2022届高考数学二轮专题测练-利用导数研究函数的单调性

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2022届高考数学二轮专题测练-利用导数研究函数的单调性 一、选择题（共20小题；共100分）1. 函数 fx=x3+2x−a 的单调减区间是    A. −∞,−2 B. −2,+∞ C. −23,0 D. 以上都不对 2. 对于 R 上可导的函数 f(x) ，若满足 (x−1)fʹ(x)≥0 ，则必有    A. f(0)+f(2)<2f(1) B. f(0)+f(2)≤2f(1) C. f(0)+f(2)≥2f(1) D. f(0)+f(2)>2f(1) 3. 函数 y=xcosx−sinx 在下面哪个区间内是增函数    A. π2,3π2 B. π,2π C. 3π2,5π2 D. 2π,3π 4. 定义在 0,+∞ 上的可导函数 fx 满足 fʹx⋅x0 的解集为    A. 0,2 B. 0,2∪2,+∞ C. 2,+∞ D. 0,+∞ 5. 函数 y=12x2−lnx 的单调递减区间为    A. −1,1 B. 0,1 C. 1,+∞ D. 0,+∞ 6. 设 fʹx 是函数 fx 的导函数，y=fʹx 的图象如图所示，则 y=fx 的图象最有可能的是    A. B. C. D. 7. 若函数 fx=13x3−1+b2x2+2bx 在区间 −3,1 上不是单调数，则函数 fx 在 R 上的极小值为    A. 2b−43 B. 32b−23 C. 0 D. b2−16b3 8. 已知 a>0，函数 fx=x3−ax 在 1,+∞ 上是单调增函数，则 a 的最大值是    A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9. 若函数 fx=kx−lnx 在区间 1,+∞ 上单调递增，则 k 的取值范围是    A. −∞,−2 B. −∞,−1 C. 2,+∞ D. 1,+∞ 10. 已知函数 fx 在 R 上都存在导函数 fʹx，对于任意的实数都有 f−xfx=e2x，当 x<0 时，fx+fʹx>0，若 eaf2a+1≥fa+1，则实数 a 的取值范围是    A. 0,23 B. −23,0 C. 0,+∞ D. −∞,0 11. 设函数 fx=ex−1+4x−4，gx=lnx−1x，若 fx1=gx2=0，则    A. 00； ②对于任意的 a 及任意不相等的实数 x1，x2 ，都有 n<0； ③对于任意的 a，存在不相等的实数 x1，x2，使得 m=n． 其中，所有正确结论的序号是    A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 16. 若函数 fx 对任意 x∈R 都有 fʹx>fx 成立，则    A. 3fln5>5fln3 B. 3fln5=5fln3 C. 3fln5<5fln3 D. 3fln5 与 5fln3 的大小不确定 17. 设定义在 0,+∞ 上的单调函数 fx，对任意的 x∈0,+∞ 都有 ffx−log2x=3．若方程 fx+fʹx=a 有两个不同的实数根，则实数 a 的取值范围是    A. 1,+∞ B. 2+1ln2,+∞ C. 2−1ln2,+∞ D. 3,+∞ 18. 小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是 M，I，N 中的一个字母，第二位是 1，2，3，4，5 中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是    A. 815 B. 18 C. 115 D. 130 19. 已知函数 fx=13x3−12mx2+4x−3 在区间 1,2 上是增函数，则实数 m 的取值范围为    A. 4≤m≤5 B. 2≤m≤4 C. m≤2 D. m≤4 20. 函数 y=−x4+x2+2 的图象大致为    A. B. C. D. 二、填空题（共5小题；共25分）21. 判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”） （1）如果函数 fx 在某个区间内恒有 fʹx=0，则 fx 在此区间内没有单调性．   （2）如果函数 fx 在某个区间内恒有 fʹx≥0，则 fx 在此区间内单调递增．   （3）在 a,b 内 fʹx≤0 且 fʹx=0 的根有有限个，则 fx 在 a,b 内是减函数．   22. 函数 y=x2+4x+1 的单调增区间为  ． 23. 若函数 y=−43x3+ax 有三个单调区间，则 a 的取值范围是  ． 24. 若函数 fx=2x2−lnx 在定义域内的一个子区间 k−1,k+1 上不是单调函数，则实数 k 的取值范围是  ． 25. 设 x3+ax+b=0，其中 a，b 均为实数．下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是  ．（写出所有正确条件的编号） ① a=−3，b=−3 ； ② a=−3，b=2 ； ③ a=−3，b>2 ； ④ a=0，b=2 ； ⑤ a=1，b=2． 三、解答题（共5小题；共65分）26. 设定义域为 R 的函数 fx 满足 fʹx>fx，求不等式 ex−1fx0．（1）求函数 fx 的单调区间；（2）若直线 x−y−1=0 是曲线 y=fx 的切线，求实数 a 的值；（3）设 gx=xlnx−x2fx，求 gx 在区间 1,e 上的最小值（其中 e 为自然对数的底数）．答案第一部分1. D 【解析】fʹx=3x2+2>0 恒成立，不存在单调减区间．2. C 3. B 【解析】解法一：（分析法）：计算函数在各个端点处的函数值，有下表： xπ2π3π22π5π23πy−1−π12π−1−3π 由表中数据大小变化易得结论B．解法二：（求导法）：由 yʹ=−xsinx>0，则 sinx<0，则 π+2kπ0 的解集为 0,2．5. B 【解析】函数 y=12x2−lnx 的定义域为 0,+∞，且 yʹ=x−1x，令 yʹ≤0，解得 00，fx 为增函数，当 x∈0,2 时，fʹx<0，fx 为减函数， 当 x∈2,+∞ 时，fʹx>0，fx 为增函数．7. A 【解析】fʹx=x2−2+bx+2b=x−bx−2，因为函数 fx 在区间 −3,1 上不是单调函数，所以 −30，得 x2，由 fʹx<0，得 b0，由题意可知当 x>1 时，fʹx≥0，即得 kx−1≥0，解得 x≥1k（k<0 时不满足），因为函数 fx 在区间 1,+∞ 上单调递增，所以 1k≤1，解得 k≥1．10. B 【解析】令 gx=exfx，则当 x<0 时，gʹx=exfx+fʹx>0，又 g−x=e−xf−x=exfx=gx，所以 gx 为偶函数，从而 eaf2a+1≥fa+1 等价于 e2a+1f2a+1≥ea+1fa+1，g2a+1≥ga+1，因此 g−∣2a+1∣≥g−∣a+1∣，−∣2a+1∣≥−∣a+1∣，3a2+2a≤0，所以 −23≤a≤0．11. B 【解析】因为 fx=ex−1+4x−4，所以 fʹx=ex−1+4>0，则函数 y=fx 为增函数，因为 f0<0，f1>0，且 fx1=0，由零点存在定理知 00，所以函数 y=gx 为增函数，且 g1<0，g2=ln2−12>0，又 gx2=0，由零点存在定理可知 1f1>0，gx11 时，yʹ=a−2x≥0 恒成立，即 a≥2x，所以 a≥2，即 a 的取值范围为 2,+∞，故选：D．15. A 【解析】对于①，由于 e>1，由指数函数的单调性可得 fx 在 R 上递增，即有 m>0，则①正确；对于②，由二次函数的单调性可得 gx 在 −∞,−a2 递减，在 −a2,+∞ 递增，则 n>0 不恒成立，则②错误；对于③，由 m=n，可得 fx1−fx2=gx1−gx2，即为 gx1−fx1=gx2−fx2，考查函数 hx=−x2+ax−ex， hʹx=−2x+a−ex，当a→−∞，hʹx 小于 0，hx 单调递减，则③错误；故选：A．16. A 17. B 【解析】由于函数 fx 是单调函数，因此不妨设 fx−log2x=t，则 ft=3，再令 x=t，则 ft−log2t=t，得 log2t=3−t，解得 t=2，故 fx=log2x+2，fʹx=1xln2，构造函数 gx=fx+fʹx−a=log2x+1xln2−a+2，因为方程 fx+fʹx=a 有两个不同的实数根，所以 gx 有两个不同的零点．gʹx=1xln2−1x2ln2=1ln2x−1x2，当 x∈0,1 时，gʹx<0；当 x∈1,+∞ 时，gʹx>0，所以 gx 在 0,1 上单调递减，在 1,+∞ 上单调递增，所以 gxmin=g1=1ln2−a+2，由 1ln2−a+2<0，得 a>2+1ln2，故实数 a 的取值范围是 2+1ln2,+∞．18. C 【解析】小敏输入密码的前两位所有可能情况如下： M,1，M,2，M,3，M,4，M,5，I,1，I,2，I,3，I,4，I,5，N,1，N,2，N,3，N,4，N,5，共 15 种．而能开机的密码只有一种，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率为 115．19. D 20. D 【解析】函数图象过定点 0,2，排除A，B；令 y=fx=−x4+x2+2，则 fʹx=−4x3+2x=−2x2x2−1，由 fʹx>0 得 2x2x2−1<0，得 x<−22 或 00，得 x>22 或 −220，所以 a>0．24. 1≤k<32【解析】显然函数 fx 的定义域为 0,+∞，fʹx=4x−1x=4x2−1x．由 fʹx>0，得函数 fx 的单调递增区间为 12,+∞．由 fʹx<0，得函数 fx 的单调递减区间为 0,12．因为函数在区间 k−1,k+1 上不是单调函数，所以 k−1<120，得 x>1 或 x<−1 ；令 fʹx<0，得 −12 时，fx=x3−3x+b，易知 fx 的极大值为 f−1=2+b>0，极小值为 f1=b−2>0， x→−∞ 时，fx→−∞，故方程 fx=0 有且仅有一个实根，故③正确．当 a=0，b=2 时，fx=x3+2，显然方程 fx=0 有且仅有个实根，故④正确．当 a=1，b=2 时，fx=x3+x+2，fʹx=3x2+1>0，则 fx 在 −∞,+∞ 上为增函数，易知 fx 的值域为 R，故 fx=0 有且仅有一个实根，故⑤正确．综上，正确条件的编号有①③④⑤．第三部分26. 设 Fx=fxex，则 Fʹx=fʹx−fxex，因为 fʹx>fx，所以 Fʹx>0，即函数 Fx 在定义域上单调递增．要求 ex−1fx1，所以不等式 ex−1fx1 时，令 hʹx>0，得 x>lna；令 hʹx<0，得 0≤x1 不合题意．综上，实数 a 的取值范围为 −∞,1．28. （1） fʹx=1−xea−x+b，根据题意，有 f2=2ea−2+2b=2e+2,fʹ2=−ea−2+b=e−1. ⇒ a=2,b=e.      （2） 由（1） fʹx=1−xe2−x+e=ex−1−x−1ex−2，导函数分母为正，只需考虑分子的符号即可．构造函数 gx=ex−x，gʹx=ex−1=0⇒x=0．故 gx 在 −∞,0 上单调递减，在 0,+∞ 上单调递增，gx>g0=1，即 gx>0 恒成立，因此 fʹx=gx−1ex−2>0．故 fx 在 R 上单调递增，无单调递减区间．29. （1） 当 a=2 时，fx=ex−2x−1，则 fʹx=ex−2，令 fʹx=ex−2>0，得 x>ln2，令 fʹx=ex−2<0，得 x0，则 0−a≥0⇒a≤0．30. （1） 因为函数 fx=ax−1x2，所以 fʹx=ax−1ʹ⋅x2−x2ʹax−1x4=a2−xx3．由 fʹx>0，得 02．所以函数 fx 的单调增区间为 0,2，单调减区间为 −∞,0，2,+∞．      （2） 设切点为 x,y，由切线斜率 k=1=a2−xx3，得 x3=−ax+2a. ⋯⋯① 由 x−y−1=x−ax−1x2−1=0，得 x2−ax−1=0．解得 x=1，x=±a．把 x=1 代入 ①，得 a=1；把 x=a 代入 ①，得 a=1；把 x=−a 代入 ①，方程无解．故所求实数 a 的值为 1．      （3） 因为 gx=xlnx−x2fx=xlnx−ax−1，所以 gʹx=lnx+1−a．解 lnx+1−a=0 得 x=ea−1，所以 gx 在区间 ea−1,+∞ 上单调递增，在区间 0,ea−1 上单调递减．①当 ea−1≤1，即 0

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