高中数学5.1 任意角和弧度制导学案

5.1.1   任意角

【学习目标】

【自主学习】

一. 任意角

1.角的概念：

角可以看成平面内一条          绕着它的端点           所成的          .

2.角的表示：

如图所示：角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”，始边：      ，终边：          ，顶点        .

3.角的分类：

二．象限角

把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与        重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的         在第几象限，就说这个角是第几_______；如果角的终边在                     ，就认为这个角不属于任何一个象限.

三．终边相同的角

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝                        ，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.

【小试牛刀】

思辨解析(请在括号中打“√”或“×”)

(1)第二象限角是钝角.(　　)

(2)零角的始边与终边重合．(　　)

(3)终边与始边重合的角为零角.(　　)

(4)终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍.(　　)

【经典例题】

题型一 任意角的概念

例1　 (多选)下列说法，不正确的是（   ）.

A.三角形的内角必是第一、二象限角

B.始边相同而终边不同的角一定不相等

C.钝角比第三象限角小

D.小于180°的角是钝角、直角或锐角

【跟踪训练】1 经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是（   ）.

A.60°，720°    B.－60°，－720°

C.－30°，－360°    D.－60°，720°

题型二 终边相同角的表示

点拨：终边相同角常用的三个结论：

(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍；

(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍．

(3)终边在相互垂直的两条直线上的角之间相差90°的整数倍．

例2 已知θ＝－290°.

(1)把θ改写成k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；

(2)求α，使α与θ终边相同，且－1 000°<α<－300°.

【跟踪训练】2 (1)若角2α与240°角的终边相同，则α等于（   ）.

A.120°＋k·360°，k∈Z  B.120°＋k·180°，k∈Z

C.240°＋k·360°，k∈Z  D.240°＋k·180°，k∈Z

(2)下列角的终边与37°角的终边在同一直线上的是（   ）.

A.－37°        B.143°       C.379°      D.－143°

题型三 象限角及区域角的表示

例3  (多选)下列四个角为第二象限角的是（   ）.

A.－200°        B.100°        C.220°       D.420°

【跟踪训练】3如图所示.

(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；

(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.

【当堂达标】

1.与－30°终边相同的角是（   ）.

A.－330°    B.150°     C.30°     D.330°

2.与－460°角终边相同的角可以表示成（   ）.

A.460°＋k·360°，k∈Z    B.100°＋k·360°，k∈Z

C.260°＋k·360°，k∈Z    D.－260°＋k·360°，k∈Z

3.在0°～360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为____________.

4.已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是

__________________________.

【参考答案】

【自主学习】

射线 旋转 图形 OA.OB.O逆时针 顺时针 没有

原点 终边 象限角 坐标轴上 {β|β＝α＋k·360°，k  Z}

【小试牛刀】

×   √   ×    √

【经典例题】

例1 ACD 解析:  A中90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故A不正确；

B中始边相同而终边不同的角一定不相等，故B正确；

C中钝角是大于－100°的角，而－100°的角是第三象限角，故C不正确；

D中零角或负角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故D不正确.

【跟踪训练】1  B 解析；钟表的时针和分针都是顺时针旋转，因此转过的角度都是负的，而×360°＝60°，2×360°＝720°，故钟表的时针和分针转过的角度分别是－60°，－720°.

例2 解：(1)因为θ＝－290°＝－360°＋70°.所以把θ改写成

k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式为θ＝－360°＋70°，它是第一象限角．

(2)与－290°角终边相同的角为α＝k·360°＋70°(k∈Z)，

由－1 000°<k·360°＋70°<－300°，得－107<36k<－37.

因为k∈Z，所以k＝－2，此时α＝－650°.即所求满足条件的α为－650°.

【跟踪训练】2 (1) B 解析：角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋k·360°，k∈Z，则α＝120°＋k·180°，k∈Z.

(1)   D 解析：与37°角的终边在同一直线上的角可表示为37°＋k·180°，k∈Z，当k＝－1时

37°－180°＝－143°.

例3  AB 解析： －200°＝－360°＋160°，在0°～360°范围内，与－200°终边相同的角为160°，它是第二象限角，同理100°为第二象限角，220°为第三象限角，420°为第一象限角.

【跟踪训练】3 (1)解：终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}.

终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}.

(2)解： 终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}.

【当堂达标】

1. D 解析：因为所有与－30°终边相同的角都可以表示为α＝k·360°＋(－30°)，k∈Z，取k＝1，得α＝330°.

2.C 解析：因为－460°＝260°＋(－2)×360°，故与－460°角终边相同的角可以表示成260°＋k·360°，k∈Z.

3. 120°，300° 解析：与角－60°的终边在同一条直线上的角可表示为β＝－60°＋k·180°，k∈Z.

所求角在0°～360°范围内，即0°≤－60°＋k·180°≤360°，解得≤k≤，k∈Z，

k＝1或2，当k＝1时，β＝120°，当k＝2时，β＝300°.

4.{α|k·360°＋45°<α<k·360°＋150°，k∈Z}

解析　观察图形可知，角α的集合是{α|k·360°＋45°<α<k·360°＋150°，k∈Z}.