2022届高考数学二轮专题测练-直线综合

这是一份2022届高考数学二轮专题测练-直线综合，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共20小题；共100分）
1. “直线 l1：2x+m+1y+4=0 与直线 l2：mx+3y−2=0 平行”是“m=2”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件

2. 若 a2+b2=2c2c≠0，则直线 ax+by+c=0 被圆 x2+y2=1 所截得的弦长为
A. 12B. 1C. 22D. 2

3. 若直线 kx+1−ky−3=0 和直线 k−1x+2k+3y−2=0 互相垂直，则 k=
A. −3 或 −1B. 3 或 1C. −3 或 1D. −1 或 3

4. 过点 1,2，且与直线 x+2y+2=0 垂直的直线方程为
A. 2x−y=0B. x−2y+3=0C. 2x+y−4=0D. x+2y−5=0

5. 已知直线 l1：3x−6y+1=0，l2：x−my+2=0，l3：nx+y+3=0，若 l1∥l2，且 l1⊥l3，则 m−n 的值为
A. 4B. −4C. 2D. 0

6. 直线 l 过点 2,2，且点 5,1 到直线 l 的距离为 10，则直线 l 的方程是
A. 3x+y+4=0B. 3x−y+4=0C. 3x−y−4=0D. x−3y+4=0

7. 已知直线 l1:y=ax−2，l2:3x−a+2y+1=0 互相平行，则 a=
A. 1 或 −3B. −1 或 3C. 1 或 3D. −1 或 −3

8. 已知 P1a1,b1 与 P2a2,b2 是直线 y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，则关于 l1:a1x+b1y−1=0 和 l2:a2x+b2y−1=0 的交点情况是
A. 存在 k，P1，P2 使之无交点
B. 存在 k，P1，P2 使之有无穷多交点
C. 无论 k，P1，P2 如何，总是无交点
D. 无论 k，P1，P2 如何，总是唯一交点

9. 若点 Pa,b 与 Qb−1,a+1 关于直线 l 对称，则直线 l 的倾斜角为
A. 135∘B. 45∘C. 30∘D. 60∘

10. 已知 P1a1,b1 与 P2a2,b2 是直线 y=kx（k 为常数）上异于坐标原点的两个不同的点，则关于 x 和 y 的方程组 a1x+b1y=1,a2x+b2y=1 的解的情况是
A. 无论 k，P1，P2 如何，总是无解B. 无论 k，P1，P2 如何，总有唯一解
C. 存在 k，P1，P2 使之恰有两解D. 存在 k，P1，P2 使之有无穷多解

11. 点 Px,y 在直线 4x+3y=0 上，且满足 −14≤x−y≤7 ，则点 P 到坐标原点距离的取值范围是
A. 0,5B. 0,10C. 5,10D. 5,15

12. 等腰直角三角形 ABC 中，∠C=90∘，若点 A,C 的坐标分别为 0,4，3,3，则点 B 的坐标可能是
A. 2,0 或 4,6B. 2,0 或 6,4
C. 4,6D. 0,2

13. 抛物线 y=−x2 上的点到直线 4x+3y−8=0 距离的最小值是
A. 43B. 75C. 85D. 3

14. 设两圆 C1，C2 都和两坐标轴相切，且都过点 4,1，则两圆心的距离 C1C2=
A. 4B. 42C. 8D. 82

15. 设 a>b>c>0，则 2a2+1ab+1aa−b−10ac+25c2 的最小值是
A. 2B. 4C. 25D. 5

16. 圆 x−22+y−12=3 关于直线 3x+5y+6=0 对称的圆的方程为
A. x+22+y+32=3B. x−12+y2=3
C. x+12+y+42=3D. x+32+y2=3

17. 若直线 l1：x+my+1=0 与 l2：m−2x+2my+2=0 平行，则实数 m 等于
A. 0B. 1C. 4D. 0 或 4

18. 经过点 1,0 且与直线 x−2y+1=0 垂直的直线方程为
A. x−2y−1=0B. 2x−y−2=0C. 2x+y−2=0D. 2x+y−1=0

19. 若动点 A，B 分别在直线 l1:x+y−7=0 和 l2:x+y−5=0 上移动，则 AB 的中点 M 到原点的距离的最小值为
A. 32B. 22C. 33D. 42

20. 已知双曲线 C:x2a2−y216=1 的两个焦点是 F1，F2，点 P 在双曲线 C 上，若 C 的离心率为 53，且 PF1=10，则 PF2=
A. 4 或 16B. 7 或 13C. 7 或 16D. 4 或 13

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 若直线 x−2y+5=0 与直线 2x+my−6=0 互相平行，则实数 m= ．

22. 若直线 x−2y+5=0 与直线 2x+my−6=0 互相垂直，则实数 m= ．

23. 已知 A0,1，点 B 在直线 l1:x+y=0 上运动，当线段 AB 最短时，直线 AB 的一般式方程为 ．

24. 若圆 C 的半径为 1，其圆心与点 1,0 关于直线 y=x 对称，则圆 C 的标准方程为 ．

25. 在平面直角坐标系 xOy 中，若动点 Pa,b 到两直线 l1:y=x 和 l2:y=−x+2 的距离之和为 22，则 a2+b2 的最大值为 ．

三、解答题（共5小题；共65分）
26. 如图，△ABC 中，D，E，F 分别为 BC，AC，AB 的中点，用坐标法证明：34AB2+BC2+AC2=AD2+BE2+CF2．

27. 过点 P1,2 的直线 l 与两点 A2,3，B4,−5 的距离相等，求直线 l 的方程．

28. 已知曲线 C:x24+y29=1，直线 l:x=2+t,y=2−2t（t 为参数）．
（1）写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程；
（2）过曲线 C 上任一点 P 作与 l 夹角为 30∘ 的直线，交 l 于点 A，求 PA 的最大值与最小值．

29. △ABC 的顶点 A4,3，AC 边上的中线所在的直线为 4x+13y−10=0，∠ABC 的平分线所在直线方程为 x+2y−5=0，求 AC 边所在直线的方程．

30. 在 △ABC 中，BC 边上的高所在的直线方程为 x−4y+1=0，∠BAC 的平分线所在的直线方程为 x−2y+1=0，若点 B 的坐标为 1,2，求点 A 和 C 的坐标．
答案
第一部分
1. B【解析】“直线 l1：2x+m+1y+4=0 与直线 l2：mx+3y−2=0 平行”⇒“m=2 或 m=−3”．
“m=2”⇒“直线 l1：2x+m+1y+4=0 与直线 l2：mx+3y−2=0 平行”，
“直线 l1：2x+m+1y+4=0 与直线 l2：mx+3y−2=0 平行”是“m=2”的必要不充分条件．
2. D【解析】因为圆心 0,0 到直线 ax+by+c=0 的距离 d=∣c∣a2+b2=∣c∣2∣c∣=22，由勾股定理得，弦长的一半就等于 12−222=22，所以弦长为 2．
3. C【解析】因为直线 kx+1−ky−3=0 和直线 k−1x+2k+3y−2=0 互相垂直，
所以 kk−1+1−k2k+3=0，
解得 k=1 或 k=−3．
4. A【解析】因为直线 x+2y+2=0 的斜率为 −12，所以过点 1,2，且与直线 x+2y+2=0 垂直的直线的斜率为 2，因此过点 1,2，且与直线 x+2y+2=0 垂直的直线的方程为 y−2=2x−1，即 2x−y=0，故选A．
5. D
【解析】l1：3x−6y+1=0，
l2：x−my+2=0，
l3：nx+y+3=0，
因为 l1∥l2，l1⊥l3，
所以 31=−6−m≠12，
3n−6=0，
所以 m=2，n=2．
故 m−n=0．
故选D．
6. C【解析】由已知，设直线 l 的方程为 y−2=kx−2，
即 kx−y+2−2k=0，所以 ∣5k−1+2−2k∣k2+−12=10，
解得 k=3，所以直线 l 的方程为 3x−y−4=0．
7. A【解析】因为 l1:ax−y−2=0，l2:3x−a+2y+1=0，
所以 l1∥l2，
所以 −aa+2=−3，
所以 a2+2a−3=0，a+3a−1=0，
所以 a=−3 或 a=1，
当 a=−3 时，l1:−3x−y−2=0，l2:3x+y+1=0，
满足 l1∥l2，
当 a=1 时，l1:x−y−2=0，l2:3x−3y+1=0，
满足 l1∥l2，
所以 a=−3或1．
8. D【解析】P1a1,b1 与 P2a2,b2 是直线 y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，直线 y=kx+1 的斜率存在，
所以 k=b2−b1a2−a1，即 a1≠a2，并且 b1=ka1+1，b2=ka2+1，
所以 a2b1−a1b2=ka1a2−ka1a2+a2−a1=a2−a1
a1x+b1y=1,a2x+b2y=1,
解得：a1b2−a2b1x=b2−b1，
即 a1−a2x=b2−b1，
所以方程组有唯一解．
故选D．
9. B【解析】由题意知，PQ⊥l．
因为 kPQ=a+1−bb−1−a=−1，
所以 kl=1，即直线 l 的倾斜角为 45∘．
10. A
【解析】P1a1,b1 与 P2a2,b2 是直线 y=kx（k 为常数）上异于坐标原点的两个不同的点，直线 y=kx 的斜率存在，
当 k=0 时，b1=b2=0，
方程 a1x+b1y=1,a2x+b2y=1, 化为 a1x=1,a2x=1,
因为 a1≠a2，
所以此方程无解；
当 k≠0 时，k=b2−b1a2−a1，a1≠a2，且 b1=ka1，b2=ka2，
所以 a2b1−a1b2=ka1a2−ka1a2=0，
a1x+b1y=1, ⋯⋯①a2x+b2y=1, ⋯⋯②
① ×b2− ② ×b1 得：a1b2−a2b1x=b2−b1，
因为 a1b2−a2b1=0，b2−b1≠0，
所以方程组无解，
综上，无论 k，P1，P2 如何，总是无解．
11. B【解析】y=−43x ，于是有 −14≤73x≤7⇒−6≤x≤3 ，于是 PO=x2+y2=53x∈0,10 .
12. A【解析】设 Bx,y，根据题意可得 kAC⋅kBC=−1∣BC∣=∣AC∣，即 3−43−0⋅y−3x−3=−1x−32+y−32=0−32+4−32，解得 x=2,y=0, 或 x=4,y=6, 所以 B2,0 或 B4,6．
13. A【解析】提示：作一条与 y=−x2 相切且与 4x+3y−8=0 平行的直线 l，设切点为 Mx0,y0，yʹ=−2x，所以 −2x0=−43，解得 x0=23，所以 M23,−49，切点 M23,−49 到直线 4x+3y−8=0 的距离有最小值，最小值为 43．
14. C【解析】因为两圆 C1，C2 都和两坐标轴相切，且都过点 4,1，故圆在第一象限内，
设圆心的坐标为 a,a，则有 a=a−42+a−12，
所以 a=5+22 或 a=5−22，故圆心为 5+22,5+22 和 5−22,5−22，故两圆圆心的距离 C1C2=422+422=8．
15. B
【解析】因为 a>b>c>0，所以
原式=a2+1ab+1aa−b−10ac+25c2+a2=a2−ab+1aa−b+ab+1ab+a−5c2=aa−b+1aa−b+ab+1ab+a−5c2≥2+2+0=4,
当且仅当 aa−b=1，ab=1，a−5c=0 时取等号，
即当 a=2，b=22，c=25 时，所求代数式的最小值为 4．
16. C【解析】设对称圆的圆心为 a,b，
则依题意得 b−1a−2=53,3×a+22+5×b+12+6=0,
解得 a=−1,b=−4,
所以所求的圆的方程为 x+12+y+42=3．
17. A【解析】因为直线 l1∥l2，
所以 1⋅2m=m⋅m−2，
即 2m=m2−2m，
所以 m2=4m，
即 m=0 或 m=4，
①若 m=0，
则 l1=x+1=0，l2：x−1=0，
所以 l1∥l2，
②若 m=4，则 l1：x+4y+1=0，
l2：x+4y+1=0，
则 l1 与 l2 重合．
综上所述，m=0．
故选A．
18. C【解析】将直线 x−2y+1=0 化为斜截式为：y=12x+12，
所以直线斜率：k=12．
则与直线所垂直直线的斜率为 k1=−1k=−2，
又因为该垂直直线过点 1,0，
故垂直直线方程为：y−0=−2x−1，
化简得 y=−2x+2，
得 2x+y−2=0．
19. A【解析】依题意知动线段 AB 的中点 M 的轨迹为与直线 l1:x+y−7=0 和 l2:x+y−5=0 等距的直线，
则 M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，
设点 M 的轨迹方程为 x+y+m=0，根据平行线间的距离公式得 m+72=m+52⇒m+7=m+5⇒m=−6，
即点 M 的轨迹方程为 x+y−6=0，
根据点到直线的距离公式，得 M 到原点的距离的最小值为 ∣−6∣2=32．
20. A
【解析】因为 c2=a2+b2 且 b2=16，
所以 c2=a2+16，
因为离心率 e=ca=53，
所以 c2=259a2，
故 259a2=a2+16，
所以 a2=9，
因为 a=9=3，
所以 2a=6，
由双曲线定义知 PF1−PF2=6，
所以 PF2=16 或 PF2=4，
因为 c−a=2，
所以 PF2>2，
故 PF2=16 或 PF2=4．
第二部分
21. −4
22. 1
【解析】本题考查两条直线的垂直关系的应用．
因为直线 x−2y+5=0 与直线 2x+my−6=0 互相垂直，
所以 12×−2m=−1，
所以 m=1．
23. x−y+1=0
【解析】AB⊥l1 时，AB 最短，所以 AB 斜率为 k=1，方程为 y−1=x，即 x−y+1=0．
24. x2+y−12=1
【解析】因为点 1,0 关于直线 y=x 对称的点的坐标为 0,1，所以所求圆的圆心为 0,1，半径为 1，于是圆 C 的标准方程为 x2+y−12=1．
25. 18
【解析】点 Pa,b 到直线 l1:y=x 和 l2:y=−x+2 的距离之和为 ∣a−b∣12+12+∣a+b−2∣12+12，
则 ∣a−b∣+∣a+b−2∣=4，
于是 b≥a,b≥−a+2,b−a+b+a−2=4, 或 b≥a,b