专题16 导数中构造函数问题

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专题16  导数中构造函数问题【方法点拨】     1.双主元不等式恒成立、存在性问题：变量分离，构造函数，最终将问题转化为函数最值问题.2.关于“”的齐次分式型--------换元法减元构造：多变量不等式 ，一般处理策略为消元或是把一个看作变量其他看作常量；当都不能处理的时候，通过变形，再换元产生一个新变量，从而构造新变量的函数.【典型题示例】例1    （2021·江苏扬州中学高三数学开学考试·8）已知函数，对任意的，，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，不妨设，则可化为，即设则恒成立，即对任意的，且时恒成立，即对任意的，且时恒成立所以在R上单增故在R上恒成立所以，故所以实数的取值范围是， 选B．点评:    从解题中不难发现，不等式恒成立恒成立.例2    (2021·江苏徐州铜山、南通如皋一抽测·22改编)已知函数，对于任意，当时，不等式 恒成立，则实数的取值范围是________.【解析】不等式可变形为，即当，且恒成立，所以函数在上单调递减.令则在上恒成立，即在上恒成立. 设，则.因为当时，，所以函数在上单调递减，所以，所以，即实数的取值范围为.例3    （2021·江苏省泰州中学九月测 ·12）（多选题）已知函数，若，则下列结论正确的是（    ）．A．                B．C．          D．当时，【答案】AD  【解析】A．正确；因为令，在上是增函数，∴当时，，∴即．B．错误；因为令，∴，∴时，，单调递增，时，，单调递减．∴与无法比较大小．C．错误；因为令，，∴时，，在单调递减，时，，在单调递增，∴当时，，∴，∴，∴．当时，∴，∴，∴．D．正确；因为时，单调递增，又∵A正确，∴．故选AD．【巩固训练】1.已知函数，对任意的，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是(    )A． B． C． D．2.若对都有，则实数的取值范围为___________.3.设函数，若对任意恒成立，则实数的范围为_______________.4.已知函数，若对，且，都有，则实数的取值范围为___________.5.若，且对任意的，，都有，求a的取值范围．6.已知函数，若，求证：.7.已知函数，对任意的，，且，证明：恒成立．
【答案或提示】1.【答案】B【解析】且， ，设，则，又对任意的，且都成立，所以在上为增函数，即恒成立，整理得，当时，不等式成立，当时，恒成立，又，所以.故选：B．2.【答案】【解析】不妨设，为“去绝对值”，研究函数的单调性.∵     ∴在上增令问题转化为减在上恒成立.∴在上恒成立故，即所以实数的取值范围为.点评:本类题目解题的切入点是抓住式子的结构特征进行变形，而关键是适时“构造函数”，其构造的时机是“左右形式相当，一边一个变量，取左或取右，构造函数妥当”.3.【答案】4.【答案】5.【答案】【解析】∵ ，∴  由题意得在区间上是减函数． 当，  ∴ 由在恒成立．设，，则∴在上为增函数，∴. 当，∴ 由在恒成立设，为增函数,∴综上：a的取值范围为.6.【证明】当时，不等式等价于     令，则，设，则，    当时，，在上单调递增，，所以，原不等式成立．       7.【证明】∵，，且      ∴，即令       令，只需.∵         ∴当时增∴故对任意的，，当，恒成立．点评:本类题目的特征是，问题中出现了含有“”的齐次分式，其解法是：通过换元，设，转化为关于新元在指定区间上的恒成立问题.