初中数学第19章 矩形、菱形与正方形综合与测试习题ppt课件

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1．如图，在▱ABCD中，E，F两点在对角线BD上运动(E，F两点不重合，且E点在F点的左侧)，且保持BE＝DF，连结AE，CF.请你猜想AE与CF有怎样的数量关系和位置关系，并对你的猜想加以证明．
解：AE＝CF，AE∥CF.证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠ABE＝∠CDF.
2．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若E，F是AC上两动点，并且E，F分别从A，C两点同时以2 cm/s的速度向终点C，A运动．(1)四边形DEBF是平行四边形吗？说明你的理由．
解：四边形DEBF是平行四边形．理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.
∵E，F是AC上两动点，并且E，F分别从A，C两点同时以2 cm/s的速度向终点C，A运动，∴AE＝CF，∴OE＝OF，∴四边形DEBF是平行四边形．
(2)若BD＝10 cm，AC＝18 cm，设运动时间为t s，t为何值时，以D，E，B，F为顶点的四边形为矩形？
解：根据题意得AE＝CF＝2t cm.∵以D，E，B，F为顶点的四边形是平行四边形，∴当EF＝BD时，以D，E，B，F为顶点的四边形为矩形，即AC－AE－CF＝BD或AE＋CF－AC＝BD，∴18－2t－2t＝10或2t＋2t－18＝10，解得t＝2或t＝7，∴当t为2或7时，以D，E，B，F为顶点的四边形为矩形．
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝20 cm，BC＝4 cm，点P从A开始沿折线A－B－C－D以4 cm/s的速度运动，点Q从C开始沿CD以1 cm/s的速度运动，如果点P，Q分别从A，C同时出发，当其中一点到达点D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t s，则t为何值时，四边形APQD是矩形？
解：根据题意得CQ＝t cm，AP＝4t cm，则BP＝(20－4t)cm.∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝∠B＝∠C＝90°，CD∥AB，∴只有CQ＝BP时，四边形APQD是矩形，即t＝20－4t，解得t＝4，∴当t＝4时，四边形APQD是矩形．
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝8 cm，点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C运动，点P、Q的速度都是1 cm/s.(1)在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多长时间后，四边形AQCP是菱形？
解：可能．设经过x s后，四边形AQCP是菱形，则DP＝x cm，CP＝AP＝AD－DP＝(8－x)cm.∵DP2＋CD2＝PC2，∴x2＋16＝(8－x)2，解得x＝3.即经过3 s后，四边形AQCP是菱形．
(2)分别求出菱形AQCP的周长和面积．
解：由(1)易得，菱形AQCP的边长为5 cm，∴菱形AQCP的周长＝5×4＝20(cm)，菱形AQCP的面积＝5×4＝20(cm2)．
5．如图，在边长为4的菱形ABCD中，BD＝4，E、F分别是AD、CD上的动点(包含端点)，且AE＋CF＝4，连结BE、EF、FB.(1)试探究BE与BF的数量关系，并证明你的结论；
解：BE＝BF.证明：∵四边形ABCD是边长为4的菱形，BD＝4，∴△ABD、△CBD是边长为4的等边三角形．∵AE＋CF＝4，∴CF＝4－AE＝AD－AE＝DE.∵BD＝BC＝4，∠BDE＝∠C，∴△BDE≌△BCF.∴BE＝BF.
(2)求EF的最大值．
解：∵△BDE≌△BCF，∴∠EBD＝∠FBC.∴∠EBD＋∠DBF＝∠FBC＋∠DBF.∴∠EBF＝∠DBC＝60°.∵BE＝BF，∴△BEF是等边三角形．∴EF＝BE＝BF.∴当动点E运动到点D或点A，即EF＝DC或EF＝AD时，EF最大，最大值为4.
6．在菱形ABCD中，∠B＝60°，动点E在边BC上，动点F在边CD上．(1)如图①，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；
证明：(1)连结AC.∵在菱形ABCD中，∠B＝60°，∴AB＝BC＝CD，∠BCD＝180°－∠B＝120°.∴△ABC是等边三角形．
又∵E是BC的中点，∴AE⊥BC.∵∠AEF＝60°，∴∠FEC＝90°－∠AEF＝30°.∴∠CFE＝180°－∠FEC－∠BCD＝180°－30°－120°＝30°.∴∠FEC＝∠CFE.∴EC＝CF.∴BE＝DF.
(2)如图②，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．
证明：连结AC.由(1)知△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ACB＝∠BAC＝∠EAF＝60°.∴∠BAE＝∠BAC－∠EAC＝∠EAF－∠EAC＝∠CAF.∵∠BCD＝120°，∠ACB＝60°，∴∠ACF＝60°＝∠B. ∴△ABE≌△ACF.∴AE＝AF.∴△AEF是等边三角形．
7．如图，在正方形ABCD中，E是边CD上一动点(点E不与点C，D重合)，连结BE，取BE的中点M，过点M作FG⊥BE交BC于点F，交AD于点G.(1)求证：BE＝FG.
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°.如图，过点G作GP⊥BC，垂足为P，则四边形ABPG是矩形，
(2)连结CM，若CM＝1，试求FG的长．
解：在Rt△BCE中，∵点M为BE的中点，∴易得BE＝2CM.∵CM＝1，∴FG＝BE＝2.
8．【中考·北京】如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点(不与A，B重合)，连结DE，点A关于直线DE的对称点为F，连结EF并延长交BC于点G，连结DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连结BH.(1)求证：GF＝GC；
(2)用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．
∴2∠3＋2∠2＝90°，∴∠2＋∠3＝45°，即∠EDG＝45°. ∵EH⊥DE，∴∠DEH＝90°，即△DEH是等腰直角三角形，∴∠AED＋∠BEH＝∠AED＋∠1＝90°，DE＝EH，∴∠1＝∠BEH. 在△DME和△EBH中，