初中数学北师大版八年级下册第五章 分式与分式方程综合与测试测试题

这是一份初中数学北师大版八年级下册第五章 分式与分式方程综合与测试测试题，共34页。试卷主要包含了设x＜0，x﹣＝，则代数式的值等内容，欢迎下载使用。
《分式与分式方程》综合练习题
一．选择题（共10小题）
1．（2021•十堰）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天，设现在平均每天生产x台机器，则下列方程正确的是（　　）
A．﹣＝1 B．﹣＝1
C．﹣＝50 D．﹣＝50
2．（2021•嘉兴）为迎接建党一百周年，某校举行歌唱比赛．901班啦啦队买了两种价格的加油棒助威，其中缤纷棒共花费30元，荧光棒共花费40元，缤纷棒比荧光棒少20根，缤纷棒单价是荧光棒的1.5倍．若设荧光棒的单价为x元，根据题意可列方程为（　　）
A．﹣＝20 B．﹣＝20
C．﹣＝20 D．﹣＝20
3．（2021•重庆）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥6，且关于y的分式方程+＝2的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　）
A．5 B．8 C．12 D．15
4．（2021春•沙坪坝区校级月考）已知关于x的不等式组有解，且关于y的分式方程＝4﹣有正整数解，则所有满足条件的整数a的值的个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2021春•茅箭区月考）某施工队计划修建一个长为600米的隧道，第一周按原计划的速度修建，一周后以原来速度的1.5倍修建，结果比原计划提前一周完成任务，若设原计划一周修建隧道x米，则可列方程为（　　）
A．＝+2 B．＝﹣2
C．＝+1 D．＝﹣1
6．（2021•铜梁区校级一模）若整数a使关于x的不等式组有且只有两个整数解，且关于y的分式方程﹣＝﹣2的解为正数，则满足上述条件的a的和为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2021•九龙坡区校级模拟）若数m使关于x的不等式组有解且至多有3个整数解，且使关于x的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数m的个数是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
8．（2021春•重庆月考）若关于x的一元一次不等式组有且仅有3个整数解，且关于x的分式方程+＝1有正数解，则所有满足条件的整数a的和为（　　）
A．12 B．13 C．14 D．15
9．（2018春•温州期末）甲、乙、丙三名打字员承担一项打字任务，已知如下信息

如果每小时只安排1名打字员，那么按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务，共需（　　）
A．13小时 B．13小时 C．14小时 D．14小时
10．设x＜0，x﹣＝，则代数式的值（　　）
A．1 B． C． D．
二．填空题（共10小题）
11．（2020秋•锦江区校级月考）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥5，且关于y的分式方程+＝﹣1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为　 　．
12．（2020秋•沙坪坝区校级月考）中秋、国庆“双节”前，某酒店推出甲，乙两种包装的月饼，其中甲种包装有五仁饼3个，莲蓉饼3个，豆沙饼2个，乙种包装有五仁饼1个，莲蓉饼1个，豆沙饼2个，每种包装每盒月饼的成本价为该盒中所有月饼的成本价之和．已知每个五仁饼与每个莲蓉饼的成本价之比为5：4，每盒乙包装月饼售价98元，利润率是40%，两种包装的月饼共50盒总价6123元，总利润率是30%．中秋节后，为降价促销，甲种包装每盒每类月饼各少装一个，乙种包装每盒少装月饼后售价降为原来的一半，利润率不变，那么这样包装的两种月饼共50盒的总成本是　 　元（其中甲种包装少装月饼后的盒数与节前50盒中甲种包装月饼的盒数相同，当然乙种包装盒数也相同）．
13．（2019•雨城区校级模拟）若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程＝2的解为非负数，则符合条件的所有整数a的和为　 　．
14．（2014春•青羊区期末）已知x2﹣5x+1＝0，则的值是　 　．
15．（2009春•营山县期末）已知，则＝　 　．
16．已知实数x，y，z，a满足x+a2＝2010，y+a2＝2011，z+a2＝2012，且xyz＝6，则代数式++﹣﹣﹣的值等于　 　．
17．“非洲猪瘟”本是一种只在家畜之间传播的瘟疫，但最近已严重威胁到广大人民群众的生命安全，现我市有一组检疫工作人员（工作人员每人每天生猪检疫的效率相等），需对甲、乙两个生猪养殖场的所有生猪逐一检疫，已知，甲养殖场的生猪比乙养殖场的生猪多1倍．上午全部工作人员在甲养殖场检疫，为了尽快完成检疫，下午所有工作人员的平均工作效率提高了20%，但下午有一人因事离开，剩下的工作人员的一半仍留在甲养殖场（上、下午的工作时间相等），到下班前刚好把甲养殖场的生猪检疫完毕，另一半工作人员去乙养殖场检疫，到下班前还剩下一小部分生猪未检疫，最后由6人以提高前的检疫速度，再用不到半天的工作时间就完成了检疫．则这组工作人员最多有　 　人．
18．（2021•九龙坡区模拟）临近端午，甲、乙两生产商分别承接制作白粽，豆沙粽和蛋黄粽的任务（三种粽子都有成品，甲生产商安排200名工人制作白粽和豆沙粽，每人只能制作其中一种粽子，乙生产商安排100名工人制作蛋黄粽，其中豆沙粽的人均制作数量比白粽的人均制作数量少15个，蛋黄粽的人均制作数量比豆沙粽的人均制作数量少20%，若本次制作的白粽、豆沙粽和蛋黄粽三种粽子的人均制作数量比白粽的人均制作数用少20%，且豆沙粽的人均制作量为偶数个，则本次可制作的粽子数量最多为　 　个．
19．（2020秋•北京期末）依据如图流程图计算﹣，需要经历的路径是　 　（只填写序号），输出的运算结果是　 　．

20．设2016a3＝2017b3＝2018c3，abc＞0，且＝++，则++＝　 　
三．解答题（共10小题）
21．（2021•包河区三模）市政府为美化城市环境，计划在某区城种植树木2000棵，由于青年志愿者的加入，实际每天植树棵数是原计划的2倍，结果提前4天完成任务．求实际每天植树多少棵？
22．（2021•平房区三模）某体育用品商店计划购进一些篮球和排球．已知每个篮球的进价和每个排球的进价的和为200元，用2400元购进的篮球数量是用800元购进排球数量的2倍．
（1）求每个篮球和每个排球的进价各是多少元；
（2）若该体育用品商店计划购进篮球和排球共40个，且购进的总费用不超过3800元，则该体育用品商店最多可以购进篮球多少个？
23．（2021•岳阳二模）岳阳市区某中学为了创建“书香校园”，今年春季购买了一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多5元，已知学校用20000元购买的科普类图书的本数与用15000元购买的文学类图书的本数相等．
（1）求学校购买的科普类图书和文学类图书平均每本的价格各是多少元？
（2）学校计划在五月份再添置600本这两类图书，且费用不超过10000元，问最多可以购买科普类图书多少本？
24．（2021•宝安区模拟）为了抗击“新型肺炎”，我市某医药器械厂接受了生产一批高质量医用口罩的任务，任务要求在30天之内（含30天）生产A型和B型两种型号的口罩共200万只．在实际生产中，由于受条件限制，该工厂每天只能生产一种型号的口罩．已知该工厂每天可生产A型口罩的个数是生产B型口罩的2倍，并且加工生产40万只A型口罩比加工生产50万只B型口罩少用6天．
（1）该工厂每天可加工生产多少万只B型口罩？
（2）若生产一只A型口罩的利润是0.8元，生产一只B型口罩的利润是1.2元，在确保准时交付的情况下，如何安排工厂生产可以使生产这批口罩的利润最大？
25．（2020秋•香洲区期末）已知（x+a）（x+b）＝x2+mx+n．
（1）若a＝﹣3，b＝2，则m＝　 　，n＝　 　；
（2）若m＝﹣2，，求的值；
（3）若n＝﹣1，当时，求m的值．
26．（2021春•滨湖区期中）小红、小刚、小明三位同学在讨论：当x取何整数时，分式的值是整数？
小红说：这个分式的分子、分母都含有x，它们的值均随x取值的变化而变化，有点难．
小刚说：我会解这类问题：当x取何整数时，分式的值是整数？3是x+1的整数倍即可，注意不要忘记负数哦．
小明说：可将分式与分数进行类比．本题可以类比小学里学过的“假分数”，当分子大于分母时，可以将“假分数”化为一个整数与“真分数”的和．比如：＝＝2+（通常写成带分数：2）．类比分式，当分子的次数大于或等于分母次数时，可称这样的分式为“假分式”，若将化成一个整式与一个“真分式”的和，就转化成小刚说的那类问题了！
小红、小刚说：对！我们试试看！…
（1）解决小刚提出的问题；
（2）解决他们共同讨论的问题．
27．（2021春•大兴区期中）已知非零实数a、b满足等式，求的值．
28．（2020秋•连山区期末）阅读下面的材料，并解答后面的问题
材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式．
解：由分母为x+1，可设3x2+4x﹣1＝（x+1）（3x+a）+b．
因为（x+1）（3x+a）+b＝3x2+ax+3x+a+b＝3x2+（a+3）x+a+b，
所以3x2+4x﹣1＝3x2+（a+3）x+a+b．
所以，解得．

所以＝＝﹣＝3x+1﹣．

这样，分式就被拆分成了一个整式3x+1与一个分式的差的形式．
根据你的理解解决下列问题：
（1）请将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式；
（2）若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11+，求m2+n2+mn的最小值．
29．（2020秋•乌苏市期末）近年来，安全快捷、平稳舒适的中国高铁，为世界高速铁路商业运营树立了新的标杆．随着中国特色社会主义进入新时代，作为“中国名片”的高速铁路也将踏上自己的新征程，跑出发展新速度，这就意味着今后外出旅行的路程与时间将大大缩短，但也有不少游客根据自己的喜好依然选择乘坐普通列车；已知从A地到某市的高铁行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁行驶路程的1.3倍，请完成以下问题：
（1）普通列车的行驶路程为多少千米？
（2）若高铁的平均速度（千米/时）是普通列车平均速度（千米/时）的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求普通列车和高铁的平均速度．
30．（2021•禅城区校级一模）先化简（1﹣）÷，再从0，2，﹣1，1中选择一个合适的数代入并求值．

参考答案
一．选择题（共10小题）
1．（2021•十堰）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天，设现在平均每天生产x台机器，则下列方程正确的是（　　）
A．﹣＝1 B．﹣＝1
C．﹣＝50 D．﹣＝50
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【专题】分式方程及应用；应用意识．
【分析】设现在平均每天生产x台机器，则原计划平均每天生产（x﹣50）台机器，根据“现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天”列出方程即可．
【解答】解：设现在平均每天生产x台机器，则原计划平均每天生产（x﹣50）台机器，
根据题意，得﹣＝1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，利用本题中“生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天”这一个隐含条件，进而得出等式方程是解题关键．
2．（2021•嘉兴）为迎接建党一百周年，某校举行歌唱比赛．901班啦啦队买了两种价格的加油棒助威，其中缤纷棒共花费30元，荧光棒共花费40元，缤纷棒比荧光棒少20根，缤纷棒单价是荧光棒的1.5倍．若设荧光棒的单价为x元，根据题意可列方程为（　　）
A．﹣＝20 B．﹣＝20
C．﹣＝20 D．﹣＝20
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【专题】分式方程及应用；应用意识．
【分析】若设荧光棒的单价为x元，则缤纷棒单价是1.5x元，根据等量关系“缤纷棒比荧光棒少20根”列方程即可．
【解答】解：若设荧光棒的单价为x元，则缤纷棒单价是1.5x元，
根据题意可得：﹣＝20．
故选：B．
【点评】考查了由实际问题抽象出分式方程，应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
3．（2021•重庆）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥6，且关于y的分式方程+＝2的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　）
A．5 B．8 C．12 D．15
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式组．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【分析】解出一元一次不等式组的解集，根据不等式组的解集为x≥6，列出不等式，求出a的范围；解出分式方程的解，根据方程的解是正整数，列出不等式，求得a的范围；检验分式方程，列出不等式，求得a的范围；综上所述，得到a的范围，最后根据方程的解是正整数求得满足条件的整数a的值，求和即可．
【解答】解：，
解不等式①得：x≥6，
解不等式②得：x＞，
∵不等式组的解集为x≥6，
∴6，
∴a＜7；
分式方程两边都乘（y﹣1）得：y+2a﹣3y+8＝2（y﹣1），
解得：y＝，
∵方程的解是正整数，
∴＞0，
∴a＞﹣5；
∵y﹣1≠0，
∴1，
∴a≠﹣3，
∴﹣5＜a＜7，且a≠﹣3，
∴能使是正整数的a是：﹣1，1，3，5，
∴和为8，
故选：B．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，注意解分式方程一定要检验．
4．（2021春•沙坪坝区校级月考）已知关于x的不等式组有解，且关于y的分式方程＝4﹣有正整数解，则所有满足条件的整数a的值的个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．
【专题】分式方程及应用；一元一次不等式(组)及应用；推理能力．
【分析】分别求出满足不等式有解与分式方程的解为正数的a的取值范围，再求出其中满足使分式方程的解为正整数的a的整数值，注意舍去增根的情况．
【解答】解：
解不等式①得x＜2，
解不等式②得x＞﹣1，
∵不等式组有解，
∴﹣1＜2，
解得a＜9，
解分式方程＝4﹣得y＝，
∵方程的解为正数，
∴＞0且≠3，
∴a＞﹣且a≠3，
∴﹣＜a＜9且a≠3，
满足使方程的解为正整数的整数a的值有0，6两个．
故选：A．
【点评】本题考查一元一次不等式组与分式方程的解，解题关键是求解过程要注意分式方程的增根情况．
5．（2021春•茅箭区月考）某施工队计划修建一个长为600米的隧道，第一周按原计划的速度修建，一周后以原来速度的1.5倍修建，结果比原计划提前一周完成任务，若设原计划一周修建隧道x米，则可列方程为（　　）
A．＝+2 B．＝﹣2
C．＝+1 D．＝﹣1
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【专题】分式方程及应用；应用意识．
【分析】设原计划一周修建隧道x米，则提速后的速度为一周修建1.5x米，根据“结果比原计划提前一周完成任务”即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：设原计划一周修建隧道x米，则提速后的速度为一周修建1.5x米，
根据题意，得：＝+1．
故选：C．
【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
6．（2021•铜梁区校级一模）若整数a使关于x的不等式组有且只有两个整数解，且关于y的分式方程﹣＝﹣2的解为正数，则满足上述条件的a的和为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式；一元一次不等式组的整数解．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【分析】解出一元一次不等式组的解集，根据有且只有两个整数解列出不等式求出a的范围；解分式方程，根据解为正数，且y﹣1≠0，得到a的范围；然后得到a的范围，再根据a为整数得到a的值，最后求和即可．
【解答】解：，
解不等式①得：x≤2，
解不等式②得：x≥，
∴不等式组的解集为≤x≤2，
∵不等式组有且只有两个整数解，
∴0＜≤1，
∴0＜a≤3；
分式方程两边都乘以（y﹣1）得：1﹣3y+2a＝﹣2（y﹣1），
解得：y＝2a﹣1，
∵分式方程的解为正数，
∴2a﹣1＞0，
∴a＞；
∵y﹣1≠0，
∴y≠1，
∴2a﹣1≠1，
∴a≠1，
∴＜a≤3，且a≠1，
∵a是整数，
∴a＝2或3，
∴2+3＝5，
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，解分式方程时别忘记检验．
7．（2021•九龙坡区校级模拟）若数m使关于x的不等式组有解且至多有3个整数解，且使关于x的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数m的个数是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【考点】分式方程的解；一元一次不等式组的整数解．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【分析】解出不等式组的解集，根据不等式组有解且至多3个整数解，求得m的取值范围；解分式方程，检验，根据方程有整数解求得m的值
【解答】解：，
解不等式①得：x≥﹣1，
∴﹣1≤x＜，
∵不等式组有解且至多3个整数解，
∴﹣1＜＜2，
∴﹣3＜m＜6，
分式方程两边都乘以（x﹣1）得：mx﹣2﹣3＝2（x﹣1），
∴（m﹣2）x＝3，
当m≠2时，x＝，
∵x﹣1≠0，
∴x≠1，
∴≠1，
∴m≠5，
∵方程有整数解，
∴m﹣2＝±1，±3，
解得：m＝3，1，5，﹣1，
∵m≠5，
∴，m＝3，1，﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，考核学生的计算能力，解分式方程时一定要检验．
8．（2021春•重庆月考）若关于x的一元一次不等式组有且仅有3个整数解，且关于x的分式方程+＝1有正数解，则所有满足条件的整数a的和为（　　）
A．12 B．13 C．14 D．15
【考点】分式方程的解；一元一次不等式组的整数解．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【分析】解不等式组，根据不等式组有且仅有3个整数解，得到a的范围；解分式方程，根据分式方程有意义和方程有正数解求得a的范围，从而得到2＜a≤6，且a≠5，所以a的整数解为3，4，6，和为13．
【解答】解：，
解不等式①得：x＜5，
解不等式②得：x≥，
∴不等式组的解集为，
∵不等式组有且仅有3个整数解，
∴1＜≤2，
∴2＜a≤6；
分式方程两边都乘以（x﹣1）得：ax﹣2﹣3＝x﹣1，
解得：x＝，
∵x﹣1≠0，
∴x≠1，
∵方程有正数解，
∴0，≠1，
∴a＞1，a≠5，
∴2＜a≤6，且a≠5，
∴a的整数解为3，4，6，和为13，
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，解分式方程不要忘记检验．
9．（2018春•温州期末）甲、乙、丙三名打字员承担一项打字任务，已知如下信息

如果每小时只安排1名打字员，那么按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务，共需（　　）
A．13小时 B．13小时 C．14小时 D．14小时
【考点】分式方程的应用．
【专题】分式方程及应用．
【分析】设甲单独完成任务需要x小时，则乙单独完成任务需要（x﹣5）小时；根据信息二提供的信息列出方程并解答；根据信息三得到丙的工作效率，易得按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务所需的时间．
【解答】解：设甲单独完成任务需要x小时，则乙单独完成任务需要（x﹣5）小时，则
＝．
解得x＝20
经检验x＝20是原方程的根，且符合题意．
则丙的工作效率是．
所以一轮的工作量为：++＝．
所以4轮后剩余的工作量为：1﹣＝．
所以还需要甲、乙分别工作1小时后，丙需要的工作量为：﹣﹣＝．
所以丙还需要工作小时．
故一共需要的时间是：3×4+2+＝14小时．
故选：C．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
10．设x＜0，x﹣＝，则代数式的值（　　）
A．1 B． C． D．
【考点】分式的值；分式的加减法．
【专题】计算题；整体思想．
【分析】根据完全平方公式以及立方和公式即可求出答案．
【解答】解：∵x﹣＝，
∴（x）2＝5，
∴x2+＝7，
∴（x+）2＝x2+2+＝9，
∵x＜0，
∴x+＝﹣3，
∴x2+1＝﹣3x，
∴x4+1＝7x2，
∵（x2+）2＝x4+2+，
∴x4+＝47，
∴x8+1＝47x4，
∵x3+＝（x+）（x2﹣1+），
∴x3+＝﹣18，
∴x6+1＝﹣18x3，
∴原式＝
＝
＝
＝
＝
故选：B．
【点评】本题考查学生的整体的思想，解题的关键是熟练运用完全平方公式以及立方和公式，本题属于难题．
二．填空题（共10小题）
11．（2020秋•锦江区校级月考）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥5，且关于y的分式方程+＝﹣1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为　﹣2　．
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【分析】分别解出两个一元一次不等式的解集，根据不等式组的解集为x≥5，列出不等式求得a的范围；解分式方程，根据方程有非负整数解，且y﹣2≠0列出不等式，求得a的范围；综上所述，求得a的范围．根据a为整数，求出a的值，最后求和即可．
【解答】解：，
解不等式①得：x≥5，
解不等式②得：x＞a+2，
∵解集为x≥5，
∴a+2＜5，
∴a＜3；
分式方程两边都乘以（y﹣2）得：y﹣a＝﹣（y﹣2），
解得：y＝，
∵分式方程有非负整数解，
∴≥0，
∴a≥﹣2，
∵≠2，
∴a≠2，
综上所述，﹣2≤a＜3且a≠2，
∴符合条件的所有整数a的数有：﹣2，﹣1，0，1，
和为﹣2﹣1+0+1＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，解分式方程时一定记得要检验．
12．（2020秋•沙坪坝区校级月考）中秋、国庆“双节”前，某酒店推出甲，乙两种包装的月饼，其中甲种包装有五仁饼3个，莲蓉饼3个，豆沙饼2个，乙种包装有五仁饼1个，莲蓉饼1个，豆沙饼2个，每种包装每盒月饼的成本价为该盒中所有月饼的成本价之和．已知每个五仁饼与每个莲蓉饼的成本价之比为5：4，每盒乙包装月饼售价98元，利润率是40%，两种包装的月饼共50盒总价6123元，总利润率是30%．中秋节后，为降价促销，甲种包装每盒每类月饼各少装一个，乙种包装每盒少装月饼后售价降为原来的一半，利润率不变，那么这样包装的两种月饼共50盒的总成本是　4710　元（其中甲种包装少装月饼后的盒数与节前50盒中甲种包装月饼的盒数相同，当然乙种包装盒数也相同）．
【考点】分式方程的应用．
【专题】整式；运算能力．
【分析】设乙的成本价为a，然后根据题意列出90﹣s＝40%a，求得a，设五仁饼的成本价为x，则一个莲蓉饼的成本价，则两豆沙饼成本价为（70﹣），设五仁饼的成本价为x，则一个莲蓉饼的成本价，则两豆沙饼成本价为（70﹣），设甲礼盒和乙礼盒分别为m盒和n盒，然后列式计算即可．
【解答】解：设乙的成本价为a，
根据题意列出90﹣s＝40%a，
解得a＝70，
设五仁饼的成本价为x，则一个莲蓉饼的成本价，则两豆沙饼成本价为（70﹣），
设甲礼盒和乙礼盒分别为m盒和n盒，m+n＝50
则有70n+m（3x+3×）＝6213÷（1+30%）
70n+70m+mx＝4710．
xm＝，
节后乙每盒成本98÷2÷（1+40%）＝35，
甲每盒成本2x+2×x+35﹣x＝35+x，
总成本35n+m（35+x）＝35×50+×＝2657.5．
故答案为：2657.5．
【点评】本题考查了列代数式和一元一次方程，根据题意正确列出代数式是解题的关键．
13．（2019•雨城区校级模拟）若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程＝2的解为非负数，则符合条件的所有整数a的和为　1　．
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式；一元一次不等式组的整数解．
【专题】计算题；方程与不等式；应用意识．
【分析】解不等式组，得到不等式组的解集，根据整数解的个数判断a的取值范围，解分式方程，用含有a的式子表示y，根据解的非负性求出a的取值范围，确定符合条件的整数a，相加即可．
【解答】解：，
解①得，x＜5；
解②得，
∴不等式组的解集为；
∵不等式有且只有四个整数解，
∴，
解得，﹣2＜a≤2；
解分式方程得，y＝2﹣a（a≠1）；
∵方程的解为非负数，
∴2﹣a≥0即a≤2且a≠1
综上可知，﹣2＜a≤2且a≠1，
∵a是整数，
∴a＝﹣1，0，2；
∴﹣1+0+2＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，分式方程，本题易错，易忽视分式方程有意义的条件．
14．（2014春•青羊区期末）已知x2﹣5x+1＝0，则的值是　　．
【考点】分式的化简求值．
【分析】先根据题意得出x2＝5x﹣1，再根据分式混合运算的法则进行计算即可．
【解答】解：∵x2﹣5x+1＝0，
∴x2＝5x﹣1，
∴原式＝
＝
＝
＝
＝
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
15．（2009春•营山县期末）已知，则＝　﹣　．
【考点】分式的化简求值．
【专题】探究型．
【分析】先根据题意得出x﹣y＝﹣2xy，再代入所求代数式进行计算即可．
【解答】解：∵﹣＝2，
∴＝2，即x﹣y＝﹣2xy，
原式＝
＝
＝
＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意通分及约分的灵活应用．
16．已知实数x，y，z，a满足x+a2＝2010，y+a2＝2011，z+a2＝2012，且xyz＝6，则代数式++﹣﹣﹣的值等于　　．
【考点】分式的化简求值．
【专题】分式；运算能力；推理能力．
【分析】根据xyz＝6，可以先将所求式子化简，然后根据x+a2＝2010，y+a2＝2011，z+a2＝2012，可以得到x﹣y＝﹣1，y﹣z＝﹣1，x﹣z＝﹣2，然后代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：∵xyz＝6，
∴++﹣﹣﹣
＝﹣
＝﹣
＝
＝[（x﹣y）2+（y﹣z）2+（x﹣z）2]，
∵x+a2＝2010，y+a2＝2011，z+a2＝2012，
∴x﹣y＝﹣1，y﹣z＝﹣1，x﹣z＝﹣2，
∴原式＝×[（﹣1）2+（﹣1）2+（﹣2）2]＝×（1+1+4）＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
17．“非洲猪瘟”本是一种只在家畜之间传播的瘟疫，但最近已严重威胁到广大人民群众的生命安全，现我市有一组检疫工作人员（工作人员每人每天生猪检疫的效率相等），需对甲、乙两个生猪养殖场的所有生猪逐一检疫，已知，甲养殖场的生猪比乙养殖场的生猪多1倍．上午全部工作人员在甲养殖场检疫，为了尽快完成检疫，下午所有工作人员的平均工作效率提高了20%，但下午有一人因事离开，剩下的工作人员的一半仍留在甲养殖场（上、下午的工作时间相等），到下班前刚好把甲养殖场的生猪检疫完毕，另一半工作人员去乙养殖场检疫，到下班前还剩下一小部分生猪未检疫，最后由6人以提高前的检疫速度，再用不到半天的工作时间就完成了检疫．则这组工作人员最多有　27　人．
【考点】分式方程的应用．
【专题】一元一次不等式(组)及应用；应用意识．
【分析】设每人每天可检疫x头猪，该组检疫工作人员有y人，则每人半天检疫头猪，由甲养殖场的生猪比乙养殖场的生猪多1倍，根据题意可得不等式，从而得解．
【解答】解：设每人每天可检疫x头猪，该组检疫工作人员有y人，由题意得：
xy+x（1+20%）×＜2[x（1+20%）×+6×]，
化简得：0.4y＜11.4
∴y＜28.5，
∵y只能为正整数，且有一人离开后，人数平分
∴y的最大值为27．
故答案为：27．
【点评】本题是较复杂的不等式应用题，题目中有两个变量，但是列完之后，每个因式中都含有x，从而可以消掉，变成一元一次不等式，从而得解，本题的难点在于变量较多，不等关系的得出较为复杂．
18．（2021•九龙坡区模拟）临近端午，甲、乙两生产商分别承接制作白粽，豆沙粽和蛋黄粽的任务（三种粽子都有成品，甲生产商安排200名工人制作白粽和豆沙粽，每人只能制作其中一种粽子，乙生产商安排100名工人制作蛋黄粽，其中豆沙粽的人均制作数量比白粽的人均制作数量少15个，蛋黄粽的人均制作数量比豆沙粽的人均制作数量少20%，若本次制作的白粽、豆沙粽和蛋黄粽三种粽子的人均制作数量比白粽的人均制作数用少20%，且豆沙粽的人均制作量为偶数个，则本次可制作的粽子数量最多为　23760　个．
【考点】分式方程的应用．
【专题】方程思想；推理能力．
【分析】总共参与制作的人数为200+100＝300人，由于粽子是有成品的，且甲只制作白粽子和豆沙粽子，所以可以设生产豆沙粽的有x人，白粽子的有（200﹣x）人．再设人均未知数，即豆沙粽人均y个，白粽子人均（y+15）个，蛋黄粽子人均y（1﹣20%）个．由三种人均个数的关系列方程即可．由于豆沙粽的人均制作量为偶数个，且每种粽子都有人制作，因此可以确定未知数的取值范围，再代入求值．
【解答】解：设生产豆沙粽的有x人，白粽子的有（200﹣x）人；生产豆沙粽人均y个，白粽子人均（y+15）个，则蛋黄粽子人均y（1﹣20%）＝0.8y个．
由题意得[xy+（y+15）（200﹣x）+100×0.8y]×＝（y+15）×（1﹣20%），
∴（xy+200y+3000﹣xy﹣15x+80y）×＝0.8y+12，
∴y+10﹣x＝0.8y+12，
∴y﹣x＝2，
∴x＝y﹣40．
又∵200﹣x＞0，y＞0，
∴0＜y＜90．
∵需要制作的粽子最多，而粽子总数为300（0.8y+12），y是偶数
∴y＝84时，x＝184，制作的粽子最多为23760．
故答案为：23760．
【点评】此题考查了二元一次方程的解法，用一个未知数表示另一个未知数，根据未知数的取值范围来确定最后的值，掌握分式方程的解法和不等式求解是关键．
19．（2020秋•北京期末）依据如图流程图计算﹣，需要经历的路径是　②　（只填写序号），输出的运算结果是　　．

【考点】有理数的混合运算；代数式求值；分式的加减法．
【专题】分式；运算能力．
【分析】根据流程图可得需经历路径为②，然后按照流程计算得出结果．
【解答】解：∵两个分式分母不同，
∴经历路径为②．
根据路径②计算如下：
原式＝，
＝﹣，
＝，
故答案为：②，．
【点评】本题考查分式的化简求值，解题关键是熟练掌握分式的基本性质．
20．设2016a3＝2017b3＝2018c3，abc＞0，且＝++，则++＝　1　
【考点】立方根；分式的加减法．
【专题】计算题；开放型；分式．
【分析】充分利用2016a3＝2017b3＝2018c3这个关系，对＝++中的a、b都用c进行替换即可求解．
【解答】解：＝＝＝（），
++＝+＝（），
即：＝，解得：＝1．
故答案为1．
【点评】此题主要考查了分式的加减，用替换的方法，把a、b用c替换，再化简，本题难度很大．
三．解答题（共10小题）
21．（2021•包河区三模）市政府为美化城市环境，计划在某区城种植树木2000棵，由于青年志愿者的加入，实际每天植树棵数是原计划的2倍，结果提前4天完成任务．求实际每天植树多少棵？
【考点】分式方程的应用．
【专题】分式方程及应用；应用意识．
【分析】设原计划每天植树x棵，则实际每天植树棵数是2x棵，根据“提前4天完成任务”列出方程并解答．
【解答】解：设原计划每天植树x棵，则实际每天植树棵数是2x棵，
根据题意，得﹣＝4．
解得x＝250．
经检验x＝250是原方程的解，且符合题意．
所以2x＝500．
答：实际每天植树500棵．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
22．（2021•平房区三模）某体育用品商店计划购进一些篮球和排球．已知每个篮球的进价和每个排球的进价的和为200元，用2400元购进的篮球数量是用800元购进排球数量的2倍．
（1）求每个篮球和每个排球的进价各是多少元；
（2）若该体育用品商店计划购进篮球和排球共40个，且购进的总费用不超过3800元，则该体育用品商店最多可以购进篮球多少个？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
【专题】经济问题；运算能力；应用意识．
【分析】（1）设每个篮球的进价为x元，则每个排球的进价为（200﹣x）元，根据“用2400元购进的篮球数量是用800元购进排球数量的2倍”得到方程；即可解得结果；
（2）设该体育用品商店可以购进篮球a个，则购进排球（40﹣a）个，根据题意得不等式组即可得到结果．
【解答】解：（1）设每个篮球的进价为x元，则每个排球的进价为（200﹣x）元．
根据题意得．
解得x＝120．
经检验x＝120是原分式方程的解．
∴200﹣x＝200﹣120＝80（元）．
答：每个篮球的进价为120元，每个排球的进价为80元．
（2）设该体育用品商店可以购进篮球a个，则购进排球（40﹣a）个，
根据题意，得120a+80（40﹣a）≤3800．
解得a≤15．
答：该体育用品商店最多可以购进篮球15个．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，分式方程的应用，找准数量关系是解题的关键．
23．（2021•岳阳二模）岳阳市区某中学为了创建“书香校园”，今年春季购买了一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多5元，已知学校用20000元购买的科普类图书的本数与用15000元购买的文学类图书的本数相等．
（1）求学校购买的科普类图书和文学类图书平均每本的价格各是多少元？
（2）学校计划在五月份再添置600本这两类图书，且费用不超过10000元，问最多可以购买科普类图书多少本？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
【专题】分式方程及应用；一元一次不等式(组)及应用；应用意识．
【分析】（1）首先设科普类书的单价为x元/本，则文学类书的单价为（x﹣5）元/本，根据题意可得等量关系：20000元购买的科普类图书的本数＝用15000元购买的文学类图书的本数，根据等量关系列出方程，再解即可．
（2）设科普类书购a本，则文学类书购（600﹣a）本，根据“费用不超过10000元”列出不等式并解答．
【解答】解：（1）设科普类书的单价为x元/本，则文学类书的单价为（x﹣5）元/本，
依题意：，
解之得：x＝20．
经检验，x＝20是所列分程的根，且合实际，
∴x﹣5＝15．
答：科普类书单价为20元/本，文学类书单价为15元/本；
（2）设科普类书购a本，则文学类书购（600﹣a）本，
依题意：20a+15（600﹣a）≤10000，
解之得：a≤200．
答：最多可购科普类图书200本．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用和分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的数量关系，列出方程（不等式），注意分式方程不要忘记检验．
24．（2021•宝安区模拟）为了抗击“新型肺炎”，我市某医药器械厂接受了生产一批高质量医用口罩的任务，任务要求在30天之内（含30天）生产A型和B型两种型号的口罩共200万只．在实际生产中，由于受条件限制，该工厂每天只能生产一种型号的口罩．已知该工厂每天可生产A型口罩的个数是生产B型口罩的2倍，并且加工生产40万只A型口罩比加工生产50万只B型口罩少用6天．
（1）该工厂每天可加工生产多少万只B型口罩？
（2）若生产一只A型口罩的利润是0.8元，生产一只B型口罩的利润是1.2元，在确保准时交付的情况下，如何安排工厂生产可以使生产这批口罩的利润最大？
【考点】分式方程的应用；一次函数的应用．
【专题】分式方程及应用；一次函数及其应用；应用意识．
【分析】（1）设工厂每天可加工生产x万只B型口罩，则每天可加工生产2x万只A型口罩，根据“加工生产40万只A型口罩比加工生产50万只B型口罩少用6天”，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出结论；
（2）设获得的总利润为w万元，根据总利润＝每只的利润×生产数量，即可得出w关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设工厂每天可加工生产x万只B型口罩，则
．
解得x＝5．
经检验x＝5是原方程的根．
答：该工厂每天可生产5万只B型口罩．
（2）设安排工厂生产A型口罩a万只，则生产B型口罩（200﹣a）万只，这批口罩的总利润为W万元，则有：
W＝0.8a+1.2（200﹣a）＝﹣0.4a+240．
∵要确保准时交付，
∴．
∵k＝﹣0.4＜0，W随a的增大而减小，
∴当a＝100时，W最大＝200万元．
答：应该安排该工厂生产100万只A型口罩，100万只B型口罩时利润最大．
【点评】本题考查了分式方程的应用和一次函数的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于a的函数关系式．
25．（2020秋•香洲区期末）已知（x+a）（x+b）＝x2+mx+n．
（1）若a＝﹣3，b＝2，则m＝　﹣1　，n＝　﹣6　；
（2）若m＝﹣2，，求的值；
（3）若n＝﹣1，当时，求m的值．
【考点】多项式乘多项式；分式的加减法．
【专题】因式分解；分式方程及应用；推理能力．
【分析】（1）将a与b的值代入求解．
（2）由（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab＝x2+mx+n得，然后将化简代入m，n求值．
（3）将化简，然后代入a+b＝m，ab＝n＝﹣1，进而求解．
【解答】解：（1）将a＝﹣3，b＝2代入（x+a）（x+b）得：
（x+a）（x+b）＝（x﹣3）（x+2）＝x2﹣x﹣6＝x2+mx+n，
∴m＝﹣1，n＝﹣6．
故答案为：﹣1，﹣6．
（2）∵（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab＝x2+mx+n．
∴，
∴+＝＝＝＝﹣4．
（3）∵a+b＝m，ab＝n＝﹣1，，
∴，
∴，
∴，
∴m2﹣2×（﹣1）+4m+2＝0，
∴m2+4m+4＝0，
∴（m+2）2＝0，
∴m＝﹣2．
【点评】本题考查分式与整式乘法及因式分解的综合应用，解题关键是熟练掌握分式的基本性质及整式的运算法则及因式分解的方法．
26．（2021春•滨湖区期中）小红、小刚、小明三位同学在讨论：当x取何整数时，分式的值是整数？
小红说：这个分式的分子、分母都含有x，它们的值均随x取值的变化而变化，有点难．
小刚说：我会解这类问题：当x取何整数时，分式的值是整数？3是x+1的整数倍即可，注意不要忘记负数哦．
小明说：可将分式与分数进行类比．本题可以类比小学里学过的“假分数”，当分子大于分母时，可以将“假分数”化为一个整数与“真分数”的和．比如：＝＝2+（通常写成带分数：2）．类比分式，当分子的次数大于或等于分母次数时，可称这样的分式为“假分式”，若将化成一个整式与一个“真分式”的和，就转化成小刚说的那类问题了！
小红、小刚说：对！我们试试看！…
（1）解决小刚提出的问题；
（2）解决他们共同讨论的问题．
【考点】分式的值．
【专题】分式；运算能力．
【分析】（1）只要3是x+1的倍数即可；
（2）将分式化成一个整式与一个真分式的和，5是x+1的倍数即可．
【解答】解：（1）当x+1＝±1，±3时，分式的值是整数，
∴x＝0，﹣2，2，﹣4．

（2）＝3﹣，
当x+1＝±1，±5时，分式的值为整数，
∴x＝0，﹣2，4，﹣6．
【点评】本题考查了分式的整数值，考查学生的计算能力，看懂题意是解题的关键．
27．（2021春•大兴区期中）已知非零实数a、b满足等式，求的值．
【考点】实数的运算；分式的加减法．
【专题】实数；运算能力．
【分析】首先把已知等式去掉分母，整理成（b﹣1）2+（a﹣2）2＝0，根据非负式的性质得到a、b的值，代入化简计算即可．
【解答】解：等式两边都乘以ab得：b2+a2+5＝4a+2b，
整理得：（b﹣1）2+（a﹣2）2＝0，
∴a＝2，b＝1，
代入得：
原式＝．
【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值、非负式的性质、完全平方公式以及等式的性质综合运用，根据等式性质和配方求出a、b的值是解决问题的关键．
28．（2020秋•连山区期末）阅读下面的材料，并解答后面的问题
材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式．
解：由分母为x+1，可设3x2+4x﹣1＝（x+1）（3x+a）+b．
因为（x+1）（3x+a）+b＝3x2+ax+3x+a+b＝3x2+（a+3）x+a+b，
所以3x2+4x﹣1＝3x2+（a+3）x+a+b．
所以，解得．

所以＝＝﹣＝3x+1﹣．

这样，分式就被拆分成了一个整式3x+1与一个分式的差的形式．
根据你的理解解决下列问题：
（1）请将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式；
（2）若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11+，求m2+n2+mn的最小值．
【考点】分式的值；分式的加减法．
【专题】分式；运算能力．
【分析】（1）根据材料中提供的方法，将2x2+3x+6转化为2x2+（a﹣2）x﹣a+b，进而利用方程组求出a、b，最后再将转化为，从而得出答案；
（2）根据（1）的方法可得＝5x﹣1﹣，进而得到5m﹣11+＝5x﹣1﹣，然后用含有x的代数式表示m、n，代入m2+n2+mn后，写成m2+n2+mn＝（x﹣1）2+27，进而求出最小值．
【解答】解：（1）由分母为x﹣1，可设2x2+3x+6＝（x﹣1）（2x+a）+b．
因为（x﹣1）（2x+a）+b＝2x2+ax﹣2x﹣a+b＝2x2+（a﹣2）x﹣a+b，
所以2x2+3x+6＝2x2+（a﹣2）x﹣a+b，
因此有，
解得，
所以＝＝2x+5+；
（2）由分母为x+2，可设5x2+9x﹣3＝（x+2）（5x+a）+b，
因为（x+2）（5x+a）+b＝5x2+ax+10x+2a+b＝5x2+（a+10）x+2a+b，
所以5x2+9x﹣3＝5x2+（a+10）x+2a+b，
因此有，
解得，
所以＝＝5x﹣1﹣，
所以5m﹣11+＝5x﹣1﹣，
因此5m﹣11＝5x﹣1，n﹣6＝﹣x﹣2，
所以m＝x+2，n＝﹣x+4，
所以m2+n2+mn＝x2﹣2x+28＝（x﹣1）2+27，
因为（x﹣1）2≥0，所以（x﹣1）2+27≥27，
所以m2+n2+mn的最小值为27．
【点评】本题考查分式的加减法，理解题目中所提供的求解方法是解决问题的关键．
29．（2020秋•乌苏市期末）近年来，安全快捷、平稳舒适的中国高铁，为世界高速铁路商业运营树立了新的标杆．随着中国特色社会主义进入新时代，作为“中国名片”的高速铁路也将踏上自己的新征程，跑出发展新速度，这就意味着今后外出旅行的路程与时间将大大缩短，但也有不少游客根据自己的喜好依然选择乘坐普通列车；已知从A地到某市的高铁行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁行驶路程的1.3倍，请完成以下问题：
（1）普通列车的行驶路程为多少千米？
（2）若高铁的平均速度（千米/时）是普通列车平均速度（千米/时）的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求普通列车和高铁的平均速度．
【考点】分式方程的应用．
【专题】分式方程及应用．
【分析】（1）根据高铁的行驶路程是400千米和普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍，两数相乘即可得出答案；
（2）设普通列车平均速度是x千米/时，根据高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，列出分式方程，然后求解即可．
【解答】解：（1）普通列车的行驶路程为：400×1.3＝520（千米）；

（2）设普通列车的平均速度为x千米/时，则高铁的平均速度为2.5千米/时，则题意得：
＝﹣3，
解得：x＝120，
经检验x＝120是原方程的解，
则高铁的平均速度是120×2.5＝300（千米/时），
答：普通列车的平均速度是120千米/时，高铁的平均速度是300千米/时．
【点评】此题考查了分式方程的应用，关键是分析题意，找到合适的数量关系列出方程，解分式方程时要注意检验．
30．（2021•禅城区校级一模）先化简（1﹣）÷，再从0，2，﹣1，1中选择一个合适的数代入并求值．
【考点】分式的化简求值．
【分析】先把分式的分子和分母因式分解，并且把除法运算转化为乘法运算，由于x不能取±1，2，所以可以把x＝0代入计算．
【解答】解：原式＝×＝．
因为x不能取±1，2，
所以把x＝0代入，原式＝＝﹣．
【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式的分子或分母因式分解，再进行约分得到最简分式或整式，然后把满足条件的字母的值代入计算得到对应的分式的值．