人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用导学案及答案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用导学案及答案，共12页。


知识梳理
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义
2．三角函数模型的建立程序
名师导学
知识点1 三角函数在物理中的应用
【例】电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝Asin(ωt＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2))).
(1)若I＝Asin(ωt＋φ)在一个周期内的图象如图所示，试根据图象写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；
(2)为了使I＝Asin(ωt＋φ)中的t在任意一个eq \f(1,100) s的时间段内电流强度I能取得最大值与最小值，那么正整数ω的最小值是多少？
反思感悟
处理物理学问题的策略
(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性；
(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．
变式训练
已知弹簧挂着的小球做上下振动，它离开平衡位置(静止时的位置)的距离h(cm)与时间t(s)的函数关系式为h＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t＋\f(π,4))).
(1)求小球开始振动的位置；
(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的坐标．
知识点2 三角函数在实际生活中的应用
【例】某景区客栈的工作人员为了控制经营成本，减少浪费，合理安排入住游客的用餐，他们通过统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：
①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；
②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；
③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．
(1)若入住客栈的游客人数y与月份x之间的关系可用函数y＝f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0，0＜|φ|＜π)近似描述，求该函数解析式；
(2)哪几个月份要准备不少于400人的用餐？
反思感悟
解三角函数应用问题的基本步骤
变式训练
国际油价在某一时间内呈现正弦波动规律：P＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωπt＋\f(π,4)))＋60(单位：美元，t为天数，A>0，ω>0)，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t＝150时，油价最低，则A的值为________，ω的最小值为________．
知识点3 三角函数模型拟合
【例】某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0≤t≤24，单位：小时)呈周期性变化，每天各时刻t的浪高数据的平均值如表：
(1)从y＝at＋b，y＝Asin(ωt＋φ)＋b，y＝Acs(ωt＋φ)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；
(2)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间．
反思感悟
根据收集的数据，先画出相应的“散点图”，观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，然后利用这个模型解决实际问题．

变式训练
一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位置y和时间t之间的关系的一个三角函数式为________.
当堂测评
1．简谐运动y＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5x－\f(π,3)))的相位与初相是( )
A．5x－eq \f(π,3)，eq \f(π,3) B．5x－eq \f(π,3)，4
C．5x－eq \f(π,3)，－eq \f(π,3) D．4，eq \f(π,3)
2．已知某地一天从4点到16点的温度变化曲线近似满足函数y＝10sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)x－\f(5π,4)))＋20，x∈[4，16]．
(1)求该地区这一段时间内的最大温差；
(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？
教材考点
学习目标
核心素养
三角函数模型的构建
了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型
数学抽象、数学建模
三角函数模型在实际问题中的应用
会用三角函数模型解决简单的实际问题
数学建模、数学运算
t/时
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y/米
1.0
1.4
1.0
0.6
1.0
1.4
0.9
0.5
1.0
t
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
y
－4.0
－2.8
0.0
2.8
4.0
2.8
0.0
－2.8
－4.0
名师导学
知识点1 三角函数在物理中的应用
【例】电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝Asin(ωt＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2))).
(1)若I＝Asin(ωt＋φ)在一个周期内的图象如图所示，试根据图象写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；
(2)为了使I＝Asin(ωt＋φ)中的t在任意一个eq \f(1,100) s的时间段内电流强度I能取得最大值与最小值，那么正整数ω的最小值是多少？
[解] (1)由题图，可知A＝300.
∵T＝eq \f(1,60)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,300)))＝eq \f(1,50)，
∴ω＝eq \f(2π,T)＝100π，
∴I＝300sin(100πt＋φ)．
将eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,300)，0))代入解析式，得－eq \f(π,3)＋φ＝2kπ，k∈Z，
∴φ＝eq \f(π,3)＋2kπ，k∈Z.
∵|φ|∴I＝300sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100πt＋\f(π,3))).
(2)由题意，知eq \f(2π,ω)≤eq \f(1,100)，∴ω≥200π，
∴正整数ω的最小值为629.
反思感悟
处理物理学问题的策略
(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性；
(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．
变式训练
已知弹簧挂着的小球做上下振动，它离开平衡位置(静止时的位置)的距离h(cm)与时间t(s)的函数关系式为h＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t＋\f(π,4))).
(1)求小球开始振动的位置；
(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的坐标．
【解】 (1)令t＝0，得h＝3sin eq \f(π,4)＝eq \f(3\r(2),2)，所以开始振动的位置为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3\r(2),2))).
(2)由题意知，当h＝3时，t的最小值为eq \f(π,8)，即所求最高点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)，3))；当h＝－3时，t的最小值为eq \f(5π,8)，即所求最低点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,8)，－3)).
知识点2 三角函数在实际生活中的应用
【例】某景区客栈的工作人员为了控制经营成本，减少浪费，合理安排入住游客的用餐，他们通过统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：
①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；
②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；
③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．
(1)若入住客栈的游客人数y与月份x之间的关系可用函数y＝f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0，0＜|φ|＜π)近似描述，求该函数解析式；
(2)哪几个月份要准备不少于400人的用餐？
[解] (1)因为函数为y＝f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0，0＜|φ|＜π)，
由①，得周期T＝eq \f(2π,ω)＝12，所以ω＝eq \f(π,6).
由②，得f(2)最小，f(8)最大，且f(8)－f(2)＝400，故A＝200.
由③，得f(x)在[2，8]上递增，且f(2)＝100，所以f(8)＝500，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－A＋b＝100，,A＋b＝500，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A＝200，,b＝300.))
因为f(2)最小，f(8)最大，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)×2＋φ))＝－1，,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)×8＋φ))＝1.))
由于0＜|φ|＜π，因此φ＝－eq \f(5π,6)，
所以入住客栈的游客人数y与月份x之间的关系式为
y＝f(x)＝200sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x－\f(5π,6)))＋300(x∈N*，且1≤x≤12)．
(2)由条件可知200sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x－\f(5π,6)))＋300≥400，
化简得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x－\f(5π,6)))≥eq \f(1,2)，
所以2kπ＋eq \f(π,6)≤eq \f(π,6)x－eq \f(5π,6)≤2kπ＋eq \f(5π,6)(k∈Z)．
解得12k＋6≤x≤12k＋10(k∈Z)．
因为x∈N*，且1≤x≤12，
所以x＝6，7，8，9，10.
即只有6，7，8，9，10五个月份要准备不少于400人的食物．
反思感悟
解三角函数应用问题的基本步骤
变式训练
国际油价在某一时间内呈现正弦波动规律：P＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωπt＋\f(π,4)))＋60(单位：美元，t为天数，A>0，ω>0)，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t＝150时，油价最低，则A的值为________，ω的最小值为________．
解析：由A＋60＝80得A＝20.
因为当t＝150时油价最低，所以150ωπ＋eq \f(π,4)＝－eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，即ω＝eq \f(k,75)－eq \f(1,200)，又ω>0，所以当k＝1时，ω取得最小值，此时ω＝eq \f(1,75)－eq \f(1,200)＝eq \f(1,120).
答案：20 eq \f(1,120)
知识点3 三角函数模型拟合
【例】某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0≤t≤24，单位：小时)呈周期性变化，每天各时刻t的浪高数据的平均值如表：
(1)从y＝at＋b，y＝Asin(ωt＋φ)＋b，y＝Acs(ωt＋φ)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；
(2)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间．
[解] (1)由数据知选择y＝Asin(ωt＋φ)＋b较合适．令A>0，ω>0，|φ|<π.可知A＝eq \f(2,5)，b＝1，T＝12，所以ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(π,6).把t＝0，y＝1代入y＝eq \f(2,5)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t＋φ))＋1，得φ＝0.故所求拟合模型的解析式为y＝eq \f(2,5)sin eq \f(π,6)t＋1(0≤t≤24)．
(2)由y＝eq \f(2,5)sin eq \f(π,6)t＋1≥0.8，得sin eq \f(π,6)t≥－eq \f(1,2)，则－eq \f(π,6)＋2kπ≤eq \f(π,6)t≤eq \f(7π,6)＋2kπ(k∈Z)，即12k－1≤t≤12k＋7(k∈Z)，注意到t∈[0，24]，所以0≤t≤7或11≤t≤19或23≤t≤24，再结合题意可知，应安排在11时到19时训练较恰当．
反思感悟
根据收集的数据，先画出相应的“散点图”，观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，然后利用这个模型解决实际问题．

变式训练
一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位置y和时间t之间的关系的一个三角函数式为________.
解析：设y＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)，则从表中数据可以得到A＝4，ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(2π,0.8)＝eq \f(5π,2)，又由4sin φ＝－4.0，得sin φ＝－1，取φ＝－eq \f(π,2)，故y＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)t－\f(π,2)))，即y＝－4cs eq \f(5π,2)t.
答案：y＝－4cs eq \f(5π,2)t
当堂测评
1．简谐运动y＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5x－\f(π,3)))的相位与初相是( )
A．5x－eq \f(π,3)，eq \f(π,3) B．5x－eq \f(π,3)，4
C．5x－eq \f(π,3)，－eq \f(π,3) D．4，eq \f(π,3)
解析：选C 相位是5x－eq \f(π,3)，当x＝0时的相位为初相即－eq \f(π,3).
2．已知某地一天从4点到16点的温度变化曲线近似满足函数y＝10sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)x－\f(5π,4)))＋20，x∈[4，16]．
(1)求该地区这一段时间内的最大温差；
(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？
解：(1)x∈[4，16]，则eq \f(π,8)x－eq \f(5π,4)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3π,4)，\f(3π,4))).
由函数解析式易知，当eq \f(π,8)x－eq \f(5π,4)＝eq \f(π,2)，即x＝14时，函数取得最大值，最大值为30，即最高温度为30 ℃；
当eq \f(π,8)x－eq \f(5π,4)＝－eq \f(π,2)，即x＝6时，函数取得最小值，最小值为10，即最低温度为10 ℃，所以最大温差为30－10＝20(℃)．
(2)令10sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)x－\f(5π,4)))＋20＝15，
可得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)x－\f(5π,4)))＝－eq \f(1,2)，而x∈[4，16]，
所以x＝eq \f(26,3).
令10sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)x－\f(5π,4)))＋20＝25，
可得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)x－\f(5π,4)))＝eq \f(1,2)，
而x∈[4，16]，所以x＝eq \f(34,3).
故该细菌在这段时间内能存活eq \f(34,3)－eq \f(26,3)＝eq \f(8,3)(小时)．t/时
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y/米
1.0
1.4
1.0
0.6
1.0
1.4
0.9
0.5
1.0
t
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
y
－4.0
－2.8
0.0
2.8
4.0
2.8
0.0
－2.8
－4.0