专题18 三角形（学案）

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2021年中考数学一轮专题复习
学案18 三角形

中考命题说明



考点
课标要求
考查角度
1
三角形的有关概念
①了解三角形的有关概念（内角、外角、中线、高、角平分线），理解三角形形成的条件，会画出任意三角形的角平分线、中线和高，了解三角形的稳定性；②掌握三角形的内角和定理及推论；③了解三角形重心的概念．
常以选择题、填空题的形式考查三角形的三边关系、三角形的内角和定理、外角与内角的关系以及三角形的中位线等知识．
2
全等三角形
了解全等三角形的概念，探索并掌握两个三角形全等的条件和性质．
常以选择题、填空题、证明题的形式考查三角形全等的判定和性质，近年来全等类开放性、探索性试题是中考命题的热点．
3
等腰三角形
了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理．探索并掌握等腰三角形的判定定理．探索等边三角形的性质定理及判定定理．
常以选择题、填空题、解答题的形式考查．
4
直角三角形
了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理．掌握有两个角互余的三角形是直角三角形．探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题．
常以选择题、填空题、解答题的形式考查．

知识点1：三角形的有关概念


知识点梳理

1. 三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾 顺次相接 所组成的图形，叫做三角形．
2. 三角形中的主要线段：
（1）三角形的中线：连接三角形的一个顶点和它对边 中点 所得到的线段，叫做三角形这边上的中线．
（2）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，连接这个顶点和 垂足 的线段，叫做三角形这边上的高线（简称三角形的高）．
（3）三角形的角平分线：连接三角形的一个顶点和这个 角的平分线 与对边交点的线段，叫做三角形的角平分线．
（4）三角形中的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半．
3. 三角形的边之间关系：
（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边．
推论：三角形的两边之差小于第三边．
（2）三角形三边关系定理及推论的作用：
①判断三条已知线段能否组成三角形．
②当已知两边时，可确定第三边的范围．
③证明线段不等关系．
【温馨提示】三角形的三边关系是判断三条线段能否构成三角形的依据，并且还可以利用三边关系列出不等式求某些量的取值范围．
4. 三角形的角之间关系：
（1）三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．
推论：
①直角三角形的两个锐角互余．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和．
③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
（2）三角形的外角和等于 360° ；
5. 三角形的边与角之间的关系：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角．
6. 三角形的分类：
按边分：

按角分：

典型例题

【例1】（2020•北京15/28）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为：S△ABC S△ABD（填“＞”，“＝”或“＜”）．

【考点】三角形的面积．
【答案】见试题解答内容
【分析】分别求出△ABC的面积和△ABD的面积，即可求解．
【解答】解：∵S△ABC＝×2×4＝4，S△ABD＝2×5﹣×5×1﹣×1×3﹣×2×2＝4，
∴S△ABC＝S△ABD，
故答案为：＝．
【点评】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是本题的关键．
【例2】（2020•广东6/25）已知△ABC的周长为16，点D，E，F分别为△ABC三条边的中点，则△DEF的周长为（ ）
A．8 B． C．16 D．4
【考点】三角形中位线定理
【分析】根据中位线定理可得，，，继而结合△ABC的周长为16，可得出△DEF的周长．
【解答】解：∵D、E、F分别为△ABC三边的中点，
∴DE、DF、EF都是△ABC的中位线，
∴，，，
故△DEF的周长．
故选：A．

【点评】此题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，难度一般．
【例3】（2020•宁夏4/26）如图摆放的一副学生用直角三角板，∠F=30°，∠C=45°，AB与DE相交于点G，当EF∥BC时，∠EGB的度数是（ ）

A．135° B．120° C．115° D．105°
【考点】平行线的性质
【分析】过点G作GH∥BC∥EF，则有∠HGB =∠B，∠HGE=∠E，又因为△DEF和△ABC都是特殊直角三角形，∠F=30°，∠C=45°，可以得到∠E=60°，∠B =45°，有∠EGB =∠HGE +∠HGB即可得出答案．
【解答】解：过点G作HG∥BC，

∵EF∥BC，
∴GH∥BC∥EF，
∴∠HGB =∠B，∠HGE=∠E，
∵在Rt△DEF和Rt△ABC中，∠F=30°，∠C=45°，
∴∠E=60°，∠B =45°
∴∠HGB =∠B =45°，∠HGE=∠E=60°
∴∠EGB =∠HGE +∠HGB =60°+45°=105°
故∠EGB的度数是105°，
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和定理，其中平行线的性质为：两直线平行，内错角相等；三角形内角和定理为：三角形的内角和为180°；其中正确作出辅助线是解本题的关键．
【例4】（2020•包头5/26）如图，∠ACD是△ABC的外角，CE∥AB．若∠ACB＝75°，∠ECD＝50°，则∠A的度数为（　　）

A．50° B．55° C．70° D．75°
【考点】平行线的性质；三角形的外角性质．
【答案】B
【分析】先根据平角求出∠ACE，再根据平行线的性质得出∠A＝∠ACE，代入求出即可．
【解答】解：∵∠ACB＝75°，∠ECD＝50°，
∴∠ACE＝180°﹣∠ACB﹣∠ECD＝55°，
∵AB∥CE，
∴∠A＝∠ACE＝55°，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的外角性质和平行线的性质，能求出∠A＝∠ACE是解此题的关键．
知识点2： 全等三角形


知识点梳理

1. 全等三角形：能够完全 重合 的两个三角形叫全等三角形．
2. 三角形全等的判定：
三角形全等的判定定理：
（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）．
（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）．
（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）．
直角三角形全等的判定：
对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，除了有一般三角形全等的判定方法，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”） ．
3. 全等三角形的性质：全等三角形的 对应边 相等， 对应角 相等．
典型例题

【例5】（2020•吉林18/26）如图，在△ABC中，AB＞AC，点D在边AB上，且BD=CA，过点D作DE∥AC，并截取DE=AB，且点C，E在AB同侧，连接BE．求证：△DEB≌△ABC．

【考点】全等三角形的判定
【分析】由DE∥AC，根据平行线的性质得出∠EDB=∠A，又BD=CA，DE=AB，利用SAS即可证明△DEB≌△ABC．
【解答】证明：∵DE∥AC，
∴∠EDB=∠A．
在△DEB与△ABC中，
，
∴△DEB≌△ABC（SAS）．
【点评】本题考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．
【例6】（2020•江西11/23）如图，AC平分∠DCB，CB=CD，DA的延长线交BC于点E，若∠EAC =49°，则∠BAE的度数为 ．

【考点】全等三角形的判定与性质
【分析】证明△ABC≌△ADC得∠D+∠ACD=∠B+∠ACB=49°，进而根据三角形内角和定理得结果．
【解答】解：∵AC平分∠DCB，
∴∠BCA =∠DCA，
又∵CB=CD，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC （SAS），
∴∠B =∠D，
∴∠B+∠ACB=∠D+∠ACD，
∵∠CAE =∠D +∠ACD =49°，
∴∠B+∠ACB=49°，
∴∠BAE=180°-∠B -∠ACB -∠CAE=82°，
故答案为：82°．
【点评】本题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的性质与判定，三角形的内角和定理，三角形的外角定理，关键是证明三角形全等，求得∠B+∠ACB=49°．
知识点3： 等腰三角形


知识点梳理

1. 等腰三角形的性质：
（1）等腰三角形的性质定理及推论：
定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．
推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边．即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．
推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°．
（2）等腰三角形的其他性质：
①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°．
②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．
③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则．
④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°-2∠B，∠B=∠C=．
2. 等腰三角形的判定：
等腰三角形的判定定理及推论：
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
3. 等边三角形：
（1）定义：三条边都相等的三角形是等边三角形．
（2）性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．
（3）判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
典型例题

【例7】（2020•青海14/28）等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（ ）
A．55°，55° B．70°，40°或70°，55°
C．70°，40° D．55°，55°或70°，40°
【考点】等腰三角形的性质
【分析】已知给出了一个内角是70°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还需用三角形内角和定理去验证每种情况是不是都成立．
【解答】解：分情况讨论：
（1）若等腰三角形的顶角为70°时，底角=(180°-70°)÷2= 55°；
（2）若等腰三角形的底角为70°时，它的另外一个底角为70°，顶角为180°-70°-70°=40°．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
【例8】（2020•广东20/25）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB、AC边上的点，BD=CE，∠ABE=∠ACD，BE与CD相交于点F．求证：△ABC是等腰三角形．

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定
【分析】先证△BDF≌△CEF（AAS），得出BF=CF，DF=EF，则BE=CD，再证△ABE≌△ACD（AAS），得出AB=AC即可．
【解答】证明：∵∠ABE=∠ACD，
∴∠DBF=∠ECF，
在△BDF和△CEF中，，
∴△BDF≌△CEF（AAS），
∴BF=CF，DF=EF，
∴BF+EF=CF+DF，
即BE=CD，
在△ABE和△ACD中，，
∴△ABE≌△ACD（AAS），
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定；证明三角形全等是解题的关键．
知识点4：直角三角形


知识点梳理

1. 直角三角形定义：有一个角是直角的三角形叫作直角三角形．
2. 直角三角形的性质：
（1）直角三角形两锐角互余．
（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
3. 直角三角形的判定：
（1）两个内角互余的三角形是直角三角形．
（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
4. 勾股定理及逆定理：
（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2．
（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
典型例题

【例9】（2020•陕西6/25）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（ ）

A． B． C． D．
【考点】勾股定理
【分析】根据勾股定理计算AC的长，利用面积差可得三角形ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：由勾股定理得：，
，
，
，
，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．
【例10】（2020•河北16/26）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ）

A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4
【考点】勾股定理的逆定理
【分析】根据题意可知，三块正方形的面积中，两个较小的面积之和等于最大的面积，再根据三角形的面积，分别计算出各个选项中围成的直角三角形的面积，比较大小，即可解答本题．
【解答】解：当选取的三块纸片的面积分别是1，4，5时，围成的直角三角形的面积是，
当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，围成的直角三角形的面积是，
当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时，围成的三角形不是直角三角形，
当选取的三块纸片的面积分别是2，2，4时，围成的直角三角形的面积是，
，
∴所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是2，3，5，
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．
巩固训练

1.（2019·北京市10/28）如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC的面积约为　 cm2．（结果保留一位小数）

2.如图，已知△ABC，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成面积相等的两部分．（保留作图痕迹，不写作法）

3.（2020•吉林5/26）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的大小为（ ）

A． B． C． D．
4.（2020•江西4/23）如图，，，则下列结论错误的是（ ）

A．AB∥CD B． C． D．
5.（2020•北京3/28）如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（　　）

A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠1＞∠4+∠5 D．∠2＜∠5
6.（2019•赤峰13/26）如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于点F．若∠A＝35°，∠D＝15°，则∠ACB的度数为（　　）

A．65° B．70° C．75° D．85°
7.（2020•陕西17/25）如图，已知△，，．请用尺规作图法，在边上求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法，答案不唯一）

8.（2019•呼伦贝尔•兴安盟4/26）如图，已知，点、分别在线段、上，与相交于点，添加以下哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（ ）

A． B． C． D．
9.（2019•呼和浩特12/25）下面三个命题：①底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等；②两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；③斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等，其中正确的命题的序号为　 　．
10.（2020•兴安盟•呼伦贝尔10/26）如图，，的垂直平分线交于点，若，则的度数是　　

A． B． C． D．
11.（2020•青海27/28）在△中，，交的延长线于点．

特例感知：
（1）将一等腰直角三角尺按图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为，一条直角边与重合，另一条直角边恰好经过点．通过观察、测量与的长度，得到．请给予证明．
猜想论证：
（2）当三角尺沿方向移动到图2所示的位置时，一条直角边仍与边重合，另一条直角边交于点，过点作垂足为．此时请你通过观察、测量、与的长度，猜想并写出、与之间存在的数量关系，并证明你的猜想．
联系拓展：
（3）当三角尺在图2的基础上沿方向继续移动到图3所示的位置（点在线段上，且点与点不重合）时，请你判断（2）中的猜想是否仍然成立？（不用证明）
12.（2020•新疆兵团9/23）如图，在△ABC中，，是的中点，过点作的平行线交于点，作的垂线交于点，若，且△DFE的面积为1，则的长为　　

A． B．5 C． D．10
13.（2020•赤峰8/26）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝8，BC＝14，则EF的长是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
14.（2020•北京27/28）在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线AC上一动点，连接DE．过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．
（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设AE＝a，BF＝b，求EF的长（用含a，b的式子表示）；
（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．

15.（2020•青海7/28）已知，，为△的三边长．，满足，且为方程的解，则△的形状为 三角形．
16.（2020•福建5/25）如图，是等腰三角形的顶角平分线，，则等于　　

A．10 B．5 C．4 D．3
17.（2020•北京14/28）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上（不与点B，C重合）．只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD，这个条件可以是 （写出一个即可）．

18.（2019·重庆市20/26）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．
（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数；
（2）求证：FB＝FE．

19.（2018·包头8/26）如图，在△ABC中，AB＝AC，△ADE的顶点D，E分别在BC，AC上，且∠DAE＝90°，AD＝AE．若∠C+∠BAC＝145°，则∠EDC的度数为（　　）

A．17.5° B．12.5° C．12° D．10°
20.（2019•呼伦贝尔•兴安盟9/26）如图，是△ABC的角平分线，是的垂直平分线，，，则的长为　　

A． B．6 C．5 D．4
21.（2020•通辽16/26）如图，在△ABC中，，，点在斜边上，以为直角边作等腰直角三角形，，则，，三者之间的数量关系是　 ．

22.（2020•鄂尔多斯7/24）在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝8，BC＝6，分别以A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O，若点O是AC的中点，则CD的长为（　　）

A．4 B．2 C．6 D．8
23.（2020•赤峰7/26）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A'B'C'，则四边形ABC'A'的面积是（　　）

A．15 B．18 C．20 D．22
24.（2020•上海17/25）如图，在△中，，，，点在边上，，联结．如果将△沿直线翻折后，点的对应点为点，那么点到直线的距离为　 ．

25.（2020•河南10/23）如图，在△中，，，分别以点，为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点，连接，，则四边形的面积为　　

A． B．9 C．6 D．
26.（2020•宁夏16/26）2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图，且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为，较长直角边为．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为 ．

27.（2020•重庆A卷11/26）如图，三角形纸片，点是边上一点，连接，把△ABD沿着翻折，得到△AED，与交于点，连接交于点．若，，，△ADG的面积为2，则点到的距离为（ ）

A． B． C． D．
28.（2020•重庆B卷11/26）如图，在△中，，，，将△沿直线翻折至△所在的平面内，得△．过点作，使，与的延长线交于点，连接，则线段的长为　　

A． B．3 C． D．4
29.（2019·重庆市12/26）如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连结BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC'，DC′与AB交于点E，连结AC'，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC′的距离为（　　）

A． B． C． D．
30.（2020•山西20/23）阅读与思考
如图是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．
年月日星期日
没有直角尺也能作出直角
今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线，现根据木板的情况，要过上的一点，作出的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？
办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在上量出，然后分别以，为圆心，以与为半径画圆弧，两弧相交于点，作直线，则必为．

办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出，两点，然后把木棒斜放在木板上，使点与点重合，用铅笔在木板上将点对应的位置标记为点，保持点不动，将木棒绕点旋转，使点落在上，在木板上将点对应的位置标记为点．然后将延长，在延长线上截取线段，得到点，作直线，则．
我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？
任务：
（1）填空：“办法一”依据的一个数学定理是 ；
（2）根据“办法二”的操作过程，证明；
（3）①尺规作图：请在图③的木板上，过点作出的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法）；
②说明你的作法所依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）．
31.（2019·河北省19/26）勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图（单位：km）．笔直铁路经过A，B两地．
（1）A，B间的距离为 km；
（2）计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间的距离为 km．

32.（2019·河北省21/26）已知：整式A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0．
尝试 化简整式A．
发现 A＝B2，求整式B．
联想 由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，当n＞1时，n2﹣1，2n，B为直角三角形的三边长，如图．填写下表中B的值：

直角三角形三边
n2﹣1
2n
B
勾股数组Ⅰ
/
8
　17　
勾股数组Ⅱ
35
/
　37　
33.（2019·河南省9/23）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3．分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC的中点，则CD的长为（　　）

A． B．4 C．3 D．
34.（2019·通辽15/26）腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为6或 ．
35.（2019·北京市12/28）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝ °（点A，B，P是网格线交点）．

36.（2019•呼和浩特18/25）如图，在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．
（1）若a＝6，b＝8，c＝12，请直接写出∠A与∠B的和与∠C的大小关系；
（2）求证：△ABC的内角和等于180°；
（3）若＝，求证：△ABC是直角三角形．
巩固训练解析

1.（2019·北京市10/28）如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC的面积约为　 cm2．（结果保留一位小数）

【考点】三角形的面积．
【分析】过点C作CD⊥AB的延长线于点D，测量出AB，CD的长，再利用三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．
【解答】解：过点C作CD⊥AB的延长线于点D，如图所示．
经过测量，AB＝2.2cm，CD＝1.7cm，
∴S△ABC＝AB•CD＝×2.2×1.7≈1.9（cm2）．
故答案为：1.9．

【点评】本题考查了三角形的面积，牢记三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半是解题的关键．
2.如图，已知△ABC，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成面积相等的两部分．（保留作图痕迹，不写作法）

【考点】作图—复杂作图．
【分析】作BC边上的中线，即可把△ABC分成面积相等的两部分．
【解答】解：如图，直线AD即为所求：

【点评】此题主要考查三角形中线的作法，同时要掌握若两个三角形等底等高，则它们的面积相等．
3.（2020•吉林5/26）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的大小为（ ）

A． B． C． D．
【考点】三角形的外角性质
【分析】先根据直角三角板的性质得出的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：如图所示，

，，
，
，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解答此题的关键．
4.（2020•江西4/23）如图，，，则下列结论错误的是（ ）

A．AB∥CD B． C． D．
【考点】平行线的判定；三角形的外角性质
【分析】依据平行线的判定与性质，以及三角形外角性质，即可得出结论．
【解答】解：，
∴AB∥CD，故A选项正确，
又，
，
，故B选项正确，
是△CGF的外角，
，故C选项错误，
，
，故D选项正确，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，以及三角形外角性质，解题时注意：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
5.（2020•北京3/28）如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（　　）

A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠1＞∠4+∠5 D．∠2＜∠5
【考点】对顶角、邻补角；三角形的外角性质．
【答案】A
【分析】根据对顶角定义和外角的性质逐个判断即可．
【解答】解：A．∵∠1和∠2是对顶角，
∴∠1＝∠2，
故A正确；
B．∵∠2是△AOD的外角，
∴∠2＞∠3，
故B错误；
C．∵∠1＝∠4+∠5，
故③错误；
D．∵∠2是△BOC的外角，
∴∠2＞∠5；
故D错误；
故选：A．
【点评】本题主要考查了对顶角的定义和外角的性质，能熟记对顶角的定义是解此题的关键．
6.（2019•赤峰13/26）如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于点F．若∠A＝35°，∠D＝15°，则∠ACB的度数为（　　）

A．65° B．70° C．75° D．85°
【考点】三角形内角和定理．
【分析】根据三角形外角与内角的关系及三角形内角和定理解答．
【解答】解：∵DE⊥AB，∠A＝35°
∴∠AFE＝∠CFD＝55°，
∴∠ACB＝∠D+∠CFD＝15°+55°＝70°．
故选：B．
【点评】此题考查三角形外角与内角的关系：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．三角形内角和定理：三角形的三个内角和为180°．
7.（2020•陕西17/25）如图，已知△，，．请用尺规作图法，在边上求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法，答案不唯一）

【考点】作图基本作图
【分析】根据尺规作图法，作一个角等于已知角，在边上求作一点，使即可，或作的垂直平分线交于点
【解答】解：如图，点即为所求．

【点评】本题考查了作图基本作图，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
8.（2019•呼伦贝尔•兴安盟4/26）如图，已知，点、分别在线段、上，与相交于点，添加以下哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（ ）

A． B． C． D．
【考点】全等三角形的判定
【分析】根据全等三角形的判定定理判断．
【解答】解：A、当时，利用ASA定理可以判定△ABE≌△ACD；
B、当时，利用SAS定理可以判定△ABE≌△ACD；
C、当时，得到，利用SAS定理可以判定△ABE≌△ACD；
D、当时，不能判定△ABE≌△ACD．
故选：D．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
9.（2019•呼和浩特12/25）下面三个命题：①底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等；②两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；③斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等，其中正确的命题的序号为　 　．
【解答】解：①底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等；正确；
②两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；正确；
③斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等；不正确；
故答案为：①②．
10.（2020•兴安盟•呼伦贝尔10/26）如图，，的垂直平分线交于点，若，则的度数是　　

A． B． C． D．
【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【分析】根据等腰三角形的性质得到，再根据垂直平分线的性质求出，从而可得结果．
【解答】解：，，
，
垂直平分，
，
，
，
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相应的性质定理．
11.（2020•青海27/28）在△中，，交的延长线于点．

特例感知：
（1）将一等腰直角三角尺按图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为，一条直角边与重合，另一条直角边恰好经过点．通过观察、测量与的长度，得到．请给予证明．
猜想论证：
（2）当三角尺沿方向移动到图2所示的位置时，一条直角边仍与边重合，另一条直角边交于点，过点作垂足为．此时请你通过观察、测量、与的长度，猜想并写出、与之间存在的数量关系，并证明你的猜想．
联系拓展：
（3）当三角尺在图2的基础上沿方向继续移动到图3所示的位置（点在线段上，且点与点不重合）时，请你判断（2）中的猜想是否仍然成立？（不用证明）
【考点】三角形综合题
【分析】（1）证明△FAB≌△GAC即可解决问题．
（2）结论：．利用面积法证明即可．
（3）结论不变，证明方法类似（2）．
【解答】（1）证明：如图1中，

，，，
∴△FAB≌△GAC（AAS），
．
（2）解：结论：．
理由：如图2中，连接．

，，，，
，
，
．
（3）解：结论不变：．
理由：如图3中，连接．

，，，，
，
，
．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用面积法证明线段之间的关系，属于中考常考题型．
12.（2020•新疆兵团9/23）如图，在△ABC中，，是的中点，过点作的平行线交于点，作的垂线交于点，若，且△DFE的面积为1，则的长为　　

A． B．5 C． D．10
【考点】三角形中位线定理；三角形的面积
【分析】过作于，根据已知条件得到，求得，求得，根据三角形的面积公式得到，得到，求得（负值舍去），根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：过作于，

是的中点，
，
，
，
，
，
，，
，
，
∵△DFE的面积为1，
，
，
，
，
，
，
，
（负值舍去），
，
．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形中位线定理，三角形的面积的计算，勾股定理，平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
13.（2020•赤峰8/26）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝8，BC＝14，则EF的长是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】三角形中位线定理．有
【答案】B
【分析】根据三角形中位线定理和直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵BC＝14，
∴DE＝BC＝7，
∵∠AFB＝90°，AB＝8，
∴DF＝AB＝4，
∴EF＝DE﹣DF＝7﹣4＝3，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
14.（2020•北京27/28）在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线AC上一动点，连接DE．过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．
（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设AE＝a，BF＝b，求EF的长（用含a，b的式子表示）；
（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．

【考点】全等三角形的判定与性质．有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由三角形的中位线定理得DE∥BC，DE＝BC，进而证明四边形CEDF是矩形得DE＝CF，得出CF，再根据勾股定理得结果；
（2）过点B作BM∥AC，与ED的延长线交于点M，连接MF，证明△ADE≌△BDM得AE＝BM，DE＝DM，由垂直平分线的判定定理得EF＝MF，进而根据勾股定理得结论．
【解答】解：（1）∵D是AB的中点，E是线段AC的中点，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DEC＝90°，
∵DF⊥DE，
∴∠EDF＝90°，
∴四边形CEDF是矩形，
∴DE＝CF＝BC，
∴CF＝BF＝b，
∵CE＝AE＝a，
∴EF＝；
（2）AE2+BF2＝EF2．
证明：过点B作BM∥AC，与ED的延长线交于点M，连接MF，

则∠AED＝∠BMD，∠CBM＝∠ACB＝90°，
∵D点是AB的中点，
∴AD＝BD，
在△ADE和△BDM中，
，
∴△ADE≌△BDM（AAS），
∴AE＝BM，DE＝DM，
∵DF⊥DE，
∴EF＝MF，
∵BM2+BF2＝MF2，
∴AE2+BF2＝EF2．
【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，垂直平分线的判定，关键在于构造全等三角形．
15.（2020•青海7/28）已知，，为△的三边长．，满足，且为方程的解，则△的形状为　等腰　三角形．
【考点】等腰三角形的判定；含绝对值符号的一元一次方程；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：绝对值
【分析】利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出，的值，进而利用三角形三边关系得出的值，进而判断出其形状．
【解答】解：，
，，
解得：，，
为方程的解，
，
解得：或2，
、、为△的三边长，，
不合题意，舍去，
，
，
∴△是等腰三角形，
故答案为：等腰．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定，三角形三边关系以及绝对值的性质和偶次方的性质，得出的值是解题关键．
16.（2020•福建5/25）如图，是等腰三角形的顶角平分线，，则等于　　

A．10 B．5 C．4 D．3
【考点】等腰三角形的性质
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可求解．
【解答】解：是等腰三角形的顶角平分线，，
．
故选：B．
【点评】考查了等腰三角形的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
17.（2020•北京14/28）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上（不与点B，C重合）．只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD，这个条件可以是　BD＝CD　（写出一个即可）．

【考点】全等三角形的判定；等腰三角形的性质．有
【答案】见试题解答内容
【分析】由题意可得∠ABC＝∠ACD，AB＝AC，即添加一组边对应相等，可证△ABD与△ACD全等．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ABD＝∠ACD，
添加BD＝CD，
∴在△ABD与△ACD中
，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
故答案为：BD＝CD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键．
18.（2019·重庆市20/26）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．
（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数；
（2）求证：FB＝FE．

【考点】平行线的性质；等腰三角形的性质．
【分析】（1）利用等腰三角形的三线合一的性质证明∠ADB＝90°，再利用等腰三角形的性质求出∠ABC即可解决问题．
（2）只要证明∠FBE＝∠FEB即可解决问题．
【解答】（1）解：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵∠C＝36°，
∴∠ABC＝36°，
∵BD＝CD，AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣36°＝54°．
（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，
∵EF∥BC，
∴∠FEB＝∠CBE，
∴∠FBE＝∠FEB，
∴FB＝FE．

【点评】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
19.（2018·包头8/26）如图，在△ABC中，AB＝AC，△ADE的顶点D，E分别在BC，AC上，且∠DAE＝90°，AD＝AE．若∠C+∠BAC＝145°，则∠EDC的度数为（　　）

A．17.5° B．12.5° C．12° D．10°
【考点】等腰直角三角形．有
【分析】由AB＝AC知∠B＝∠C，据此得2∠C+∠BAC＝180°，结合∠C+∠BAC＝145°可知∠C＝35°，根据∠DAE＝90°、AD＝AE知∠AED＝45°，利用∠EDC＝∠AED﹣∠C可得答案．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B+∠C+∠BAC＝2∠C+∠BAC＝180°，
又∵∠C+∠BAC＝145°，
∴∠C＝35°，
∵∠DAE＝90°，AD＝AE，
∴∠AED＝45°，
∴∠EDC＝∠AED﹣∠C＝10°，
故选：D．
【点评】本题主要考查等腰直角三角形，解题的关键是掌握等腰直角三角形和等腰三角形的性质及三角形的内角和定理、外角的性质．
20.（2019•呼伦贝尔•兴安盟9/26）如图，是△ABC的角平分线，是的垂直平分线，，，则的长为　　

A． B．6 C．5 D．4
【考点】含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质；角平分线的性质
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出，根据直角三角形的性质解答．
【解答】解：是的垂直平分线，
，
，
是△ABC的角平分线，
，
，
，，
，
，
故选：B．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
21.（2020•通辽16/26）如图，在△ABC中，，，点在斜边上，以为直角边作等腰直角三角形，，则，，三者之间的数量关系是　　．

【考点】等腰直角三角形；勾股定理；全等三角形的判定与性质
【分析】连接，由“SAS”可证△ACP≌△BCQ，可得，，可得，由勾股定理可得，即可求解．
【解答】解：如图，连接，

，，
，
∵△PCQ是等腰直角三角形，
，，，
，
又，
∴△ACP≌△BCQ （SAS），
，，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，证明是本题的关键．
22.（2020•鄂尔多斯7/24）在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝8，BC＝6，分别以A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O，若点O是AC的中点，则CD的长为（　　）

A．4 B．2 C．6 D．8
【考点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；作图—基本作图．
【答案】A
【分析】连接FC，根据基本作图，可得OE垂直平分AC，由垂直平分线的性质得出AF＝FC．再根据ASA证明△FOA≌△BOC，那么AF＝BC＝6，等量代换得到FC＝AF＝6，利用线段的和差关系求出FD＝AD﹣AF＝2．然后在Rt△FDC中利用勾股定理即可求出CD的长．
【解答】解：如图，连接FC，

由题可得，点E和点O在AC的垂直平分线上，
∴EO垂直平分AC，
∴AF＝FC，
∵AD∥BC，
∴∠FAO＝∠BCO，
在△FOA与△BOC中，
，
∴△FOA≌△BOC（ASA），
∴AF＝BC＝6，
∴FC＝AF＝6，FD＝AD﹣AF＝2．
在△FDC中，∵∠D＝90°，
∴CD2+DF2＝FC2，
即CD2+22＝62，
解得CD＝4．
故选：A．
【点评】本题考查了基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质的综合运用．线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，确定EO垂直平分AC是解决问题的关键．
23.（2020•赤峰7/26）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A'B'C'，则四边形ABC'A'的面积是（　　）

A．15 B．18 C．20 D．22
【考点】勾股定理；平移的性质．有
【答案】A
【分析】根据平移的性质得到A′B′＝AB＝5，A′C′＝AC＝3，∠A′C′B′＝∠ACB＝90°，A′A＝CC′＝3，由勾股定理得到B′C′＝＝4，根据梯形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A'B'C'，
∴A′B′＝AB＝5，A′C′＝AC＝3，∠A′C′B′＝∠ACB＝90°，A′A＝CC′＝3，
∴B′C′＝＝4，AC∥A′C′，
∴四边形ACC′A′是矩形，
∴四边形ABC'A'的面积＝（AA′+BC′）•AC＝×（3+4+3）×3＝15，
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理，梯形的面积，平移的性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行计算的能力，题目比较典型，但难度不大．
24.（2020•上海17/25）如图，在△中，，，，点在边上，，联结．如果将△沿直线翻折后，点的对应点为点，那么点到直线的距离为　　．

【考点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【分析】如图，过点作于．首先证明△是等边三角形，解直角三角形求出即可．
【解答】解：如图，过点作于．

，，
，
，，
∴△是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
到直线的距离为，
故答案为．
【点评】本题考查翻折变换，勾股定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
25.（2020•河南10/23）如图，在△中，，，分别以点，为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点，连接，，则四边形的面积为　　

A． B．9 C．6 D．
【考点】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质
【分析】连接交于，根据已知条件得到垂直平分，求得，，根据等腰三角形的性质得到，根据等边三角形的性质得到，求得，于是得到结论．
【解答】解：连接交于，

，，
垂直平分，
，，
，
，
，
∴△是等边三角形，
，
，，
，
，
四边形的面积，
故选：D．
【点评】本题考查了含角的直角三角形，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
26.（2020•宁夏16/26）2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图，且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为，较长直角边为．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为　27　．

【考点】勾股定理的证明；全等图形；数学常识
【分析】根据题意得出，，图2中大正方形的面积为：，然后利用完全平方公式的变形求出即可．
【解答】解：由题意可得在图1中：，，
图2中大正方形的面积为：，

，

，
，
故答案为：27．
【点评】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟知完全平方式的形式是解题关键．
27.（2020•重庆A卷11/26）如图，三角形纸片，点是边上一点，连接，把△ABD沿着翻折，得到△AED，与交于点，连接交于点．若，，，△ADG的面积为2，则点到的距离为（ ）

A． B． C． D．
【考点】三角形的面积；翻折变换（折叠问题）
【分析】首先求出△ABD的面积．根据三角形的面积公式求出，设点到的距离为，根据，求出即可解决问题．
【解答】解：，
，
，
由翻折可知，△ADB≌△ADE，，
，，
，
，
，
，
设点到的距离为，则有，
，
故选：B．
【点评】本题考查翻折变换，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
28.（2020•重庆B卷11/26）如图，在△中，，，，将△沿直线翻折至△所在的平面内，得△．过点作，使，与的延长线交于点，连接，则线段的长为　　

A． B．3 C． D．4
【考点】翻折变换（折叠问题）
【分析】延长交于，由折叠的性质，，，由外角的性质可求，可得，由“”可证△≌△，可得，，利用等腰直角三角形的性质和直角三角形的性质可求解．
【解答】解：如图，延长交于，

，，
，
将△沿直线翻折，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
又，，
∴△≌△（SAS），
，，
，
，，
，，
，
，，
，
，，
，
故选：C．
【点评】本题考查了翻折的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
29.（2019·重庆市12/26）如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连结BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC'，DC′与AB交于点E，连结AC'，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC′的距离为（　　）

A． B． C． D．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，证△ADC'为等边三角形，利用解直角三角形求出DM＝1，C'M＝DM＝，BM＝2，在Rt△BMC'中，利用勾股定理求出BC'的长，在△BDC'中利用面积法求出DH的长．
【解答】解：如图，连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，

∵AD＝AC′＝2，D是AC边上的中点，
∴DC＝AD＝2，
由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，
∴DC＝DC'＝2，BC＝BC'，CM＝C'M，
∴AD＝AC′＝DC'＝2，
∴△ADC'为等边三角形，
∴∠ADC'＝∠AC'D＝∠C'AC＝60°，
∵DC＝DC'，
∴∠DCC'＝∠DC'C＝×60°＝30°，
在Rt△C'DM中，
∠DC'C＝30°，DC'＝2，
∴DM＝1，C'M＝DM＝，
∴BM＝BD﹣DM＝3﹣1＝2，
在Rt△BMC'中，
BC'＝＝＝，
∵S△BDC'＝BC'•DH＝BD•CM，
∴DH＝3×，
∴DH＝，
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，勾股定理等，解题关键是会通过面积法求线段的长度．
30.（2020•山西20/23）阅读与思考
如图是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．
年月日星期日
没有直角尺也能作出直角
今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线，现根据木板的情况，要过上的一点，作出的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？
办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在上量出，然后分别以，为圆心，以与为半径画圆弧，两弧相交于点，作直线，则必为．

办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出，两点，然后把木棒斜放在木板上，使点与点重合，用铅笔在木板上将点对应的位置标记为点，保持点不动，将木棒绕点旋转，使点落在上，在木板上将点对应的位置标记为点．然后将延长，在延长线上截取线段，得到点，作直线，则．
我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？
任务：
（1）填空：“办法一”依据的一个数学定理是　勾股定理的逆定理　；
（2）根据“办法二”的操作过程，证明；
（3）①尺规作图：请在图③的木板上，过点作出的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法）；
②说明你的作法所依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）．
【考点】勾股定理的逆定理；线段垂直平分线的性质
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
（2）根据直角三角形的性质即可得到结论；
（3）根据线段垂直平分线的性质即可得到结论．
【解答】解：（1），，，
，
，
故“办法一”依据的一个数学定理是勾股定理的逆定理；
故答案为：勾股定理的逆定理；
（2）由作图方法可知，，，
，，
，
，
，
即；
（3）①如图③所示，直线即为所求；
②答案不唯一，到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，线段垂直平分线的性质，正确的理解题意是解题的关键．
31.（2019·河北省19/26）勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图（单位：km）．笔直铁路经过A，B两地．
（1）A，B间的距离为　20　km；
（2）计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间的距离为　13　km．

【考点】勾股定理的应用．
【分析】（1）由垂线段最短以及根据两点的纵坐标相同即可求出AB的长度；
（2）根据A、B、C三点的坐标可求出CE与AE的长度，设CD＝x，根据勾股定理即可求出x的值．
【解答】解：（1）由A、B两点的纵坐标相同可知：AB∥x轴，
∴AB＝12﹣（﹣8）＝20；
（2）过点C作l⊥AB于点E，连接AC，作AC的垂直平分线交直线l于点D，

由（1）可知：CE＝1﹣（﹣17）＝18，
AE＝12，
设CD＝x，
∴AD＝CD＝x，
由勾股定理可知：x2＝（18﹣x）2+122，
∴解得：x＝13，
∴CD＝13，
故答案为：（1）20；（2）13；
【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是根据A、B、C三点的坐标求出相关线段的长度，本题属于中等题型．
32.（2019·河北省21/26）已知：整式A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0．
尝试 化简整式A．
发现 A＝B2，求整式B．
联想 由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，当n＞1时，n2﹣1，2n，B为直角三角形的三边长，如图．填写下表中B的值：

直角三角形三边
n2﹣1
2n
B
勾股数组Ⅰ
/
8
　17　
勾股数组Ⅱ
35
/
　37　
【考点】幂的乘方与积的乘方；勾股数．
【分析】先根据整式的混合运算法则求出A，进而求出B，再把n的值代入即可解答．
【解答】解：A＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2，
∵A＝B2，B＞0，
∴B＝n2+1，
当2n＝8时，n＝4，∴n2+1＝42+1＝17；
当n2﹣1＝35时，n2+1＝37．
故答案为：17；37
【点评】本题考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
33.（2019·河南省9/23）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3．分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC的中点，则CD的长为（　　）

A． B．4 C．3 D．
【考点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；作图—基本作图．
【分析】连接FC，根据基本作图，可得OE垂直平分AC，由垂直平分线的性质得出AF＝FC．再根据ASA证明△FOA≌△BOC，那么AF＝BC＝3，等量代换得到FC＝AF＝3，利用线段的和差关系求出FD＝AD﹣AF＝1．然后在直角△FDC中利用勾股定理求出CD的长．
【解答】解：如图，连接FC，则AF＝FC．

∵AD∥BC，
∴∠FAO＝∠BCO．
在△FOA与△BOC中，
，
∴△FOA≌△BOC（ASA），
∴AF＝BC＝3，
∴FC＝AF＝3，FD＝AD﹣AF＝4﹣3＝1．
在△FDC中，∵∠D＝90°，
∴CD2+DF2＝FC2，
∴CD2+12＝32，
∴CD＝．
故选：A．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度适中．求出CF与DF是解题的关键．
34.（2019·通辽15/26）腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为6或或．
【考点】等腰三角形的性质；勾股定理．
【分析】根据不同边上的高为4分类讨论即可得到本题的答案．
【解答】解：①如图1

当AB＝AC＝5，AD＝4，
则BD＝CD＝3，
∴底边长为6；
②如图2．

当AB＝AC＝5，CD＝4时，
则AD＝3，
∴BD＝2，
∴BC＝＝，
∴此时底边长为；
③如图3：

当AB＝AC＝5，CD＝4时，
则AD＝＝3，
∴BD＝8，
∴BC＝，
∴此时底边长为．
故答案为：6或或．
【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是分三种情况分类讨论．
35.（2019·北京市12/28）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝　45　°（点A，B，P是网格线交点）．

【考点】三角形的外角性质；勾股定理；勾股定理的逆定理．
【分析】延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得到PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，求得PD2+DB2＝PB2，于是得到∠PDB＝90°，根据三角形外角的性质即可得到结论．
【解答】解：延长AP交格点于D，连接BD，

则PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，
∴PD2+DB2＝PB2，
∴∠PDB＝90°，
∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°，
故答案为：45．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
36.（2019•呼和浩特18/25）如图，在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．
（1）若a＝6，b＝8，c＝12，请直接写出∠A与∠B的和与∠C的大小关系；
（2）求证：△ABC的内角和等于180°；
（3）若＝，求证：△ABC是直角三角形．

【解答】解：（1）∵在△ABC中，a＝6，b＝8，c＝12，
∴∠A+∠B＜∠C；
（2）如图，过点A作MN∥BC，

∵MN∥BC，
∴∠MAB＝∠B，∠NAC＝∠C（两直线平行，同位角相等），
∵∠MAB+∠BAC+∠NAC＝180°（平角的定义），
∴∠B+∠BAC+∠C＝180°（等量代换），
即：三角形三个内角的和等于180°；
（3）∵＝，
∴ac＝（a+b+c）（a﹣b+c）＝ [（a2+2ac+c2）﹣b2]，
∴2ac＝a2+2ac+c2﹣b2，
∴a2+c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形．