高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）学案设计

第2课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用

名师导学

知识点1    由图象求三角函数解析式

【例】如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，求此函数的解析式．

反思感悟　

确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的解析式的步骤

(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝；

(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝；

(3)求φ，常用方法有以下2种

变式训练

函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式为______________．

知识点2    三角函数图象的对称性

【例】在函数y＝2sin的图象的对称中心中，离原点最近的一个中心的坐标是________．

反思感悟　

三角函数对称轴、对称中心的求法

变式训练

函数f(x)＝cos(2x＋φ)的图象向右平移个单位后得到的函数是奇函数，则函数f(x)的图象(　　)

A．关于点对称

B．关于直线x＝－对称

C．关于点对称

D．关于直线x＝对称

知识点3    三角函数性质的综合应用

【例】已知函数f(x)＝sin，以下命题中为假命题的是(　　)

A．函数f(x)的图象关于直线x＝对称

B．x＝－是函数f(x)的一个零点

C．函数f(x)的图象可由g(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到

D．函数f(x)在上是增函数

反思感悟　

(1)正、余弦型函数奇偶性的判断方法

正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)和余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)不一定具备奇偶性．对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数，当φ＝kπ±(k∈Z)时为偶函数；对于函数y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数，当φ＝kπ±(k∈Z)时为奇函数．

(2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法

采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间从而求出函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间．　

变式训练

1．函数f(x)＝cos(2x＋φ)的图象向右平移个单位后得到的函数是奇函数，则函数f(x)的图象(　　)

A．关于点对称

B．关于直线x＝－对称

C．关于点对称

D．关于直线x＝对称

2．已知函数f(x)＝2sin的最小正周期为π，则函数y＝f(x)在区间上的最大值和最小值分别是(　　)

A．2和－2  B．2和0

C．2和－1  D.和－

当堂测评

1．已知函数f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数图象(　　)

A．关于点对称

B．关于直线x＝对称

C．关于点对称

D．关于直线x＝对称

2．如图所示的曲线是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，求函数f(x)的解析式．

名师导学

知识点1    由图象求三角函数解析式

【例】如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，求此函数的解析式．

[解]　法一：由图象知A＝3，

T＝－＝π，

∴ω＝＝2，

∴y＝3sin(2x＋φ)．

∵点在函数图象上，

∴0＝3sin.

∴－×2＋φ＝kπ，k∈Z，得φ＝＋kπ(k∈Z)．

∵|φ|<，∴φ＝.

∴y＝3sin.

法二：由法一得A＝3，ω＝2.

将最高点M的坐标代入y＝3sin(2x＋φ)，得3sin＝3.

∴＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，∴φ＝2kπ＋(k∈Z)．

∵|φ|＜，∴取φ＝.∴y＝3sin.

法三：由图象知A＝3.∵图象过点和，

∴解得

∴y＝3sin.

反思感悟　

确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的解析式的步骤

(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝；

(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝；

(3)求φ，常用方法有以下2种

变式训练

函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式为______________．

【解析】　由题图得A＝2，＝－＝，即T＝π.

由ω>0，T＝＝π得ω＝2.

又当x＝时，ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，即2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝2kπ－(k∈Z)，又|φ|<，所以φ＝－.

因此f(x)＝2sin(x∈R)．

【答案】　f(x)＝2sin，x∈R

知识点2    三角函数图象的对称性

【例】在函数y＝2sin的图象的对称中心中，离原点最近的一个中心的坐标是________．

[解析]　由4x＋＝kπ(k∈Z)，

得x＝－(k∈Z)

∴函数y＝2sin的图象的对称中心坐标为(k∈Z)．

取k＝1，得满足条件．

[答案]　

反思感悟　

三角函数对称轴、对称中心的求法

变式训练

函数f(x)＝cos(2x＋φ)的图象向右平移个单位后得到的函数是奇函数，则函数f(x)的图象(　　)

A．关于点对称

B．关于直线x＝－对称

C．关于点对称

D．关于直线x＝对称

解析：选D　函数f(x)＝cos(2x＋φ)的图象向右平移个单位后，可得y＝cos的图象，

根据得到的函数是奇函数，可得－＋φ＝kπ＋，k∈Z，∴φ＝－，∴f(x)＝cos.

令x＝－，求得f(x)＝cos＝－，故排除A；

令x＝－，求得f(x)＝cos＝0，故排除B；

令x＝，求得f(x)＝cos 0＝1，为函数的最大值，故排除C，D满足条件，故选D.

知识点3    三角函数性质的综合应用

【例】已知函数f(x)＝sin，以下命题中为假命题的是(　　)

A．函数f(x)的图象关于直线x＝对称

B．x＝－是函数f(x)的一个零点

C．函数f(x)的图象可由g(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到

D．函数f(x)在上是增函数

【解析】　令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，当k＝0时，x＝，即函数f(x)的图象关于直线x＝对称，选项A正确；令2x＋＝kπ(k∈Z)，当k＝0时，x＝－，即x＝－是函数f(x)的一个零点，选项B正确；2x＋＝2，故函数f(x)的图象可由g(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到，选项C错误；若x∈，则2x＋∈，故f(x)在上是增函数，选项D正确．故选C.

【答案】　C

反思感悟　

(1)正、余弦型函数奇偶性的判断方法

正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)和余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)不一定具备奇偶性．对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数，当φ＝kπ±(k∈Z)时为偶函数；对于函数y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数，当φ＝kπ±(k∈Z)时为奇函数．

(2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法

采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间从而求出函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间．　

变式训练

1．函数f(x)＝cos(2x＋φ)的图象向右平移个单位后得到的函数是奇函数，则函数f(x)的图象(　　)

A．关于点对称

B．关于直线x＝－对称

C．关于点对称

D．关于直线x＝对称

解析：选D.将函数f(x)＝cos(2x＋φ)的图象向右平移个单位后，可得y＝cos的图象，根据得到的函数是奇函数，可得－＋φ＝kπ＋，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝－，所以f(x)＝cos.

令x＝－，求得f(x)＝cos＝－，故排除A；

令x＝－，求得f(x)＝cos＝0，故排除B；令x＝，求得f(x)＝cos 0＝1，为函数的最大值，排除C，选D.

2．已知函数f(x)＝2sin的最小正周期为π，则函数y＝f(x)在区间上的最大值和最小值分别是(　　)

A．2和－2  B．2和0

C．2和－1  D.和－

解析：选C.由题知＝π，得ω＝2，

所以函数y＝f(x)＝2sin.

又因为x∈，所以2x－∈，

所以sin∈，

所以2sin∈[－1，2]，

故函数f(x)的最大值为2，最小值为－1.故选C.

当堂测评

1．已知函数f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数图象(　　)

A．关于点对称

B．关于直线x＝对称

C．关于点对称

D．关于直线x＝对称

解析：选A　由T＝＝π，解得ω＝2，则f(x)＝sin.该函数图象关于点对称．

2．如图所示的曲线是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，求函数f(x)的解析式．

解：由函数图象可知A＝2，T＝×＝π，即＝π，∴ω＝2.又是五点作图法中的第五个点，即2×＋φ＝2π，∴φ＝.∴所求函数的解析式为y＝2sin.