华师大版八年级下册第19章 矩形、菱形与正方形综合与测试习题

这是一份华师大版八年级下册第19章 矩形、菱形与正方形综合与测试习题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题(每小题3分，共30分)
(每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是正确的)
1.(2021·泸州)下列命题是真命题的是( B )
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOD的度数为( D )
A．30° B．60° C．90° D．120°
eq \(\s\up7(),\s\d5(第2题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第3题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第4题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第5题图))
3．如图，菱形ABCD的周长是20，对角线AC，BD相交于点O.若BD＝6，则菱形ABCD的面积是( C )
A．6 B．12 C．24 D．48
4．如图，将矩形纸片ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD相交于点E，若AB＝8，AD＝3，则图中阴影部分的周长为( D )
A．11 B．16 C．19 D．22
5．(2021·常德)如图，已知F，E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点，AE与DF交于点P.则下列结论成立的是( C )
A．BE＝ eq \f(1,2) AE B．PC＝PD
C．∠EAF＋∠AFD＝90° D．PE＝EC
6．(2021·德州)下列选项中能使▱ABCD成为菱形的是( B )
A．AB＝CD B．AB＝BC C．∠BAD＝90° D．AC＝BD
7．(2021·娄底)如图，点E，F在矩形ABCD的对角线BD所在的直线上，BE＝DF，则四边形AECF是( A )
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
eq \(\s\up7(),\s\d5(第7题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第8题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第9题图))
8．(2021·兰州)如图，将图1中的菱形纸片沿对角线剪成4个直角三角形，拼成如图2的四边形ABCD(相邻纸片之间不重叠，无缝隙).若四边形ABCD的面积为13，中间空白处的四边形EFGH的面积为1，直角三角形的两条直角边分别为a，b，则(a＋b)2＝( A )
A．25 B．24 C．13 D．12
9．如图，边长为2的正方形ABCD的顶点A在y轴上，顶点D在反比例函数y＝ eq \f(k,x) (x＞0)的图象上，已知点B的坐标是( eq \f(6,5) ， eq \f(11,5) )，则k的值为( C )
A．4 B．6 C．8 D．10
10．如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F.将△DEF沿EF折叠，点D恰好落在BE上的M点处，延长BC，EF交于点N，有下列四个结论：①DF＝CF；②BF⊥EN；③△BEN是等边三角形；④S△BEF＝3S△DEF.其中，正确的结论有( C )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
[点拨]①②④正确
eq \(\s\up7(),\s\d5(第10题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第11题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第12题图))
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．(2021·黑龙江)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件__∠ABC＝90°(答案不唯一)__，使平行四边形ABCD是矩形．
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，则图中五个小矩形的周长之和为__14__．
13．(2021·连云港)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AD，垂足为E，AC＝8，BD＝6，则OE的长为__ eq \f(12,5) __．
eq \(\s\up7(),\s\d5(第13题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第14题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第15题图))
14．(辽阳中考)如图，四边形ABCD是矩形，延长DA到点E，使AE＝DA，连结EB，点F1是CD的中点，连结EF1，BF1，得到△EF1B；点F2是CF1的中点，连结EF2，BF2，得到△EF2B；点F3是CF2的中点，连结EF3，BF3，得到△EF3B；…；按照此规律继续进行下去，若矩形ABCD的面积等于2，则△EFnB的面积为__ eq \f(2n＋1,2n) __．(用含正整数n的式子表示)
15．(2021·包头)如图，BD是正方形ABCD的一条对角线，E是BD上一点，F是CB延长线上一点，连结CE，EF，AF.若DE＝DC，EF＝EC，则∠BAF的度数为__22.5°__．
三、解答题(共75分)
16．(8分)(2021·益阳)如图，在矩形ABCD中，已知AB＝6，∠DBC＝30°，求AC的长．
解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝6，AC＝BD，OB＝OD＝ eq \f(1,2) BD，OC＝OA＝ eq \f(1,2) AC，∴OB＝OC＝OD＝OA，∵∠DBC＝30°，∴∠OBC＝∠OCB＝30°，∴∠DOC＝60°，∴△OCD是等边三角形，∴OC＝CD＝6，∴AC＝2OC＝12
17．(9分)(2021·恩施州)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且DE∥AC，AE∥BD，连结OE.求证：OE⊥AD.
证明：∵四边形ABCD为矩形，∴OA＝OD.∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE为平行四边形．∵OA＝OD，∴平行四边形AODE为菱形．∴OE⊥AD
18.(9分)如图，菱形ABCD中，作BE⊥AD，CF⊥AB，分别交AD，AB的延长线于点E，F.
(1)求证：AE＝BF；
(2)若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的值．
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AD∥BC，∴∠A＝∠CBF，∵BE⊥AD，CF⊥AB，∴∠AEB＝∠BFC＝90°，∴△AEB≌△BFC(AAS)，∴AE＝BF (2)∵E是AD中点，且BE⊥AD，∴直线BE为AD的垂直平分线，∴BD＝AB＝2
19．(9分)(黄冈中考)如图，四边形ABCD是正方形，E是CD边上任意一点，连结AE，作BF⊥AE，DG⊥AE，垂足分别为F，G.求证：BF－DG＝FG.
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠DAB＝90°，∵BF⊥AE，DG⊥AE，∴∠AFB＝∠AGD＝∠ADG＋∠DAG＝90°，∵∠DAG＋∠BAF＝90°，∴∠ADG＝∠BAF，在△BAF和△ADG中，∵ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠BAF＝∠ADG，,∠AFB＝∠DGA，,BA＝AD，)) ∴△BAF≌△ADG(AAS)，∴BF＝AG，AF＝DG，∵AG＝AF＋FG，∴BF＝AG＝DG＋FG，∴BF－DG＝FG
20．(9分)(2021·遂宁)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA，DC的延长线分别交于点E，F.
(1)求证：AE＝CF；
(2)请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由．
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，BE∥DF，∴∠E＝∠F，在△AOE和△COF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠E＝∠F，,∠AOE＝∠COF，,OA＝OC，)) ∴△AOE≌△COF(AAS)，∴AE＝CF (2)当EF⊥BD时，四边形BFDE是菱形，理由如下：
如图，连结BF，DE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，∵△AOE≌△COF，∴OE＝OF，∴四边形BFDE是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BFDE是菱形
21．(10分)(2021·青岛)如图，在▱ABCD中，E为CD边的中点，连结BE并延长，交AD的延长线于点F，延长ED至点G，使DG＝DE，分别连结AE，AG，FG.
(1)求证：△BCE≌△FDE；
(2)当BF平分∠ABC时，四边形AEFG是什么特殊四边形？请说明理由．
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DFE＝∠CBE，∵E为CD边的中点，∴DE＝CE，在△BCE和△FDE中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠BEC＝∠FED，,∠CBE＝∠DFE，,CE＝DE，)) ∴△BCE≌△FDE(AAS) (2)四边形AEFG是矩形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠AFB＝∠FBC，由(1)得：△BCE≌△FDE，∴BC＝FD，BE＝FE，∴FD＝AD，∵GD＝DE，∴四边形AEFG是平行四边形，∵BF平分∠ABC，∴∠FBC＝∠ABF，∴∠AFB＝∠ABF，∴AF＝AB，∵BE＝FE，∴AE⊥FE，∴∠AEF＝90°，∴平行四边形AEFG是矩形
22．(10分)如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上的一个动点，PE⊥CM，PF⊥BM，垂足分别为E，F.
(1)当矩形的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF为矩形？猜想并证明；
(2)在(1)的条件下，当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形，并证明．
解：(1)当矩形的长AD＝2AB时，四边形PEMF为矩形．证明如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB＝CD，∠A＝∠D＝90°.∵AD＝2AB，M是AD的中点，∴AB＝AM＝DM＝CD，∴△ABM和△DCM是等腰直角三角形，∴∠AMB＝∠DMC＝45°，∴∠BMC＝90°.∵PE⊥CM，PF⊥BM，∴∠PFM＝∠PEM＝90°，∴四边形PEMF为矩形
(2)当点P运动到BC的中点时，矩形PEMF变为正方形．证明如下：由(1)知∠AMB＝∠DMC＝45°，∴∠PBF＝90°－∠ABM＝45°，∠PCE＝90°－∠DCM＝45°，又∵∠PFB＝∠PEC＝90°，PB＝PC，∴△BPF≌△CPE(AAS)，∴PE＝PF，∴矩形PEMF为正方形
23．(11分)四边形ABCD是正方形，AC与BD相交于点O，点E，F是直线AD上两动点，且AE＝DF，CF所在直线与对角线BD所在直线交于点G，连结AG，直线AG交BE于点H.
(1)如图①，当点E，F在线段AD上时，①求证：∠DAG＝∠DCG；②猜想AG与BE的位置关系，并加以证明；
(2)如图②，在(1)的条件下，连结HO，试说明HO平分∠BHG；
(3)当点E，F运动到如图③所示的位置时，其他条件不变，请将图形补充完整，并直接写出∠BHO的度数．
解：(1)①易证△ADG≌△CDG(SAS)，∴∠DAG＝∠DCG ②AG⊥BE.理由：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝DC，∠BAD＝∠CDA＝90°，在△ABE和△DCF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AB＝DC，,∠BAE＝∠CDF，,AE＝DF，)) ∴△ABE≌△DCF(SAS)，∴∠ABE＝∠DCF，∵∠DAG＝∠DCG，∴∠DAG＝∠ABE，∵∠DAG＋∠BAG＝90°，∴∠ABE＋∠BAG＝90°，∴∠AHB＝90°，∴AG⊥BE
(2)由(1)可知AG⊥BE.如答图①所示，过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N，则四边形OMHN为矩形．∴∠MON＝90°，∠ANO＝∠BMO＝90°.又∵OA⊥OB，∴∠AON＝∠BOM.
在△AON和△BOM中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠ANO＝∠BMO，,∠AON＝∠BOM，,OA＝OB，)) ∴△AON≌△BOM(AAS).∴OM＝ON，∴矩形OMHN为正方形，∴HO平分∠BHG (3)将图形补充完整，如答图②所示，∠BHO＝45°.与(1)同理，可以证明AG⊥BE.过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N，与(2)同理，可以证明△AON≌△BOM，可得OMHN为正方形，所以HO平分∠BHG，∴∠BHO＝45°
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案