数学必修 第一册5.3 诱导公式学案

这是一份数学必修 第一册5.3 诱导公式学案，共21页。
知识梳理
1．公式二
2.公式三
3.公式四
4.诱导公式五、六
名师导学
知识点1 给角求值
【例】求下列各三角函数值：
(1)cseq \f(17π,6)；(2)tan(－855°)；(3)taneq \f(3π,4)＋sineq \f(11π,6).
反思感悟
利用诱导公式解决给角求值问题的步骤
变式训练
计算：(1)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7π,3)))；
(2)sin(－60°)＋cs 225°＋tan 135°；
(3)sineq \f(4π,3)·cseq \f(25π,6)·taneq \f(5π,4).
知识点2 给值求值
【例】(1)若cs(2π－α)＝eq \f(\r(5),3)且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，则sin(π－α)＝( )
A．－eq \f(\r(5),3) B．－eq \f(2,3)
C．－eq \f(1,3) D．±eq \f(2,3)
(2)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(\r(3),3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(5π,6)))＝________．
反思感悟
解决条件求值问题的两技巧

变式训练
1．若sin(π＋α)＝eq \f(1,2)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，则tan(π－α)等于( )
A．－eq \f(1,2) B．－eq \f(\r(3),2)
C．－eq \r(3) D．－eq \f(\r(3),3)
2．已知tan(π＋α)＝3，求eq \f(2cs（π－α）－3sin（π＋α）,4cs（－α）＋sin（2π－α）)的值．
知识点3 化简求值
【例1】化简：
(1)eq \f(cs（－α）tan（7π＋α）,sin（π－α）)；
(2)eq \f(sin（1 440°＋α）·cs（α－1 080°）,cs（－180°－α）·sin（－α－180°）).
【例2】(1)已知tan α＝3，求eq \f(sin（α－π）＋cs（π－α）,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)))的值；
(2)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝eq \f(1,2)，求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋α))的值．
反思感悟
(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少；
(2)解答此类问题要学会发现它们的互余、互补关系：如eq \f(π,3)－α与eq \f(π,6)＋α，eq \f(π,3)＋α与eq \f(π,6)－α，eq \f(π,4)－α与eq \f(π,4)＋α等互余，eq \f(π,3)＋θ与eq \f(2π,3)－θ，eq \f(π,4)＋θ与eq \f(3π,4)－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题．

变式训练
1．已知sin(π＋α)＝eq \f(1,2)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,2)))的值为( )
A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2)
C.eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(2),2)
2．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))的值为( )
A.eq \f(2\r(2),3) B．－eq \f(2,3)eq \r(2)
C.eq \f(1,3) D．－eq \f(1,3)
知识点4 利用诱导公式证明
【例】求证：eq \f(tan（2π－α）sin（－2π－α）cs（6π－α）,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2)))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2))))＝－tan α.
反思感悟
利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：
(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简；
(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子；
(3)针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除差异．
变式训练
求证：eq \f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(3π,2)))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,2)))－1,1－2sin2（π＋θ）)＝eq \f(tan（9π＋θ）＋1,tan（π＋θ）－1).
知识点5 诱导公式的综合应用
【例】已知函数
f(α)＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))tan（2π－α）,tan（α＋π）sin（α＋π）).
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)·feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＝－eq \f(1,8)，且eq \f(5π,4)≤α≤eq \f(3π,2)，求f(α)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))的值．
反思感悟
诱导公式综合应用要“三看”
一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系；
二看函数名称：一般是弦切互化；
三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形．
变式训练
已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α－\f(3π,2)))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)))·tan2(π－α)的值．
当堂测评
1．计算cs(－600°)＝( )
A.eq \f(\r(3),2) B．－eq \f(\r(3),2)
C.eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2)
2．已知cs(α－π)＝－eq \f(5,13)，且α是第四象限角，则sin(－2π＋α)等于( )
A．－eq \f(12,13) B.eq \f(12,13)
C．±eq \f(12,13) D.eq \f(5,12)
3．计算tan 690°＝________.
4.eq \r(2＋2sin（2π－θ）－cs2（π＋θ）)可化简为________．
5．化简：eq \f(sin（540°＋α）·cs（－α）,tan（α－180°）).
6.求证：eq \f(sin（θ－5π）cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)－θ))cs（8π－θ）,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(3π,2)))sin（－θ－4π）)＝sin θ.
教材考点
学习目标
核心素养
诱导公式二、三、四、五、六
理解诱导公式的推导方法
逻辑推理
诱导公式的应用
能运用公式进行三角函数式的求值、化简以及证明
数学运算、逻辑推理
终边关系
图示
角π＋α与角α的终边关于原点对称
公式
sin(π＋α)＝－sin__α，
cs(π＋α)＝－cs__α，
tan(π＋α)＝tan__α
终边关系
图示
角－α与角α的终边关于x轴对称
公式
sin(－α)＝－sin__α，cs(－α)＝cs__α，
tan(－α)＝－tan α
终边关系
图示
角π－α与角α的终边关于y轴对称
公式
sin(π－α)＝sin__α，cs(π－α)＝－cs__α，
tan(π－α)＝－tan__α
名师导学
知识点1 给角求值
【例】求下列各三角函数值：
(1)cseq \f(17π,6)；(2)tan(－855°)；(3)taneq \f(3π,4)＋sineq \f(11π,6).
[解] (1)cseq \f(17π,6)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(5π,6)))＝cseq \f(5π,6)
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,6)))
＝－cseq \f(π,6)＝－eq \f(\r(3),2).
(2)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)
＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1.
(3)原式＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,4)))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π－\f(π,6)))
＝－taneq \f(π,4)－sineq \f(π,6)＝－1－eq \f(1,2)
＝－eq \f(3,2).
反思感悟
利用诱导公式解决给角求值问题的步骤

变式训练
计算：(1)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7π,3)))；
(2)sin(－60°)＋cs 225°＋tan 135°；
(3)sineq \f(4π,3)·cseq \f(25π,6)·taneq \f(5π,4).
解：(1)原式＝－sineq \f(7π,3)＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(π,3)))＝－sineq \f(π,3)＝－eq \f(\r(3),2).
(2)原式＝－sin 60°＋cs(180°＋45°)＋tan(180°－45°)
＝－eq \f(\r(3),2)－cs 45°－tan 45°
＝－eq \f(\r(3),2)－eq \f(\r(2),2)－1
＝－eq \f(\r(2)＋\r(3)＋2,2).
(3)原式＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,3)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4π＋\f(π,6)))taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,4)))
＝－sineq \f(π,3)cseq \f(π,6)taneq \f(π,4)
＝－eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(3),2)×1＝－eq \f(3,4).
知识点2 给值求值
【例】(1)若cs(2π－α)＝eq \f(\r(5),3)且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，则sin(π－α)＝( )
A．－eq \f(\r(5),3) B．－eq \f(2,3)
C．－eq \f(1,3) D．±eq \f(2,3)
(2)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(\r(3),3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(5π,6)))＝________．
【解析】 (1)因为cs(2π－α)＝cs α＝eq \f(\r(5),3)，
且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，所以sin α＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \f(2,3)，
所以sin(π－α)＝sin α＝－eq \f(2,3).
(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(5π,6)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))))
＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝－eq \f(\r(3),3).
【答案】 (1)B (2)－eq \f(\r(3),3)
反思感悟
解决条件求值问题的两技巧

变式训练
1．若sin(π＋α)＝eq \f(1,2)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，则tan(π－α)等于( )
A．－eq \f(1,2) B．－eq \f(\r(3),2)
C．－eq \r(3) D．－eq \f(\r(3),3)
解析：选D.因为sin(π＋α)＝－sin α，
根据条件得sin α＝－eq \f(1,2)，又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，
所以cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(\r(3),2).
所以tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(1,\r(3))＝eq \f(\r(3),3).
所以tan(π－α)＝－tan α＝－eq \f(\r(3),3).
2．已知tan(π＋α)＝3，求eq \f(2cs（π－α）－3sin（π＋α）,4cs（－α）＋sin（2π－α）)的值．
解：因为tan(π＋α)＝3，
所以tan α＝3.
故eq \f(2cs（π－α）－3sin（π＋α）,4cs（－α）＋sin（2π－α）)
＝eq \f(－2cs α＋3sin α,4cs α－sin α)
＝eq \f(－2＋3tan α,4－tan α)＝eq \f(－2＋3×3,4－3)＝7.
知识点3 化简求值
【例1】化简：
(1)eq \f(cs（－α）tan（7π＋α）,sin（π－α）)；
(2)eq \f(sin（1 440°＋α）·cs（α－1 080°）,cs（－180°－α）·sin（－α－180°）).
[解] (1)原式＝eq \f(cs αtan（π＋α）,sin α)＝eq \f(cs α·tan α,sin α)＝eq \f(sin α,sin α)＝1.
(2)原式＝eq \f(sin（4×360°＋α）·cs（3×360°－α）,cs（180°＋α）·[－sin（180°＋α）])＝eq \f(sin α·cs（－α）,（－cs α）·sin α)＝eq \f(cs α,－cs α)＝－1.
【例2】(1)已知tan α＝3，求eq \f(sin（α－π）＋cs（π－α）,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)))的值；
(2)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝eq \f(1,2)，求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋α))的值．
[解] (1)eq \f(sin（α－π）＋cs（π－α）,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)))
＝eq \f(－sin α－cs α,cs α－sin α)＝eq \f(－tan α－1,1－tan α)
＝eq \f(－3－1,1－3)＝2.
(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋α))
＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))))·sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4).
反思感悟
(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少；
(2)解答此类问题要学会发现它们的互余、互补关系：如eq \f(π,3)－α与eq \f(π,6)＋α，eq \f(π,3)＋α与eq \f(π,6)－α，eq \f(π,4)－α与eq \f(π,4)＋α等互余，eq \f(π,3)＋θ与eq \f(2π,3)－θ，eq \f(π,4)＋θ与eq \f(3π,4)－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题．

变式训练
1．已知sin(π＋α)＝eq \f(1,2)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,2)))的值为( )
A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2)
C.eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(2),2)
解析：选A 由sin(π＋α)＝eq \f(1,2)得sin α＝－eq \f(1,2)，所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,2)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＝－sin α＝eq \f(1,2)，故选A.
2．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))的值为( )
A.eq \f(2\r(2),3) B．－eq \f(2,3)eq \r(2)
C.eq \f(1,3) D．－eq \f(1,3)
解析：选D ∵eq \f(π,4)＋α－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(π,2)，∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝－eq \f(1,3).
知识点4 利用诱导公式证明
【例】求证：eq \f(tan（2π－α）sin（－2π－α）cs（6π－α）,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2)))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2))))＝－tan α.
[证明] 左边＝
eq \f(tan（－α）·sin（－α）·cs（－α）,sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))))·cs\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)))))
＝eq \f(（－tan α）·（－sin α）·cs α,sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))))cs\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)))))
＝eq \f(sin2α,－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)))
＝eq \f(sin2α,－cs α·sin α)＝－eq \f(sin α,cs α)＝－tan α＝右边．
∴原等式成立．
反思感悟
利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：
(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简；
(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子；
(3)针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除差异．
变式训练
求证：eq \f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(3π,2)))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,2)))－1,1－2sin2（π＋θ）)＝eq \f(tan（9π＋θ）＋1,tan（π＋θ）－1).
证明：左边＝eq \f(－2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－θ))·（－sin θ）－1,1－2sin2θ)
＝eq \f(2sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))))sin θ－1,1－2sin2θ)
＝eq \f(－2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))sin θ－1,1－2sin2θ)
＝eq \f(－2cs θsin θ－1,cs2θ＋sin2θ－2sin2θ)
＝eq \f(（sin θ＋cs θ）2,sin2θ－cs2θ)＝eq \f(sin θ＋cs θ,sin θ－cs θ).
右边＝eq \f(tan θ＋1,tan θ－1)＝eq \f(sin θ＋cs θ,sin θ－cs θ).
∴左边＝右边，故原等式成立．
知识点5 诱导公式的综合应用
【例】已知函数
f(α)＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))tan（2π－α）,tan（α＋π）sin（α＋π）).
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)·feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＝－eq \f(1,8)，且eq \f(5π,4)≤α≤eq \f(3π,2)，求f(α)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))的值．
[解] (1)f(α)＝eq \f(－cs αsin α（－tan α）,tan α（－sin α）)＝－cs α.
(2)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＝sin α，因为f(α)·feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＝－eq \f(1,8)，所以cs α·sin α＝eq \f(1,8)，可得eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f（α）＋f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))))eq \s\up12(2)＝(sin α－cs α)2＝eq \f(3,4)，由eq \f(5π,4)≤α≤eq \f(3π,2)，得cs α>sin α，所以f(α)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＝sin α－cs α＝－eq \f(\r(3),2).
反思感悟
诱导公式综合应用要“三看”
一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系；
二看函数名称：一般是弦切互化；
三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形．
变式训练
已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α－\f(3π,2)))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)))·tan2(π－α)的值．
解：方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－eq \f(3,5)，x2＝2，
由α是第三象限角，得sin α＝－eq \f(3,5)，
则cs α＝－eq \f(4,5)，
∴eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α－\f(3π,2)))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)))·tan2(π－α)
＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)),sin αcs α)·tan2α
＝eq \f(cs α（－sin α）,sin αcs α)·tan2α＝－tan2α
＝－eq \f(sin2α,cs2α)＝－eq \f(9,16).
当堂测评
1．计算cs(－600°)＝( )
A.eq \f(\r(3),2) B．－eq \f(\r(3),2)
C.eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2)
解析：选D.cs(－600°)＝cs 600°＝cs(360°＋240°)＝cs 240°＝cs(180°＋60°)＝－cs 60°＝－eq \f(1,2).
2．已知cs(α－π)＝－eq \f(5,13)，且α是第四象限角，则sin(－2π＋α)等于( )
A．－eq \f(12,13) B.eq \f(12,13)
C．±eq \f(12,13) D.eq \f(5,12)
解析：选A.由cs(α－π)＝－eq \f(5,13)，得cs α＝eq \f(5,13).又α为第四象限角，所以sin(－2π＋α)＝sin α＝－eq \r(,1－cs2α)＝－eq \f(12,13).
3．计算tan 690°＝________.
解析：tan 690°＝tan(2×360°－30°)＝tan(－30°)
＝－tan 30°＝－eq \f(\r(3),3).
答案：－eq \f(\r(3),3)
4.eq \r(2＋2sin（2π－θ）－cs2（π＋θ）)可化简为________．
解析：eq \r(2＋2sin（2π－θ）－cs2（π＋θ）)
＝eq \r(2＋2sin（－θ）－cs2θ)＝eq \r(1－2sin θ＋sin2 θ)
＝|1－sin θ|＝1－sin θ.
答案：1－sin θ
5．化简：eq \f(sin（540°＋α）·cs（－α）,tan（α－180°）).
解：原式＝eq \f(sin（360°＋180°＋α）·cs α,－tan（180°－α）)
＝eq \f(sin（180°＋α）·cs α,tan α)
＝eq \f(－sin α·cs α,\f(sin α,cs α))＝－cs2α.
6.求证：eq \f(sin（θ－5π）cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)－θ))cs（8π－θ）,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(3π,2)))sin（－θ－4π）)＝sin θ.
证明：左边＝eq \f(－sin（－θ＋5π）cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))cs θ,－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,2)))[－sin（θ＋4π）])
＝eq \f(－sin（－θ＋π）（－sin θ）cs θ,－cs θ（－sin θ）)＝sin θ＝右边．
∴原等式成立．