三．解答题（共10小题）
21．（2021•蔡甸区二模）如图，△ABC中，点D在BC边上，且∠ADB＝90°∠CAD．
（1）求证：AD＝AC；
（2）点E在AB边上，连接CE交AD于点F，且∠CFD＝∠CAB，AE＝BD，
①求∠ABC的度数；
②若AB＝8，DF＝2AF，直接写出EF的长．

22．（2021春•中原区校级月考）如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分边AC和边BC，交边AB于M，N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若AB＝3cm，求△CMN的周长．
（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．

23．（2020秋•潮州期末）如图，在等边三角形ABC中，D是AB上的一点，E是CB延长线上一点，连接CD、DE，已知∠EDB＝∠ACD．
（1）求证：△DEC是等腰三角形．
（2）当∠BDC＝5∠EDB，EC＝8时，求△EDC的面积．

24．（2021•西城区校级模拟）（1）小My同学在网络直播课中学习了勾股定理，他想把这一知识应用在等边三角形中：边长为a的等边三角形面积是　 　（用含a的代数式表示）；
（2）小My同学进一步思考：是否可以将正方形剪拼成一个等边三角形（不重叠、无缝隙）？
①如果将一个边长为2的正方形纸片剪拼等边三角形，那么该三角形边长的平方是　 　；
②小My同学按下图切割方法将正方形ABCD剪拼成一个等边三角形EFG：M、N分别为AB、CD边上的中点，P、Q是边BC、AD上两点，G为MQ上一点，且∠MGP＝∠PGN＝∠NGQ＝60°．
请补全图形，画出拼成正三角形的各部分分割线，并标号；
③正方形ABCD的边长为2，设BP＝x，则x2＝　 　．

25．（2020秋•五常市期末）如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形．

26．（2020秋•临沭县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DE＝EB，BD＝BC，试求∠A的度数．

27．（2020春•东明县期末）如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接DF，交AC于点E，连接BE，∠A＝∠ABE．
（1）求证：DF是线段AB的垂直平分线；
（2）当AB＝AC，∠A＝46°时，求∠EBC及∠F的度数．

28．（2019秋•巩义市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝12cm，若点P从点B出发以2cm/s的速度向点A运动，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，设P、Q分别从点B、A同时出发，运动的时间为ts．
（1）用含t的式子表示线段AP、AQ的长；
（2）当t为何值时，△APQ是以PQ为底边的等腰三角形？
（3）当t为何值时，PQ∥BC？

29．（2020秋•朝阳期中）在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD．
（1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝　 　；
（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）；
（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，那么S△ABC＝　 　．

30．（2020春•揭西县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E．
（1）求证：AE＝2CE；
（2）连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．


























参考答案
一．选择题（共10小题）
1．（2021春•江都区校级期末）等腰三角形的面积为24平方厘米，腰长8厘米．在底边上有一个动点P，则P到两腰的距离之和为（　　）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力．
【分析】连接AP，由三角形的面积公式证得S△ABP+S△ACP＝S△ABC，根据AB＝AC即可求出PE+PF．
【解答】解：已知：△ABC中，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，AB＝AC＝8厘米，△ABC的面积为24平方厘米，P是底边BC上一个动点．
求：PE+PF的值．
解：连接AP，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴S△ABP＝AB•PE，S△ACP＝AC•PF，
∵S△ABP+S△ACP＝S△ABC,S△ABC＝24，
∴AB•PE+AC•PF＝24，
∴AB(PE+PF)＝24，
∴PE+PF＝＝6cm，
故选：B．

【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的面积公式，由三角形的面积公式证得S△ABP+S△ACP＝S△ABC是解决问题的关键．
2．（2021•南山区校级二模）下列命题中真命题是（　　）
A．的算术平方根是3
B．数据a+2，a，a+3，a+2，a+3与2，0，3，2，3的方差相同
C．正六边形的内角和为360°
D．对角线相等的四边形是矩形
【考点】命题与定理．
【专题】特定专题；应用意识．
【分析】根据算术平方根，方差的定义，多边形内角和公式，矩形的判定一一判断即可．
【解答】解：A、的算术平方根是，本选项错误，不符合题意．
B、数据a+2，a，a+3，a+2，a+3与2，0，3，2，3的方差相同，正确，本选项符合题意．
C、正六边形的内角和为360°，错误，应该是720°，本选项不符合题意．
D、对角线相等的四边形是矩形，错误，应该是对角线相等的平行四边形是矩形，本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查算术平方根，方差的定义，矩形的判定，多边形内角和等知识，解题的关键是熟练掌握算术平方根的定义，方差的定义，掌握矩形的判定方法，属于中考常考题型．
3．（2021春•武汉期中）已知等边三角形的边长为4，则其面积为（　　）平方单位．
A．4 B．8 C．12 D．16
【考点】等边三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】作AD⊥BC，垂足为D，由等边三角形的性质可得BD＝2，利用勾股定理可求解AD的长，再利用三角形的面积公式可求解．
【解答】解：如图，等边三角形ABC，AB＝BC＝4，
作AD⊥BC，垂足为D，

∴BD＝CD＝2，
在Rt△ABD中，AD＝，
∴S△ABC＝BC•AD
＝×4×
＝，
故选：A．
【点评】本题主要考查等边三角形的性质，勾股定理，求解等边三角形地边上的高AD的长是解题的关键．
4．（2021春•沙坪坝区期中）在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：5：3，则△ABC的形状是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【考点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定；等边三角形的判定．
【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【分析】设∠A＝2x°，∠B＝5x°，∠C＝3x°，根据∠A+∠B+∠C＝180°得出2x+5x+3x＝180，求出x，再求出答案即可．
【解答】解：设∠A＝2x°，∠B＝5x°，∠C＝3x°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2x+5x+3x＝180，
解得：x＝18，
∴∠B＝5x°＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形的判定，等腰三角形的判定等知识点，注意：有一个角的度数是90°的三角形是直角三角形．
5．（2021•坪山区二模）如图，在△ABC中，∠B＝90°，C是BD上一点，BC＝10，∠ADB＝45°，∠ACB＝60°，则CD长为（　　）

A．10﹣ B．10﹣10 C．10﹣3 D．10﹣10
【考点】含30度角的直角三角形；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力．
【分析】根据含30°直角三角形的性质求出AC，由勾股定理求出AB，根据等腰直角三角形的性质得到AB＝BC，进而求得CD．
【解答】解：∵在△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝60°，
∴∠CAB＝30°，
∴BC＝AC，
∴AC＝2BC＝20，
∴AB＝＝10，
∵∠ADB＝45°，
∴∠DAB＝45°，
∴∠DAB＝∠ADB，
∴BD＝AB＝10，
∴CD＝BD﹣BC＝10﹣10，
故选：B．
【点评】此题考查本题主要考查了含30°直角三角形的性质、勾股定理和等腰直角三角形性质等知识，熟练掌握含30°直角三角形的性质是解决问题的关键．
6．（2021春•汉寿县期中）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，垂足是D且∠ADB＝∠C，点P是边BC上的一动点，则DP的最小值是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】角平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】根据等角的余角相等求出∠ABD＝∠CBD，再根据垂线段最短可知DP⊥BC时DP最小，然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DP＝AD．
【解答】解：∵BD⊥CD，∠A＝90°
∴∠ABD+∠ADB＝90°，
∠CBD+∠C＝90°，
∴∠ABD＝∠CBD，
由垂线段最短得，DP⊥BC时DP最小，
此时，DP＝AD＝3．
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质并判断出DP最小时的位置是解题的关键．
7．（2021•滨湖区一模）如图所示，在等边三角形ABC中，BC＝6，E是中线AD上一点，现有一动点P沿着折线A﹣E﹣C运动，在AE上的速度是4单位/秒，在CE上的速度是2单位/秒，则点P从A运动到C所用时间最少时，AE长为（　　）

A．3 B． C． D．2
【考点】等边三角形的性质．
【专题】三角形；推理能力．
【分析】作CM⊥AB于点M，求出点P运动时间为（），则CE+DM最短时满足题意．
【解答】解：作CM⊥AB于点M，点P在A﹣E﹣C上运动时间为+，＝（），

∵∠BAD＝30°，
∴EM＝AE，
∴（）＝（EM+CE），
当C，E，M共线时，点P运动时间最短，
∴CM为三角形中线，点E为重心，
∵∠CAD＝30°，CD＝BC＝3，
∴AD＝CD＝3，
AE＝AD＝2．
故选：D．
【点评】本题考等边三角形性质，解题关键是掌握三角形重心将中线分成1：2两部分．
8．（2021•蜀山区一模）如图，在△ABC中，AB＝AD，E为BD中点，连接AE，∠BAD＝∠CAE，若BD＝CD＝6，则AB的长为（　　）

A．6 B．3 C． D．
【考点】角平分线的性质；等腰三角形的性质．
【专题】三角形；图形的相似；空间观念．
【分析】过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线的性质可得DE＝DF，再由BD＝CD＝6得到DC和DF的长，利用三角形相似得出AE，最后根据勾股定理可得AB的长．
【解答】解：过点D作DF⊥AC于F，如图：

∵AB＝AD，E为BD中点，
∴AE⊥BD，∠BAE＝∠DAE．
∵BD＝CD＝6，
∴BE＝DE＝3，CD＝4．
∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAE＝∠DAE＝∠DAF，
∴DF＝DE＝3，FC＝＝．
∵∠CFD＝∠AEC＝90°，∠C＝∠C，
∴△CFD∽△CEA，即，AE＝3．
∴AB＝＝＝6．
故选：A．
【点评】本题考查角平分线的性质和等腰三角形的性质，根据角平分线的性质做出辅助线是解题关键．
9．（2020秋•承德县期末）如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则B6B7的边长为（　　）

A．6 B．12 C．32 D．64
【考点】等边三角形的性质；勾股定理．
【专题】常规题型．
【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2＝2B1A2，得出A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2…进而得到A7B7＝26B1A2＝26＝64，B6A7＝＝32，再根据勾股定理即可解答．
【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，
∴∠2＝120°，
∵∠MON＝30°，
∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
又∵∠3＝60°，
∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵∠MON＝∠1＝30°，
∴OA1＝A1B1＝1，
∴A2B1＝1，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，
∵∠4＝∠12＝60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，
∴A2B2＝2B1A2＝2，B3A3＝2B2A3，
∴A3B3＝4B1A2＝4，
A4B4＝8B1A2＝8，
A5B5＝16B1A2＝16，
以此类推：A7B7＝26B1A2＝26＝64，B6A7＝＝32，△B7B6A7是直角三角形，∠B7B6A7＝90°，
∴B6B7＝＝＝32．
故选：C．

【点评】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出A3B3＝4B1A2，A4B4＝8B1A2，A5B5＝16B1A2进而发现规律是解题关键．
10．（2021•安徽模拟）如图，等边△ABC中，AB＝10，E为AC中点，F，G为AB边上动点，且FG＝5，则EF+CG的最小值是（　　）

A．5 B．5 C．5+5 D．15
【考点】等边三角形的性质；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】作C点关于AB的对称点C′，取BC的中点Q，连接C′Q，交AB于点G，此时CG+EF最小，作C′H⊥BC交BC的延长线于点H，再根据等边三角形的性质和勾股定理可得答案．
【解答】解：如图：

作C点关于AB的对称点C′，
则C'G＝CG，
取BC的中点Q，
连接EQ，GQ，
∵点E是AC的中点，
∴EQ＝AB＝5＝FG，EQ∥AB，
∴四边形EFGQ是平行四边形，
∴EF＝GQ，
∴当点C'，G，Q在同一条线上时，CG+EF最小，
作C′H⊥BC交BC的延长线于点H，
∵BC＝BC′＝10，∠CBC′＝120°，
∴HC′＝5，HB＝5，
∴HQ＝10，
∴C′Q＝＝5，
∴EF+CG的最小值是5．
故选：A．
【点评】本题考查等边三角形的性质，能够利用图形的对称作出辅助线是解题关键．
二．填空题（共10小题）
11．（2021•天心区一模）如图，点O是三角形ABC内的一点，OA＝OB＝OC＝4，∠BAC＝45°，已知S△AOC﹣S△AOB＝2，则∠BOC＝　90°　，S△ABC＝　8+2　．

【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
【专题】三角形；与圆有关的计算；几何直观；推理能力．
【分析】由OA＝OB＝OC＝4可得△ABC是以O为圆心，半径为4的内接三角形，所以∠BOC＝2∠BAC＝90°，
延长AO交BC于点E，作BM⊥AE，CN⊥AE，证明△BOM≌△CON，由S△AOC﹣S△AOB＝2及BM2+CN2＝16可得BM及CN长度，进而求解．
【解答】解：∵OA＝OB＝OC＝4，
∴△ABC是以O为圆心，半径为4的内接三角形，
延长AO交BC于点E，作BM⊥AE，CN⊥AE，

∵∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝90°，
∴BC＝OB＝4，
∵S△AOC﹣S△AOB＝2，
∴AO•CN﹣AO•BM＝2（CN﹣BM）＝2，
∴CN﹣BM＝1．
∵∠BOM+∠CON＝90°，∠BOM+∠OBM＝90°，
∴∠CON＝∠OBM，
又∵∠BMO＝∠CNO＝90°，OB＝OC，
在△BOM和△CON中，

∴△BOM≌△CON（AAS），
∴OM＝CN，
在Rt△BOM和Rt△CON中，由勾股定理得：
BM2+OM2＝ON2+CN2＝16，
即BM2+CN2＝16，
联立方程，
解得BM＝或BM＝（舍）．
∴CN＝BM+1＝．
∴S△AOC+S△AOB＝AO•CN+AO•BM＝2（CN+BM）＝2．
∵S△BOC＝OB•OC＝8，
∴S△ABC＝S△AOC+S△AOB+S△BOC＝8+2．
故答案为：90°，8+2．
【点评】本题考查圆与三角形的综合应用，解题关键是熟练掌握圆与三角形的性质，通过作辅助线求解．
12．（2020秋•江岸区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，D为BC上一动点，EF垂直平分AD分别交AC于E、交AB于F，则BF的最大值为　　．

【考点】线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．
【专题】几何图形；推理能力．
【分析】要使BF最大，则AF需要最小，而AF＝FD，从而通过圆与BC相切来解决问题．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，
∴AB＝2AC＝4，
∵EF垂直平分AD，
∴AF＝DF，
若要使BF最大，则AF需要最小，
∴以F为圆心，AF为半径的圆与BC相切即可，
∴FD⊥BD，
∴AB＝AF+2AF＝4，
∴AF＝，
∴BF的最大值为4﹣＝，

故答案为：．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、30°角所对直角边是斜边的一半以及圆与直线的位置关系，将BF的最大值转化为AF最小是解决本题的关键，属于压轴题．
13．（2021•巩义市模拟）点P是等边三角形ABC内部一点，过点P作三边的垂线，分别记为PH1，PH2，PH3，设△ABC的边长为a．若PH1＝1，PH2＝3，PH3＝5，则a＝　6　；若a＝2，则PH1+PH2+PH3＝　3　．
【考点】等边三角形的性质．
【专题】面积法；等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【分析】三条边上的高已知，利用等面积法列出方程求得a；知道边长，利用等面积法列出方程求出PH1+PH2+PH3的值．
【解答】解：连结PA，PB，PC，设△ABC的BC边上的高为h，则h＝AB•sin60°＝a，
∴S△ABC＝＝×a×a＝a2，
∵S△ABC＝S△ABP+S△BCP+S△ACP，
∴a2＝，
解得a＝6；
当a＝2时，
∵S△ABC＝S△ABP+S△BCP+S△ACP，
∴×（2）2＝×++，
∴PH1+PH2+PH3＝3．
故答案为：6；3．

【点评】本题考查了等边三角形的性质，利用等面积法列出方程是解题的关键．
14．（2021春•金牛区校级期中）已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC的数量关系是：∠BOC＝　4∠BPC﹣360°　．

【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】根据三角形角平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到∠BAC＝2∠BPC﹣180°；再根据三角形垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到∠BOC＝2∠BAC，进而得出∠BOC和∠BPC的数量关系．
【解答】解：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）
＝180°﹣（ ∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠BAC）
＝90°+∠BAC，
即∠BAC＝2∠BPC﹣180°；
如图，连接AO．
∵点O是这个三角形三边垂直平分线的交点，
∴OA＝OB＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB，
∴∠AOB＝180°﹣2∠OAB，∠AOC＝180°﹣2∠OAC，
∴∠BOC＝360°﹣（∠AOB+∠AOC）
＝360°﹣（180°﹣2∠OAB+180°﹣2∠OAC），
＝2∠OAB+2∠OAC
＝2∠BAC
＝2（2∠BPC﹣180°）
＝4∠BPC﹣360°，
故答案为：4∠BPC﹣360°．

【点评】本题考查了三角形的垂直平分线与角平分线，熟练掌握三角形的垂直平分线与角平分线的性质是解题的关键．
15．（2020•皇姑区校级模拟）在平面直角坐标系中，A（0，3）、B（，0）、Q（0，），C是x轴上一点，以AC为边向右侧作正△ACD，P为AD的中点．当C从O运动到B点时，PQ的最小值为　　．

【考点】坐标与图形性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质．
【专题】平面直角坐标系；等腰三角形与直角三角形．
【分析】连接OP，CP，依据O、A、P、C四点共圆，可得∠AOP＝∠ACP＝30°，根据当PQ⊥OP时，PQ最小，即可得到PQ的最小值为OQ．
【解答】解：如图，连接OP，CP，
∵正△ACD中，P为AD的中点，
∴∠AOB＝∠APC＝90°，
∴O、A、P、C四点共圆，
∴∠AOP＝∠ACP＝30°，
∴当PQ⊥OP时，PQ最小，
即PQ的最小值为OQ＝×＝．
故答案为：．

【点评】本题主要考查了等边三角形的性质以及四点共圆，等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
16．（2020春•新都区期末）边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点顺次连接，又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图）…，按此方式依次操作，则第7个正六边形的边长是　×（）6a　．

【考点】等边三角形的性质．
【专题】规律型．
【分析】连接AD、DB、DF，求出∠AFD＝∠ABD＝90°，根据HL证两三角形全等得出∠FAD＝60°，求出AD∥EF∥GI，过F作FZ⊥GI，过E作EN⊥GI于N，得出平行四边形FZNE得出EF＝ZN＝a，求出GI的长，求出第一个正六边形的边长是a，是等边三角形QKM的边长的；同理第二个正六边形的边长是等边三角形GHI的边长的；求出第五个等边三角形的边长，乘以即可得出第六个正六边形的边长，同理可得出第七个正六边形的边长．
【解答】解：如图1，连接AD、DF、DB．
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠ABC＝∠BAF＝∠AFE，AB＝AF，∠E＝∠C＝120°，EF＝DE＝BC＝CD，
∴∠EFD＝∠EDF＝∠CBD＝∠BDC＝30°，
∵∠AFE＝∠ABC＝120°，
∴∠AFD＝∠ABD＝90°，
在Rt△ABD和RtAFD中，
∵，
∴Rt△ABD≌Rt△AFD（HL），
∴∠BAD＝∠FAD＝×120°＝60°，
∴∠FAD+∠AFE＝60°+120°＝180°，
∴AD∥EF，
∵G、I分别为AF、DE中点，
∴GI∥EF∥AD，
∴∠FGI＝∠FAD＝60°，
∵六边形ABCDEF是正六边形，△QKM是等边三角形，
∴∠EDM＝60°＝∠M，
∴ED＝EM，
同理AF＝QF，
即AF＝QF＝EF＝EM，
∵等边三角形QKM的边长是a，
∴第一个正六边形ABCDEF的边长是a，即等边三角形QKM的边长的，
如图2，过F作FZ⊥GI于Z，过E作EN⊥GI于N，
则FZ∥EN，
∵EF∥GI，
∴四边形FZNE是平行四边形，
∴EF＝ZN＝a，
∵GF＝AF＝×a＝a，∠FGI＝60°（已证），
∴∠GFZ＝30°，
∴GZ＝GF＝a，
同理IN＝a，
∴GI＝a+a+a＝a，即第二个等边三角形的边长是a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第二个正六边形的边长是×a；
同理第三个等边三角形的边长是×a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第三个正六边形的边长是××a；
同理第四个等边三角形的边长是（）3a，第四个正六边形的边长是×（）3a；
第五个等边三角形的边长是（）4a，第五个正六边形的边长是×（）4a；
…
第n个正六边形的边长是×（）n﹣1a，
∴第七个正六边形的边长是×（）6a．
故答案为：×（）6a．


【点评】本题考查的是等边三角形的性质、平行四边形的性质和判定、全等三角形的性质和判定的应用，能总结出规律是解此题的关键，题目具有一定的规律性，是一道有一定难度的题目．
17．（2019•雁塔区校级四模）如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，CD⊥BD于D，AC＝5，边BC与AB的长度差为2，当△ADC面积最大时，边AD的长为　　．

【考点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．
【分析】延长BA，CD构造等腰三角形，AE与AD垂直时三角形ADE的面积最大．
【解答】解：延长CD与BA交于点E，

∵BD平分∠ABC，CD⊥BD于D，
∴△CAE为等腰三角形，D为CE中点，
∴S△ADC＝S△ACE＝S△ADE．
∵BC﹣AB＝2，
∴AE＝2，
当AE⊥AC时，△AEC面积最大，
∴此时△ADC面积最大．
∵CE＝＝＝，
∴AD＝CE＝．
故答案为：．
【点评】本题考查等腰三角形及直角三角形的性质，解题关键是通过作辅助线找出与△ADC面积相等的△AEC面积最大的条件．
18．（2021•长沙模拟）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，∠ACB＝3∠B，CE⊥AD，AC＝8，BC＝BD，则CE＝　　．

【考点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】延长CE交AB于F，过点D作DH⊥AB于H，DN⊥AC于N，过点A作AM⊥BC于M，由ASA证得△AEF≌△AEC，得出AF＝AC＝8，∠AFE＝∠ACE，EF＝CE，证明∠B＝∠ECD，得出CF＝BF，由BC＝BD，得出＝，由三角形面积得出＝＝，求出AB＝AC＝，即可得出结果．
【解答】解：延长CE交AB于F，过点D作DH⊥AB于H，DN⊥AC于N，过点A作AM⊥BC于M，如图所示：
∵CE⊥AD，
∴∠AEF＝∠AEC＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAE＝∠CAE，DH＝DN，
在△AEF与△AEC中，，
∴△AEF≌△AEC（ASA），
∴AF＝AC＝8，∠AFE＝∠ACE，EF＝CE，
∵∠AFC＝∠B+∠ECD，
∴∠ACF＝∠B+∠ECD，
∴∠ACB＝2∠ECD+∠B，
∵∠ACB＝3∠B，
∴2∠ECD+∠B＝3∠B，
∴∠B＝∠ECD，
∴CF＝BF，
∵BC＝BD，
∴＝，
S△ADB＝DH•AB＝AM•BD，S△ACD＝DN•AC＝AM•CD，
∴＝，
即＝＝，
∴AB＝AC＝，
∴CF＝BF＝﹣8＝，
∴CE＝CF＝，
故答案为：．

【点评】本题考查了角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形面积的计算、三角形外角性质等知识；熟练掌握三角形面积的计算是解题的关键．
19．（2018秋•江岸区期末）如图，已知∠AOB＝α（0°＜α＜60°），射线OA上一点M，以OM为边在OA下方作等边△OMN，点P为射线OB上一点，若∠MNP＝α，则∠OMP＝　30°或120°﹣α．　．

【考点】等边三角形的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力；应用意识．
【分析】分两种情况讨论P点的位置．点P位于MN左侧．点P位于MN右侧，分别画出相应的图形，根据全等三角形和等腰三角形的性质可求出∠OMP的度数，
【解答】解：（1）当P位于MN左侧时，如图1，
∵△OMN是等边三角形，
∴MN＝MO＝ON，∠MON＝∠MNO＝60°，
∵∠MNP＝∠AOB＝α，
∴∠PON＝∠PNO，
∴PO＝PN，
△MPO≌△MPN，（SAS）
∴∠OMP＝∠NMP＝∠OMN＝×60°＝30°
（2）当P位于MN右侧时，如图2，将△MNP绕着点M顺时针旋转60°得到△MOQ，
此时△MPQ是等边三角形，
∴∠MPQ＝60°，
∴∠OMP＝180°﹣∠MPQ﹣∠MOP＝180°﹣60°﹣α＝120°﹣α，
故答案为：30°或120°﹣α．


【点评】考查等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定，分类讨论是数学中常见的题型．
20．（2019•鄞州区一模）如图，△ABC中，AB＝AC＝15，∠BAC＝120°，小明要将该三角形分割成两个直角三角形和两个等腰三角形，他想出了如下方案：在AB上取点D，过点D画DE∥AC交BC于点E，连接AE，在AC上取合适的点F，连接EF可得到4个符合条件的三角形，则满足条件的AF长是　5、10或　．

【考点】平行线的性质；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形．
【分析】根据已知条件可判断△BDE为等腰三角形，其它三个三角形的形状未确定，则可用分类讨论：①当∠AED＝90°时，可证得∠EAF＝90°，则△CEF是等腰三角形；②当∠DAE＝90°且∠AEF＝90°时，△CEF是等腰三角形；③当∠DAE＝90°且∠FEC＝90°时，△AEF是等腰三角形；④当∠AFE＝∠EFC＝90°时，△ADE是等边三角形．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵DE∥AC，
∴∠DEB＝∠C＝30°，∠BDE＝120°，
∴△BDE是等腰三角形，∠ADE＝180°﹣∠BDE＝60°．
被分割的四个三角形中有两个直角三角形和两个等腰三角形．
①当∠AED＝90°时，如图1：
∴∠DAE＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝30°，
∴∠EAF＝∠BAC﹣∠DAE＝90°．
则△EFC是等腰三角形．
∵∠AEC＝180°﹣∠BED﹣∠DEA＝60°，
∴△EFC是等腰三角形只可能存在∠FEC＝∠C＝30°的情况，
设AF＝x，
∵∠AEF＝180°﹣∠BED﹣∠AED﹣∠FEC＝30°，
∴EF＝2x，
∵EF＝FC＝2x，
∴AF+FC＝3x＝AC＝15，
∴AF＝5．

②当∠DAE＝90°且∠AEF＝90°时，如图2：
此时∠EAF＝∠BAC﹣∠DAE＝30°，
∴∠AFE＝180°﹣∠AEF﹣∠EAF＝60°
设AF＝x，则EF＝x，
∵∠EFC＝180°﹣∠AFE＝120°，
又∵∠FEC＝180°﹣∠C﹣∠EFC＝30°，
∴△EFC是等腰三角形，CF＝EF＝x，
∵AC＝AF+FC＝x+x＝15，
∴AF＝x＝10．
③当∠DAE＝90°且∠FEC＝90°时，如图3．
∠FAE＝∠BAC﹣∠DAE＝30°，
∵∠AED＝180°﹣∠DAE﹣∠ADE＝30°，
∴∠AEF＝180°﹣∠BED﹣∠FEC﹣∠AED＝30°．
∴AF＝AE，
设AF＝EF＝x，
∵∠FEC＝90°，∠C＝30°，
∴CF＝2x，
∵AF+FC＝x+2x＝3x＝AC＝15，
∴AF＝x＝5．

④当∠AFE＝∠EFC＝90°时，则△ADE是等腰三角形，如图4
∵∠ADE＝60°，
∴∠DAE＝∠AED＝60°，
∵∠EAF＝∠BAC﹣∠DAE＝60°，
∴∠AEF＝180°﹣∠EAF﹣∠AFE＝30°．
设AF＝x，则EF＝x．
∵∠EFC＝90°，∠C＝30°，
∴FC＝EF＝3x，
∵AC＝AF+FC＝x+3x＝4x＝15，
∴AF＝．
故答案为：5、10或
【点评】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，等边三角形的判定，含30°直角三角形的性质的综合应用．本题需要分类讨论，属于易错题．
三．解答题（共10小题）
21．（2021•蔡甸区二模）如图，△ABC中，点D在BC边上，且∠ADB＝90°∠CAD．
（1）求证：AD＝AC；
（2）点E在AB边上，连接CE交AD于点F，且∠CFD＝∠CAB，AE＝BD，
①求∠ABC的度数；
②若AB＝8，DF＝2AF，直接写出EF的长．

【考点】等腰三角形的判定．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力．
【分析】（1）根据∠ADB＝∠ACB+∠CAD，∠ADB＝90°∠CAD可得∠C＝∠ADC，进而可得结论；
（2）①过点D作DG∥CE交AB于点G，根据“AAS”证出AEC≌△DGA，进而可得△BDG为等边三角形，可得答案；
②过点D作DH∥AB交CE于点H，可得△FAE∽△ACE，根据比例式可得答案．
【解答】解：（1）∵∠ADB＝∠ACB+∠CAD，∠ADB＝90°∠CAD，
∴∠ACB＝∠ADB﹣∠CAD＝90°∠CAD，
∵∠ADB+∠CDA＝180°，
∴∠CDA＝180°﹣∠ADB＝180°﹣（90°∠CAD）＝90°∠CAD，
∴∠ACB＝∠ADC，
∴AD＝AC；
（2）①过点D作DG∥CE交AB于点G，

∵∠CFD＝∠CAB，∠CFD＝∠CAD+∠ACE，∠CAB＝∠CAD+∠DAB，
∴∠ACE＝∠DAB，
又∵∠ACD＝∠ADC，∠ECB＝∠ACD﹣∠ACE，∠B＝∠ADC﹣∠DAB，
∴∠ECB＝∠B，
∴CE＝BE，
∵DG∥CE，
∴∠ECB＝∠BDG，
∴∠BDG＝∠B，
∴DG＝BG，
∵∠AEC＝∠DGA，AC＝DA，∠ACE＝∠DAG，
∴△AEC≌△DGA(AAS)，
∴DG＝AE，
又∵AE＝BD，
∴DG＝BD＝BG，
∴△BDG为等边三角形，
∴∠ABC＝60°；
②EF＝．
过点D作DH∥AB交CE于点H，

由①知△EBC和△HDC均为等边三角形，
设AE＝BD＝x，则BE＝BC＝8﹣x，
∴DH＝CD＝8﹣2x，
∵DH∥AB，
∴＝，即＝，
∴x＝2，
∵∠ACE＝∠DAB，
∵△FAE∽△ACE，
∴＝，
∵AC＝AD＝3AF，
∴＝，EF＝AE＝．
【点评】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题关键，题目难度较大，综合性较强．
22．（2021春•中原区校级月考）如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分边AC和边BC，交边AB于M，N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若AB＝3cm，求△CMN的周长．
（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．

【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】三角形；推理能力．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到AM＝CM，BN＝CN，根据三角形的周长公式计算，得到答案；
（2）根据三角形内角和定理求出∠MNF+∠NMF，进而求出∠A+∠B，结合图形计算即可．
【解答】解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM＝CM，BN＝CN，
∴△CMN的周长＝CM+MN+CN＝AM+MN+BN＝AB＝3（cm）；
（2）∵∠MFN＝70°，
∴∠MNF+∠NMF＝180°﹣70°＝110°，
∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF，
∴∠AMD+∠BNE＝∠MNF+∠NMF＝110°，
∴∠A+∠B＝90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE＝180°﹣110°＝70°，
∵AM＝CM，BN＝CN，
∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，
∴∠MCN＝180°﹣2（∠A+∠B）＝180°﹣2×70°＝40°．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
23．（2020秋•潮州期末）如图，在等边三角形ABC中，D是AB上的一点，E是CB延长线上一点，连接CD、DE，已知∠EDB＝∠ACD．
（1）求证：△DEC是等腰三角形．
（2）当∠BDC＝5∠EDB，EC＝8时，求△EDC的面积．

【考点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【专题】证明题；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【分析】（1）根据等边三角形的性质，即可证明结论；
（2）设∠EDB＝α，则∠BDC＝5α，得∠E＝∠DCE＝60°﹣α，根据三角形内角和定理可得α＝15°，过D作DH⊥CE于H，根据等腰直角三角形的性质即可得DH的长，进而可得结论．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵∠E+∠EDB＝∠ABC＝60°，∠ACD+∠DCB＝60°，∠EDB＝∠ACD，
∴∠E＝∠DCE，
∴DE＝DC，
∴△DEC是等腰三角形；
（2）解：设∠EDB＝α，则∠BDC＝5α，
∴∠E＝∠DCE＝60°﹣α，
∴6α+60°﹣α+60°﹣α＝180°，
∴α＝15°，
∴∠E＝∠DCE＝45°，
∴∠EDC＝90°，
如图，过D作DH⊥CE于H，

∵△DEC是等腰直角三角形，
∴∠EDH＝∠E＝45°，
∴EH＝HC＝DH＝EC＝8＝4，
∴△EDC的面积＝EC•DH＝8×4＝16．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质．
24．（2021•西城区校级模拟）（1）小My同学在网络直播课中学习了勾股定理，他想把这一知识应用在等边三角形中：边长为a的等边三角形面积是　a2　（用含a的代数式表示）；
（2）小My同学进一步思考：是否可以将正方形剪拼成一个等边三角形（不重叠、无缝隙）？
①如果将一个边长为2的正方形纸片剪拼等边三角形，那么该三角形边长的平方是　　；
②小My同学按下图切割方法将正方形ABCD剪拼成一个等边三角形EFG：M、N分别为AB、CD边上的中点，P、Q是边BC、AD上两点，G为MQ上一点，且∠MGP＝∠PGN＝∠NGQ＝60°．
请补全图形，画出拼成正三角形的各部分分割线，并标号；
③正方形ABCD的边长为2，设BP＝x，则x2＝　﹣1　．

【考点】等边三角形的判定与性质；勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】（1）如图1，过A作AD⊥BC于D，根据等边三角形的性质得到BD＝CD＝BC＝a，由勾股定理得到AD＝＝＝a，于是得到S△ABC＝BC•AD＝a2；
（2）①根据三角形的面积公式即可得到结论；
②补全图形如图2所示；
③由题意知，PG＝PE，GN＝NF，推出PN是△GEF的中位线，得到PN＝EF，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）如图，过A作AD⊥BC于D，
∵△ABC是等边三角形，
∴BD＝CD＝BC＝a，
∴AD＝＝＝a，
∴S△ABC＝BC•AD＝a2；
（2）①∵边长为2的正方形的面积＝4，
∴剪拼成的等边三角形的面积＝4，
∴a2＝4，
∴a2＝，
即该三角形边长的平方是；
②补全图形如图2所示；
③由题意知，PG＝PE，GN＝NF，
∴PN是△GEF的中位线，
∴PN＝EF，
∵N为AB边上的中点，
∴BN＝AB＝1，
∵边长为2的正方形的面积＝4，
∴剪拼成的等边三角形的面积＝4，
∴a2＝4，
∴a2＝，
即△GEF边长的平方是，
∴EF＝，
∴PN＝，
∵PN2＝BN2+BP2，
∴＝+1+x2，
∴x2＝﹣1；
故答案为：（1）a2；（2）①；③﹣1；


【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，三角形的中位线定理，正确的识别图形是解题的关键．
25．（2020秋•五常市期末）如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形．

【考点】等腰三角形的判定．
【专题】几何图形．
【分析】（1）首先过点A作AF⊥BC于点F，由AD＝AE，根据三线合一的性质，可得DF＝EF，又由BD＝CE，可得BF＝CF，然后由线段垂直平分线的性质，可证得AB＝AC．
（2）根据等腰三角形的判定解答即可．
【解答】证明：（1）过点A作AF⊥BC于点F，
∵AD＝AE，
∴DF＝EF，
∵BD＝CE，
∴BF＝CF，
∴AB＝AC．
（2）∵∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC，∠BAE＝∠BEA，∠ADC＝∠DAC，
∴除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形为：△ABD、△AEC、△ABE、△ADC，

【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
26．（2020秋•临沭县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DE＝EB，BD＝BC，试求∠A的度数．

【考点】等腰三角形的性质．
【分析】设∠EBD＝a，根据等边对等角得出∠A＝∠AED，∠EBD＝∠EDB＝a，∠C＝∠BDC，根据三角形外角性质求出∠A＝∠AED＝2a，∠C＝∠CDB＝∠ABC＝3a，根据三角形内角和定理得出2a+3a+3a＝180°，求出a即可．
【解答】解：设∠EBD＝a，
∵AD＝DE＝BE，BD＝BC，AC＝AB，
∴∠A＝∠AED，∠EBD＝∠EDB＝a，∠C＝∠BDC＝∠ABC，
∵∠AED＝∠EBD+∠EDB＝2∠EBD，
∴∠A＝2∠EBD＝2a，
∵∠BDC＝∠A+∠EBD＝3∠EBD＝3a，
∴∠C＝3∠EBD＝3a，
∵∠A+∠C+∠ABC＝180°，
∴2a+3a+3a＝180°，
∴a＝22.5°．
∴∠A＝2a＝45°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理、三角形外角的性质；解题中反复运用了“等边对等角”，将已知的等边转化为有关角的关系，并联系三角形的内角和及三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质求解有关角的度数问题．
27．（2020春•东明县期末）如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接DF，交AC于点E，连接BE，∠A＝∠ABE．
（1）求证：DF是线段AB的垂直平分线；
（2）当AB＝AC，∠A＝46°时，求∠EBC及∠F的度数．

【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】（1）根据到线段的两个端点的距离相等的点在垂直平分线上证明；
（2）根据等腰三角形的性质求出∠ABE，结合图形计算即可．
【解答】（1）证明：∵∠A＝∠ABE，
∴EA＝EB，
∵AD＝DB，
∴DF是线段AB的垂直平分线；
（2）解：∵∠A＝46°，
∴∠ABE＝∠A＝46°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝67°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝21°，
∠F＝90°﹣∠ABC＝23°．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的判定、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握到线段的两个端点的距离相等的点在垂直平分线上是解题的关键．
28．（2019秋•巩义市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝12cm，若点P从点B出发以2cm/s的速度向点A运动，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，设P、Q分别从点B、A同时出发，运动的时间为ts．
（1）用含t的式子表示线段AP、AQ的长；
（2）当t为何值时，△APQ是以PQ为底边的等腰三角形？
（3）当t为何值时，PQ∥BC？

【考点】平行线的判定；等腰三角形的判定．
【专题】动点型．
【分析】（1）由题意，可知∠B＝30°，AC＝6cm．BP＝2t，AP＝AB﹣BP，AQ＝t．
（2）若△APQ是以PQ为底的等腰三角形，则有AP＝AQ，即12﹣2t＝t，求出t即可．
（3）先根据直角三角形的性质求出∠B的度数，再由平行线的性质得出∠QPA的度数，根据直角三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：（1）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝30°．
又∵AB＝12cm，
∴AC＝6cm，BP＝2t，AP＝AB﹣BP＝12﹣2t，AQ＝t；

（2）∵△APQ是以PQ为底的等腰三角形，
∴AP＝AQ，即12﹣2t＝t，
∴当t＝4时，△APQ是以PQ为底边的等腰三角形；

（3）当PQ⊥AC时，PQ∥BC．
∵∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝30°
∵PQ∥BC，
∴∠QPA＝30°
∴AQ＝AP，
∴t＝（12﹣2t），解得t＝3，
∴当t＝3时，PQ∥BC．
【点评】本题考查的是等腰三角形的判定及平行线的判定与性质，熟知等腰三角形的两腰相等是解答此题的关键．
29．（2020秋•朝阳期中）在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD．
（1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝　1：1　；
（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）；
（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，那么S△ABC＝　9　．

【考点】列代数式；角平分线的性质．
【分析】（1）过A作AE⊥BC于E，根据三角形面积公式求出即可；
（2）过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线性质求出DE＝DF，根据三角形面积公式求出即可；
（3）根据已知和（1）（2）的结论求出△ABD和△ACD的面积，即可求出答案．
【解答】解：（1）
过A作AE⊥BC于E，
∵点D是BC边上的中点，
∴BD＝DC，
∴SABD：S△ACD＝（×BD×AE）：（×CD×AE）＝1：1，
故答案为：1：1；

（2）
过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴DE＝DF，
∵AB＝m，AC＝n，
∴SABD：S△ACD＝（×AB×DE）：（×AC×DF）＝m：n；

（3）
∵AD＝DE，
∴由（1）知：S△ABD：S△EBD＝1：1，
∵S△BDE＝6，
∴S△ABD＝6，
∵AC＝2，AB＝4，AD平分∠CAB，
∴由（2）知：S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝4：2＝2：1，
∴S△ACD＝3，
∴S△ABC＝3+6＝9，
故答案为：9．
【点评】本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式，能根据（1）（2）得出规律是解此题的关键．
30．（2020春•揭西县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E．
（1）求证：AE＝2CE；
（2）连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．

【考点】线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．
【分析】（1）连接BE，由垂直平分线的性质可求得∠EBC＝∠ABE＝∠A＝30°，在Rt△BCE中，由直角三角形的性质可证得BE＝2CE，则可证得结论；
（2）由垂直平分线的性质可求得CD＝BD，且∠ABC＝60°，可证明△BCD为等边三角形．
【解答】（1）证明：
连接BE，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝30°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，
在Rt△BCE中，BE＝2CE，
∴AE＝2CE；
（2）解：△BCD是等边三角形，
理由如下：连接CD．
∵DE垂直平分AB，
∴D为AB中点，
∵∠ACB＝90°，
∴CD＝BD，
∵∠ABC＝60°，
∴△BCD是等边三角形．

【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．