2020-2021学年5.1 任意角和弧度制学案及答案

这是一份2020-2021学年5.1 任意角和弧度制学案及答案，共14页。
5.1.2   弧度制学习目标教材考点学习目标核心素养弧度制、角度制与弧度制的换算了解弧度制的概念能进行角度与弧度之间的互化数学抽象、数学运算用弧度制表示终边相同的角能用弧度制表示终边相同的角数学运算扇形的弧长与面积公式理解弧度制下扇形的弧长与面积公式数学运算 知识梳理1．度量角的两种制度角度制定义用度作为单位来度量角的单位制1度的角1度的角等于周角的，记作1°弧度制定义以弧度为单位来度量角的单位制1弧度的角长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1 rad(rad可省略不写)2．弧度数的计算与互化(1)弧度数的计算(2)弧度与角度的互化3．弧度制下扇形的弧长与面积公式(r是扇形所在圆的半径，n为扇形的圆心角)　　　　公式　度量制　　　　弧长公式扇形面积公式角度制l＝S＝弧度制l＝|α|·r(0＜|α|＜2π)S＝lr＝|α|r2(0＜|α|＜2π) 名师导学知识点1    角度制与弧度制互化【例】将下列角度与弧度进行互化：(1)π；(2)－；(3)10°；(4)－855°.      反思感悟　角度制与弧度制的互化原则和方法(1)原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝ rad和1 rad＝°进行换算；(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n°，则α rad＝°；n°＝n· rad.变式训练1．把下列弧度化为角度：(1)＝________；(2)－＝________．2．把下列角度化为弧度：(1)－1 500°＝________； (2)67°30′＝________．知识点2    用弧度制表示角的集合【例】把下列角化成2kπ＋α(0≤α＜2π，k∈Z)的形式，指出它是第几象限角并写出与α终边相同的角的集合．(1)－；(2)－1 485°.     反思感悟　在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍． 变式训练1．若＝2kπ＋(k∈Z)，则的终边在(　　)A．第一象限　　　　　　　 B．第四象限C．x轴上  D．y轴上2．若角α的终边落在如图所示的阴影部分内，则角α的取值范围是(　　)A.B.C.D.(k∈Z)   知识点3    弧长及扇形面积【例】(1)已知扇形的圆心角为120°，半径为 cm，则此扇形的面积为________ cm2.(2)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数．          反思感悟　关于弧度制下扇形问题的解决方法(1)三个公式：|α|＝，S＝lr＝αr2，要恰当选择公式，建立未知量、已知量间的关系，通过解方程(组)求值；(2)弧长、面积的最值：利用圆心角的弧度数、半径表示出弧长(面积)，利用函数知识求最值，一般利用二次函数的最值求解．　　　 变式训练1．弧长为3π，圆心角为135°的扇形的半径为________，面积为________．2．已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？       当堂测评1.对应的角度为(　　)A．75°　　　　　　　　　 B．125°C．135°  D．155°2．在半径为8 cm的圆中，的圆心角所对的弧长为(　　)A.π cm  B.π cmC.π cm  D.π cm3．与角终边相同的角是(　　)A.B．2kπ－(k∈Z)C．2kπ－(k∈Z)D．(2k＋1)π＋(k∈Z)4.用弧度制表示终边落在x轴上方的角α的集合为________．
名师导学知识点1    角度制与弧度制互化【例】将下列角度与弧度进行互化：(1)π；(2)－；(3)10°；(4)－855°.[解]　(1)π＝×180°＝15 330°.(2)－＝－×180°＝－105°.(3)10°＝10×＝.(4)－855°＝－855×＝－.反思感悟　角度制与弧度制的互化原则和方法(1)原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝ rad和1 rad＝°进行换算；(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n°，则α rad＝°；n°＝n· rad.变式训练1．把下列弧度化为角度：(1)＝________；(2)－＝________．解析：(1)＝°＝690°.(2)－＝－°＝－390°.答案：(1)690°　(2)－390°2．把下列角度化为弧度：(1)－1 500°＝________； (2)67°30′＝________．解析：(1)－1 500°＝－1 500×＝－π.(2)67°30′＝67.5°＝67.5×＝.答案：(1)－　(2)知识点2    用弧度制表示角的集合【例】把下列角化成2kπ＋α(0≤α＜2π，k∈Z)的形式，指出它是第几象限角并写出与α终边相同的角的集合．(1)－；(2)－1 485°.[解]　(1)－＝－8×2π＋，它是第二象限角，与终边相同的角的集合为.(2)－1 485°＝－5×360°＋315°＝－10π＋，它是第四象限角，与终边相同的角的集合为.反思感悟　在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍． 变式训练1．若＝2kπ＋(k∈Z)，则的终边在(　　)A．第一象限　　　　　　　 B．第四象限C．x轴上  D．y轴上解析：选D　∵＝2kπ＋(k∈Z)，∴α＝6kπ＋π(k∈Z)，∴＝3kπ＋(k∈Z)．当k为奇数时，的终边在y轴的非正半轴上；当k为偶数时，的终边在y轴的非负半轴上．综上，的终边在y轴上，故选D.2．若角α的终边落在如图所示的阴影部分内，则角α的取值范围是(　　)A.B.C.D.(k∈Z)解析：选D　阴影部分的两条边界分别是和角的终边，所以α的取值范围是(k∈Z)． 知识点3    弧长及扇形面积【例】(1)已知扇形的圆心角为120°，半径为 cm，则此扇形的面积为________ cm2.(2)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数．【解】　(1)设扇形的弧长为l，因为120°＝120× rad＝(rad)，所以l＝αR＝×＝(cm)．所以S＝lR＝××＝π(cm2)．故填π.(2)设扇形圆心角的弧度数为θ(0＜θ＜2π)，弧长为l，半径为R，依题意有①代入②得R2－5R＋4＝0，解得R1＝1，R2＝4.当R＝1时，l＝8(cm)，此时，θ＝8 rad＞2π rad舍去．当R＝4时，l＝2(cm)，此时，θ＝＝ (rad)．综上可知，扇形圆心角的弧度数为 rad.反思感悟　关于弧度制下扇形问题的解决方法(1)三个公式：|α|＝，S＝lr＝αr2，要恰当选择公式，建立未知量、已知量间的关系，通过解方程(组)求值；(2)弧长、面积的最值：利用圆心角的弧度数、半径表示出弧长(面积)，利用函数知识求最值，一般利用二次函数的最值求解．　　　 变式训练1．弧长为3π，圆心角为135°的扇形的半径为________，面积为________．解析：因为135°＝＝，所以扇形的半径为＝4，面积为×3π×4＝6π.答案：4　6π2．已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解：设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，则l＋2r＝40，所以l＝40－2r，所以S＝lr＝×(40－2r)r＝－(r－10)2＋100.所以当半径r＝10 cm时，扇形的面积最大，最大值为100 cm2，这时θ＝＝＝2 rad.   当堂测评1.对应的角度为(　　)A．75°　　　　　　　　　 B．125°C．135°  D．155°解析：选C　由于1 rad＝°，所以＝π×°＝135°，故选C.2．在半径为8 cm的圆中，的圆心角所对的弧长为(　　)A.π cm  B.π cmC.π cm  D.π cm解析：选A　根据弧长公式，得l＝×8＝(cm)．3．与角终边相同的角是(　　)A.B．2kπ－(k∈Z)C．2kπ－(k∈Z)D．(2k＋1)π＋(k∈Z)解析：选B　A错误，＝2π＋，与角的终边不同；B正确，2kπ－，k∈Z，当k＝2时，得[0，2π)上的角为，与角有相同的终边；C错误，2kπ－，k∈Z，当k＝1时，得[0，2π)上的角为，与角的终边不同；D错误，(2k＋1)π＋，k∈Z，当k＝0时，得[0，2π)上的角为，与角的终边不同．4.用弧度制表示终边落在x轴上方的角α的集合为________．解析：若角α的终边落在x轴上方，则2kπ<α<2kπ＋π(k∈Z)．答案：{α|2kπ<α<2kπ＋π，k∈Z