2022届高考数学二轮专题测练-正弦函数的性质

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这是一份2022届高考数学二轮专题测练-正弦函数的性质，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；共100分）
1. 当 x∈0,2π 时，函数 y=sinx 的图象与直线 y=−34 的公共点的个数为
A. 0B. 1C. 2D. 3

2. 已知 a=lg65，b=π0.3，c=ln12，则下列结论正确的是
A. a
3. 有下列说法：
①作正弦函数的图象时，单位圆的半径长与 y 轴的单位长度要一致；
② y=sinx，x∈0,2π 的图象关于点 Pπ,0 对称；
③ y=sinx，x∈π2,5π2 的图象关于直线 x=3π2 成轴对称；
④正弦函数 y=sinx 的图象不超出直线 y=−1 和 y=1 所夹的区域．
其中正确说法的个数是
A. 1B. 2C. 3D. 4

4. 若点 π4,b 在函数 y=2sinx+1 的图象上，则 b=
A. 22B. 2C. 2D. 3

5. 下列函数中，不是周期函数的是
A. y=∣csx∣B. y=cs∣x∣
C. y=sin2x+π2D. y=sin∣x∣

6. 函数 y=csx⋅∣tanx∣−π2A. B.
C. D.

7. 设 a=1213，b=lg132，c=1sin1，则
A. a>b>cB. a>c>bC. b>c>aD. c>a>b

8. 定义在 R 上的函数 fx 既是偶函数又是周期函数．若 fx 的最小正周期是 π，且当 x∈0,π2 时，fx=sinx，则 f5π3 的值为
A. −12B. 12C. −32D. 32

9. 若 α，β 都是锐角，且 sinαA. α>βB. α<βC. α+β>π2D. α+β<π2

10. 如图，函数 y=tanxcsx0≤x<3π2,x≠π2 的图象是
A. B.
C. D.

11. 函数 fx=cs2x+6csπ2−x 的最大值为
A. 4B. 5C. 6D. 7

12. 设 θ∈R，则“θ−π12<π12”是“sinθ<12”的
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件

13. 三角函数值 sin1，sin2，sin3 的大小顺序是
A. sin1>sin2>sin3B. sin2>sin1>sin3
C. sin1>sin3>sin2D. sin3>sin2>sin1

14. 对于函数 y=fx，如果其图象上的任意一点都在平面区域 x,yy+xy−x≤0 内，则称函数 fx 为“蝶型函数”，已知函数：① y=sinx；② y=x2−1，下列结论正确的是
A. ①、②均不是“蝶型函数”
B. ①、②均是“蝶型函数”
C. ①是“蝶型函数”；②不是“蝶型函数”
D. ①不是“蝶型函数”：②是“蝶型函数”

15. 函数 fx=3+sinπ+x−cs2x 的最大值和最小值之和是
A. 9B. 8C. 152D. 7

16. 函数 fx=2sinx−sin2x 在 0,2π 的零点个数为
A. 2B. 3C. 4D. 5

17. 设函数 fx=a2−asinx+1a2−acsx+1a≠0 的最大值为 Ma，最小值为 ma，则
A. 存在实数 a，使 Ma+ma=2.5
B. 存在实数 a，使 Ma+ma=−2.5
C. 对任意实数 a，有 Ma+ma≥3
D. 对任意实数 a，有 Ma+ma=2

18. 已知集合 M=x,yy=fx，若对于 ∀x1,y1∈M，∃x2,y2∈M，使得 x1x2+y1y2=0 成立，则称集合 M 是“互垂点集”．给出下列四个集合：
M1=x,yy=x2+1;M2=x,yy=lnx;M3=x,yy=ex−e;M4=x,yy=sinx+1.
其中是“互垂点集”的集合为
A. M1,M2B. M2,M3C. M1,M4D. M3,M4

19. 已知函数 fx=csxsin2x，下列结论中错误的是
A. 函数 y=fx 的图象关于 π,0 中心对称
B. 函数 y=fx 的图象关于直线 x=π2 对称
C. 函数 fx 的最大值等于 1
D. 函数 fx 既是奇函数，又是周期函数

20. 函数 y=1+sinx+csx1+sinx−csx+1+sinx−csx1+sinx+csx 的最小正周期是
A. π2B. πC. 3π2D. 2π

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 函数 y=3sin2x+π4 的最小正周期为．

22. 函数 y=1−2sinx 的值域为．

23. 设 sinx+siny=13，则 M=sinx−cs2y 的取值范围为．

24. 已知 ω 为正整数，若函数 fx=sinωx 在区间 π6,π3 上不单调，则最小的正整数 ω= ．

25. 已知函数 fx=asinx+btanx−1a,b∈R，若 f−2=2018，则 f2= ．

三、解答题（共5小题；共65分）
26. 已知 sinα≥12，试求 0,2π 中的 α 的取值范围．

27. 已知向量 a=3,4 与 b=1,0．
（1）求 a 在 b 的方向上的投影．
（2）求 b 在 a 的方向上的投影．

28. 在 △ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，它的面积为 S 且满足 S=34a2+c2−b2，b=21．
（1）求角 B 的大小；
（2）当 a+c=9 时，求 a，c 的值．

29. 求下列函数的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时 x 的值．
（1）y=sinx+3；
（2）y=sinx−32；
（3）y=sinx+122−3．

30. 已知 fα=sinπ2−αtanπ+α−csπ−α2−14sin3π2+α+csπ−α+cs2π−α．
（1）化简 fα；
（2）若 −π3<α<π3，且 fα<14，求 α 的取值范围．
答案
第一部分
1. C
2. D
3. D【解析】由正弦函数图象可明确判断出①②③④均正确．
4. C【解析】b=2sinπ4+1=2．
5. D
【解析】作出各函数图象，观察可得，选D．
6. C【解析】y=csx⋅∣tanx∣=sinxx∈0,π2−sinx,x∈−π2,0．
故选C．
7. D
8. D
9. D
10. C
11. B
12. A
13. B【解析】因为 1弧度≈57∘，2弧度≈114∘，3弧度≈171∘．
所以 sin1≈sin57∘，
sin2≈sin114∘=sin66∘．
sin3≈171∘=sin9∘，
因为 y=sinx 在 0,90∘ 上是增函数，
所以 sin9∘即 sin2>sin1>sin3．
14. B【解析】由 y=sinx，设 gx=sinx+x，导数为 csx+1≥0，即有 x>0，gx>0；x<0 时，gx<0；
设 hx=sinx−x，其导数为 csx−1≤0，x>0 时，hx<0，x<0 时，hx>0，
可得 y+xy−x≤0 恒成立，即有 y=sinx 为“蝶型函数”；
由 x2−1+xx2−1−x=x2−1−x2=−1<0，可得 y=x2−1 为“蝶型函数”．
15. C
16. B
17. A【解析】因为 fx=a2−asinx+1a2−acsx+1=a2+1−asinxa2+1−acsx 表示点 a2+1,a2+1 与圆 x2+y2=a2 上点连线的斜率，即直线 y=kx−a2−1+a2+1 与圆 x2+y2=a2 有公共点，于是 k−a2−1+a2+11+k2≤∣a∣，即 a2+12−a2k2−2a2+12k+a2+12−a2≤0，于是 Ma+ma=2a2+12a2+12−a2>2a2+12a2+12=2，
所以存在实数 a，使 Ma+ma=2.5 正确；
所以B存在实数 a，使 Ma+ma=−2.5；
D对任意实数 a，有 Ma+ma=2，错误；
C当 a=1 时，Ma+ma=2a2+12a2+12−a2=83<3，
所以对任意实数 a，有 Ma+ma≥3，错误．
18. D【解析】
由题意得，设函数 fx 图象上两点的坐标分别为 Ax1,y1，Bx2,y2，
又 x1x2+y1y2=0，可得 OA⊥OB．
①中，取点 0,1，则曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，故① M1=x,yy=x2+1 不是“互垂点集”；
②中，取点 1,0，则曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，故② M2=x,yy=lnx 不是“互垂点集”；
③中，如图的直角始终存在，故③ M3=x,yy=ex−e 是“互垂点集”；
④中，作为 y=sinx+1 的图象，如图，对 ∀x1,y1∈M 使得 x1x2+y1y2=0，如点 A0,1，B3π2,0，∠AOB=90∘，任意旋转 ∠AOB 的两边 OA，OB 总能和 y=sinx+1 的图象有交点，故④ M4=x,yy=sinx+1 是“互垂点集”．
19. C
20. D
第二部分
21. π
22. −1,3
【解析】因为 −1≤sinx≤1，所以 −2≤2sinx≤2，所以 −2≤−2sinx≤2，故 y=1−2sinx∈−1,3．
23. −1112,49
【解析】由题意得 sinx=13−siny．
由 sinx∈−1,1，得 −1≤13−siny≤1,−1≤siny≤1.
解得 −23≤siny≤1．
所以 M=13−siny−cs2y=sin2y−siny−23=siny−122−1112，
则当 siny=12 时，Mmin=−1112；
当 siny=−23 时，Mmax=49．
故 M=sinx−cs2y 的取值范围为 −1112,49．
24. 2
25. −2020
第三部分
26. π6,5π6．
27. （1） 3．
（2） 35．
28. （1）由 S=34a2+c2−b2，得：12acsinB=34×2accsB，
化简得 sinB=3csB，所以 tanB=3，又 0 （2）由（1）及余弦定理得：21=a2+c2−2accs60∘，
所以 a2+c2−ac=21，与 a+c=9 联立：
a2+c2−ac=21,a+c=9, 解之得：a=5,b=4 或 a=4,b=5.
29. （1）当 x=π2+2kπk∈Z 时，函数 y=sinx+3 取得最大值 4；当 x=3π2+2kπk∈Z 时，函数 y=sinx+3 取得最小值 2；
（2）当 x=3π2+2kπk∈Z 时，函数 y=sinx−32 取得最大值 16；当 x=π2+2kπk∈Z 时，函数 y=sinx−32 取得最小值 4；
（3）当 x=π2+2kπk∈Z 时，函数 y=sinx+122−3 取得最大值 −34；当 x=7π6+2kπk∈Z 或 x=11π6+2kπk∈Z 时，函数 y=sinx+122−3 取得最小值 −3．
30. （1） fα=csαtanα+csα2−1−4csα−csα+csα=sinα+csα2−1−4csα=2sinαcsα−4csα=−12sinα.
（2）由已知得，−12sinα<14，
所以 sinα>−12，
所以 2kπ−π6<α<2kπ+7π6，k∈Z．
因为 −π3<α<π3，
所以 −π6<α<π3．
故 α 的取值范围为 −π6,π3．