2022届高考数学二轮专题测练-直线与圆锥曲线

这是一份2022届高考数学二轮专题测练-直线与圆锥曲线，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共20小题；共100分）
1. 过点 0,1 作直线，使它与抛物线 y2=4x 仅有一个公共点，这样的直线有
A. 1 条B. 2 条C. 3 条D. 4 条

2. 已知抛物线 y2=2pxp>0 经过点 M2,y0，若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3，则 OM=
A. 2B. 22C. 4D. 23

3. 已知过点 P 且与抛物线 y2=2x 只有一个公共点的直线有且只有一条，则点 P 可以是
A. P2,1B. P0,2C. P2,2D. P2,−2

4. 过点 0,1 作直线，使它与抛物线 y2=4x 仅有一个公共点，这样的直线有
A. 1 条B. 2 条C. 3 条D. 4 条

5. 设抛物线 y2=8x 的焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点，PA⊥l，A 为垂足，如果直线 AF 的斜率为 −3，那么 PF=
A. 43B. 8C. 83D. 16

6. 已知 F 是双曲线 C:x24−y25=1 的一个焦点，点 P 在 C 上，O 为坐标原点．若 ∣OP∣=∣OF∣，则 △OPF 的面积为
A. 32B. 52C. 72D. 92

7. 已知 F 是抛物线 y2=x 的焦点，A，B 是该抛物线上的两点，∣AF∣+∣BF∣=3，则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为
A. 34B. 54C. 1D. 74

8. 过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，点 O 是坐标原点，若 AF=5，则 △AOB 的面积为
A. 5B. 52C. 32D. 178

9. 抛物线 y2=4x 的焦点为 F，点 Px,y 为该抛物线上的动点，若点 A−1,0，则 ∣PF∣∣PA∣ 的最小值是
A. 12B. 22C. 32D. 223

10. 过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 Ax1,y1 Bx2,y2 两点，如果 x1+x2=6，那么 ∣AB∣=
A. 6B. 8C. 9D. 10

11. 已知抛物线 C:y2=4x，直线 y=x−1 与 C 相交于 A，B 两点，与双曲线 E:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的渐近线相交于 M，N 两点，若线段 AB 与 MN 的中点相同，则双曲线 E 离心率为
A. 63B. 2C. 153D. 3

12. 设 F1，F2 是双曲线 x2−y224=1 的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且 3∣PF1∣=4∣PF2∣ ，则 △PF1F2 的面积等于
A. 42B. 83C. 24D. 48

13. 过双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点，与双曲线的渐近线交于 C，D 两点，若 AB≥35CD，则双曲线离心率的取值范围为
A. 53,+∞B. 54,+∞C. 1,53D. 1,54

14. 已知点 A2,0，抛物线 C：x2=4y 的焦点为 F，射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M，与其准线相交于点 N，则 FM:MN=
A. 2:5B. 1:2C. 1:5D. 1:3

15. 已知 O 为直角坐标系的坐标原点，双曲线 C:x2a2−y2b2=1b>a>0 上有一点 P5,mm>0，点 P 在 x 轴上的射影恰好是双曲线 C 的右焦点，过点 P 作双曲线 C 两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为 A，B，若平行四边形 PAOB 的面积为 1，则双曲线的标准方程是
A. x2−y24=1B. x22−y23=1C. x2−y26=1D. x232−y272=1

16. 已知抛物线 x2=4y，直线 y=k（k 为常数）与抛物线交于 A,B 两个不同点，若在抛物线上存在一点 P（不与 A,B 重合），满足 PA⋅PB=0，则实数 k 的取值范围为
A. k≥2B. k≥4C. 0b>0，已知椭圆的短轴长为 4，离心率为 55．求椭圆的方程．

27. 已知抛物线 C:y2=2pxp>0 过点 A1,−2．
（1）求抛物线 C 的方程，并求其准线方程；
（2）是否存在平行于 OA（O 为坐标原点）的直线 l 与抛物线 C 有公共点，且直线 OA 与 l 的距离等于 55?若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由．

28. 已知椭圆 M：x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率为 63，焦距为 22．直线 l 与椭圆 M 有两个不同的交点 A，B．
（1）求椭圆 M 的方程；
（2）设直线 l 方程为 y=x+m，先用 m 表示 ∣AB∣，然后求其最大值．

29. 设椭圆 x2m2+1+y2m2=1m>0 的两个焦点分别是 F1，F2，M 是椭圆上任意一点，△F1MF2 的周长为 2+22．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆在 y 轴负半轴上的顶点 B 及椭圆右焦点 F2 作一直线交椭圆于另一点 N，求 ∠F1NB 的大小（结果用反三角函数值表示）．

30. 如图，椭圆 E：x2a2+y2b2=1a>b>0 经过点 A0,−1，且离心率为 22．
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）经过点 1,1，且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 P，Q（均异于点 A），证明：直线 AP 与 AQ 的斜率之和为 2．
答案
第一部分
1. C【解析】过 0,1 与抛物线 y2=4x 相切的直线有 2 条，过 0,1 与对称轴平行的直线有一条，这三条直线与抛物线都只有一个公共点．
2. D
3. A
4. C【解析】结合图形分析可知，满足题意的直线共有 3 条：直线 x=0，过点 0,1 且平行于 x 轴的直线以及过点 0,1 且与抛物线相切的直线（非直线 x=0 ）．
5. B
6. B【解析】如图，
不妨设 F 为双曲线 C:x24−y25=1 的右焦点，P 为第一象限点．
由双曲线方程可得，a2=4，b2=5，则 c=a2+b2=3，
则以 O 为圆心，以 3 为半径的圆的方程为 x2+y2=9．
联立 x2+y2=9,x24−y25=1, 解得 P2143,53，
所以 S△OPF=12×3×53=52．
故选：B．
7. B【解析】设点 A 到准线的距离为 d1，点 B 到准线的距离为 d2，则 d1+d2=3，则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 d1+d22−p2=32−14=54．
8. B
9. B【解析】抛物线 y2=4x 的准线方程为 x=−1，如图，过 P 作 PN 垂直直线 x=−1 于 N，由抛物线的定义可知 ∣PF∣=∣PN∣，连接 PA，
在 Rt△PAN 中，sin∠PAN=∣PN∣∣PA∣，
当 ∣PN∣∣PA∣=∣PF∣∣PA∣ 最小时，sin∠PAN 最小，
即 ∠PAN 最小，即 ∠PAF 最大，
此时，PA 为抛物线的切线，设 PA 的方程为 y=kx+1，
联立 y=kx+1,y2=4x, 得 k2x2+2k2−4x+k2=0，
所以 Δ=2k2−42−4k4=0，解得 k=±1，
所以 ∠PAF=∠NPA=45∘，∣PF∣∣PA∣=∣PN∣∣PA∣=cs∠NPA=22．
10. B
【解析】由题意，p=2，故抛物线的准线方程是 x=−1，
因为抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 Ax1,y1 Bx2,y2 两点
所以 ∣AB∣=x1+x2+2，
又 x1+x2=6
所以 ∣AB∣=x1+x2+2=8
11. C
12. C【解析】F1−5,0，F25,0，∣F1F2∣=10 ，
因为 3∣PF1∣=4∣PF2∣ ，所以设 ∣PF2∣=x ，则 ∣PF1∣=43x ，
由双曲线的性质知 43x−x=2，解得 x=6，
所以 ∣PF1∣=8，∣PF2∣6 ，所以 ∠F1PF2=90∘ ，
所以 △PF1F2的面积=12×8×6=24 .
13. B【解析】将 x=c 代入 x2a2−y2b2=1 得 y=±b2a，
不妨取 Ac,b2a，Bc,−b2a，
所以 AB=2b2a．
将 x=c 代入双曲线的渐近线方程 y=±bax，得 y=±bca，
不妨取 Cc,bca，Dc,−bca，
所以 CD=2bca．
因为 AB≥35CD，
所以 2b2a≥35×2bca，
即 b≥35c，
则 b2≥925c2，
即 c2−a2≥925c2，
即 1625c2≥a2，
所以 e2≥2516，
所以 e≥54．
14. C
15. A
【解析】设其中一条直线为 y−m=−bax−5 与 y=bax 联立，得 xA=am+5b2b，故 ∣OA∣=1+b2a2⋅am+5b2b，点 P 到直线 y=bax 的距离 d=∣5b−am∣a2+b2，
所以 S平行四边形PAOB=1+b2a2⋅am+5b2b⋅∣5b−am∣a2+b2=∣5b2−a2m2∣2ab=1，又因为 5a2−m2b2=1，
所以联立解得 ab=2，又因为 c=5，所以 a=1，b=2，所以双曲线方程为 x2−y24=1．
16. B【解析】满足 PA⋅PB=0 的 P 点都在圆 x2+y−k2=4k 上，只需 x2=4y 与圆有除 A 、 B 外的交点即满足题意，联立两式有 y−ky−k−4=0．当 y=k 时交点为 A 、 B．故另一根 k−4 必须大于或等于零．解得 k≥4．
17. B
18. C【解析】当直线的斜率不存在，即过点 0,4 的直线方程为 x=0 时符合题意；当直线的斜率为 0 时，此时直线方程为 y=4 与抛物线仅有一个公共点；过点 0,4 可以做一条直线与抛物线相切；所以满足题意的直线有 3 条．
19. C【解析】由题意，得 Q−2,0．设 l 的方程为 y=kx+2，代入 y2=8x，得 k2x2+4k2−2x+4k2=0，所以当 k=0 时，直线 l 与抛物线恒有一个交点；当 k≠0 时，Δ=16k2−22−16k4≥0，即 k2≤1，所以 −1≤k≤1，且 k≠0，综上，−1≤k≤1．
20. A
【解析】设直线 l:2x+y−4=0，
因为 ∣OC∣=12∣AB∣=d1，其中 d1 为点 C 到直线 l 的距离，
所以圆心 C 的轨迹为以 O 为焦点，l 为准线的抛物线．
圆 C 半径最小值为 12d2=12×45=25，其中 d2 为点 O 到直线 l 的距离，圆 C 的面积的最小值为 π252=4π5．
第二部分
21. 22
【解析】因为点 P 在抛物线 y2=4x 上，设 Px0,y0，则 y02=4x0，
所以∣PQ∣=x0−32+y02=x02−6x0+9+4x0=x0−12+8.
因为 x0≥0，
所以当 x0=1 时，∣PQ∣ 取得最小值 22．
22. 46
【解析】联立 y=x+1x22−y23=1，消去 y 得：x2−4x−8=0，设 Ax1,y1，Bx2,y2，
则 x1+x2=4，x1x2=−8，AB=x2−x12+y2−y12，
y1=x1+1y2=x2+1⇒y2−y1=x2−x1，
AB=1+1x2−x1=2×x1+x22−4x1x2=2×16+32=46．
23. x2+y−12=10
24. 0,3，334
【解析】空 1：因为 C:x24+y2m=1 右焦点为 F1,0，
所以有 4>m>0 且 a=2，b=m，c=1，
而 a2=b2+c2，所以 4=m+1⇒m=3，
因此椭圆上顶点的坐标为：0,3；
空 2：设直线 MN 的方程为：y=kx+m，
由（1）可知：椭圆的标准方程为：x24+y23=1，
直线方程与椭圆方程联立：x24+y23=1,y=kx+m,
化简得：3+4k2x2+8kmx+4m2−12=0，
设 Mx1,y1，Nx2,y2，线段 MN 的中点为 D，
于是有：x1+x2=−8km3+4k2，y1+y2=kx1+x2+2m=6m3+4k2，
所以 D 点坐标为：−4km3+4k23m3+4k2，
因为 △BMN 的重心恰为点 F，所以有 BF=2FD，
即 1,−3=2−4km3+4k2−1,3m3+4k2，
因此有：2−4km3+4k2−1=1,2⋅3m3+4k2=−3⇒−4km3+4k2=32, ⋯⋯①6m3+4k2=−3. ⋯⋯②
① ÷ ②得：k=343，所以直线 MN 斜率为 334．
25. 0,3
【解析】设直线 AB 的方程：y=kx+t，设 Axʹ,yʹ，Bxʺ,yʺ，
联立与椭圆的方程整理得 3+4k2x2+8ktx+4t2−12=0，
Δ=64k2t2−43+4k24t2−12>0，
即 t2