2021学年26.1 二次函数同步测试题

这是一份2021学年26.1 二次函数同步测试题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下面的函数是二次函数的是( )
A．y＝3x＋1 B．y＝x2＋2x C．y＝eq \f(x,2) D．y＝eq \f(2,x)
2．抛物线y＝x2＋2的顶点坐标是( )
A．(2，1) B．(0，2) C．(1，0) D．(1，2)
3．抛物线y＝x2－x＋1与x轴的交点的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．不确定
4．将抛物线y＝(x－1)2＋3向左平移1个单位，得到的抛物线与y轴的交点坐标是( )
A．(0，2) B．(0，3) C．(0，4) D．(0，7)
5．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于(－2，0)和(4，0)两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是( )
A．x＜－2 B．－2＜x＜4 C．x＞0 D．x＞4

第5题图 第8题图 第10题图
6．抛物线y＝－x2＋bx＋c上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表所示：
从上表可知，下列说法错误的是( )
A．抛物线与x轴的一个交点坐标为(－2，0)
B．抛物线与y轴的交点坐标为(0，6)
C．抛物线的对称轴是直线x＝0
D．抛物线在对称轴左侧部分是上升的
7．若A(－3.5，y1)、B(－1，y2)、C(1，y3)为二次函数y＝－x2－4x＋5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A．y18．如图，从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的关系式为h＝30t－5t2，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是( )
A．6s B．4s C．3s D．2s
9．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋bx与y＝bx＋a的图象可能是( )
10．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点(－1，0)，对称轴为直线x＝2，下列结论：
①4a＋b＝0；②9a＋c＞3b；③8a＋7b＋2c＞0；④若点A(－3，y1)、点Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，y2))、点Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)，y3))在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；⑤若方程a(x＋1)(x－5)＝－3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜－1＜5＜x2.
其中正确的结论有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．当a＝________时，函数y＝(a－1)xa2＋1＋x－3是二次函数．
12．若抛物线y＝(a－3)x2－2有最低点，那么a的取值范围是________．
13．二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点的纵坐标为4，此函数关系式为____________．
14．请你写出一个b的值，使得函数y＝x2＋2bx在x>0时，y的值随x的增大而增大，则b可以是________．
15．抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点(1，2)和(－1，－6)两点，则a＋c＝________．
16．2017年7月1日是香港回归祖国和香港特别行政区成立二十周年的大日子，特区政府为此设计了六个充满活力的时尚图像．小明挑选了他最喜欢的一个图像制作了一张如图所示的贺卡．贺卡的宽为xcm，长为40cm，左侧图片的长比宽多4cm.若14≤x≤16，则右侧留言部分的最大面积为________cm2.

第16题图 第17题图 第18题图
17．如图，平行于x轴的直线AC分别交函数y1＝x2(x≥0)与y2＝eq \f(x2,3)(x≥0)的图象于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1的图象于点D，直线DE∥AC，交y2的图象于点E，则eq \f(DE,AB)＝________．
18．如图，已知A1，A2，A3，…，An是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An－1An＝1，分别过点A1，A2，A3，…，An作x轴的垂线交二次函数y＝eq \f(1,2)x2(x＞0)的图象于点P1，P2，P3，…，Pn，若记△OA1P1的面积为S1，过点P1作P1B1⊥A2P2于点B1，记△P1B1P2的面积为S2，过点P2作P2B2⊥A3P3于点B2，记△P2B2P3的面积为S3……依次进行下去，则S3＝________，最后记△Pn－1Bn－1Pn(n＞1)的面积为Sn，则Sn＝________．
三、解答题(共66分)
19．(6分)用配方法把二次函数y＝eq \f(1,2)x2－4x＋5化为y＝a(x＋m)2＋k的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
20．(6分)已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点B(－1，0)和点C(2，3)．
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)如果此抛物线上下平移后过点(－2，－1)，试确定平移的方向和平移的距离．
21．(8分)已知点A(1，1)在二次函数y＝x2－2ax＋b的图象上．
(1)用含a的代数式表示b；
(2)如果该二次函数的图象与x轴只有一个交点，求这个二次函数的图象的顶点坐标．
22.(8分)如图，二次函数的图象与x轴交于A(－3，0)和B(1，0)两点，交y轴于点C(0，3)，点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D.
(1)求点D的坐标；
(2)求二次函数的解析式；
(3)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．
23．(8分)九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：
已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元．
(1)请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是(________)元；②月销量是(________)件(直接写出结果)；
(2)设销售该运动服的月利润为y元，那么售价为多少元时，当月的利润最大？最大利润是多少元？
24．(8分)如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴，抛物线y＝－eq \f(1,2)x2＋bx＋c经过B，C两点，点D为抛物线的顶点，连接AC，BD，CD.
(1)求此抛物线的解析式；
(2)求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABDC的面积．
25．(10分)甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分．如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式y＝a(x－4)2＋h，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m.
(1)当a＝－eq \f(1,24)时，①求h的值；②通过计算判断此球能否过网；
(2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7m，离地面的高度为eq \f(12,5)m的Q处时，乙扣球成功，求a的值．
26．(12分)如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E.
(1)求直线AD的解析式；
(2)如图，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH的周长的最大值；
(3)点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形，若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标．
参考答案与解析
1．B 2.B 3.A 4.B 5.B 6.C 7.C 8.A 9.C
10．B 解析：由图可知－eq \f(b,2a)＝2，∴4a＋b＝0，故①正确；∵x＝－3时，y＜0，∴9a－3b＋c＜0，∴9a＋c＜3b，故②错误；由图象可知抛物线经过(－1，0)和(5，0)，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－b＋c＝0，,25a＋5b＋c＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝－4a，,c＝－5a.))∴8a＋7b＋2c＝8a－28a－10a＝－30a.∵a＜0，∴8a＋7b＋2c＞0，故③正确；对于点A(－3，y1)、点Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，y2))、点Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)，y3))，∵eq \f(7,2)－2＝eq \f(3,2)，2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝eq \f(5,2)，∴eq \f(3,2)＜eq \f(5,2)，∴点C比点B离对称轴的距离近，∴y3＞y2.∵a＜0，－3＜－eq \f(1,2)＜2，∴y1＜y2，∴y1＜y2＜y3，故④错误；∵a＜0，∴(x＋1)(x－5)＝－eq \f(3,a)＞0，∴x＜－1或x＞5，故⑤正确．故选B.
11．－1 12.a＞3 13.y＝－x2－2x＋3
14．0(答案不唯一) 15.－2 16.320 17.3－eq \r(,3)
18.eq \f(5,4) eq \f(2n－1,4) 解析：当x＝1时，y＝eq \f(1,2)x2＝eq \f(1,2)，则P1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)))，所以S1＝eq \f(1,2)×1×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4)；当x＝2时，y＝eq \f(1,2)x2＝2，则P2(2，2)，所以S2＝eq \f(1,2)×1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(1,2)))＝eq \f(3,4)；当x＝3时，y＝eq \f(1,2)x2＝eq \f(9,2)，则P3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(9,2)))，所以S3＝eq \f(1,2)×1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)－2))＝eq \f(5,4)，…，所以Sn＝eq \f(2n－1,4).
19．解：y＝eq \f(1,2)x2－4x＋5＝eq \f(1,2)(x－4)2－3.(3分)∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝4，顶点坐标是(4，－3)．(6分)
20．解：(1)将点B(－1，0)，C(2，3)代入y＝－x2＋bx＋c，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－1－b＋c＝0，,－4＋2b＋c＝3，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝2，,c＝3，))(2分)∴此抛物线的函数表达式为y＝－x2＋2x＋3.(3分)
(2)在y＝－x2＋2x＋3中，当x＝－2时，y＝－4－4＋3＝－5.(5分)若点(－2，－5)平移后的对应点为(－2，－1)，则需将抛物线向上平移4个单位．(6分)
21．解：(1)将点(1，1)代入y＝x2－2ax＋b，得1－2a＋b＝1，∴b＝2a.(3分)
(2)由(1)得y＝x2－2ax＋b＝x2－2ax＋2a.∵二次函数的图象与x轴只有一个交点，∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a1＝0，a2＝2.(5分)当a＝0时，y＝x2，顶点坐标为(0，0)；当a＝2时，y＝x2－4x＋4＝(x－2)2，顶点坐标为(2，0)．(8分)
22．解：(1)∵二次函数的图象与x轴交于A(－3，0)和B(1，0)两点，∴对称轴是直线x＝eq \f(－3＋1,2)＝－1.(1分)又∵点C的坐标为(0，3)，点C，D是二次函数图象上的一对对称点，∴点D的坐标为(－2，3)．(3分)
(2)设二次函数的解析式为y＝a(x＋3)(x－1)，将(0，3)代入得a×3×(－1)＝3，解得a＝－1，∴二次函数的解析式为y＝－(x＋3)(x－1)＝－x2－2x＋3.(6分)
(3)一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜－2或x＞1.(8分)
23．解：(1)①x－60(2分) ②－2x＋400(4分)
(2)由题意得y＝(x－60)(－2x＋400)＝－2x2＋520x－24000＝－2(x－130)2＋9800，∴售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元．(8分)
24．解：(1)由已知得C(0，4)，B(4，4)，(2分)把B与C的坐标代入y＝－eq \f(1,2)x2＋bx＋c中，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)×16＋4b＋c＝4，,c＝4，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝2，,c＝4.))∴此抛物线的解析式为y＝－eq \f(1,2)x2＋2x＋4.(4分)
(2)∵y＝－eq \f(1,2)x2＋2x＋4＝－eq \f(1,2)(x－2)2＋6，∴抛物线顶点D的坐标为(2，6)，(6分)∴S四边形ABDC＝S△ABC＋S△BCD＝eq \f(1,2)×4×4＋eq \f(1,2)×4×(6－4)＝8＋4＝12.(8分)
25．解：(1)①当a＝－eq \f(1,24)时，y＝－eq \f(1,24)(x－4)2＋h，将点P(0，1)代入得－eq \f(1,24)×16＋h＝1，解得h＝eq \f(5,3).(3分)
②把x＝5代入y＝－eq \f(1,24)(x－4)2＋eq \f(5,3)，得y＝－eq \f(1,24)×(5－4)2＋eq \f(5,3)＝1.625.∵1.625＞1.55，∴此球能过网．(6分)
(2)把(0，1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(7，\f(12,5)))代入y＝a(x－4)2＋h，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(16a＋h＝1，,9a＋h＝\f(12,5)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－\f(1,5)，,h＝\f(21,5)，))∴a＝－eq \f(1,5).(10分)
26．解：(1)当x＝0时，y＝－x2＋2x＋3＝3，则点C的坐标为(0，3)．当y＝0时，－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，则点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(3，0)．∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1.而点D和点C关于直线x＝1对称，∴点D的坐标为(2，3)．(2分)设直线AD的解析式为y＝kx＋b，把A(－1，0)，D(2，3)分别代入得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－k＋b＝0，,2k＋b＝3，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝1，,b＝1.))∴直线AD的解析式为y＝x＋1.(4分)
(2)当x＝0时，y＝x＋1＝1，则点E的坐标为(0，1)．∵OA＝OE，∴△OAE为等腰直角三角形，∴∠EAO＝45°.∵FH∥OA，∴∠FHG＝45°，∴△FGH为等腰直角三角形．过点F作x轴的垂线交AD于N，∴FN⊥FH，∴△FNH为等腰直角三角形．而FG⊥HN，∴GH＝GN，∴△FGH的周长等于△FGN的周长．∵FG＝GN＝eq \f(\r(,2),2)FN，∴△FGN的周长为(1＋eq \r(,2))FN，∴当FN最大时，△FGN的周长最大．(6分)设点F的坐标为(x，－x2＋2x＋3)，则点N的坐标为(x，x＋1)，∴FN＝－x2＋2x＋3－x－1＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(9,4).当x＝eq \f(1,2)时，FN有最大值eq \f(9,4)，∴△FGH周长的最大值为(1＋eq \r(,2))×eq \f(9,4)＝eq \f(9＋9\r(,2),4).(8分)
(3)设直线AM交y轴于点R.y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，则点M的坐标为(1，4)．设直线AM的解析式为y＝mx＋n，把A(－1，0)，M(1，4)分别代入得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－m＋n＝0，,m＋n＝4，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝2，,n＝2.))∴直线AM的解析式为y＝2x＋2.当x＝0时，y＝2x＋2＝2，则点R的坐标为(0，2)．当AQ为矩形APQM的对角线时，如图①所示．∵∠RAP＝90°，AO⊥PR，易证Rt△AOR∽Rt△POA，∴AO：OP＝OR：OA，即1：OP＝2：1，解得OP＝eq \f(1,2)，∴点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,2))).∵点A(－1，0)向上平移4个单位，向右平移2个单位得到M(1，4)，∴点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,2)))向上平移4个单位，向右平移2个单位得到点Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(7,2))).∵点T和点Q关于AM所在直线对称，∴点T的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(9,2)))；当AP为矩形AQPM的对角线时，反向延长QA交y轴于S，如图②，同理可得S点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,2))).∵R点为AM的中点，易证△PMR≌△SAR，∴R点为PS的中点，PM＝SA.∴点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(9,2))).(10分)∵PM＝AQ，∴AQ＝AS.又∵MA⊥QS，∴点Q关于AM的对称点为S，即点T的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,2))).综上所述，点T的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(9,2)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,2))).(12分)
题号
一
二
三
总分
得分
x
…
－2
－1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
售价(元/件)
100
110
120
130
…
月销量(件)
200
180
160
140
…