备战2022年中考（通用版）一轮复习分类专项训练卷：三角形（word版，含解析）

这是一份备战2022年中考（通用版）一轮复习分类专项训练卷：三角形（word版，含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
备战2022年中考（通用版）一轮复习分类专项训练卷
三角形
一、选择题
1．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）

A． B．
C． D．
2．工人常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，是一个任意角，在边、上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，过角尺顶点作射线，由此作法便可得，共依据是（ ）

A． B． C． D．
3．如图，，是的外角，，则的大小是（ ）

A． B． C． D．
4．如图，，，重足为，，则等于（ ）

A．40° B．45° C．50° D．60°
5．已知等腰三角形有一个角为50°，则这个等腰三角形的底角度数是（ ）．
A．65° B．65°或80° C．50°或80° D．50°或65°
6．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（ ）

A．2 B．4 C．6 D．8
7．在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝4∠C，则∠C等于（　　）
A．32° B．36° C．40° D．128°
8．如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ）

A． B．
C． D．
9．如图，在中，，AD平分，，，，则AC的长为（　　）

A．9 B．8 C．6 D．7
10．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝6，点P是线段AC上一动点，点M在线段AB上，当AM＝AB时，PB＋PM的最小值为（ ）

A．3 B．2 C．2＋2 D．3＋3
二、填空题
11．已知等腰三角形的两边长为3和6，则它的周长为_____．
12．如图，，，要使，应添加的条件是_________．（只需写出一个条件即可）

13．如图，在△ABC中，AC＝4，∠A＝60°，∠B＝45°，BC边的垂直平分线DE交AB于点D，连接CD，则AB的长为_________________．

14．已知，在中，，，，则的面积为 __．
15．如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，则点D是线段AB的黄金分割点．若AC＝2，则BD＝______．

16．如图，是等边三角形，，N是的中点，是边上的中线，M是上的一个动点，连接，则的最小值是________．

三、解答题
17．如图，点，在线段上，，，，求证：．



18．如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C．求证：AE＝AD．




19．如图，是的外角．

（1）尺规作图：作的平分线AE（不写作法，保留作图痕迹，用黑色墨水笔将痕迹加黑）；
（2）若，求证：．




20．如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连接AE、DE、DC．
(1)求证：△ABE≌△CBD；
(2)若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．





21．（知识再现）
学完《全等三角形》一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称HL定理）”是判定直角三角形全等的特有方法．
（简单应用）
如图（1），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AC、AB上．若CE＝BD，则线段AE和线段AD的数量关系是 　　．

（拓展延伸）
在△ABC中，∠BAC＝（90°＜＜180°），AB＝AC＝m，点D在边AC上．
（1）若点E在边AB上，且CE＝BD，如图（2）所示，则线段AE与线段AD相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由．
（2）若点E在BA的延长线上，且CE＝BD．试探究线段AE与线段AD的数量关系（用含有a、m的式子表示），并说明理由．




22．在△ABC中，AC＝AB，∠BAC＝，D为线段AB上的动点，连接DC，将DC绕点D顺时针旋转得到DE，连接CE，BE．

（1）如图1，当＝60°时，求证：△CAD≌△CBE；
（2）如图2，当tanα＝时，
①探究AD和BE之间的数量关系，并说明理由；
②若AC＝5，H是BC上一点，在点D移动过程中，CE＋EH是否存在最小值？若存在，请直接写出CE＋EH的最小值；若不存在，请说明理由．



参考答案
1．C
【分析】
根据三角形全等的判定方法求解即可．
【详解】
解：A、∵，，，
∴，选项不符合题意；
B、∵，，，
∴，选项不符合题意；
C、∵由，，，
∴无法判定，选项符合题意；
D、∵，，，
∴，选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】
此题考查了三角形全等的判定方法，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．判定三角形全等的方法有：SSS，SAS，AAS，ASA，HL(直角三角形)．
2．A
【分析】
由作图过程可得MO＝NO，NC＝MC，再加上公共边CO＝CO可利用SSS定理判定△MOC≌△NOC．
【详解】
解：由作图过程可得MO＝NO，NC＝MC，
在△ONC和△OMC中，
∴△MOC≌△NOC（SSS），
∴∠BOC＝∠AOC，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
3．B
【分析】
根据三角形的外角性质直接求解即可．
【详解】
是的外角，，，
．
．
故选B．
【点睛】
本题考查了三角形外角的性质，掌握三角形外角性质是解题的关键．
4．C
【分析】
根据三角形内角和求出∠ABC=50°，再利用平行线的性质求出即可．
【详解】
解：∵，
∴∠ACB=90°，
∵，
∴∠ABC=90°-=50°，
∵
∴，
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形内角和和平行线的性质，解题关键是熟练运用相关知识进行推理计算．
5．D
【分析】
可以是底角，也可以是顶角，分情况讨论即可．
【详解】
当角为底角时，底角就是，
当角为等腰三角形的顶角时，底角为，
因此这个等腰三角形的底角为或．
故选：D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
6．C
【分析】
根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝EA＝4，结合图形计算，得到答案．
【详解】
解：∵DE是AB的垂直平分线，AE＝4，
∴EB＝EA＝4，
∴BC＝EB＋EC＝4＋2＝6，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
7．A
【分析】
直接根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】
解：∵ ，且∠A＝20°，∠B＝4∠C，
∴
∴
∴∠C=32°
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了三角形内角和定理的应用以及解一元一次方程，运用方程思想解答此类试题是常用的思想方法．
8．B
【分析】
先通过作图过程可得AD平分∠BAC,DE⊥AB,然后证明△ACD≌△AED说明C、D正确，再根据直角三角形的性质说明选项A正确，最后发现只有AE=EB时才符合题意．
【详解】
解：由题意可得：AD平分∠BAC,DE⊥AB,
在△ACD和△AED中
∠AED=∠C，∠EAD=∠CAD,AD=AD
∴△ACD≌△AED（AAS）
∴DE=DC,AE=AC,即C、D正确；
在Rt△BED中，∠BDE=90°-∠B
在Rt△BED中，∠BAC=90°-∠B
∴∠BDE=∠BAC，即选项A正确；
选项B，只有AE=EB时，才符合题意．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了尺规作图、全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质，正确理解尺规作图成为解答本题的关键．
9．B
【分析】
根据角平分线的性质可得到，然后由可知，从而得到，所以是等边三角形，由，即可得出答案．
【详解】
解：∵，AD平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质、平行线的性质、等边三角形的判定和性质，熟练掌握相应的判定定理和性质是解题的关键，属于基础综合题．
10．B
【分析】
作B点关于AC的对称点B'，连接B'M交AC于点P，则PB＋PM的最小值为B'M的长，过点B'作B'H⊥AB交H点，在Rt△BB'H中，B'H＝3，HB＝3，可求MH＝1，在Rt△MHB'中，B'M＝2，所以PB＋PM的最小值为2．
【详解】
解：作B点关于AC的对称点B'，连接B'M交AC于点P，
∴BP＝B'P，BC＝B'C，
∴PB＋PM＝B'P＋PM≥B'M，
∴PB＋PM的最小值为B'M的长，
过点B'作B'H⊥AB交H点，

∵∠A＝30°，∠C＝90°，
∴∠CBA＝60°，
∵AB＝6，
∴BC＝3，
∴BB'＝BC＋B'C＝6，
在Rt△BB'H中，∠B'BH＝60°，
∴∠BB'H＝30°，
∴BH＝3，
由勾股定理可得：，
∴AH＝AB－BH＝3，
∵AM＝AB，
∴AM＝2，
∴MH＝AH－AM＝1，
在Rt△MHB'中，，
∴PB＋PM的最小值为2，
故选：B．
【点睛】
本题考查轴对称—最短路线问题，涉及到解直角三角形，解题的关键是做辅助线，找出PB＋PM的最小值为B'M的长．
11．15
【分析】
分两种情况：当3为底时和3为腰时，再根据三角形的三边关系定理：两边之和大于第三边去掉一种情况即可．
【详解】
解：当3为底时，三角形的三边长为3，6，6，则周长为15；
当3为腰时，三角形的三边长为3，3，6，
∵3+3＝6，
∴3，3，6不能组成三角形，
综上所述，等腰三角形的三边长为3，3，6，周长为15；
故答案为：15．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的定义以及三角形的三边关系定理，是基础知识，要熟练掌握．注意分类讨论思想的应用．
12．或或（只需写出一个条件即可，正确即得分）
【分析】
根据已知的∠1=∠2，可知∠BAC=∠EAD，两个三角形已经具备一边一角的条件，再根据全等三角形的判定方法，添加一边或一角的条件即可．
【详解】
解：如图所所示，

∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD．
∴∠BAC=∠EAD．
（1）当∠B=∠E时，


（2）当∠C=∠D时，


（3）当AB=AE时，


故答案为：∠B=∠E或∠C=∠D或AB=AE
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定方法，熟知全等三角形的各种判定方法及适用条件是解题的关键．
13．2＋2
【分析】
根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DC，根据三角形的外角性质得到∠ADC＝90°，根据含30°角的直角三角形的性质求出AD，根据勾股定理求出DC，进而求出AB．
【详解】
解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB＝DC，
∴∠DCB＝∠B＝45°，
∴∠ADC＝∠DCB＋∠B＝90°，
∵∠A＝60°，
∴∠ACD＝30°，
∴AD＝AC＝2，
由勾股定理得：DC＝＝＝2，
∴DB＝DC＝2，
∴AB＝AD＋DB＝2＋2，
故答案为：2＋2．
【点睛】
本题主要考查了三角形外角性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
14．2或14#14或2
【分析】
过点B作AC边的高BD，Rt△ABD中，∠A=45°，AB=4，得BD=AD=4，在Rt△BDC中，BC=4，得CD==5，①△ABC是钝角三角形时，②△ABC是锐角三角形时，分别求出AC的长，即可求解．
【详解】
解：过点作边的高，

中，，，
，
在中，，
，
①是钝角三角形时，
，
；
②是锐角三角形时，
，
，
故答案为：2或14．
【点睛】
本题考查了勾股定理，三角形面积求法，解题关键是分类讨论思想．
15．
【分析】
先根据AB=AC，∠B=72°求出∠A的度数，再根据CD是∠CAB的角平分线得到∠A=∠ACD，即AD=CD，再根据大角对大边得到AD>BD，最后利用黄金分割公式计算求解即可.
【详解】
解：∵AB=AC，∠B=72°
∴∠ACB=∠B=72°
∴∠A=180°-∠B-∠ACB=36°
∵CD是∠CAB的角平分线
∴∠ACD=∠BCD=
∴∠A=∠ACD
∴AD=CD
在△ABC与△CBD中
∠A=∠BCD=36°，∠B=∠B
∴△ABC∽△CBD
∴
在三角形CDB中，∠B=72°，∠BCD=36°
∴∠CDB=72°
∴∠CDB=∠B=72°
∴AD=CD=BC
∴
即
∴D点为AB的黄金分割点
在三角形CDB中，∠B=72°，∠BCD=36°
∴CD>BD（大角对大边）
∴AD>BD

∵D是AB的黄金分割点，AD>BD
∴
∴
故答案为：.

【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，黄金分割点，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
16．
【分析】
根据题意可知要求BM+MN的最小值，需考虑通过作辅助线转化BM，MN的值，从而找出其最小值，进而根据勾股定理求出CN，即可求出答案．
【详解】
解：连接CN，与AD交于点M，连接BM．（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），是边上的中线即C和B关于AD对称，则BM+MN=CN，则CN就是BM+MN的最小值．

∵是等边三角形，，N是的中点，
∴AC=AB=6,AN=AB=3, ,
∴.
即BM+MN的最小值为．
故答案为：.
【点睛】
本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到等边三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，等腰三角形的性质等知识点的综合运用．
17．见解析
【分析】
由可得，，进而根据AAS证明，即可证明．
【详解】
，
，
在与中，

（AAS），
．
【点睛】
本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．
18．证明见解析
【分析】
结合题意，根据全等三角形的性质，通过证明，即可得到答案．
【详解】
∵AB＝AC，∠B＝∠C
∴
∴（ASA)
∴．
【点睛】
本题考查了全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质，从而完成求解．
19．（1）作图见解析；（2）证明见解析
【分析】
（1）正确地利用尺规作出AE即可；
（2）利用平行线的性质和角平分线的性质即可证明求解.
【详解】
解：（1）如图所示，以A为圆心，以任意长为半径画弧，分别交直线AC于M，直线AD于N，连接MN，分别以M、N为圆心，以大于MN的一半为半径画弧，两弧交于E，连接AE即为所求；

（2）∵AE∥BC，
∴∠C=∠CAE，∠B=∠EAD，
∵AE是∠CAD的角平分线，
∴∠CAE=∠EAD，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC.
【点睛】
本题主要考查了尺规作已知角的角平分线，平行线的性质，等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
20．（1）证明见解析；（2）∠BDC=75°．
【分析】
（1）由条件可利用SAS证得结论；
（2）由等腰直角三角形的性质可先求得∠BCA，利用三角形外角的性质可求得∠AEB，再利用全等三角形的性质可求得∠BDC．
【详解】
解：（1）证明：
∵∠ABC=90°，
∴∠DBC=90°，
在△ABE和△CBD中
，
∴△ABE≌△CBD（SAS）；
（2）∵AB=CB，∠ABC=90°，
∴∠BCA=45°，
∴∠AEB=∠CAE+∠BCA=30°+45°=75°，
∵△ABE≌△CBD，
∴∠BDC=∠AEB=75°．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质．掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
21．【简单应用】AE＝AD；【拓展延伸】（1）相等，证明见解析；（2）AE﹣AD＝2AC•cos（180°﹣），理由见解析
【分析】
简单应用：证明Rt△ABD≌Rt△ACE（HL），可得结论．
拓展延伸：（1）结论：AE＝AD．如图（2）中，过点C作CM⊥BA交BA的延长线于M，过点N作BN⊥CA交CA的延长线于N．证明△CAM≌△BAN（AAS），推出CM＝BN，AM＝AN，证明Rt△CME≌Rt△BND（HL），推出EM＝DN，可得结论．
（2）如图（3）中，结论：AE﹣AD＝2m•cos（180°﹣）．在AB上取一点E′，使得BD＝CE′，则AD＝AE′．过点C作CT⊥AE于T．证明TE＝TE′，求出AT，可得结论．
【详解】
简单应用：解：如图（1）中，结论：AE＝AD．

理由：∵∠A＝∠A＝90°，AB＝AC，BD＝CE，
∴Rt△ABD≌Rt△ACE（HL），
∴AD＝AE．
故答案为：AE＝AD．
拓展延伸：（1）结论：AE＝AD．

理由：如图（2）中，过点C作CM⊥BA交BA的延长线于M，过点N作BN⊥CA交CA的延长线于N．
∵∠M＝∠N＝90°，∠CAM＝∠BAN，CA＝BA，
∴△CAM≌△BAN（AAS），
∴CM＝BN，AM＝AN，
∵∠M＝∠N＝90°，CE＝BD，CM＝BN，
∴Rt△CME≌Rt△BND（HL），
∴EM＝DN，
∵AM＝AN，
∴AE＝AD．
（2）如图（3）中，结论：AE﹣AD＝2m•cos（180°﹣）．

理由：在AB上取一点E′，使得BD＝CE′，则AD＝AE′．过点C作CT⊥AE于T．
∵CE′＝BD，CE＝BD，
∴CE＝CE′，
∵CT⊥EE′，
∴ET＝TE′，
∵AT＝AC•cos（180°﹣）＝m•cos（180°﹣），
∴AE﹣AD＝AE﹣AE′＝2AT＝2m•cos（180°﹣）．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解直角三角形等知识，解题的关键在于能够熟练寻找全等三角形解决问题.
22．（1）见解析；（2）①＝，理由见解析；②存在，
【分析】
（1）首先证明△ACB，△CDE都是等边三角形，再根据SAS证明三角形全等即可．
（2）①结论：＝．利用相似三角形的性质解决问题即可．
②如图2中，过点C作CJ⊥BE交BE的延长线于J．作点C关于BE的对称点R，连接BR，ER，过点R作RT⊥BC于T．利用相似三角形的性质求出CJ＝，推出点E的运动轨迹是射线BE，利用面积法求出RT，可得结论．
【详解】
（1）证明：如图1中，

∵＝60°，AC＝AB，
∴△ABC是等边三角形，
∴CA＝CB，∠ACB＝60°，
∵将DC绕点D顺时针旋转得到DE，
∴DC＝DE，∠CDE＝60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴CD＝CE，∠DCE＝∠ACB＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△CAD≌△CBE（SAS）．
（2）解：①结论：＝．
如图2中，过点C作CK⊥AB于K．
∵tan∠CAK＝＝，
∴可以假设CK＝3k，AK＝4k，则AC=AB＝5k，BK＝AB﹣AK＝k，
∴BC＝＝k，
∵∠A＝∠CDE，AC＝AB，CD＝DE，
∴∠ACB＝∠ABC＝∠DCE＝∠DEC，
∴△ACB∽△DCE，
∴＝，
∴＝，
∵∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD∽△BCE，
∴＝＝＝．
②如图2中，过点C作CJ⊥BE交BE的延长线于J．作点C关于BE的对称点R，连接BR，ER，过点R作RT⊥BC于T．
∵AC＝5，
由①可知，AK＝4，CK＝3，BC＝，
∵△CAD∽△BCE，CK⊥AD，CJ⊥BE，
∴＝＝（全等三角形对应边上的高的比等于相似比），
∴CJ＝，
∴点E的运动轨迹是射线BE，
∵C，R关于BE对称，
∴CR＝2CJ＝，
∵BJ＝＝＝，
∵S△CBR＝•CR•BJ＝•CB•RT，
∴RT＝＝，
∵EC＋EH＝ER＋EH≥RT，
∴EC＋EH≥，
∴EC＋EH的最小值为．

【点睛】
本题属于三角形综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，确定点E的运动轨迹是最后一个问题的突破点，属于中考压轴题．