数学七年级下册9.5 多项式的因式分解学案

第七讲：十字相乘及分组分解法

一、主要内容     

1、十字相乘法               2、首项系数不为1的十字相乘法        

3、分组分解法               4、添、拆项法

二、基本概念

1、十字相乘法

利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.

对于二次三项式，若存在 ，则

要点诠释：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号

（2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止.

1、将下列各式分解因式：

（1）；    （2）；      （3）

举一反三：

【变式1】分解因式：（1）；  （2）；    （3） 

【变式2】因式分解：m2n﹣5mn+6n.

2、首项系数不为1的十字相乘法

在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下：

　　按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即.

要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”

（2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.

1、将下列各式分解因式：

（1）；（2）

举一反三：【变式】分解因式：（1）；（2）；（3）；  

3、分组分解法

对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.

要点诠释：分组分解法分解因式常用的思路有：

1、先阅读下列材料，然后回答后面问题：

将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．能分组分解的多项式通常有四项或六项，一般的分组分解有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等．

如“2+2”分法：

ax+ay+bx+by=（ax+ay）+（bx+by）=a（x+y）+b（x+y）=（x+y）（a+b）

如“3+1”分法：

2xy+y2﹣1+x2=x2+2xy+y2﹣1=（x+y）2﹣1=（x+y+1）（x+y﹣1）

请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：

（1）分解因式：x2﹣y2﹣x﹣y；

（2）分解因式：45am2﹣20ax2+20axy﹣5ay2；

（3）分解因式：4a2+4a﹣4a2b﹣b﹣4ab+1．

举一反三：【变式】分解因式：

4、添、拆项法

把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.

添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法.

1、阅读理解：对于二次三项式x2+2ax+a2可以直接用公式法分解为（x+a）2的形式，但对于二次三项式x2+2ax﹣8a2，就不能直接用公式法了．我们可以在二次三项式x2+2ax﹣8a2中先加上一项a2，使其成为完全平方式，再减去a2这项，使整个式子的值不变，于是又：

x2+2ax﹣8a2=x2+2ax﹣8a2+a2﹣a2=（x2+2ax+a2）﹣8a2﹣a2

=（x+a）2﹣9a2=[（x+a）+3a][（x+a）﹣3]=（x+4a）（x﹣2a）

像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．

（1）请认真阅读以上的添（拆）项法，并用上述方法将二次三项式：x2+2ax﹣3a2分解因式．

（2）直接填空：请用上述的添项法将方程的x2﹣4xy+3y2=0化为（x﹣　  　）•（x﹣　  　）=0并直接写出y与x的关系式．（满足xy≠0，且x≠y）

（3）先化简﹣﹣，再利用（2）中y与x的关系式求值．

三、课堂讲解                            

1、将下列各式分解因式：

（1）；          （2）

（3）；       （4）.

2、分解因式：

3、分解因式：

4、分解因式：；

5、分解下列因式

(1)      (2)

6、分解因式：   

7、分解因式：（1）

（2）

（3）

8、因式分解：a2﹣b2﹣2a+1．

【达标检测】

一.选择题

1. 将因式分解，结果是(　　)

A.       B.

C.       D.

2.下列因式分解正确的是（　　）

　 A． x2﹣7x+12=x（x﹣7）+12 B． x2﹣7x+12=（x﹣3）（x+4）

　 C． x2﹣7x+12=（x﹣3）（x﹣4） D． x2﹣7x+12=（x+3）（x+4）

3. 如果，那么等于(　　)

A.      B.      C.      D.

4. 若，则的值为(　　)

A.－9       B.15          C.－15      D.9

5. 如果，则为 (　   )

A．5　　　   B．－6　　　   C．－5　　　 D．6

6．把进行分组，其结果正确的是（    ）

　 A. 　　  B.

　C. 　　  D.

二.填空题

7. 若，则＝　　　　　　　　　　.

8. 因式分解___________．

9．因式分解：4a2+4a﹣15=　                 　．

10. 因式分解：＝_______________；

11. 因式分解＝　　　　　　　　　　. 

12.分解因式：＝________.

三.解答题

13.若多项式可以分解成两个一次因式的积，其中、均为整数，请你至少写出2个的值．

14.因式分解：2x2+x﹣3．

15.分解因式：

（1）；         （2）；    

（3）；      （4）；

（5）.

【达标检测】

一.选择题

1. 多项式可分解为，则的值为(　　).

A.＝10，＝－2             B.＝－10，＝－2

C.＝10，＝2                 D.＝－10，＝2

2. 若，且，则的值为(　　).

A.5          B.－6         C.－5           D.6

3. 将因式分解的结果是(　　).

A.             B.

C.               D.

4．把多项式1+a+b+ab分解因式的结果是（　　）

A．（a﹣1）（b﹣1） B．（a+1）（b+1） C．（a+1）（b﹣1）              D．（a﹣1）（b+1）

5. 对运用分组分解法分解因式，分组正确的是(     )

A. 　　　B.

C.   　　　D.

6．如果有一个因式为，那么的值是（ ）
　　A. －9 　　    　B.9 　　    　C.－1 　    　　D.1

二.填空题

7.分解因式：a2﹣1+b2﹣2ab=　                    　．

8. 分解因式：=　                    　．

9．分解因式的结果是__________.

10. 如果代数式有一因式，则的值为_________．

11．若有因式,则另外的因式是_________.

12. 分解因式：（1）；（2）

三.解答题

13. 已知，, 求的值.

14. 分解下列因式：

（1）   

（2）

（3）

（4）

15.先阅读下列材料：

我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．

（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．

如：ax+by+bx+ay=（ax+bx）+（ay+by）

=x（a+b）+y（a+b）

=（a+b）（x+y）      

2xy+y2﹣1+x2

=x2+2xy+y2﹣1

=（x+y）2﹣1

=（x+y+1）（x+y﹣1）

（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：

x2+2x﹣3

=x2+2x+1﹣4

=（x+1）2﹣22

=（x+1+2）（x+1﹣2）

=（x+3）（x﹣1）

请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：

（1）分解因式：a2﹣b2+a﹣b；

（2）分解因式：x2﹣6x﹣7；

（3）分解因式：a2+4ab﹣5b2．