高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.5 空间直线、平面的平行课堂检测

8.5.3  平面与平面平行  随堂同步进阶练习

一、单选题

1．在正方体中，下列四对平面彼此平行的一对是（    ）

A．平面与平面 B．平面与平面

C．平面与平面 D．平面与平面

2．已知、、为三条不重合的直线，、、为三个不重合的平面，现给出下列四个命题：

①；②；③；④.

其中正确的命题是（    ）

A．①②③ B．②④ C．② D．③

3．如图，在正方体中，O为底面ABCD的中心，P是的中点，设Q是上的点，当点Q在（    ）位置时，平面平面PAO.

A．Q与C重合 B．Q与重合

C．Q为的三等分点 D．Q为的中点

4．

设，，，是线段的中点，当、分别在平面、内运动时，得到无数个点，那么所有的动点（    ）

A．不共面

B．当且仅当、分别在两条直线上移动时才共面

C．当且仅当、分别在两条给定的异面直线上移动时才共面

D．都共面

二、填空题

5．已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，G是A1C1的中点，过点G的截面与侧面ABB1A1平行，若侧面ABB1A1是边长为4的正方形，则截面周长为________．

6．过两平行平面α、β外的点P两条直线AB与CD，它们分别交α于A、C两点，交β于B、D两点，若PA＝6，AC＝9，PB＝8，则ＢD的长为_______．

7．如图，过正方体的顶点、与棱的中点的平面与底面所在平面的交线记为，则与的位置关系为_________.

8．如图是长方体被一平面截得的几何体，四边形为截面，则四边形的形状为________.

9．    如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，

①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.

以上四个命题中，正确命题的序号是________．

10．已知棱长为的正方体，为棱中点，现有一只蚂蚁从点出发，在正方体表面上行走一周后再回到点，这只蚂蚁在行走过程中与平面的距离保持不变，则这只蚂蚁行走的轨迹所围成的图形的面积为__________．

三、解答题

11．如图所示，在直四棱柱中，底面是梯形，，，、分别是、的中点，求证：平面平面.

12．如图，四边形为平行四边形，四边形是正方形，是、的交点，、分别是、的中点.求证：平面平面.

13．如图甲，在直角梯形中，，，，、、分别为、、的中点，现将沿折起，如图乙.求证：平面平面.

14．如图，在三棱柱中，E，F，G分别为，，AB的中点．

求证：平面平面BEF；

若平面，求证：H为BC的中点．

15．在如图所示的五面体中，四边形为平行四边形，平面，，为的中点.求证：平面.

16．如图，在三棱柱中，、、、分别是、、、的中点.

（1）求证：、、、四点共面；

（2）求证：平面平面；

（3）若、分别为、的中点，求证：平面平面.

17．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，点在上，，.

（1）证明：平面；

（2）若是中点，点在上，平面，求线段的长.

18．已知点P是所在平面外一点，点，，分别是，，的重心.

（1）求证：平面平面ABC；

（2）求的值.

19．如图，多面体中，、、两两垂直，平面平面，平面平面，，.

（1）证明：四边形是正方形；

（2）判断点、、、是否共面，并说明理由.

答案解析

1．A

【详解】

如图，正方体，

所以四边形是平行四边形，平面，

面，所以平面，同理平面.

因为平面，

所以平面平面.

故选:A

2．C

【详解】

对于命题①，，，则与平行或相交，命题①错误；

对于命题②，，，由面面平行的性质知，命题②正确；

对于命题③，，，则或，命题③错误；

对于命题④，，，则或，命题④错误.

故选：C.

3．D

【详解】

在正方体中，

因为为底面的中心，是的中点，，

所以，

设是上的点，当点在的中点位置时，，

所以四边形是平行四边形，所以，

因为，

平面平面，

所以平面平面，

故选：D.

4．D

【详解】

如图所示，设、分别是、在、上运动后的两点，此时的中点为，

连接，取的中点，连接、、、、.

则，，，，，.

又，，.

，平面平面，

不论、如何移动，所有的动点都在过点且与、平行的平面上.

故选：D.

5．12

【详解】

如图，取的中点的中点的中点，

连接，则，，

所以有平面，平面.

又，所以平面平面，

即平面为过点且与平面平行的截面,

易得此截面的周长为.

6．12

【详解】

当两个平面在点P的同侧时如图（1）所示，当点P在两个面的中间时如图（2）所示由面面平行的性质定理可得AC与BD平行，,所以．

7．

【详解】

如图所示，连接、，

在正方体中，平面平面，且平面平面，平面平面，所以.

故答案为：.

8．平行四边形

【解析】

∵平面ABFE∥平面CDHG，平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面CDHG＝HG，∴EF∥HG.同理，EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形．

9．①②③④

【详解】

展开图可以折成如图（1）所示的正方体．

在正方体中，连接AN，如图（2）所示，因为AB∥MN，且AB＝MN，所以四边形ABMN是平行四边形．所以BM∥AN．因为AN平面DE，BM平面DE，所以BM∥平面DE．同理可证CN∥平面AF，所以①②正确；如图（3）所示，可以证明BM∥平面AFN，BD∥平面AFN，进而得到平面BDM∥平面AFN，同理可证平面BDE∥平面NCF，所以③④正确．

故答案为①②③④

10．

【解析】

由题可知，蚂蚁在正方体表面上行走一周的路线构成与平面平行的平面，

设、分别为、中点，连接，，和，

则为蚂蚁的行走轨迹.

正方体的棱长为2，

易得，，，

四边形为菱形，

故答案为.

11．

【详解】

在直四棱柱中，，，则四边形为平行四边形，，，

，，即，

为的中点，，四边形为平行四边形，

，平面，平面，平面.

、分别为、的中点，，

平面，平面，平面，

，平面平面.

12．

【详解】

是、的交点，四边形是正方形，是、的中点，

又是的中点，，

四边形为平行四边形，，则，

又平面，平面，平面.

又为的中点，.

又平面，平面，平面，

，平面，平面，平面平面.

13．

【详解】

翻折前，在图甲中，，，，

翻折后，在图乙中，仍有，

、、分别为、、的中点，，，，

平面，平面，平面.

平面，平面，平面.

又，平面平面.

14．

【详解】

如图，

，F分别为，的中点，，

平面，平面，平面，

又F，G分别为，AB的中点，，

又，四边形为平行四边形，则，

平面，平面，平面，

又，

平面平面BEF；

平面平面，平面平面，

平面与平面ABC有公共点G，则有经过G的直线，设交，

则，得，

为AB的中点，为BC的中点．

15．

【详解】

取的中点，连接、.

因为、分别为、的中点，所以.

又平面，且平面，所以平面，

因为平面，平面，平面平面，所以.

又，，所以，，

所以四边形为平行四边形，所以.

又平面，且平面，以平面.

又，所以平面平面.

又平面，所以平面.

16．

【详解】

（1）是的中位线，.

在三棱柱中，且，则四边形为平行四边形，

，，因此，、、、四点共面；

（2）、分别为、的中点，.

平面，平面，平面.

在三棱柱中，且，则四边形为平行四边形，

且，

、分别为、的中点，且，

四边形是平行四边形，则，

平面，平面，平面.

，且平面，平面，平面平面；

（3）如图所示，连接，设与的交点为，连接，

四边形是平行四边形，是的中点，

为的中点，.

平面，平面，平面.

由（1）知，四边形为平行四边形，则且，

、分别为、的中点，所以，且，

四边形为平行四边形，，

又平面，平面，平面.

又，平面，平面，

平面平面.

17．

【详解】

（1）∵底面是平行四边形，∴，

∵平面，平面，

∴平面；

（2）∵平面，∴可设过与平面平行的平面与交于点，

与交于点，则，，

又是平行四边形，，∴，∴平面，∴，

∵是中点，∴是中点，∵，∴，∴.

18．

【详解】

（1）证明：如图,连接,并延长交BC于点M,连接,并延长交AC于点N,连接,并延长交AB于点Q,连接MN,NQ.,,分别是,,的重心,,N,Q分别是BC,AC,AB的中点,且,.同理,可得.

平面ABC,平面ABC,平面ABC.

同理,可证平面ABC.

又,

平面,平面,

平面平面ABC.

（2）由（1）知,且,即.,N分别是BC,AC的中点,.,,

即的值为.

19．

【详解】

（1）因为平面平面，平面平面，平面平面，由面面平行的性质定理，得，同理.

所以四边形为平行四边形.

又，，所以平行四边形是正方形；

（2）如图，取的中点，连接、.

因为平面平面，平面平面，平面平面，由面面平行的性质定理，得，同理，

在梯形中，，且为的中点，，，

，，则四边形为平行四边形，且.

又，，所以且，

所以四边形为平行四边形，所以.

为的中点，，

又，四边形为平行四边形，，.

故、、、四点共面.