2022届高考数学二轮专题测练-直线与平面平行关系的判定

这是一份2022届高考数学二轮专题测练-直线与平面平行关系的判定，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；共100分）
1. 在空间四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AB 和 BC 上的点，若 AE:EB=CF:FB=1:1，则对角线 AC 和平面 DEF 的位置关系是
A. 平行B. 相交C. 在平面内D. 异面

2. 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则直线平行于平面内所有直线；已知直线 b⊄平面α，直线a⊂平面α，直线b∥平面α，则 直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为
A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 非以上错误

3. 下列四个正方体图形中，A 、 B 为正方体的两个顶点，M 、 N 、 P 分别为其所在棱的中点，能得出 AB∥平面MNP 的图形的序号是
A. ①③B. ①④C. ①③D. ②④

4. 在长方体 ABCD−AʹBʹCʹDʹ 中，下列直线与平面 ADʹC 平行的是
A. DD′B. AʹBC. CʹDʹD. BBʹ

5. 已知平面 α 内有无数条直线都与平面 β 平行，那么
A. α∥βB. α 与 β 相交
C. α 与 β 重合D. α∥β 或 α 与 β 相交

6. 能保证直线 a 与平面 α 平行的条件是
A. b⊂α，a∥b
B. b⊂α，c∥α，a∥b，a∥c
C. b⊂α，A，B∈a，C，D∈b，且 AC∥BD
D. a⊄α，b⊂α，a∥b

7. 如图所示，P 为矩形 ABCD 所在平面外一点，矩形对角线交点为 O，M 为 PB 的中点，给出五个结论：① OM∥PD；② OM∥平面PCD；③ OM∥平面PDA；④ OM∥平面PBA；⑤ OM∥平面PBC．其中正确的个数是
A. 1B. 2C. 3D. 4

8. 设集合 A=x1,x2,x3,x4xi∈−1,0,1,i=1,2,3,4，那么集合 A 中满足条件“x12+x22+x32+x42≤4”的元素个数为
A. 60B. 65C. 80D. 81

9. 若直线 l 的方向向量为 b，平面 α 的法向量为 n，则可能使 l∥α 的是
A. b=1,0,0，n=−2,0,0
B. b=1,3,5，n=1,0,1
C. b=0,2,1，n=−1,0,−1
D. b=1,−1,3，n=0,3,1

10. 已知 α，β 是两个相交平面，若点 A 既不在 α 内，也不在 β 内，则过点 A 且与 α，β 都平行的直线的条数为
A. 0B. 1C. 2D. 3

11. 下面四个正方体图形中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，P 分别为其所在棱的中点，能得出 AB∥平面MNP 的图形是
A. ①②B. ①④C. ②③D. ③④

12. 如图，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是 BC，CD 的中点，G 是 EF 的中点，现在沿 AE，AF 及 EF 把这个正方形折成一个空间图形，使 B，C，D 三点重合，重合后的点记为 H，那么，在这个空间图形中必有
A. AG⊥△EFH 所在平面B. AH⊥△EFH 所在平面
C. HF⊥△AEF 所在平面D. HG⊥△AEF 所在平面

13. 如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是
A. B.
C. D.

14. 若平面 α 截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥中与平面 α 平行的棱有
A. 0 条B. 1 条C. 2 条D. 1 条或 2 条

15. 如图所示，下列四个正方体图形中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，P 分别为其所在棱的中点，能得出 AB∥平面MNP 的图形序号是
A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④

16. 如图所示，在三棱柱 ABC−AʹBʹCʹ 中，点 E，F，H，K 分别为 ACʹ，CBʹ，AʹB，BʹCʹ 的中点，G 为 △ABC 的重心，从 K，H，G，Bʹ 中取一点作为 P，使得该棱柱恰有 2 条棱与平面 PEF 平行，则 P 为点
A. KB. HC. GD. Bʹ

17. 下列四个正方体图形中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，P 分别为其所在棱的中点，能得出 AB∥平面MNP 的图形的序号是
A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④

18. 已知正方体 ABCD−A1B1C1D1 的棱长为 2，E 是棱 D1C1 的中点，点 F 在正方体内部或正方体的表面上，且 EF∥ 平面 A1BC1，则动点 F 的轨迹所形成的区域面积是
A. 92B. 23C. 33D. 42

19. 如图，正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，P 为底面 ABCD 上的动点，PE⊥A1C 于 E，且 PA=PE，则点 P 的轨迹是
A. 线段B. 圆弧
C. 椭圆的一部分D. 抛物线的一部分

20. 已知直线 m，n 和平面 α，满足 m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 如图，长方体 ABCD−A1B1C1D1 表面的六个面中，
（1）与直线 CD 平行的平面是 ；
（2）与直线 CC1 平行的平面是 ；
（3）与直线 CB 平行的平面是 ．

22. 过三棱柱 ABC−A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线，其中与平面 ABB1A1 平行的有 条．

23. 正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，若过 A，C，B1 三点的平面与底面 A1B1C1D1 的交线为 l，则 l 与 A1C1 的位置关系是 ．

24. 如图，在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中 M，N，P 分别是 C1D1，BC，A1D1 的中点，则下列命题正确的是 ．
① MN∥AP；② MN∥BD1；③ MN∥平面BB1D1D；④ MN∥平面BDP．

25. 如图，在四棱锥 P−ABCD 中，底面四边形 ABCD 的两组对边均不平行.
①在平面 PAB 内不存在直线与 DC 平行；
②在平面 PAB 内存在无数多条直线与平面 PDC 平行；
③平面 PAB 与平面 PDC 的交线与底面 ABCD 不平行；
上述命题中正确命题的序号为 ．

三、解答题（共5小题；共65分）
26. 在斜三棱柱 ABC−A1B1C1 中，侧面ACC1A1⊥平面ABC，∠ACB=90∘．
（1）求证：BC⊥AA1；
（2）若 M，N 是棱 BC 上的两个三等分点，求证：A1N∥平面AB1M．

27. 如图，正方形 ABCD 与正方形 ABEF 所在平面相交于 AB，在 AE，BD 上各有一点 P，Q，且 AP=DQ．求证：PQ∥平面BCE．

28. 如图，在四棱锥 P−ABCD 中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=∠ACD=90∘，∠BAC=∠CAD=60∘，E 为 PD 的中点，F 在 AD 上，且 ∠FCD=30∘．
（1）求证：CE∥平面PAB；
（2）若 PA=2AB=2，求三棱锥 P−ACE 的体积．

29. 如图，四棱锥 P−ABCD 中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 为线段 AD 上一点，AM=2MD，N 为 PC 的中点．
（1）证明：MN∥平面PAB；
（2）求四面体 N−BCM 的体积．

30. 如图，在三棱锥 P−ABC 中，PB⊥BC，AC⊥BC，点 E，F，G 分别为 AB，BC，PC 的中点．
（1）求证：PB∥平面EFG；
（2）求证：BC⊥EG．
答案
第一部分
1. A【解析】如图，由 AEEB=CFFB，得 AC∥EF．又 EF⊂平面DEF，AC⊄平面DEF，所以 AC∥平面DEF．
2. A
3. B【解析】对于选项 ①，取 NP 中点 G，由三角形中位线性质易证：MG∥AB；对于选项 ④，易证 NP∥AB．
4. B【解析】因为 AʹB∥CDʹ，所以 AʹB∥平面ADʹC．
5. D
【解析】由题意当两个平面平行时符合平面 α 内有无数条直线都与平面 β 平行，
当两平面相交时，在 α 平面内作与交线平行的直线，也有平面 α 内有无数条直线都与平面 β 平行．
6. D【解析】由线面平行的判定定理可知．
7. C【解析】显然 OM∥PD，又 PD⊂平面PCD，PD⊂平面PDA．
所以 OM∥平面PCD，OM∥平面PDA．
所以①②③正确．
8. D【解析】由题意可得 x12+x22+x32+x42≤4 成立，需要分五种情况讨论：
①当 x12+x22+x32+x42=0 时，只有 1 种情况，
即 x1=x2=x3=x4=0；
②当 x12+x22+x32+x42=1 时，
即 x1=±1，x2=x3=x4=0，有 2C41=8 种；
③当 x12+x22+x32+x42=2 时，
即 x1=±1，x2=±1，x3=x4=0，有 4C42=24 种；
④当 x12+x22+x32+x42=3 时，
即 x1=±1，x2=±1，x3=±1，x4=0，有 8C43=32 种；
⑤当 x12+x22+x32+x42=4 时，
即 x1=±1，x2=±1，x3=±1，x4=±1，有 16 种．
综合以上五种情况，则总共有 81 种．
9. D
10. B
11. A
12. B【解析】根据折叠前、后 AH⊥HE，AH⊥HF 不变，可推出 AH⊥平面EFH．
13. A
14. C
15. B
【解析】利用线面平行的定义判定．
16. C【解析】可一一验证．
17. C【解析】对于图形①，平面 MNP 与 AB 所在的对角面平行，即可得到 AB∥平面MNP；对于图形④，AB∥PN，即可得到 AB∥平面MNP；图形②③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行．
18. C【解析】因为 EF∥ 平面 A1BC1，所以点 F 的轨迹为图中六边形 EF1F2F3F4F5 所组成的正六边形边上及其内部，且 F1，F2，F3，F4，F5 分别是边 A1D1，A1A，AB，BC，CC1 的中点，因为正六边形的边长为 2，所以点 F 的轨迹所形成的区域面积是 6×34×22=33．
19. A
20. A
【解析】因为 m⊄α，n⊂α，
所以当 m∥n 时，m∥α 成立，即充分性成立；
当 m∥α 时，m∥n 不一定成立，即必要性不成立，
则“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．
第二部分
21. （1）平面 A1ABB1，平面 A1B1C1D1；，（2）A1ADD1，平面 A1ABB1；，（3）平面 A1ADD1，平面 A1B1C1D1
22. 6
【解析】如图所示，DD1 、 EE1 、 DE 、 D1E1 、 DE1 、 ED1 都平行于面 ABB1A1．
23. A1C1∥l
【解析】
因为 平面ABCD∥平面A1B1C1D1，AC⊂平面ABCD，
所以 AC∥平面A1B1C1D1，
又平面 ACB1 经过直线 AC 与平面 A1B1C1D1 相交于直线 l，
所以 AC∥l，
又因为 A1C1∥AC，
所以 A1C1∥l．
24. ③
25. ①②③
第三部分
26. （1） 因为 ∠ACB=90∘，所以 AC⊥CB，
又 侧面ACC1A1⊥平面ABC，且 平面ACC1A1∩平面ABC=AC，BC⊂平面ABC，
所以 BC⊥平面ACC1A1，
又 AA1⊂平面ACC1A1，
所以 BC⊥AA1．
（2） 连接 A1B，交 AB1 于 O 点，连接 MO，
在 △A1BN 中，O，M 分别为 A1B，BN 的中点，
所以 OM∥A1N．
又 OM⊂平面AB1M，A1N⊄平面AB1M，
所以 A1N∥平面AB1M．
27. 联结 AQ，并延长交 BC 于点 K，联结 EK，易证：APPE=DQBQ，DQBQ=AQQK，所以 APPE=AQQK，从而可得 PQ∥EK．又 PQ 不在平面 BCE 内，EK⫋平面BCE，所以 PQ∥平面BCE．
28. （1） 因为 ∠ACD=90∘，∠CAD=60∘，
所以 ∠FDC=30∘．
又 ∠FCD=30∘，
所以 ∠ACF=60∘，
所以 AF=CF=DF，即 F 为 AD 的中点．
又 E 为 PD 的中点，
所以 EF∥PA，
因为 AP⊂平面PAB．EF⊄平面PAB，
所以 EF∥平面PAB．
又 ∠BAC=∠ACF=60∘，
所以 CF∥AB，同理可得 CF∥平面PAB．
又 EF∩CF=F，
所以 平面CEF∥平面PAB，而 CE⊂平面CEF，
所以 CE∥平面PAB．
（2） 因为 EF∥AP，AP⊂平面APC，EF⊄平面APC，
所以 EF∥平面APC．
又 ∠ABC=∠ACD=90∘，∠BAC=60∘，PA=2AB=2，
所以 AC=2AB=2，CD=ACtan30∘=23．
所以
VP−ACE=VE−PAC=VF−PAC=VP−ACF=13×12×S△ACD⋅PA=13×12×12×2×23×2=233.
29. （1） 由已知条件，得 AM=23AD=2．
取 BP 的中点 T，连接 AT，TN．
因为 N 为 PC 的中点，
所以 TN∥BC，TN=12BC=2，
所以 TN=AM．
又 AD∥BC，
所以 TN∥AM，且 TN=AM，
故四边形 AMNT 为平行四边形，
所以 MN∥AT．
因为 AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，
所以 MN∥平面PAB．
（2） 因为 PA⊥平面ABCD，N 为 PC 的中点，
所以 N 到平面 ABCD 的距离为 12PA．
取 BC 的中点 E，连接 AE．
因为 AB=AC=3，
所以 AE⊥BC，AE=AB2−BE2=5．
因为 AM∥BC，
所以点 M 到 BC 的距离为 5，
故 S△BCM=12×4×5=25．
所以四面体 N−BCM 的体积 VN−BCM=13×12PA⋅S△BCM=453．
30. （1） 因为点 F，G 分别是 BC，PC 的中点，
所以 GF∥PB．
因为 PB⊄平面EFG，GF⊂平面EFG，
所以 PB∥平面EFG．
（2） 因为点 E，F 分别是 AB，BC 的中点，
所以 EF∥AC，
因为 AC⊥BC，
所以 EF⊥BC．
由（Ⅰ）知 GF∥PB，
因为 PB⊥BC，
所以 BC⊥GF，
又因为 EF∩GF=F，
所以 BC⊥平面EFG，
所以 BC⊥EG．