人教A版（2019）高中数学必修第二册公式大全

人教A版高中数学必修二必背基本公式复数一．复数的概念及其几何意义1．形如的数叫复数，其中叫做复数的虚数单位，且，叫做复数的实部，叫做复数的虚部．复数集用集合表示．2．复数的分类：对于复数① 当时，是实数；       ② 当时，是虚数；      ③ 当且时，是纯虚数．3．复数相等：若，，则的充要条件是且．特别地：若的充要条件是．4．共轭复数：实部相等，虚部互为相反数．若，则它的共轭复数．5．复数与复平面内的点一一对应．复数与复平面内所有以原点O为起点的向量一一对应．，与它的共轭复数对应的点关于x轴对称．复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．6．复数的模：向量的模叫做复数的模，记作或，且．二．复数四则运算1.复数的加法、减法、乘法、除法运算：加法、减法法则：；乘法法则：；除法法则：．三角函数和解三角形一．扇形面积公式（1）弧度制下：弧长l＝|α|·r，扇形面积二．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．    (2)商数关系：tan α＝三．三角函数的图象和性质正弦函数,余弦函数,正切函数的图象与性质性质图象定义域值域最值当时，；当时，．当时，；当时，．周期性奇偶性,奇函数偶函数单调性是增函数；是减函数．是增函数；是减函数．对称性对称中心对称轴，既是中心对称又是轴对称图形.对称中心对称轴，既是中心对称又是轴对称图形.四．两角和与差的三角函数公式的应用两角和与差的正弦、余弦、正切公式C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；  C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcos_β－sinαsinβ；S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；  S(α－β)：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ；T(α＋β)：tan(α＋β)＝；       T(α－β)：tan(α－β)＝.五．辅助角公式：函数 （注意：保证为正）六．二倍角的正弦、余弦、正切公式：S2α：sin 2α＝2sinαcosα；C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；T2α：tan 2α＝.解三角形：正弦定理1.正弦定理：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．(提问学生，什么时候用正弦定理解三角形：已知两角一边，或两边及其中一边所对角，或把边转化为角度的正弦表示，或把角度转化为边来表示）由正弦定理可以变形为：①a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；②a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；③sin A＝，sin B＝，sin C＝2.面积公式S＝absin C＝bcsin A＝acsin B二．余弦定理余弦定理： ， ， .（提问学生，什么时候用余弦定理解三角形：已知三边，或两边一角，或一边一角度可找出另外两边关系，或把角度的余弦转化为边表示。）平面向量一、平面向量的有关概念1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．3．单位向量：长度等于1个单位的向量．4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．二、平面向量的线性运算1.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：；(2)结合律：减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则 2.向量的数乘运算及其几何意义（1）定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.（2）运算律：设λ，μ是两个实数，则：①；②；③.三、共线向量定理及其应用1.共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.2.“鸡爪定理”是什么？四、平面向量基本定理及其应用1.平面向量基本定理：如果是一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使.其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2.作用是什么？(转化所求向量为已知向量表示)五、平面向量的坐标运算
平面向量的坐标运算1.设 ，则2.若，则；3.若，则． 六、平面向量数量积的运算（一）两个向量的夹角1．定义已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．2．范围向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°，a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°.3．向量垂直如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b.（二）平面向量的数量积1．已知两个非零向量a与b，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a与b的夹角．规定0·a＝0.当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0.（三）数量积的运算律1．交换律：a·b＝b·a.2．分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.3．对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．七、向量数量积的性质（一）向量数量积的性质2．a⊥ba·b＝0.3．a·a＝|a|2，.4．cos θ＝.(θ为a与b的夹角)5．|a·b|≤|a||b|.（二）数量积的坐标运算设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则：1．a·b＝a1b1＋a2b2.2．a⊥ba1b1＋a2b2＝0.3．|a|＝.4．cosθ＝＝.(θ为a与b的夹角)空间几何体的表面积、体积一、空间几何体的结构特征1.多面体的结构特征多面体结构特征棱柱1.上下两个底面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个面的交线都平行且相等2.直棱柱：侧棱垂直上下底面3.正棱柱：底面为正多边形的直棱柱棱锥1.有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形2.正棱锥：底面为正多边形，侧面为等腰三角形棱台棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分提问如何求解台体的体积或表面积：还原为锥体，用相似列方程。2.旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形任一边所在的直线圆锥直角三角形一条直角边所在的直线圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线球半圆直径所在的直线二．几何体的表面积和体积1. .柱体、锥体、台体和球的表面积与体积(1)表面积公式                              (2)体积公式①圆柱的表面积S＝2πr(r＋l)；                ①柱体的体积V＝Sh；②圆锥的表面积S＝πr(r＋l)；                 ②锥体的体积V＝Sh；③圆台的表面积S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)；      ③台体的体积V＝(S′＋＋S)h；④球的表面积S＝4πR2                                    ④球的体积V＝πR立体几何点线面位置关系一、空间点、线、面的位置关系:平行1..线面平行判定定理：若a∥b，a⊄α，b⊂α，则a∥α.2..线面平行的性质定理：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b.3..面面平行的判定定理：若a，b⊂α，a，b相交，且a∥β，b∥β，则α∥β.4..面面平行的性质定理：①若α∥β，a⊂α，则a∥β.②若α∥β，r∩α＝a，r∩β＝b，则a∥b.如何找线线平行：中位线定理，构造一个平行四边形，公理4，线面平行的性质定理。 6.线面垂直的判定定理：若a⊥b，a⊥c，b，c⊂α，且b与c相交，则a⊥α.7.线面垂直的性质定理：若a⊥α，b⊥α，则a∥b.8.面面垂直的性质定理：若a⊥α，则直线a垂直面α内任何一条直线。8.提问如何找线线垂直：勾股定理逆定理，线面垂直的性质定理，特殊三角形、四边形做辅助线。二、空间点、线、面的位置关系:空间的角1.异面直线的定义：不同在任何一个平面的两条直线叫做异面直线2.异面直线所成的角的范围：．⑵平移→3．直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝.0°≤φ≤90°4．求二面角的大小(1)如图1，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．(2)如图2、3，分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小(或)．5.求线面角度或点到面的距离：找出直线所在的一个向量，和平面的法向量,代入公式.统计与统计案例一．抽样方法1.简单随机抽样：一般地，从元素个数为N的总体中逐个不放回地抽取容量为n的样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫做简单随机抽样．最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法．简单随机抽样适用范围是：总体中的个体性质相似，无明显层次；总体容量较小，尤其是样本容量较小.2.分层抽样：当总体由有明显差别的几部分组成时，为了使抽取的样本更好地反映总体的情况，常采用分层抽样，将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不交叉的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样或系统抽样，这种抽样方法叫做分层抽样．分层抽样的应用范围是：总体由差异明显的几部分组成的情况；分层后，在每一层抽样时可采用简单随机抽样。二．频率分布直方图1. ①频率分布直方图：在频率分布直方图中，纵轴表示，数据落在各小组内的频率用各长长方形的面积表示，各小长方形的面积总和等于1．2．频率分布直方图的步骤如下：(ⅰ)求极差；(ⅱ)确定组距和组数；(ⅲ)将数据分组；(ⅳ)列频率分布表；(ⅴ)画频率分布直方图．频率分布直方图能很容易地表示大量数据，非常直观地表明分布的形状．3.如何求频率分布直方图的平均数：每一组的中间数乘以每一组的频率，再相加。4.如何求频率分布直方图的中位数：整个小长方形面积一半的分界点。5.如何求频率分布直方图的方差：每一组的中间数减去平均数再整体的平方，乘以每一组的频率再相加。6.如何求频率分布直方图的百分位数：找面积对应的刻度(与找中位数的方法一致)概率一、 随机事件的概率1．随机事件和确定事件：在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件.(1)在条件下，一定会发生的事件叫做相对于条件的必然事件．(2)在条件下，一定不会发生的事件叫做相对于条件的不可能事件．(3)必然事件与不可能事件统称为确定事件．(4)在条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件．(5)确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母表示．2．频率与概率(1)在相同的条件下重复次试验，观察某一事件是否出现，称次试验中事件出现的次数为事件出现的频数，称事件出现的比例为事件出现的频率．(2)对于给定的随机事件，如果随着试验次数的增加，事件发生的频率稳定在某个常数上，把这个常数记作，称为事件的概率，简称为的概率．3．互斥事件与对立事件互斥事件的定义：在一次试验中，不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件.即为不可能事件()，则称事件与事件互斥，其含义是：事件与事件在任何一次试验中不会同时发生．一般地，如果事件中的任何两个都是互斥的，那么就说事件彼此互斥.对立事件：若不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件；即为不可能事件，而为必然事件，那么事件与事件互为对立事件，其含义是：事件与事件在任何一次试验中有且仅有一个发生．互斥事件和对立事件的区别和联系：对立事件是互斥事件，但是互斥事件不一定是对立事件.两个事件互斥是两个事件对立的必要非充分条件.4.事件的关系与运算 定义符号表示并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件发生或事件发生，则称此事件为事件与事件的并事件(或和事件)(或)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件发生且事件发生，则称此事件为事件与事件的交事件(或积事件)(或)互斥事件若为不可能事件，那么称事件与事件互斥对立事件若为不可能事件，为必然事件，那么称事件与事件互为对立事件且5.随机事件的概率事件的概率：在大量重复进行同一试验时,事件发生的频率总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件的概率,记作.由定义可知，显然必然事件的概率是，不可能事件的概率是.5．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：.(2)必然事件的概率：.(3)不可能事件的概率：.(4)互斥事件的概率加法公式：①(互斥)，且有．② (彼此互斥)．(5)对立事件的概率：．二、古典概型1. 一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通常此试验中的某一事件A由几个基本事件组成.如果一次试验中可能出现的结果有n个,即此试验由n个基本事件组成,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一基本事件的概率都是.如果某个事件A包含的结果有m个,那么事件A的概率P（A）=.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的．(2)任何事件都可以表示成基本事件的和(除不可能事件)．2.古典概型：具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性．②每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性．概率公式：=.[常用结论]1．频率与概率频率是随机的，不同的试验，得到频率也可能不同，概率是频率的稳定值，反映了随机事件发生的可能性的大小．2．互斥与对立对立事件一定互斥，但互斥事件不一定对立．3．概率加法公式的注意点(1)要确定A，B互斥方可运用公式．(2)A，B为对立事件时并不一定A与B发生的可能性相同，即P(A)＝P(B)可能不成立．