专题20 圆（学案）

这是一份专题20 圆（学案），共67页。

2021年中考数学一轮专题复习
学案20 圆

中考命题说明



考点
课标要求
考查角度
1
圆心角、圆周角
①理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系；②了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征．
常以选择题、填空题、解答题的形式考查圆心角、圆周角定理的简单运用．
2
圆的对称性
探索圆的性质，理解并会运用垂径定理及其推论．
常以选择题、填空题、解答题的形式考查垂径定理及其推论的综合运用．
3
点与圆、直线与圆的位置关系
①探索并了解点与圆、直线与圆的位置关系；②了解切线的概念，探索切线与过切点的半径之间的关系；能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；③了解三角形的内心和外心．
常以选择题、填空题、解答题的形式考查直线与圆的位置关系、圆的切线的性质、判定以及三角形的内心和外心．
4
圆与圆的位置关系
探索并了解圆与圆的位置关系．
常以选择题、填空题的形式考查圆与圆的位置关系．
5
弧长和扇形的面积
会计算弧长及扇形的面积，会计算圆锥的侧面积和全面积．
常以选择题、填空题的形式考查弧长、扇形的面积和圆锥的侧面积、全面积．

知识点1：与圆有关的概念


知识点梳理

1. 圆的定义:在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．

2. 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．（如下图中的AB）．

3. 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．
4. 直径：经过圆心的弦叫做直径（如上图中的CD）．直径等于半径的2倍．
5. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
6. 弧、优弧、劣弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.弧用符号“”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB” ．
大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）．
7. 等弧：在 同圆 或 等圆 中，能够互相重合的弧叫做等弧．
8. 等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．
9. 垂径定理及其推论：
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．
10. 圆的对称性：
（1）圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴．
（2）圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形．
典型例题

【例1】（2020•青海9/28）已知⊙O的直径为10 cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=8 cm，CD=6 cm，则AB与CD之间的距离为 cm．
【考点】垂径定理；平行线之间的距离；勾股定理
【分析】作OE⊥AB于E，延长EO交CD于F，连接OA、OC，如图，利用平行线的性质OF⊥CD，根据垂径定理得到AE=BE=4，CF=DF=3，则利用勾股定理可计算出OE=3，OF=4，讨论：当点O在AB与CD之间时，EF=OF+OE；当点O不在AB与CD之间时，EF=OF-OE．
【解答】解：作OE⊥AB于E，延长EO交CD于F，连接OA、OC，如图，

∵AB∥CD，OE⊥AB，
∴OF⊥CD，
∴，，
在Rt△OAE中，，
在Rt△OCF中，，
当点O在AB与CD之间时，如图1，EF=OF+OE=4+3=7 cm；
当点O不在AB与CD之间时，如图2，EF=OF-OE=4-3=1 cm；
综上所述，AB与CD之间的距离为1 cm或7 cm．
故答案为1或7．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论．
【例2】（2020•宁夏12/26）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深ED=1寸，锯道长AB=1尺（1尺=10寸）．问这根圆形木材的直径是 寸．

【考点】数学常识；垂径定理的应用
【分析】根据题意可得OE⊥AB，由垂径定理可得尺=5寸，设半径OA=OE=r，则OD=r-1，在Rt△OAD中，根据勾股定理可得：(r-1)2+52=r2，解方程可得出木材半径，即可得出木材直径．
【解答】解：由题意可知OE⊥AB，
∵OE为⊙O半径，
∴尺=5寸，
设半径OA=OE=r，
∵ED=1，
∴OD=r-1，
则Rt△OAD中，根据勾股定理可得：(r-1)2+52=r2，
解得：r=13，
∴木材直径为26寸．
故答案为：26．
【点评】本题考查垂径定理结合勾股定理计算半径长度．如果题干中出现弦的垂线或者弦的中点，则可验证是否满足垂径定理；与圆有关的题目中如果求弦长或者求半径直径，也可以从题中寻找是否有垂径定理，然后构造直角三角形，用勾股定理求解．
知识点2： 与圆有关的角


1. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．
2. 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
3. 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
4. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
典型例题

【例3】（2020•海南10/22）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD=36°，则∠ABD等于（ ）

A．54° B．56° C．64° D．66°
【考点】圆周角定理
【分析】根据AB是⊙O的直径，可得∠ADB=90°，根据同弧所对圆周角相等可得∠DAB=∠BCD=36°，进而可得∠ABD的度数．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠DAB=∠BCD=36°，
∴∠ABD=∠ADB-∠DAB=90°-36°=54°．
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理，解决本题的关键是掌握圆周角定理．
【例4】（2020•福建9/25）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=CD，A为中点，∠BDC=60°，则∠ADB等于（ ）

A．40° B．50° C．60° D．70°
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系
【分析】连接OA、OB、OD、OC，求出，求出∠AOB=∠DOC=∠AOD，根据圆周角定理求出∠BOC，再求出∠AOB，最后根据圆周角定理求出即可．
【解答】解：如下图，连接OA、OB、OD、OC，

∵∠BDC=60°，
∴∠BOC=2∠BDC=120°，
∵AB=CD，
∴∠AOB=∠DOC，
∵A为的中点，
∴，
∴∠AOB=∠AOD，
∴，
∴，
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能根据定理求出∠AOB=∠DOC=∠AOD是解此题的关键．
知识点3：与圆有关的位置关系


知识点梳理

1．点与圆的位置关系：
（1）设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则有：
①点P在圆外⇔d＞r；
②点P在圆内⇔d＜r；
③点P在圆上⇔d＝r．
（2）不在同一直线上的三点确定一个圆．
2．直线与圆的位置关系：
（1）直线和圆有三种位置关系，具体如下：
①相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点．
②相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线．
③相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．
（2）如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：
①直线l与⊙O相交⇔d ②直线l与⊙O相切⇔d=r；
③直线l与⊙O相离⇔d>r；
（3）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（4）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
（5）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
（6）三角形的外心：三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点．
（7）三角形的内心：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点．
3．圆和圆的位置关系：
（1）圆和圆的位置关系：
①如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种．
②如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种．
③如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交．
（2）圆心距：两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距．
（3）圆和圆位置关系的性质与判定：设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么
①两圆外离⇔d>R+r
②两圆外切⇔d=R+r
③两圆相交⇔R-r ④两圆内切⇔d=R-r（R>r）
⑤两圆内含⇔dr）
（4）两圆相切、相交的重要性质：如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦．
典型例题

【例5】（2020•陕西9/25）如图，△ABC内接于⊙O，∠A=50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（ ）

A．55° B．65° C．60° D．75°
【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理
【分析】连接CD，根据圆内接四边形的性质得到∠CDB=180°-∠A=130°，根据垂径定理得到OD⊥BC，求得BD=CD，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：连接CD，
∵∠A=50°，
∴∠CDB=180°-∠A=130°，
∵E是边BC的中点
∴OD⊥BC，
∴BD=CD，
∴，
故选：B．

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆内接四边形的性质，垂径定理，等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．
【例6】（2020•河北14/26）有一题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC=130°，求∠A．”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆O，连接OB，OC．如图，由∠BOC=2∠A=130°，得∠A=65°．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是（ ）

A．淇淇说的对，且∠A的另一个值是115°
B．淇淇说的不对，∠A就得65°
C．嘉嘉求的结果不对，∠A应得50°
D．两人都不对，∠A应有3个不同值
【考点】三角形的外接圆与外心
【分析】直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案．
【解答】解：如图所示：

∠A还应有另一个不同的值∠A′与∠A互补．
故∠A′=180°-65°=115°．
故选：A．
【点评】此题主要考查了三角形的外接圆，正确分类讨论是解题关键．
【例7】（2020•重庆A卷5/26）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，OB，若∠B=20°，则∠AOB的度数为（ ）

A．40° B．50° C．60° D．70°
【考点】切线的性质
【分析】根据切线的性质和三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：∵AB是⊙O的切线，A为切点，
∴∠A=90°，
∵∠B=20°，
∴∠AOB=90°-20°=70°，
故选：D．
【点评】本题考查了切线的性质，三角形的内角和，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
【例8】（2020•青海10/28）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则△ABC的内切圆半径r= ．

【考点】三角形的内切圆与内心
【分析】在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，根据勾股定理可得AB =5，设△ABC的内切圆与三条边的切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，可得OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，可得矩形EOFC，再根据切线长定理可得CE=CF，所以矩形EOFC是正方形，可得CE=CF=r，所以AF=AD= 3-r，BE=BD= 4-r，进而可得△ABC的内切圆半径r的值．
【解答】解：在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，
根据勾股定理，得AB =5，
如图，设△ABC的内切圆与三条边的切点分别为D、E、F，

连接OD、OE、OF，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，
∵∠C=90°，
∴四边形EOFC是矩形，
根据切线长定理，得CE=CF，
∴矩形EOFC是正方形，
∴CE=CF=r，
∴AF=AD=AC-FC=3-r，
BE=BD=BC-CE=4-r，
∵AD+BD=AB，
∴3-r +4-r =5，
解得r=1．
则△ABC的内切圆半径r=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，解决本题的关键是掌握三角形的内切圆与内心．
【例9】（2020•通辽6/26）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】三角形的内切圆与内心；作图—基本作图
【分析】利用基本作图和三角形内心的定义进行判断．
【解答】解：三角形内心为三角形内角平分线的交点，选项B中作了两个角的平分线．
故选：B．
【点评】本题考查了作图—基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质．
知识点4：与圆有关的计算


知识点梳理

1．弧长及扇形的面积：
（1）半径为r，n°的圆心角所对的弧长公式： ．
（2）半径为R，n°的圆心角所对的扇形面积公式： （l是扇形的弧长）．
2．圆锥的侧面积和全面积：圆锥的侧面展开图是一个扇形，若设圆锥的母线长为l，底面半径为r，那么这个扇形的半径为圆锥的母线长l，扇形的弧长为圆锥的底面圆周长2πr．
（1）圆锥的侧面积公式： （其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径）．
（2）圆锥的全面积公式：S圆锥全＝侧面积＋底面圆面积=πrl＋πr2．
3．求阴影部分面积的几种常见方法：
（1）公式法；
（2）割补法；
（3）拼凑法；
（4）等积变形构造方程法；
（5）去重法．
典型例题

【例10】（2020•新疆兵团14/23）如图，⊙O的半径是2，扇形BAC的圆心角为60°．若将扇形BAC剪下围成一个圆锥，则此圆锥的底面圆的半径为 ．

【考点】弧长的计算
【分析】连接OA，作OD⊥AB于点D，利用三角函数以及垂径定理即可求得AB的长，然后利用扇形的弧长公式即可求得弧长，然后利用圆的周长公式即可求得半径．
【解答】解：连接OA，作OD⊥AB于点D．
在直角△OAD中，OA=2，，
则．
则，
则扇形的弧长是：，
设底面圆的半径是r，则，
解得：．
故答案为：．

【点评】本题考查了弧长的计算，圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
【例11】（2020•河南15/23）如图，在扇形BOC中，∠BOC=60°，OD平分∠BOC交于点D，点E为半径OB上一动点．若OB=2，则阴影部分周长的最小值为 ．

【考点】弧长的计算；轴对称—最短路线问题
【分析】利用轴对称的性质，得出当点E移动到点E′时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为弧CD的长与CD′的长度和，分别进行计算即可．
【解答】解：如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′，
此时E′C+E′C最小，即：E′C+E′C=CD′，
由题意得，∠COD =∠DOB =∠BOD′ =30°，
∴∠COD′=90°，
∴，
的长，
∴阴影部分周长的最小值为．
故答案为：．

【点评】本题考查与圆有关的计算，掌握轴对称的性质，弧长的计算方法是正确计算的前提，理解轴对称解决路程最短问题是关键．
【例12】（2020•福建13/25）一个扇形的圆心角是90°，半径为4，则这个扇形的面积为 ．（结果保留π）
【考点】扇形面积的计算
【分析】利用扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：，
故答案为：4π．
【点评】本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积（r是扇形的半径，l是扇形的弧长）．
【例13】（2020•重庆A卷16/26）如图，在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC的中点为O，分别以点A，C为圆心，以AO的长为半径画弧，分别与正方形的边相交，则图中的阴影部分的面积为 ．（结果保留π）

【考点】扇形面积的计算；正方形的性质
【分析】根据勾股定理求出AC ，得到OA、OC的长，根据正方形的面积公式、扇形面积公式计算，得到答案．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=2，∠DAB=∠DCB=90°，
由勾股定理得，，
∴，
∴图中的阴影部分的面积，
故答案为：4-π．
【点评】本题考查的是扇形面积计算、正方形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．
巩固训练

1.（2020•安徽9/23）已知点，，在⊙O上，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若半径平分弦，则四边形是平行四边形
B．若四边形是平行四边形，则
C．若，则弦平分半径
D．若弦平分半径，则半径平分弦
2.（2020•河南22/23）小亮在学习中遇到这样一个问题：
如图，点是上一动点，线段，点是线段的中点，过点作，交的延长线于点．当△DCF为等腰三角形时，求线段的长度．

小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题．请将下面的探究过程补充完整：
（1）根据点在上的不同位置，画出相应的图形，测量线段，，的长度，得到下表的几组对应值．

0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0

8.0
7.7
7.2
6.6
5.9

3.9
2.4
0

8.0
7.4
6.9
6.5
6.1
6.0
6.2
6.7
8.0
操作中发现：
①“当点为的中点时，”．则上表中的值是 ；
②“线段的长度无需测量即可得到”．请简要说明理由．
（2）将线段的长度作为自变量，和的长度都是的函数，分别记为和，并在平面直角坐标系中画出了函数的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数的图象；
（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当△为等腰三角形时，线段长度的近似值（结果保留一位小数）．

3.（2020•鄂尔多斯15/24）如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝CE，连接AD，BE交于点F，连接CF，则CF的最小值是 ．

4.（2020•吉林6/26）如图，四边形内接于⊙O，若，则的大小为　　

A． B． C． D．
5.（2020•天津18/25）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点，均落在格点上，点在网格线上，且．
（Ⅰ）线段的长等于 ．
（Ⅱ）以为直径的半圆与边相交于点，若，分别为边，上的动点，当取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，，并简要说明点，的位置是如何找到的（不要求证明） ．

6.（2020•北京20/28）已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC，CD∥AB．
求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且∠ABP＝∠BAC．
作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；
②连接BP．
线段BP就是所求作的线段．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵CD∥AB，
∴∠ABP＝ ．
∵AB＝AC，
∴点B在⊙A上．
又∵点C，P都在⊙A上，
∴∠BPC＝∠BAC（ ）（填推理的依据）．
∴∠ABP＝∠BAC．

7.（2020•陕西25/25）问题提出
（1）如图1，在Rt△ABC中，，，的平分线交于点．过点分别作，．垂足分别为，，则图1中与线段相等的线段是　 ．
问题探究
（2）如图2，是半圆的直径，．是上一点，且，连接，．的平分线交于点，过点分别作，，垂足分别为，，求线段的长．
问题解决
（3）如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知⊙O的直径，点在⊙O上，且．为上一点，连接并延长，交⊙O于点．连接，．过点分别作，，垂足分别为，．按设计要求，四边形内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设的长为，阴影部分的面积为．
①求与之间的函数关系式；
②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当的长度为时，整体布局比较合理．试求当时．室内活动区（四边形的面积．

8.（2020•广东17/25）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，，点，分别在射线，上，长度始终保持不变，，为的中点，点到，的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离的最小值为 ．

9.（2020•赤峰10/26）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O．若OA＝3，则△ABC外接圆的面积为（　　）

A．3π B．4π C．6π D．9π
10.（2020•青海23/28）如图，在Rt△ABC中，．
（1）尺规作图：作Rt△ABC的外接圆⊙O；作的角平分线交⊙O于点，连接．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若，，求的长．

11.（2020•呼和浩特16/24）已知为⊙的直径且长为，为⊙O上异于，的点，若与过点的⊙O的切线互相垂直，垂足为．①若等腰三角形的顶角为120度，则，②若△AOC为正三角形，则，③若等腰三角形的对称轴经过点，则，④无论点在何处，将△沿折叠，点一定落在直径上，其中正确结论的序号为 ．
12.（2020•通辽7/26）如图，，分别与⊙O相切于，两点，，则　　

A． B． C． D．
13.（2020•山西18/23）如图，四边形是平行四边形，以点为圆心，为半径的⊙与相切于点，与相交于点，的延长线交⊙于点，连接交于点．求和的度数．

14.（2020•天津21/25）在⊙中，弦与直径相交于点，．
（Ⅰ）如图①，若，求和的大小；
（Ⅱ）如图②，若，过点作的切线，与的延长线相交于点，求的大小．

15.（2020•重庆B卷4/26）如图，是⊙O的切线，为切点，连接，．若，则的度数为　　

A． B． C． D．
16.（2020•河南20/23）我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具三分角器．图1是它的示意图，其中与半圆的直径在同一直线上，且的长度与半圆的半径相等；与垂直于点，足够长．

使用方法如图2所示，若要把三等分，只需适当放置三分角器，使经过的顶点，点落在边上，半圆与另一边恰好相切，切点为，则，就把三等分了．
为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．
已知：如图2，点，，，在同一直线上，，垂足为点， ．
求证：　　 ．
17.（2020•安徽20/23）如图，是半圆的直径，，是半圆上不同于，的两点，，与相交于点．是半圆所在圆的切线，与的延长线相交于点．
（1）求证：△CBA≌△DAB；
（2）若，求证：平分．

18.（2020•陕西23/25）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，，．连接并延长，交⊙O于点，连接．过点作的切线，与的延长线相交于点．
（1）求证：AD∥EC；
（2）若，求线段的长．

19.（2020•河北18/26）正六边形的一个内角是正边形一个外角的4倍，则 ．
20.（2020•通辽25/26）中心为的正六边形的半径为，点，同时分别从，两点出发，以的速度沿，向终点，运动，连接，，，，设运动时间为．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）求矩形的面积与正六边形的面积之比．

21.（2020•兴安盟•呼伦贝尔15/26）若一个扇形的弧长是，面积是，则扇形的圆心角是 度．
22.（2020•呼和浩特11/24）如图，△中，为的中点，以为圆心，长为半径画一弧，交于点，若，，，则扇形的面积为　 ．

23.（2020•包头9/26）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，点C，D在直径AB的两侧．若∠AOC：∠AOD：∠DOB＝2：7：11，CD＝4，则的长为（　　）

A．2π B．4π C． D．π
24.（2020•鄂尔多斯13/24）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠BCD＝30°，CD＝2，则阴影部分面积S阴影＝ ．

25.（2020•吉林14/26）如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．筝形的对角线，相交于点．以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，．若，，则的长为 （结果保留．

26.（2020•山西8/23）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到，，两点之间的距离为，圆心角为，则图中摆盘的面积是　　

A． B． C． D．
27.（2020•青海19/28）如图是一个废弃的扇形统计图，小明同学利用它的阴影部分制作一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是　　

A．3.6 B．1.8 C．3 D．6
28.（2020•江西21/23）已知的两边分别与⊙O相切于点，，⊙O的半径为．
（1）如图1，点在点，之间的优弧上，，求的度数；
（2）如图2，点在圆上运动，当最大时，要使四边形为菱形，的度数应为多少？请说明理由；
（3）若交⊙O于点，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含的式子表示）．

29.（2020•河北22/26）如图，点为中点，分别延长到点，到点，使．以点为圆心，分别以，为半径在上方作两个半圆．点为小半圆上任一点（不与点，重合），连接并延长交大半圆于点，连接，．
（1）①求证：△AOE≌△POC；
②写出，和三者间的数量关系，并说明理由．
（2）若，当最大时，直接指出与小半圆的位置关系，并求此时（答案保留．

30.（2020•广东16/25）如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆周角为的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为 ．

31.（2020•宁夏6/26）如图，等腰直角三角形中，，，以点为圆心画弧与斜边相切于点，交于点，交于点，则图中阴影部分的面积是　　

A． B． C． D．
32.（2020•重庆B卷16/26）如图，在菱形中，对角线，交于点，，，以点为圆心，长为半径画弧，分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留

巩固训练解析

1.（2020•安徽9/23）已知点，，在⊙O上，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若半径平分弦，则四边形是平行四边形
B．若四边形是平行四边形，则
C．若，则弦平分半径
D．若弦平分半径，则半径平分弦
【考点】命题与定理
【分析】根据垂径定理，平行四边形的性质判断即可．
【解答】解：A、如图，

若半径平分弦，则四边形不一定是平行四边形；原命题是假命题；
B、若四边形是平行四边形，
则，，
，
，
，
，是真命题；
C、如图，

若，则弦不平分半径，原命题是假命题；
D、如图，

若弦平分半径，则半径不一定平分弦，原命题是假命题；
故选：B．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
2.（2020•河南22/23）小亮在学习中遇到这样一个问题：
如图，点是上一动点，线段，点是线段的中点，过点作，交的延长线于点．当△DCF为等腰三角形时，求线段的长度．

小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题．请将下面的探究过程补充完整：
（1）根据点在上的不同位置，画出相应的图形，测量线段，，的长度，得到下表的几组对应值．

0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0

8.0
7.7
7.2
6.6
5.9

3.9
2.4
0

8.0
7.4
6.9
6.5
6.1
6.0
6.2
6.7
8.0
操作中发现：
①“当点为的中点时，”．则上表中的值是　5　；
②“线段的长度无需测量即可得到”．请简要说明理由．
（2）将线段的长度作为自变量，和的长度都是的函数，分别记为和，并在平面直角坐标系中画出了函数的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数的图象；
（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当△为等腰三角形时，线段长度的近似值（结果保留一位小数）．

【考点】圆的综合题
【分析】（1）①由=可求；
②由“AAS”可证△BAD≌△CAF，可得，即可求解；
（2）由题意可画出函数图象；
（3）结合图象可求解．
【解答】解：（1）点为的中点，
=，
，
故答案为：5；
（2）点是线段的中点，
，
，
，
又，
∴△BAD≌△CAF（AAS），
，
线段的长度无需测量即可得到；
（3）由题意可得：

（4）由题意画出函数的图象；

由图象可得：或或时，△DCF为等腰三角形．
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，动点问题的函数图象探究题，也考查了函数图象的画法，解题关键是数形结合．
3.（2020•鄂尔多斯15/24）如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝CE，连接AD，BE交于点F，连接CF，则CF的最小值是　2　．

【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先证明∠AFB＝120°，推出点F的运动轨迹是O为圆心，OA为半径的弧上运动（∠AOB＝120°，OA＝2），连接OC交⊙O于N，当点F与N重合时，CF的值最小．
【解答】解：如图，

∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠BCE＝60°，
∵BD＝CE，
∴△ABD≌△BCE（SAS）
∴∠BAD＝∠CBE，
又∵∠AFE＝∠BAD+∠ABE，
∴∠AFE＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC，
∴∠AFE＝60°，
∴∠AFB＝120°，
∴点F的运动轨迹是O为圆心，OA为半径的弧上运动（∠AOB＝120°，OA＝2），
连接OC交⊙O于N，当点F与N重合时，CF的值最小，最小值＝OC﹣ON＝4﹣2＝2．
故答案为2．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、圆的有关性质等知识，解题的关键是学会添加辅助圆解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
4.（2020•吉林6/26）如图，四边形内接于⊙O，若，则的大小为　　

A． B． C． D．
【考点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【分析】运用圆内接四边形对角互补计算即可．
【解答】解：四边形内接于⊙O，，
，
故选：C．
【点评】本题主要考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形对角互补是解答此题的关键．
5.（2020•天津18/25）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点，均落在格点上，点在网格线上，且．
（Ⅰ）线段的长等于　　．
（Ⅱ）以为直径的半圆与边相交于点，若，分别为边，上的动点，当取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，，并简要说明点，的位置是如何找到的（不要求证明） ．

【考点】轴对称最短路线问题；圆周角定理；作图复杂作图；勾股定理
【专题】运算能力；几何直观；平移、旋转与对称；作图题
【分析】（Ⅰ）利用网格根据勾股定理即可求出线段的长；
（Ⅱ）取格点，，连接，连接并延长，与相交于点，连接，与半圆相交于点，连接，与相交于点，连接并延长，与相交于点，即可得点，．
【解答】解：（Ⅰ）线段的长等于；

（Ⅱ）如图，点，是网格的格点，
取网格的格点，，，，连接，，
即将平移至和，
∴MN∥AC∥，
连接并延长，与相交于点，
连接，与半圆相交于点，连接，
与相交于点，连接并延长，与相交于点，
则点，即为所求．
是直径，
，
∵MN∥AC∥，
，，
，
点、点关于对称，
，
最短．
【点评】本题考查了作图复杂作图、勾股定理、圆周角定理、轴对称最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称性质．
6.（2020•北京20/28）已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC，CD∥AB．
求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且∠ABP＝∠BAC．
作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；
②连接BP．
线段BP就是所求作的线段．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵CD∥AB，
∴∠ABP＝　∠BPC　．
∵AB＝AC，
∴点B在⊙A上．
又∵点C，P都在⊙A上，
∴∠BPC＝∠BAC（　同弧所对的圆周角等于圆心角的一半　）（填推理的依据）．
∴∠ABP＝∠BAC．

【考点】等腰三角形的性质；圆周角定理；作图—复杂作图．有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据作法即可补全图形；
（2）根据等腰三角形的性质和同弧所对圆周角等于圆心角的一半即可完成下面的证明．
【解答】解：（1）如图，即为补全的图形；

（2）证明：∵CD∥AB，
∴∠ABP＝∠BPC．
∵AB＝AC，
∴点B在⊙A上．
又∵点C，P都在⊙A上，
∴∠BPC＝∠BAC（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半），
∴∠ABP＝∠BAC．
故答案为：∠BPC，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图、等腰三角形的性质、圆周角定理，解决本题的关键是综合运用以上知识．
7.（2020•陕西25/25）问题提出
（1）如图1，在Rt△ABC中，，，的平分线交于点．过点分别作，．垂足分别为，，则图1中与线段相等的线段是　、、　．
问题探究
（2）如图2，是半圆的直径，．是上一点，且，连接，．的平分线交于点，过点分别作，，垂足分别为，，求线段的长．
问题解决
（3）如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知⊙O的直径，点在⊙O上，且．为上一点，连接并延长，交⊙O于点．连接，．过点分别作，，垂足分别为，．按设计要求，四边形内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设的长为，阴影部分的面积为．
①求与之间的函数关系式；
②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当的长度为时，整体布局比较合理．试求当时．室内活动区（四边形的面积．

【考点】圆的综合题
【分析】（1）证明四边形是正方形，即可得出结果；
（2）连接，由是半圆的直径，，得出，，则，同（1）得四边形是正方形，得，在Rt△APB中，，在Rt△CFB中，，推出，即可得出结果；
（3）①同（1）得四边形是正方形，得出，，，将△APE绕点逆时针旋转，得到△，，则、、三点共线，，证，得出，在Rt△ACB中，，，由，即可得出结果；
②当时，，，在Rt△中，由勾股定理得，由，求，即可得出结果．
【解答】解：（1），，，
四边形是矩形，
平分，，，
，
四边形是正方形，
，
故答案为：、、；
（2）连接，如图2所示：
是半圆的直径，，
，，
，
同（1）得：四边形是正方形，
，
在Rt△APB中，，
在Rt△CFB中，，
，
，
即：，
解得：；
（3）①为⊙O的直径，
，
，
，
同（1）得：四边形是正方形，
，，，
将△APE绕点逆时针旋转，得到△，，如图3所示：
则、、三点共线，，
，即，
，
在Rt△ACB中，，
，
；
②当时，，，
在Rt△中，由勾股定理得：，
，
，
解得：，
，
当时．室内活动区（四边形的面积为．


【点评】本题是圆综合题，主要考查了圆周角定理、勾股定理、矩形的判定、正方形的判定与性质、角平分线的性质、旋转的性质、三角函数定义、三角形面积与正方形面积的计算等知识；熟练掌握圆周角定理和正方形的判定与性质是解题的关键．
8.（2020•广东17/25）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，，点，分别在射线，上，长度始终保持不变，，为的中点，点到，的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离的最小值为　　．

【考点】点与圆的位置关系；直角三角形斜边上的中线
【分析】如图，连接，．求出，，根据求解即可．
【解答】解：如图，连接，．

由题意，
，，，
，
点的运动轨迹是以为圆心，2为半径的弧，
当点落在线段上时，的值最小，
的最小值为．（也可以用，即确定最小值）
故答案为．
【点评】本题考查点与圆的位置关系，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
9.（2020•赤峰10/26）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O．若OA＝3，则△ABC外接圆的面积为（　　）

A．3π B．4π C．6π D．9π
【考点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形的外接圆与外心．有
【答案】D
【分析】由等腰三角形的性质得出BD＝CD，AD⊥BC，则点O是△ABC外接圆的圆心，则由圆的面积公式可得出答案．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴BD＝CD，AD⊥BC，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴点O是△ABC外接圆的圆心，
∵OA＝3，
∴△ABC外接圆的面积为9π．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的外接圆和外心的概念和性质．
10.（2020•青海23/28）如图，在Rt△ABC中，．
（1）尺规作图：作Rt△ABC的外接圆⊙O；作的角平分线交⊙O于点，连接．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若，，求的长．

【考点】角平分线的性质；勾股定理；三角形的外接圆与外心；作图复杂作图
【分析】（1）作的垂直平分线，即可作Rt△ABC的外接圆⊙O；再作的角平分线交⊙O于点，连接即可；
（2）根据，可得，再根据是的平分线即可求的长．
【解答】解：（1）如图，Rt△ABC的外接圆⊙O即为所求；

（2）连接，
．
是⊙O的直径，
，
平分，
，
，
，，
，
．
答：的长为．
【点评】本题考查了作图复杂作图、角平分线的性质、三角形的外接圆与外心．
11.（2020•呼和浩特16/24）已知为⊙的直径且长为，为⊙O上异于，的点，若与过点的⊙O的切线互相垂直，垂足为．①若等腰三角形的顶角为120度，则，②若△AOC为正三角形，则，③若等腰三角形的对称轴经过点，则，④无论点在何处，将△沿折叠，点一定落在直径上，其中正确结论的序号为　②③④　．
【考点】等腰三角形的性质；切线的性质；垂径定理；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形；轴对称的性质；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）
【分析】①过点作，垂足为，求出，得到，再说明，利用，得到，即可判断；②过点作，垂足为，证明四边形为矩形，即可判断；③画出图形，证明四边形为矩形，即可判断；④过点作，垂足为，证明△ADC≌△AEC，从而说明垂直平分，得到点和点关于对称，即可判断．
【解答】解：①，
，
和⊙O相切，，
，，
，，
，过点作，垂足为，
则，
而，，，
，故①错误；

②若△AOC为正三角形，
，，
，
，，
过点作，垂足为，
四边形为矩形，
，故②正确；

③若等腰三角形的对称轴经过点，如图，
，而，
，又，

，
四边形为矩形，
，故③正确；

④过点作，垂足为，
，，
，
，
，
，
，
，
在△ADC和△AEC中，
，，，
∴△ADC≌△AEC（HL），
，
垂直平分，则点和点关于对称，
即点一定落在直径上，故④正确．

故正确的序号为：②③④，
故答案为：②③④．
【点评】本题考查了折叠的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，切线的性质，垂径定理，知识点较多，多为一些性质定理，解题时要逐一分析，利用性质定理进行推导．
12.（2020•通辽7/26）如图，，分别与⊙O相切于，两点，，则　　

A． B． C． D．
【考点】切线的性质；圆周角定理
【分析】连接、，根据切线的性质得到，，求出，根据圆周角定理解答即可．
【解答】解：连接、，
，分别为⊙O的切线，
，，
，，
，
由圆周角定理得，，
故选：C．

【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
13.（2020•山西18/23）如图，四边形是平行四边形，以点为圆心，为半径的⊙与相切于点，与相交于点，的延长线交⊙于点，连接交于点．求和的度数．

【考点】圆周角定理；切线的性质；平行四边形的性质
【分析】连接，如图，根据切线的性质得，再利用平行四边形的性质得，，则，接着计算出，然后利用平行线的性质得到，从而根据圆周角定理得到的度数．
【解答】解：连接，如图：

∵⊙O与相切于点，
，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
，
∴△OCB为等腰直角三角形，
，
，
，
．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了平行四边形的性质和圆周角定理．
14.（2020•天津21/25）在⊙中，弦与直径相交于点，．
（Ⅰ）如图①，若，求和的大小；
（Ⅱ）如图②，若，过点作的切线，与的延长线相交于点，求的大小．

【考点】切线的性质；圆周角定理
【分析】（1）由三角形的外角性质得出，由圆周角定理得，，，即可得出答案；
（2）连接，求出，由切线的性质得出，由圆周角定理得出，即可得出答案．
【解答】解：（1）是△PBC的一个外角，
，
由圆周角定理得：，，
是⊙O的直径，
，
；

（2）连接，如图②所示：

，
，
，
是⊙O的切线，
，
，
，
．
【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、三角形的外角性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解题的关键．
15.（2020•重庆B卷4/26）如图，是⊙O的切线，为切点，连接，．若，则的度数为　　

A． B． C． D．
【考点】切线的性质
【分析】根据切线的性质得到，根据直角三角形的两锐角互余计算即可．
【解答】解：是⊙O的切线，
，
，
，
故选：B．
【点评】本题考查的是切线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
16.（2020•河南20/23）我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具三分角器．图1是它的示意图，其中与半圆的直径在同一直线上，且的长度与半圆的半径相等；与垂直于点，足够长．

使用方法如图2所示，若要把三等分，只需适当放置三分角器，使经过的顶点，点落在边上，半圆与另一边恰好相切，切点为，则，就把三等分了．
为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．
已知：如图2，点，，，在同一直线上，，垂足为点，　，切半圆于　．
求证：　　 ．
【考点】数学常识；垂径定理；切线的性质；圆周角定理
【分析】根据垂直的定义得到，根据全等三角形的性质得到，根据切线的性质得到，于是得到结论．
【解答】解：已知：如图2，点，，，在同一直线上，，垂足为点，，切半圆于．
求证：，就把三等分，
证明：，
，
，，
∴△ABE≌△OBE（SAS），
，
，
是的切线，
切半圆于，
，
，
，就把三等分．
故答案为：，切半圆于；，就把三等分．
【点评】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
17.（2020•安徽20/23）如图，是半圆的直径，，是半圆上不同于，的两点，，与相交于点．是半圆所在圆的切线，与的延长线相交于点．
（1）求证：△CBA≌△DAB；
（2）若，求证：平分．

【考点】切线的性质；圆周角定理；全等三角形的判定与性质
【分析】（1）根据圆周角定理得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到，根据切线的性质得到，根据三角形的内角和以及角平分线的定义即可得到结论．
【解答】（1）证明：是半圆的直径，
，
在Rt△CBA与Rt△DAB中，，
∴Rt△CBA≌Rt△DAB（HL）；
（2）解：，由（1）知，
，
是半圆所在圆的切线，
，
，
由（1）知，
，
，
，
，，
，
平分．
【点评】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键．
18.（2020•陕西23/25）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，，．连接并延长，交⊙O于点，连接．过点作的切线，与的延长线相交于点．
（1）求证：AD∥EC；
（2）若，求线段的长．

【考点】切线的性质；三角形的外接圆与外心
【分析】（1）连接，由切线的性质可得，由圆周角定理可得，可得结论；
（2）过点作交于，由锐角三角函数可求，可证四边形是正方形，可得，由锐角三角函数可求，即可求解．
【解答】证明：（1）连接，

与⊙O相切于点，
，
，
，
，
∴AD∥EC．
（2）如图，过点作交于，

，，
，
，
是⊙O的直径，
，
，
，
，
，，，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，锐角三角函数，正方形的判定和性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
19.（2020•河北18/26）正六边形的一个内角是正边形一个外角的4倍，则　12　．
【考点】多边形内角与外角
【分析】根据多边形的内角和公式求出正六边形的一个内角等于，再根据多边形的外角和是即可解答．
【解答】解：正六边形的一个内角为：，
正六边形的一个内角是正边形一个外角的4倍，
正边形一个外角为：，
．
故答案为：12．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，理解多边形外角和中外角的个数，以及正多边形的边数之间的关系，是解题关键．
20.（2020•通辽25/26）中心为的正六边形的半径为，点，同时分别从，两点出发，以的速度沿，向终点，运动，连接，，，，设运动时间为．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）求矩形的面积与正六边形的面积之比．

【考点】正多边形和圆；平行四边形的判定与性质；矩形的性质
【分析】（1）证明△ABP≌△DEQ（SAS），可得，同理，由此即可证明；
（2）求出或时，四边形是矩形，求出矩形面积和正六边形面积，即可得出结论．
【解答】（1）证明：六边形是正六边形，
，，
点，同时分别从，两点出发，以速度沿，向终点，运动，
，，
在△ABP和△DEQ中，，
∴△ABP≌△DEQ（SAS），
，
同理可证，
四边形为平行四边形．
（2）解：连接、，则，
，
∴△AOB是等边三角形，
，，
当时，点与重合，与重合，四边形即为四边形，如图1所示：

则，
，
此时四边形是矩形，即四边形是矩形．
当时，点与重合，与重合，四边形即为四边形，如图2所示：

同法可知，此时四边形是矩形．
综上所述，或时，四边形是矩形，
，
矩形的面积矩形的面积；
正六边形的面积=6△AOB的面积矩形的面积，
矩形的面积与正六边形的面积之比．
【点评】本题考查了正六边形的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正六边形的性质是解题的关键．
21.（2020•兴安盟•呼伦贝尔15/26）若一个扇形的弧长是，面积是，则扇形的圆心角是　60　度．
【考点】扇形面积的计算；弧长的计算
【分析】根据扇形的面积公式求出半径，然后根据弧长公式求出圆心角即可．
【解答】解：扇形的面积，
解得：，
又，
．
故答案为：60．
【点评】此题考查了扇形的面积和弧长公式，解题的关键是掌握运算方法．
22.（2020•呼和浩特11/24）如图，△中，为的中点，以为圆心，长为半径画一弧，交于点，若，，，则扇形的面积为　　．

【考点】扇形面积的计算
【分析】根据三角形内角和定理求出，根据三角形的外角的性质求出，根据扇形面积公式计算．
【解答】解：，，，
又为的中点，
，，
，
，
，
扇形的面积，
故答案为：．
【点评】本题考查的是扇形面积计算，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．
23.（2020•包头9/26）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，点C，D在直径AB的两侧．若∠AOC：∠AOD：∠DOB＝2：7：11，CD＝4，则的长为（　　）

A．2π B．4π C． D．π
【考点】弧长的计算．
【答案】D
【分析】根据平角定义和已知求出∠AOD＝70°，∠DOB＝110°，∠COA＝20°，求出∠COD＝90°，解直角三角形求出半径OD，再根据弧长公式求出即可．
【解答】解：∵∠AOC：∠AOD：∠DOB＝2：7：11，
∠AOD+∠DOB＝180°，
∴∠AOD＝×180°＝70°，∠DOB＝110°，∠COA＝20°，
∴∠COD＝∠COA+∠AOD＝90°，
∵OD＝OC，CD＝4，
∴2OD2＝42，
∴OD＝2，
∴的长是＝π，
故选：D．
【点评】本题考查了解直角三角形和弧长公式，能求出半径OD的长是解此题的关键．
24.（2020•鄂尔多斯13/24）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠BCD＝30°，CD＝2，则阴影部分面积S阴影＝　　．

【考点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；扇形面积的计算．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接OC．证明OC∥BD，推出S阴＝S扇形OBD即可解决问题．
【解答】解：连接OC．

∵AB⊥CD，
∴＝，CE＝DE＝，
∴∠COD＝∠BOD，
∵∠BOD＝2∠BCD＝60°，
∴∠COB＝60°，
∵OC＝OB＝OD，
∴△OBC，△OBD都是等边三角形，
∴OC＝BC＝BD＝OD，
∴四边形OCBD是菱形，
∴OC∥BD，
∴S△BDC＝S△BOD，
∴S阴＝S扇形OBD，
∵OD＝＝2，
∴S阴＝＝，
故答案为．
【点评】本题考查扇形的面积，菱形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
25.（2020•吉林14/26）如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．筝形的对角线，相交于点．以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，．若，，则的长为　　（结果保留．

【考点】弧长的计算；全等三角形的判定与性质
【分析】利用证明△ABD≌△CBD，根据全等三角形的对应角相等即可得出，，，即可求得，根据等腰三角形三线合一的性质得出，且，进一步求得，即可求得，根据含角的直角三角形的性质即可求得，然后根据弧长公式求得即可．
【解答】解：在△ABD与△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
，，，
，
，，
，且，
，
，
在Rt△BCD中，，
，
在Rt△COD中，，
，
，
的长为：，
故答案为．
【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，弧长的计算等，熟练掌握性质定理是解题的关键．
26.（2020•山西8/23）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到，，两点之间的距离为，圆心角为，则图中摆盘的面积是　　

A． B． C． D．
【考点】扇形面积的计算
【分析】首先证明△OCD是等边三角形，求出，再根据，求解即可．
【解答】解：如图，连接．

，，
∴△OCD是等边三角形，
，
，
故选：B．
【点评】本题考查扇形的面积，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
27.（2020•青海19/28）如图是一个废弃的扇形统计图，小明同学利用它的阴影部分制作一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是　　

A．3.6 B．1.8 C．3 D．6
【考点】圆锥的计算
【分析】设这个圆锥的底面半径为，利用弧长公式得到，然后解关于的方程即可．
【解答】解：设这个圆锥的底面半径为，
根据题意得，
解得，
即这个圆锥的底面半径是3.6．
故选：A．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
28.（2020•江西21/23）已知的两边分别与⊙O相切于点，，⊙O的半径为．
（1）如图1，点在点，之间的优弧上，，求的度数；
（2）如图2，点在圆上运动，当最大时，要使四边形为菱形，的度数应为多少？请说明理由；
（3）若交⊙O于点，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含的式子表示）．

【考点】圆的综合题
【分析】（1）连接，，由切线的性质可求，由四边形内角和可求解；
（2）当时，四边形是菱形，连接，，由切线长定理可得，，由“SAS”可证△APC≌△BPC，可得，，可证，可得四边形是菱形；
（3）分别求出，的长，由弧长公式可求，即可求解．
【解答】解：（1）如图1，连接，，

，为⊙O的切线，
，
，
，
，
，
；
（2）如图2，当时，四边形是菱形，
连接，，

由（1）可知，，
，
，
，
点运动到距离最大，
经过圆心，
，为⊙O的切线，
，，
又，
∴△APC≌△BPC（SAS），
，，
，
，
，
四边形是菱形；
（3）∵⊙O的半径为，
，，
，，
，
的长度，
阴影部分的周长．
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，弧长公式，菱形的判定等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
29.（2020•河北22/26）如图，点为中点，分别延长到点，到点，使．以点为圆心，分别以，为半径在上方作两个半圆．点为小半圆上任一点（不与点，重合），连接并延长交大半圆于点，连接，．
（1）①求证：△AOE≌△POC；
②写出，和三者间的数量关系，并说明理由．
（2）若，当最大时，直接指出与小半圆的位置关系，并求此时（答案保留．

【考点】全等三角形的判定与性质；直线与圆的位置关系；扇形面积的计算
【分析】（1）①利用公共角相等，根据证明三角形全等便可；
②由全等三角形得，再利用三角形外角性质得结论；
（2）当与小半圆相切时，最大，求出便可根据扇形的面积公式求得结果．
【解答】解：（1）①在△AOE和△POC中，
，
∴△AOE≌△POC （SAS）；
②，理由是：
∵△AOE≌△POC，
，
，
；
（2）当最大时，与小半圆相切，
如图，

，
，
与小半圆相切，
，
，
，
．
【点评】本题主要考查了圆的切线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，直角三角形的性质，扇形的面积计算，关键在于掌握各个定理，灵活运用这些性质解题．
30.（2020•广东16/25）如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆周角为的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为　　．

【考点】等边三角形的判定；圆心角、弧、弦的关系
【分析】求出阴影扇形的弧长，进而可求出围成圆锥的底面半径．
【解答】解：如图，连接，，，

，，，
∴△ABO≌△ACO（SSS），
，
，
∴△ABO是等边三角形，
，
由题意得，阴影扇形的半径为，圆心角的度数为，
则扇形的弧长为：，
而扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长，因此有：
，
解得，，
故答案为：．
【点评】本题考查圆锥的有关计算，明确扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长是解决问题的关键．
31.（2020•宁夏6/26）如图，等腰直角三角形中，，，以点为圆心画弧与斜边相切于点，交于点，交于点，则图中阴影部分的面积是　　

A． B． C． D．
【考点】切线的性质；等腰直角三角形；扇形面积的计算
【分析】连接，利用切线的性质和等腰直角三角形的性质求出的值，再分别计算出扇形的面积和等腰三角形的面积，用三角形的面积减去扇形的面积即可得到阴影部分的面积．
【解答】解：连接，如图：

是圆的切线，
，
∵△ABC是等腰直角三角形，
，
，
图中阴影部分的面积

．
故选：A．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了扇形的面积和等腰直角三角形的性质．
32.（2020•重庆B卷16/26）如图，在菱形中，对角线，交于点，，，以点为圆心，长为半径画弧，分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为　　．（结果保留

【考点】菱形的性质；等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算
【分析】由菱形的性质可得，，，，，可证△BEO，△DFO是等边三角形，由等边三角形的性质可求，由扇形的面积公式和面积和差关系可求解．
【解答】解：如图，设连接以点为圆心，长为半径画弧，分别与，相交于，，连接，，

四边形是菱形，，
，，，，，
∴△ABD是等边三角形，
，，
，
以点为圆心，长为半径画弧，
，
∴△BEO，△DFO是等边三角形，
，
，
阴影部分的面积

，
故答案为：．
【点评】本题考查的是扇形面积计算，菱形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．