2020-2021学年第六章 平行四边形综合与测试同步训练题

这是一份2020-2021学年第六章 平行四边形综合与测试同步训练题，共42页。
《平行四边形》综合练习题
一．选择题（共10小题）
1．（2021•荆门）如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设∠1＝30°，那么∠2＝（　　）

A．55° B．65° C．75° D．85°
2．（2021•滨湖区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，D是边AB上一点，连接CD，将△ACD沿CD翻折得到△ECD，连接BE．若四边形BCDE是平行四边形，则BC的长为（　　）

A． B．3 C．2 D．3
3．（2021•瑶海区校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD为中线，E为AD的中点，DF∥CE交BE于点F．若AC＝8，BC＝12，则DF的长为（　　）

A．2 B．4 C．3 D．2.5
4．（2021•双流区模拟）如图，在▱ABCD中，AB＝4，∠BAD的平分线交DC于点E，且点E恰好是DC的中点，过点D作DF⊥AE，垂足为F．若AE＝2，则DF的长为（　　）

A． B． C．1 D．
5．（2021•无锡模拟）平面直角坐标系xOy中，▱OABC的顶点O为坐标原点，A，B的坐标分别为（m，m﹣1），（2，2），则▱OABC的面积为（　　）
A．1 B．2
C．3 D．随m的变化而变化
6．（2021•沙坪坝区校级一模）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　）

A．AB∥CD，AD∥BC B．AB∥CD，AB＝CD
C．OA＝OC，OB＝OD D．AB∥CD，AD＝BC
7．（2021•黄埔区二模）如图，小明从A点出发，沿直线前进6米后向左转45°，再沿直线前进6米，又向左转45°…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（　　）米．

A．60 B．72 C．48 D．36
8．（2021•宁波模拟）如图，已知E，F为▱ABCD对角线AC上两点，且AE＝CF，过E，F将▱ABCD分制成9个小的平行四边形，则已知下列哪个选项中的图形面积，就可以求出△GIN的面积（　　）

A．△AHF B．△GHN C．四边形AHPI D．四边形IPFJ
9．（2020•邵阳）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，B，D，F在同一条直线上，请添加一个条件使得△ABE≌△CDF，下列不正确的是（　　）

A．AE＝CF B．∠AEB＝∠CFD C．∠EAB＝∠FCD D．BE＝DF
10．（2020•福建）如图，面积为1的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的面积是（　　）

A．1 B． C． D．
二．填空题（共10小题）
11．（2021•铁东区模拟）如图，平行四边形ABCD中，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE，交CD于点F，若△CBF的面积为8cm2，则△DEF的面积为　 　．

12．（2021•雁塔区校级模拟）将一个正八边形与一个正六边形如图放置，顶点A、B、C、D四点共线，E为公共顶点．则∠FEG＝　 　．

13．（2021•金台区一模）如图，在正六边形ABCDEF中，连接AC、CF，则∠ACF的度数为　 　．

14．（2020•隆回县二模）如图平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于一点O，点E是AD的中点，△BCD的周长为24cm，则△DEO的周长是　 　cm．

15．（2020•邵阳县模拟）如图，已知平行四边形ABCD中，∠BCD的平分线交边AD于E，∠ABC的平分线交AD于F，若AB＝12，AE＝5，则EF＝　 　．

16．（2020•江岸区模拟）如图所示，▱DEFG顶点分别在△ABC的三边上，若BE＝BD，CF＝FG，∠GDE＝64°，则∠A的度数为　 　．

17．（2020•吉林）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若△ADE的面积为，则四边形DBCE的面积为　 　．

18．（2020•武侯区模拟）如图，在▱ABCD中，∠C＝30°，过D作DE⊥BC于点E，延长CB至点F，使BF＝CE，连接AF．若AF＝4，CF＝10，则▱ABCD的面积为　 　．

19．（2021•姜堰区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，0），B（0，﹣1），点P为y轴正半轴上一动点，连接AP并延长至点D，使DP＝2AP，以AB，AD为边作▱ABCD，连接OC，则OC长度的最小值为　 　．

20．（2020•锦州二模）如图，分别以Rt△ABC的斜边AB，直角边AC为边向外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，分别连接DF，EF，DE，DE与AB相交于点G，若∠BAC＝30°，下列四个结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为平行四边形；③CE＝2AG；④△DBF≌△EFA．其中结论正确的是　 　（填序号即可）．

三．解答题（共10小题）
21．（2021•南岗区校级模拟）已知AD是△ABC的中线，M是AD的中点，过点A作AE∥BC，CM的延长线与AE相交于点E，与AB相交于点F，连BE．
（1）如图1，求证：四边形AEBD是平行四边形；
（2）如图2，若AC＝3AF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有与∠ADB相等的角（∠ADB除外）．

22．（2021•道外区三模）如图，在平行四边形ABCD中．点E在AD边上，点F在BC边上，且AE＝CF，连接AF、BE相交于点M，连接CE、DF相交于点．
（1）如图1，求证：四边形EMFN为平行四边形；
（2）如图2，连接MN，若E是AD的中点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中以MN为边的所有平行四边形．

23．（2021•南岗区校级二模）已知，在平行四边形ABCD中，点E、F在分别边BC、AD上，且BE＝DF，EH⊥CF于点H，FG⊥AE于点G．
（1）求证：GE＝FH；
（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中与∠AFG互余的所有角．

24．（2021•邵阳模拟）如图．在一次数学研究性学习中，小华将两个全等的直角三角形纸片Rt△ABC和Rt△DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1），其中∠ACB＝∠DFE＝90°，发现四边形ABDE是平行四边形．如图2，小华继续将图1中的纸片Rt△DEF沿AC方向平移，连接AE，BD，当点F与点C重合时停止平移．
（1）请问：四边形ABDE是平行四边形吗？说明理由．
（2）如图3，若BC＝EF＝6cm，AC＝DF＝8cm，当AF＝cm时，请判断四边形ABDE的形状，并说明理由．

25．（2021•合川区校级模拟）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠BCD＝90°，AB＝DC＝4，AD＝BC＝8．延长BC到E，使CE＝3，连接DE，由直角三角形的性质可知DE＝5．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．（t＞0）
（1）当t＝3时，BP＝　 　；
（2）当t＝　 　时，点P运动到∠B的角平分线上；
（3）请用含t的代数式表示△ABP的面积S；
（4）当0＜t＜6时，直接写出点P到四边形ABED相邻两边距离相等时t的值．

26．（2021•南岗区模拟）已知，如图1，D是△ABC的边上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC．
（1）求证：四边形ADCN是平行四边形．
（2）如图2，若∠AMD＝2∠MCD，∠ACB＝90°，AC＝BC．请写出图中所有与线段AN相等的线段（线段AN除外）．

27．（2020•丰泽区校级模拟）已知：如图，E、F是▱ABCD的对角线AC上的两点，CE＝AF．请你猜想：线段BE与线段DF有怎样的关系？并对你的猜想加以证明．

28．（2016•鱼峰区一模）已知：▱ABCD中，E是CD的中点，AE的延长线与BC的延长线相交于点F．求证：BC＝CF．

29．（2016•黄浦区二模）如图，在△ABC上，点D、E分别是AC、BC边上的点，AE与BD交于点O，且CD＝CE，∠1＝∠2．
（1）求证：四边形ABDE是等腰梯形；
（2）若EC＝2，BE＝1，∠AOD＝2∠1，求AB的长．

30．（2016•临朐县一模）在平面直角坐标系中，已知等腰梯形ABCD的三个顶点A（﹣2，0），B（6，0），C（4，6），对角线AC与BD相交于点E．
（1）求E的坐标；
（2）若M是x轴上一动点，求MC+MD的最小值；
（3）在y轴正半轴上求点P，使以P、B、C为顶点的三角形为等腰三角形．


参考答案
一．选择题（共10小题）
1．（2021•荆门）如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设∠1＝30°，那么∠2＝（　　）

A．55° B．65° C．75° D．85°
【考点】平行四边形的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；运算能力．
【分析】根据等腰直角三角形的性质求出∠FHE＝45°，求出∠NHB＝∠FHE＝45°，根据三角形内角和定理求出∠HNB＝105°，根据平行四边形的性质得出CD∥AB，根据平行线的性质得出∠2+∠HNB＝180°，带哦求出答案即可．
【解答】解：延长EH交AB于N，

∵△EFH是等腰直角三角形，
∴∠FHE＝45°，
∴∠NHB＝∠FHE＝45°，
∵∠1＝30°，
∴∠HNB＝180°﹣∠1﹣∠NHB＝105°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠2+∠HNB＝180°，
∴∠2＝75°，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，平行线的性质等知识点，能根据平行四边形的性质得出CD∥AB是解此题的关键．
2．（2021•滨湖区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，D是边AB上一点，连接CD，将△ACD沿CD翻折得到△ECD，连接BE．若四边形BCDE是平行四边形，则BC的长为（　　）

A． B．3 C．2 D．3
【考点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【分析】由折叠的性质得到AD＝ED，∠ADC＝∠EDC，再根据平行四边形的性质及邻补角的定义得到BC＝DE，∠DCB＝∠CDB，从而得到BD＝BC＝DE＝AD，进而得到AB＝2BC，最后根据勾股定理即可求解．
【解答】解：根据折叠的性质得到，
△ADC≌△EDC，
∴∠ADC＝∠EDC，AD＝ED，
∵四边形BCDE是平行四边形，
∴DE∥BC，BC＝DE，
∴∠EDC+∠DCB＝180°，
∵∠ADC+∠CDB＝180°，
∴∠DCB＝∠CDB，
∴BD＝BC，
∵BC＝DE，
∴BD＝BC＝DE＝AD，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝AD+BD＝2BC，
∵AC＝3，
∴AC＝＝＝BC，
∴BC＝，
故选：A．
【点评】此题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质及勾股定理是解题的关键．
3．（2021•瑶海区校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD为中线，E为AD的中点，DF∥CE交BE于点F．若AC＝8，BC＝12，则DF的长为（　　）

A．2 B．4 C．3 D．2.5
【考点】三角形中位线定理．
【专题】三角形；推理能力．
【分析】根据勾股定理求出AD，根据直角三角形的性质求出CE，再根据三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：∵AD为中线，BC＝12，
∴CD＝BC＝×12＝6，
在Rt△ACD中，AD＝＝＝10，
∵∠ACB＝90°，E为AD的中点，
∴CE＝AD＝5，
∵DF∥CE，D为BC的中点，
∴DF＝CE＝2.5，
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质、勾股定理，掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的一半是解题的关键．
4．（2021•双流区模拟）如图，在▱ABCD中，AB＝4，∠BAD的平分线交DC于点E，且点E恰好是DC的中点，过点D作DF⊥AE，垂足为F．若AE＝2，则DF的长为（　　）

A． B． C．1 D．
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；推理能力．
【分析】由等腰三角形的性质可求AF＝EF＝，由勾股定理可求解．
【解答】解：∵AB＝4，点E是DC的中点，
∴DE＝EC＝2，
∵AE为∠DAB的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵DC∥AB，
∴∠BAE＝∠DEA，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴AD＝ED＝2，
∵DF⊥AE，
∴AF＝EF＝AE＝，
∴DF＝＝＝1，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质是本题的关键．
5．（2021•无锡模拟）平面直角坐标系xOy中，▱OABC的顶点O为坐标原点，A，B的坐标分别为（m，m﹣1），（2，2），则▱OABC的面积为（　　）
A．1 B．2
C．3 D．随m的变化而变化
【考点】坐标与图形性质；平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【分析】由面积和差关系可求解．
【解答】解：如图，

▱OABC的面积＝2×[﹣m（m﹣1）﹣（2﹣m）（2﹣m+1）﹣（2﹣m）（m﹣1）]＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，利用面积和差公式可求解．
6．（2021•沙坪坝区校级一模）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　）

A．AB∥CD，AD∥BC B．AB∥CD，AB＝CD
C．OA＝OC，OB＝OD D．AB∥CD，AD＝BC
【考点】平行四边形的判定．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【分析】分别利用平行四边形的判定方法进行判断，即可得出结论．
【解答】解：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不合题意；
∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不合题意；
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不合题意；
∵AB∥CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD不一定是平行四边形，
∴故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是本题的关键．
7．（2021•黄埔区二模）如图，小明从A点出发，沿直线前进6米后向左转45°，再沿直线前进6米，又向左转45°…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（　　）米．

A．60 B．72 C．48 D．36
【考点】多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【分析】根据多边形的外角和即可求出答案．
【解答】解：根据题意可知，他需要转360÷45＝8次才会回到原点，
所以一共走了8×6＝48（米）．
故选：C．
【点评】本题主要考查了利用多边形的外角和定理求多边形的边数．任何一个多边形的外角和都是360°．
8．（2021•宁波模拟）如图，已知E，F为▱ABCD对角线AC上两点，且AE＝CF，过E，F将▱ABCD分制成9个小的平行四边形，则已知下列哪个选项中的图形面积，就可以求出△GIN的面积（　　）

A．△AHF B．△GHN C．四边形AHPI D．四边形IPFJ
【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】图形的全等；多边形与平行四边形；几何直观；推理能力．
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据平行四边形的性质，可以得到阴影部分的面积，从而可以解答本题．
【解答】解：连接IM、EN、GP，
由图可得，
S△IEN＝S△IEM，S△GEN＝S△GEP，
则阴影部分的面积＝S△IGP+S△IEM＝S▱AHPI+S▱IEMD，
∵AE＝CF，过E，F将▱ABCD分制成9个完全相同的小的平行四边形，
∴S▱AGEI＝S▱JQMD＝S▱HBKP＝S▱FLCN，
∴S▱IEMD＝S▱GEKB＝S▱AHPI，
∴阴影部分的面积＝S▱AHPI，
故选：C．

【点评】本题考查平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9．（2020•邵阳）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，B，D，F在同一条直线上，请添加一个条件使得△ABE≌△CDF，下列不正确的是（　　）

A．AE＝CF B．∠AEB＝∠CFD C．∠EAB＝∠FCD D．BE＝DF
【考点】全等三角形的判定；平行四边形的性质．
【专题】图形的全等；多边形与平行四边形；推理能力．
【分析】根据平行四边形的性质结合全等三角形的判定，逐项进行判断即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABD＝∠BDC，
∵∠ABE+∠ABD＝∠BDC+∠CDF，
∴∠ABE＝∠CDF，
A．若添加AE＝CF，则无法证明△ABE≌△CDF，故选项A符合题意；
B．若添加∠AEB＝∠CFD，运用AAS可以证明△ABE≌△CDF，故选项B不符合题意；
C．若添加∠EAB＝∠FCD，运用ASA可以证明△ABE≌△CDF，故选项C不符合题意；
D．若添加BE＝DF，运用SAS可以证明△ABE≌△CDF，故选项D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
10．（2020•福建）如图，面积为1的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的面积是（　　）

A．1 B． C． D．
【考点】等边三角形的性质；三角形中位线定理．
【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】根据三角形的中位线定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：∵D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，
∴DE＝AC，DF＝BC，EF＝AB，
∴＝，
∴△DEF∽△CAB，
∴＝（）2＝（）2＝，
∵等边三角形ABC的面积为1，
∴△DEF的面积是，
故选：D．
【点评】本题考查了三角形中位线定理，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．
二．填空题（共10小题）
11．（2021•铁东区模拟）如图，平行四边形ABCD中，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE，交CD于点F，若△CBF的面积为8cm2，则△DEF的面积为　2cm2　．

【考点】三角形的面积；平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；图形的相似；运算能力．
【分析】根据平行四边形的性质得出AD＝BC，AD∥BC，根据DE＝AD求出DE＝BC，根据相似三角形的判定得出△DEF∽△CBF，根据相似三角形的性质得出＝（）2＝，再求出答案即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵DE＝AD，
∴DE＝BC，
∵AD∥BC，
∴△DEF∽△CBF，
∴＝（）2＝（）2＝，
∵△CBF的面积为8cm2，
∴△DEF的面积是2（cm2），
故答案为：2cm2．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点，解此题的关键是知道相似三角形的面积比等于相似比的平方．
12．（2021•雁塔区校级模拟）将一个正八边形与一个正六边形如图放置，顶点A、B、C、D四点共线，E为公共顶点．则∠FEG＝　30°　．

【考点】多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【分析】根据多边形的内角和，分别得出∠ABE＝∠BEF＝135°，∠DCE＝∠CEG＝120°，再根据三角形的内角和算出∠BEC，得出∠FEG＝360°﹣∠BEF﹣∠CEG﹣∠BEC即可．
【解答】解：由多边形的内角和可得，
∠ABE＝∠BEF＝，
∴∠EBC＝180°﹣∠ABE＝180°﹣135°＝45°，
∵∠DCE＝∠CEG＝，
∴∠BCE＝180°﹣∠DCE＝60°，
由三角形的内角和得：
∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠BCE＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
∴∠FEG＝360°﹣∠BEF﹣∠CEG﹣∠BEC
＝360°﹣135°﹣120°﹣75°
＝30°．
故答案为：30°．
【点评】本题考查了多边形的内角和定理，掌握定理是解题的关键．
13．（2021•金台区一模）如图，在正六边形ABCDEF中，连接AC、CF，则∠ACF的度数为　30　．

【考点】多边形内角与外角．
【专题】三角形；运算能力．
【分析】由正六边形的性质得出∠B＝∠BAF＝∠AFE＝120°，BC＝AB＝AF＝FE，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出∠BAC＝∠BCA＝30°，∠FAE＝∠FEA＝30°，求出∠CAE＝30°．
【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠B＝∠BAF＝∠AFE＝120°，BC＝AB＝AF＝FE，
∴∠BAC＝∠BCA＝30°，
∵AB∥CF，
∴∠CAB＝∠ACF＝30°．
故答案为：30°．
【点评】本题考查了正六边形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握正六边形的性质，求出∠B、∠BAF和∠F的度数是解题的关键．
14．（2020•隆回县二模）如图平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于一点O，点E是AD的中点，△BCD的周长为24cm，则△DEO的周长是　12　cm．

【考点】三角形中位线定理；平行四边形的性质．
【专题】推理填空题；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【分析】根据平行四边形的性质和点E是AD的中点可得OE是三角形ADC的中位线，根据△BCD的周长为24cm，即可得△DEO的周长．
【解答】解：∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于一点O，
∴OB＝OD，OA＝OC，
∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∴DC＝2OE，
∵△BCD的周长为：DC+BC+BD＝2OE+2DE+2OD＝24（cm），
∴OE+DE+OD＝12（cm），
则△DEO的周长是12cm．
故答案为：12．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．
15．（2020•邵阳县模拟）如图，已知平行四边形ABCD中，∠BCD的平分线交边AD于E，∠ABC的平分线交AD于F，若AB＝12，AE＝5，则EF＝　7　．

【考点】平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；几何直观；推理能力．
【分析】根据平行四边形的性质可得AD∥BC，根据两直线平行内错角相等可得∠AFB＝∠FBC，再由角平分线的定义可得∠ABF＝∠FBC，从而不难推出∠AFB＝∠ABF，由等角对等边可得AB＝AF，已知AE的长，从而EF的长不难求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AFB＝∠FBC，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠FBC，
∴∠AFB＝∠ABF，
∴AB＝AF；
∵AB＝12，AE＝5，
∴EF＝AF﹣AE＝12﹣5＝7，
故答案为：7．
【点评】此题主要考查平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等． ③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
16．（2020•江岸区模拟）如图所示，▱DEFG顶点分别在△ABC的三边上，若BE＝BD，CF＝FG，∠GDE＝64°，则∠A的度数为　96°　．

【考点】平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【分析】由题中条件可得∠BED＝∠BDE，∠C＝∠CGF，进而再利用外角的性质及平行四边形对角相等，即可得出结论．
【解答】解：∵BE＝BD，CF＝FG，
∴∠BED＝∠BDE，∠C＝∠CGF，
∵四边形DEFG是平行四边形，
∴∠EFG＝∠GDE＝64°，DE∥FG，
∵∠EFG＝∠C+∠CGF＝2∠C，
∴∠C＝32°，
∵DE∥FG，
∴∠BED＝∠EFG＝64°，
∴∠BDE＝64°，
∴∠B＝180°﹣64°﹣64°＝52°，
∴∠A＝180°﹣32°﹣52°＝96°．
故答案为：96°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、平行四边形的性质以及三角形的内角和定理，应熟练掌握．
17．（2020•吉林）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若△ADE的面积为，则四边形DBCE的面积为　　．

【考点】三角形的面积；三角形中位线定理．
【专题】三角形；图形的相似；推理能力．
【分析】根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DE＝BC，证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质求出△ABC的面积，即可得到答案．
【解答】解：∵D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝（）2＝，
∵△ADE的面积为，
∴△ABC的面积为2，
∴四边形DBCE的面积＝2﹣＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
18．（2020•武侯区模拟）如图，在▱ABCD中，∠C＝30°，过D作DE⊥BC于点E，延长CB至点F，使BF＝CE，连接AF．若AF＝4，CF＝10，则▱ABCD的面积为　24　．

【考点】平行四边形的性质．
【专题】图形的全等；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应用；推理能力．
【分析】由SAS证得△ABF≌△DCE，得出∠AFB＝∠DEC＝90°，BF＝CE，则四边形AFED是矩形，得出AD＝DE＝4，求出CE＝4，BC＝CF﹣CE＝6，由▱ABCD的面积＝BC•DE，即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，
∴∠ABF＝∠DCE，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝∠DEF＝∠ADE＝90°，
在△ABF和△DCE中，，
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴∠AFB＝∠DEC＝90°，BF＝CE，
∴四边形AFED是矩形，
∴AF＝DE＝4，
∵在Rt△DEC中，∠DEC＝90°，∠C＝30°，
∴CE＝DE＝4，
∴BC＝CF﹣BF＝CF﹣CE＝10﹣4＝6，
∴▱ABCD的面积＝BC•DE＝6×4＝24，
故答案为：24．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形等知识；熟练掌握平行四边形的性质、证明四边形AFED为矩形是解题的关键．
19．（2021•姜堰区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，0），B（0，﹣1），点P为y轴正半轴上一动点，连接AP并延长至点D，使DP＝2AP，以AB，AD为边作▱ABCD，连接OC，则OC长度的最小值为　3　．

【考点】坐标与图形性质；平行四边形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；应用意识．
【分析】设P为（0，y），由DP＝2AP知，D(2,3x），根据平行四边形的性质求出C的坐标，用勾股定理求出OC，再用y的取值求出OC的最小值．
【解答】解：∵A（﹣1，0），B（0，﹣1），设P为（0，y），
由DP＝2AP知，D(2,3x），
∵ABCD是平行四边形，
∴C（3，﹣1+3y），
故OC²＝3²+(﹣1+3y）²＝9y²﹣6y+10＝9(y²﹣y)+10＝9(y﹣)²+9,
∴y＝时，OC最小，
∴OCmin＝＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，关键是利用平行四边形的性质求出C,D坐标．
20．（2020•锦州二模）如图，分别以Rt△ABC的斜边AB，直角边AC为边向外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，分别连接DF，EF，DE，DE与AB相交于点G，若∠BAC＝30°，下列四个结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为平行四边形；③CE＝2AG；④△DBF≌△EFA．其中结论正确的是　①②③④　（填序号即可）．

【考点】全等三角形的判定；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形；平行四边形的判定与性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得FA＝FC，根据等边三角形的性质可得EA＝EC，根据线段垂直平分线的判定可得EF是线段AC的垂直平分线；根据条件及等边三角形的性质可得∠DFA＝∠EAF＝90°，DA⊥AC，从而得到DF∥AE，DA∥EF，可得到四边形ADFE为平行四边形；根据平行四边形的对角线互相平分可得AF＝2AG，由含30°直角三角形的性质得到EF＝2AF＝4AG，由勾股定理可证得CE＝2AG；易证DB＝DA＝EF，∠DBF＝∠EFA＝60°，BF＝FA，即可得到△DBF≌△EFA．
【解答】解：连接FC，如图所示：
∵∠ACB＝90°，F为AB的中点，
∴FA＝FB＝FC，
∵△ACE是等边三角形，
∴EA＝EC，
∵FA＝FC，EA＝EC，
∴点F、点E都在线段AC的垂直平分线上，
∴EF垂直平分AC，即EF⊥AC；故①正确；
∵△ABD和△ACE都是等边三角形，F为AB的中点，
∴DF⊥AB即∠DFA＝90°，BD＝DA＝AB＝2AF，∠DBA＝∠DAB＝∠EAC＝∠ACE＝60°．
∵∠BAC＝30°，
∴∠DAC＝∠EAF＝90°，
∴∠DFA＝∠EAF＝90°，DA⊥AC，
∴DF∥AE，DA∥EF，
∴四边形ADFE为平行四边形；故②正确；
∵四边形ADFE为平行四边形，
∴AF＝2AG，
∵△ACE是等边三角形，EF⊥AC，
∴AE＝CE，∠AEF＝30°，
∵∠EAF＝90°，
∴EF＝2AF＝4AG，EF2＝AF2+AE2，
∴（4AG）2＝（2AG）2+CE2，
∴12AG2＝CE2，
∴CE＝2AG；故③正确；
∵四边形ADFE为平行四边形，
∴DA＝EF，
∴BD＝DA＝EF，
在△DBF和△EFA中，
（SAS），
∴△DBF≌△EFA；故④正确；
故答案为：①②③④．

【点评】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、含30°直角三角形的性质、等边三角形的性质、线段垂直平分线的判定、平行四边形判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握这些性质定理是解决问题的关键．
三．解答题（共10小题）
21．（2021•南岗区校级模拟）已知AD是△ABC的中线，M是AD的中点，过点A作AE∥BC，CM的延长线与AE相交于点E，与AB相交于点F，连BE．
（1）如图1，求证：四边形AEBD是平行四边形；
（2）如图2，若AC＝3AF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有与∠ADB相等的角（∠ADB除外）．

【考点】三角形中位线定理；平行四边形的判定与性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；图形的相似；推理能力．
【分析】（1）先证△AEM≌△DCM（AAS），得AE＝CD，再由AD是△ABC的中线，得到AE＝CD＝BD，即可得出结论；
（2）先证△AEF∽△BCF，得AB＝3AF，依据AC＝3AF，得AB＝AC，然后由等腰三角形的性质得AD⊥BC，得四边形AEBD是矩形，即可求解．
【解答】（1）证明：∵M是AD的中点，
∴AM＝DM，
∵AE∥BC，
∴∠AEM＝∠DCM，
在△AEM和△DCM中，
，
∴△AEM≌△DCM（AAS），
∴AE＝CD，
又∵AD是△ABC的中线，
∴AE＝CD＝BD，
又∵AE∥BD，
∴四边形AEBD是平行四边形；
（2）解：与∠ADB相等的角为：∠ADC、∠AEB、∠DBE、∠DAE，理由如下：
∵AE∥BC，
∴△AEF∽△BCF，
∴＝＝，
∴BF＝2AF，
∴AB＝3AF，
∵AC＝3AF，
∴AB＝AC，
∵AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠DBC＝∠ADB＝90°，
又∵四边形AEBD是平行四边形，
∴四边形AEBD是矩形，
∴∠AEB＝∠DBE＝∠DAE＝90°，
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．
22．（2021•道外区三模）如图，在平行四边形ABCD中．点E在AD边上，点F在BC边上，且AE＝CF，连接AF、BE相交于点M，连接CE、DF相交于点．
（1）如图1，求证：四边形EMFN为平行四边形；
（2）如图2，连接MN，若E是AD的中点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中以MN为边的所有平行四边形．

【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【分析】（1）证四边形AECF和四边形DEBF都是平行四边形，得AF∥CE，BE∥DF，即可得出结论；
（2）同（1）得：四边形ABFE、四边形CDEF、四边形AECF和四边形DEBF都是平行四边形，得AM＝FM＝AF，BM＝EM＝BE，EN＝CN＝CE，FN＝DN＝DF，AF∥CE，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF，则AM＝EN＝FM＝CN，BM＝FN＝DN＝EM，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵AE＝CF，
∴DE＝BF，
∴四边形AECF和四边形DEBF都是平行四边形，
∴AF∥CE，BE∥DF，
∴四边形EMFN是平行四边形；
（2）解：以MN为边的所有平行四边形为：平行四边形BMNF、平行四边形EMND、平行四边形AMNE、平行四边形FMNC，理由如下：
连接EF，如图所示：
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
同（1）得：四边形ABFE、四边形CDEF、四边形AECF和四边形DEBF都是平行四边形，
∴AM＝FM＝AF，BM＝EM＝BE，EN＝CN＝CE，FN＝DN＝DF，AF∥CE，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF，
∴AM＝EN＝FM＝CN，BM＝FN＝DN＝EM，
∴四边形AMNE、四边形FMNC、四边形BMNF、四边形EMND是平行四边形，

【点评】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，灵活运用平行四边形的性质和判定进行推理是解此题的关键．
23．（2021•南岗区校级二模）已知，在平行四边形ABCD中，点E、F在分别边BC、AD上，且BE＝DF，EH⊥CF于点H，FG⊥AE于点G．
（1）求证：GE＝FH；
（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中与∠AFG互余的所有角．

【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【分析】（1）根据平行四边形性质，可得∠AEH+∠FHE＝180°，EH⊥CF，FG⊥AE，可得∠FGE＝∠FHE＝∠GEG＝90°，所以四边形EHFG为矩形，求得GE＝FH；
（2）根据余角的性质，解答即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵BE＝DF，
∴AD：DF＝BC：BE，
∴AF＝CE，AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形
∴AE∥CF，
∴∠AEH+∠FHE＝180°，
∵EH⊥CF，FG⊥AE，
∴∠FGE＝∠FHE＝∠GEG＝90°，
∴四边形EHFG为矩形，
∴GE＝FH；
（2）∵GF⊥AE，
∴∠GAF+∠AFG＝90°，
∵AD∥BC，AE∥FC，
∴∠AEB＝∠GAF，∠HCE＝∠CFD＝∠GAF，
与∠AFG互余的角有：∠FAG、∠AEB、∠DFC、∠FCB．
【点评】本题考查了平行四边形性质和余角的性质，掌握这些性质是解题的关键．
24．（2021•邵阳模拟）如图．在一次数学研究性学习中，小华将两个全等的直角三角形纸片Rt△ABC和Rt△DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1），其中∠ACB＝∠DFE＝90°，发现四边形ABDE是平行四边形．如图2，小华继续将图1中的纸片Rt△DEF沿AC方向平移，连接AE，BD，当点F与点C重合时停止平移．
（1）请问：四边形ABDE是平行四边形吗？说明理由．
（2）如图3，若BC＝EF＝6cm，AC＝DF＝8cm，当AF＝cm时，请判断四边形ABDE的形状，并说明理由．

【考点】全等三角形的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；平移的性质．
【专题】证明题；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【分析】（1）由全等三角形的性质得出AB＝DE，∠BAC＝∠EDF，则AB∥DE，可得出结论；
（2）根据勾股定理可得AB的长，然后证明△AFE∽△EFD，进而可得结论．
【解答】（1）答：四边形ABDE是平行四边形．理由如下：
∵Rt△ABC≌Rt△DEF，

∴四边形ABDE是平行四边形；
（2）在Rt△ABC与Rt△DEF中，
∵BC＝EF＝6cm，AC＝DF＝8cm，
∴AB＝＝10cm，
∵AF＝cm，DE＝AB＝10（cm），
∵＝＝，＝＝，
∴＝，
∵∠AFE＝∠DFE＝90°，
∴△AFE∽△EFD，
又∠FAE+∠AEF＝90°，
即∠AED＝90°，
由（1）可知：ABDE是平行四边形，
∴平行四边形ABDE为矩形．
【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，平移的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
25．（2021•合川区校级模拟）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠BCD＝90°，AB＝DC＝4，AD＝BC＝8．延长BC到E，使CE＝3，连接DE，由直角三角形的性质可知DE＝5．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．（t＞0）
（1）当t＝3时，BP＝　6　；
（2）当t＝　8　时，点P运动到∠B的角平分线上；
（3）请用含t的代数式表示△ABP的面积S；
（4）当0＜t＜6时，直接写出点P到四边形ABED相邻两边距离相等时t的值．

【考点】列代数式；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质．
【专题】动点型；分类讨论；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【分析】（1）根据题意可得BP＝2t，进而可得结果；
（2）根据∠A＝∠B＝∠BCD＝90°，可得四边形ABCD是矩形，根据角平分线定义可得AF＝AB＝4，得DF＝4，进而可得t的值；
（3）根据题意分3种情况讨论：①当点P在BC上运动时，②当点P在CD上运动时，③当点P在AD上运动时，分别用含t的代数式表示△ABP的面积S即可；
（4）当0＜t＜6时，点P在BC、CD边上运动，根据题意分情况讨论：①当点P在BC上，点P到AD边的距离为4，点P到AB边的距离也为4，②当点P在BC上，点P到AD边的距离为4，点P到DE边的距离也为4，③当点P在CD上，点P到AB边的距离为8，但点P到AB、BC边的距离都小于8，进而可得当t＝2s或t＝3s时，点P到四边形ABED相邻两边距离相等．
【解答】解：（1）BP＝2t＝2×3＝6，
故答案为：6；
（2）作∠B的角平分线交AD于F，

∴∠ABF＝∠FBC，
∵∠A＝∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AD∥BC，
∴∠AFB＝∠FBC，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AF＝AB＝4，
∴DF＝AD﹣AF＝8﹣4＝4，
∴BC+CD+DF＝8+4+4＝16，
∴2t＝16，解得t＝8．
∴当t＝8时，点P运动到∠ABC的角平分线上；
故答案为：8；
（3）根据题意分3种情况讨论：
①当点P在BC上运动时，
S△ABP＝×BP×AB＝×2t×4＝4t；（0＜t＜4）；
②当点P在CD上运动时，
S△ABP＝×AB×BC＝×4×8＝16；（4≤t≤6）；
③当点P在AD上运动时，
S△ABP＝×AB×AP＝×4×（20﹣2t）＝﹣4t+40；（6＜t≤10）；
（4）当0＜t＜6时，点P在BC、CD边上运动，
根据题意分情况讨论：
①当点P在BC上，点P到四边形ABED相邻两边距离相等，
∴点P到AD边的距离为4，
∴点P到AB边的距离也为4，
即BP＝4，
∴2t＝4，解得t＝2s；
②当点P在BC上，点P到AD边的距离为4，
∴点P到DE边的距离也为4，

∴PE＝DE＝5，
∴PC＝PE﹣CE＝2，
∴8﹣2t＝2，解得t＝3s；
③当点P在CD上，如图，过点P作PH⊥DE于点H，
点P到DE、BE边的距离相等，
即PC＝PH，
∵PC＝2t﹣8，
∵S△DCE＝S△DPE+S△PCE,
∴3×4＝5×PH+3×PC,
∴12＝8PH,
∴12＝8(2t﹣8),
解得t＝．

综上所述：t＝2或t＝3或t＝时，点P到四边形ABED相邻两边距离相等．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、角平分线定义、三角形的面积、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
26．（2021•南岗区模拟）已知，如图1，D是△ABC的边上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC．
（1）求证：四边形ADCN是平行四边形．
（2）如图2，若∠AMD＝2∠MCD，∠ACB＝90°，AC＝BC．请写出图中所有与线段AN相等的线段（线段AN除外）．

【考点】平行四边形的判定与性质．
【分析】（1）由CN∥AB，MA＝MC，易证得△AMD≌△CMN，则可得MD＝MN，即可证得：四边形ADCN是平行四边形．
（2）由∠AMD＝2∠MCD，可证得四边形ADCN是矩形，又由∠ACB＝90°，AC＝BC，可得四边形ADCN是正方形，继而求得答案．
【解答】（1）证明：∵CN∥AB，
∴∠DAM＝∠NCM，
在△ADM和△CNM中，
，
∴△AMD≌△CMN（ASA），
∴MD＝MN，
∴四边形ADCN是平行四边形．

（2）解：∵∠AMD＝2∠MCD，∠AMD＝∠MCD+∠MDC，
∴∠MCD＝∠MDC，
∴MC＝MD，
∴AC＝DN，
∴▱ADCN是矩形，
∵AC＝BC，
∴AD＝BD，
∵∠ACB＝90°，
∴CD＝AD＝BD＝AB，
∴▱ADCN是正方形，
∴AN＝AD＝BD＝CD＝CN．
【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质、正方形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识．注意证得△AMD≌△CMN与四边形ADCN是正方形是解此题的关键．
27．（2020•丰泽区校级模拟）已知：如图，E、F是▱ABCD的对角线AC上的两点，CE＝AF．请你猜想：线段BE与线段DF有怎样的关系？并对你的猜想加以证明．

【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【分析】首先连接BD交AC于点O，由▱ABCD的对角线AC上的两点，CE＝AF，易得OE＝OF，OB＝OD，继而可得四边形BEDF是平行四边形，即可证得结论．
【解答】解：BE＝DF，BE∥DF．
证明：连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵CE＝AF，
∴CE﹣OC＝AF﹣OA，
即OE＝OF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BE＝DF，BE∥DF．

【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
28．（2016•鱼峰区一模）已知：▱ABCD中，E是CD的中点，AE的延长线与BC的延长线相交于点F．求证：BC＝CF．

【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】证明题．
【分析】先证明△ADE≌△FCE，得出AD＝CF，再根据平行四边形的性质可知AD＝BC，继而即可得出结论．
【解答】证明：如图所示
∵四边形ABCD为平行四边形，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠FCE，
∵E是CD的中点，
∴DE＝CE，
在△ADE和△FCE中，，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴AD＝CF，
又∵AD＝BC，
∴BC＝CF．

【点评】本题考查平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
29．（2016•黄浦区二模）如图，在△ABC上，点D、E分别是AC、BC边上的点，AE与BD交于点O，且CD＝CE，∠1＝∠2．
（1）求证：四边形ABDE是等腰梯形；
（2）若EC＝2，BE＝1，∠AOD＝2∠1，求AB的长．

【考点】等腰梯形的判定．
【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠CDE＝∠CED，由三角形的外角性质和已知条件得出∠AED＝∠BDE，证出OD＝OE，由AAS证明△AOD≌△BOE，得出AD＝BE，OA＝OB，由等腰三角形的性质得出∠OAB＝∠OBA，再由对顶角相等和三角形内角和定理得出∠OAB＝∠OBA＝∠ODE＝∠OED，证出DE∥AB，即可得出结论；
（2）由三角形的外角性质和已知条件得出∠1＝∠OED，证出AD＝ED＝BE＝1，由平行线的性质得出△CDE∽△CAB，得出对应边成比例，即可得出AB的长．
【解答】（1）证明：∵CD＝CE，
∴∠CDE＝∠CED，
∵∠CDE＝∠2+∠AED，∠CED＝∠1+∠BDE，∠1＝∠2，
∴∠AED＝∠BDE，
∴OD＝OE，
在△AOD和△BOE中，
，
∴△AOD≌△BOE（AAS），
∴AD＝BE，OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵∠AOD＝∠BOE，
∴∠OAB＝∠OBA＝∠ODE＝∠OED，
∴DE∥AB，
∴四边形ABDE是等腰梯形；
（2）解：∵∠AOD＝2∠1＝∠ODE+∠OED，∠OED＝∠ODE，
∴∠1＝∠OED，
∴AD＝ED＝BE＝1，
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴，
即，
解得：AB＝．
【点评】本题考查了等腰梯形的判定、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰梯形的判定，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．
30．（2016•临朐县一模）在平面直角坐标系中，已知等腰梯形ABCD的三个顶点A（﹣2，0），B（6，0），C（4，6），对角线AC与BD相交于点E．
（1）求E的坐标；
（2）若M是x轴上一动点，求MC+MD的最小值；
（3）在y轴正半轴上求点P，使以P、B、C为顶点的三角形为等腰三角形．

【考点】坐标与图形性质；等腰三角形的判定；等腰梯形的性质；轴对称﹣最短路线问题．
【专题】代数几何综合题；压轴题．
【分析】（1）作EF⊥AB，根据已知，可得出OD＝6，FB＝4，OF＝2，然后，根据相似，即可求出EF的长，即可得出点E的坐标；
（2）作点D关于x轴的对称点D′，则D′的坐标为（0，﹣6），根据两点间的距离公式，算出即可；
（3）设点P（0，y），y＞0，分三种情况，①PC＝BC；②PB＝BC；③PB＝PC；解答出即可；
【解答】解：（1）作EF⊥AB，
∴＝，
∵梯形ABCD是等腰梯形，
∴AE＝BE，
∴在等腰三角形ABE中，AF＝BF，
∵A（﹣2，0），B（6，0），C（4，6），
∴点D的坐标为（0，6），
∴OD＝6，FB＝4，OF＝2，
∴＝，
∴EF＝4，
∴点E的坐标为（2，4）；

（2）由题意可得，
点D关于x轴的对称点D′的坐标为（0，﹣6），
CD′与x轴的交点为M，
∴此时，MC+MD＝CD′为最小值，
∴CD′＝＝4；

（3）设点P（0，y），y＞0，
分三种情况，①PC＝BC；
∴42+（6﹣y）2＝22+62，
解得，y＝6±；
②PB＝BC；
∴62+y2＝22+62，
解得，y＝2，y＝﹣2（舍去）；
③PB＝PC；
∴62+y2＝42+（6﹣y）2，
解得，y＝；
综上，点P的坐标为：（0，6+），（0，6﹣），（0，2），（0，）．

【点评】本题主要考查了等腰梯形、等腰三角形、最短路线问题及坐标与图形的关系，锻炼了学生对于知识的综合运用能力和良好的空间想象能力．