还剩43页未读，
继续阅读
所属成套资源：整册数学人教版新课标A必修5试卷巩固练习
成套系列资料，整套一键下载
高中数学人教版新课标A必修5第三章 不等式3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性练习
展开
这是一份高中数学人教版新课标A必修5第三章 不等式3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性练习，共46页。试卷主要包含了画出下列不等式表示的平面区域，若直线l，已知直线l等内容，欢迎下载使用。
3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域
基础过关练
题组一 二元一次不等式(组)表示的区域
1.不等式2x+y-1>0表示的平面区域是( )
2.若实数x,y满足x-y+1>0,2x-y<0,则点P(x,y)不可能落在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.在平面直角坐标系内,满足不等式x2-y2≥0的点(x,y)的集合(用阴影表示)是( )
4.图中阴影部分表示的区域对应的二元一次不等式组为 ( )
A.x+y-1≥0x-2y+2≥0 B.x+y-1≤0x-2y+2≤0
C.x+y-1≥0x-2y+2≤0 D.x+y-1≤0x-2y+2≥0
5.画出下列不等式(组)表示的平面区域.
(1)y≥-2x+3;
(2)x-y+5≥0,x+y≤0,y≥-3,
(3)x≤|y|≤2x.
题组二 含参数的不等式(组)表示的平面区域问题
6.若直线l:kx-y+1=0上不存在满足不等式组x-y≥0,x+y-2≤0的点(x,y),则实数k的取值范围为( )
A.(1,+∞) B.(0,+∞)
C.(0,1) D.(0,1]
7.(2020江西赣州高二期末)已知直线l:y=kx+k+1经过不等式组2x+y-6≤0,x+y-3≥0,y≤2表示的平面区域,则实数k的取值范围是( )
A.-14,12 B.-∞,-14∪12,+∞
C.-∞,12 D.-∞,-14
8.若关于x,y的不等式组x≥0,y≥x,kx-y+1≥0(k为常数)所表示的平面区域的边界是一个直角三角形,则实数k= .
题组三 二元一次不等式(组)所表示的平面区域的面积问题
9.不等式组x-y+6≥0,x+y≥0,x≤3表示的平面区域的面积是( )
A.18 B.36 C.72 D.144
10.在平面直角坐标系中,若不等式组x+y-1≥0,x-1≤0,ax-y+1≥0(a为常数)所表示的平面区域的面积等于5,则a的值为( )
A.-11 B.3 C.9 D.9或-11
11.若不等式组x≤0,y≥0,y-x≤2表示的平面区域为I,则当a从-2连续变化到1时,动直线x+y-a=0扫过I中的那部分区域的面积为 .
能力提升练
一、选择题
1.(★★☆)不等式组|x+y|≤1,|x-y|≤1表示的平面区域内整点的个数是( )
A.0 B.2 C.4 D.5
2.(2020山西临汾高二期末,★★☆)在平面直角坐标系中,若不等式组x-4y+4≤0,2x+y-10≤0,5x-2y+2≥0所表示的平面区域被直线y=ax+1分为面积相等的两部分,则a的值为( )
A.12 B.1 C.2 D.94
3.(2020江西南昌二中高三月考,★★☆)不等式组x+y≥0,x-y+4≥0,(m>0)x≤m表示的平面区域的面积是9,则m的值是( )
A.8 B.6 C.4 D.1
4.(★★★)已知点M(a,b)在不等式组x≥0,y≥0,x+y≤2确定的平面区域内,则点N(a+b,a-b)所在的平面区域的面积是( )
A.1 B.2 C.4 D.8
5.(★★★)若直线(3λ+1)x+(1-λ)y+6-6λ=0与不等式组x+y-7<0,x-3y+1<0,3x-y-5>0表示的平面区域有公共点,则实数λ的取值范围是( )
A.-∞,-137∪(9,+∞)
B.-137,1∪(9,+∞)
C.(1,9)
D.-∞,-137
6.(★★★)在平面直角坐标系中,不等式组3x+y≥0,3x-y+23≥0x≤a,所表示的平面区域的周长是8+43,那么实数a的值为( )
A.-12 B.12 C.34 D.1
二、填空题
7.(2020上海建平中学高一月考,★★☆)在平面直角坐标系xOy中,点集K={(x,y)|(|x|+|2y|-4)(|2x|+|y|-4)≤0}所对应的平面区域的面积为 .
8.(★★☆)某公司从银行贷款不足250万元,分配给下属甲、乙两个工厂进行技术改造.已知甲厂可以从投入的金额中获取20%的利润;乙厂可以从投入的金额中获取25%的利润.若该公司计划从这笔贷款中至少获利60万元,甲、乙两个工厂分配到的贷款的金额分别为x万元、y万元,则x,y所满足的数学关系式为 .
9.(★★★)已知x,y满足x+y-3≥0,x-y+1≥0,3x-y-5≤0,若方程y=kx有解,则k的取值范围是 .
三、解答题
10.(★★☆)一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产1 t甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐4 t,硝酸盐18 t;生产1 t乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1 t,硝酸盐15 t.现有库存磷酸盐10 t,硝酸盐66 t.如果在此基础上进行生产,设x,y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的吨数,请列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域.
11.(★★☆)设不等式组x-y+8≥0,x+y≥0,x≤4表示的平面区域是Q.
(1)求平面区域Q的面积S;
(2)若点M(t,1)在平面区域Q内,求整数t的取值集合.
3.3.2 简单的线性规划问题
基础过关练
题组一 线性规划问题中线性目标函数的最值问题
1.(2020浙江绍兴高二期末)若实数x,y满足不等式组x+2y-4≥0,2x-y-3≤0,x-y≥0,则x+y的最小值是( )
A.83 B.3
C.4 D.6
2.设变量x,y满足约束条件x+y≥3,x-y≥-1,2x-y≤3,则目标函数z=2x+3y的最小值为( )
A.6 B.7
C.8 D.23
3.(2020江西新余高二期末)已知实数x,y满足x-2y+1≥0,x<2,x+y-1≥0,则z=2x-2y-1的取值范围是( )
A.53,5 B.-53,5
C.53,5 D.-53,5
4.(2020上海闵行七宝中学高三月考)满足约束条件|x|+2|y|≤2的目标函数z=y-x的最大值是 .
题组二 线性规划问题中非线性目标函数的最值问题
5.已知点P(x,y)的坐标满足条件x+y≤4,y≥x,x≥1,则x2+y2的最大值为( )
A.10 B.8 C.16 D.10
6.如果点P在不等式组2x-y+2≥0,x-2y+1≤0,x+y-2≤0表示的平面区域内,点Q在曲线x2+(y+2)2=1上,那么|PQ|的最小值为 ( )
A.5-1 B.45-1 C.22-1 D.2-1
7.(2020四川泸州高三四模)若变量(x,y)满足约束条件y≤3,x≤4,x+y-5≥0,则z=yx的最小值为 .
题组三 已知目标函数的最值求参数
8.已知点P(x,y)的坐标满足约束条件x-y≤0,x+y-1≥0,x-2y+2≥0,若z=x+3y+m的最小值为6,则m=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
9.已知x,y满足x-y+5≥0,x≤3,x+y+k≥0,且z=2x+4y的最小值为-6,则常数k=( )
A.2 B.9 C.310 D.0
10.若直线y=2x上存在点(x,y)满足x+y-3≤0,x-2y-3≤0,x≥m,则实数m的最大值为( )
A.-1 B.1 C.32 D.2
11.已知实数x,y满足不等式组x-y+2≥0,x+y-4≥0,2x-y-5≤0,目标函数z=y-ax(a∈R).若目标函数取最大值时的唯一最优解是(1,3),则实数a的取值范围是 .
题组四 线性规划的实际应用
12.在“家电下乡”活动中,某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇,现有4辆甲型货车、8辆乙型货车可供使用,每辆甲型货车运输费用400元,可装洗衣机20台;每辆乙型货车运输费用300元,可装洗衣机10台,若每辆货车至多运送一次,则该厂所花的最少运输费用为( )
A.2 000元 B.2 200元
C.2 400元 D.2 800元
13.(2020贵州威宁高二期末)2020年春节期间,因新冠肺炎疫情防控工作需要,某高中学校需要安排男教师x名,女教师y名做义工,x和y需满足条件2x-y≥5,x-y≤2,x≤6,则该校安排教师最多为 人.
14.(2020四川乐山高一期末)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产每种产品所需原料及每天原料的可用限额如下表所示.
如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为多少?
能力提升练
一、选择题
1.(2020黑龙江大庆高二期末,★★☆)已知x,y满足约束条件x-y≥0,x+y≤2,y≥0,则z=2x+y的最大值为( )
A.0 B.2 C.3 D.4
2.(2020浙江绍兴阳明中学高二期中,★★☆)实数x,y满足x-y+2>0,x+y>0,x<2,则整点(x,y)的个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
3.(2020山东烟台高二期中,★★☆)设O为坐标原点,A(1,1),若点B(x,y)满足x2+y2-2x-2y+1≥0,1≤x≤2,1≤y≤2,则OA·OB取得最小值时,点B的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.无数
4.(2020河南洛阳高二期末,★★☆)若变量x,y满足约束条件x+y≤2,x≥1,y≥0,则z=y+1x的取值范围是( )
A.[0,1] B.12,1
C.[1,2] D.12,2
5.(2020山西大同高一期末,★★★)x,y满足约束条件x+y-2≤0,x-2y-2≤0,2x-y+2≥0,若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为( )
A.12或-1 B.2或12
C.2或1 D.2或-1
6.(★★★)某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨,B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨,B原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元,销售每吨乙产品可获得利润3万元,该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨,B原料不超过18吨,那么该企业可获得的最大利润是( )
A.12万元 B.20万元
C.25万元 D.27万元
二、填空题
7.(2021河南三门峡高二期末,★★☆)若x,y满足约束条件x-y+4≥0,x+2y-3≤0,y≥-2,则y-4x-8的最小值为 .
8.(2020皖西南名校高二期末,★★☆)已知实数x,y满足不等式组2x-y-3≤0,3x+2y-1≥0,x-4y+9≥0,则z=x-y的最小值为 .
9.(2020四川宜宾高二期末,★★★)若对任意的x∈[-1,0],关于x的不等式3x2+2ax+b≤0恒成立,则a2+b2-1的最小值为 .
三、解答题
10.(2020吉林白城高一期末,★★☆)若x,y满足约束条件x-2y-2≤0,x-y+1≥0,y≤0,求:
(1)z=y-3x的最大值;
(2)z=y+2x+5的最小值;
(3)z=(x-1)2+(y-1)2的最大值.
11.(2020黑龙江东南联合体高一期末,★★☆)某工厂要制造A种电子装置45台,B种电子装置55台,需用薄钢板给每台装置配一个外壳,已知薄钢板的面积有两种规格:甲种薄钢板每张面积2 m2,可做A、B的外壳分别为3个和5个,乙种薄钢板每张面积3 m2,可做A、B的外壳分别为6个和6个,求两种薄钢板各用多少张,才能使总面积最小.
3.3综合拔高练
五年高考练
考点1 求线性目标函数的最值
1.(2020浙江,3,4分,★★☆)若实数x,y满足约束条件x-3y+1≤0,x+y-3≥0,则z=x+2y的取值范围是( )
A.(-∞,4] B.[4,+∞)
C.[5,+∞) D.(-∞,+∞)
2.(2019北京,5,5分,★★☆)若x,y满足|x|≤1-y,且y≥-1,则3x+y的最大值为( )
A.-7 B.1 C.5 D.7
3.(2019天津,2,5分,★★☆)设变量x,y满足约束条件x+y-2≤0,x-y+2≥0,x≥-1,y≥-1,则目标函数z=-4x+y的最大值为( )
A.2 B.3 C.5 D.6
4.(2020全国Ⅰ(文),13,5分,★★☆)若x,y满足约束条件2x+y-2≤0,x-y-1≥0,y+1≥0,则z=x+7y的最大值为 .
5.(2019课标全国Ⅱ(文),13,5分,★★☆)若变量x,y满足约束条件2x+3y-6≥0,x+y-3≤0,y-2≤0,则z=3x-y的最大值是 .
考点2 线性规划的实际应用
6.(2017天津,16,13分,★★★)电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示:
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟,广告的总播放时间不少于30分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x,y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.
(1)用x,y列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;
(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使总收视人次最多?
三年模拟练
应用实践
1.(★★☆)设x,y满足约束条件x-y-2≥0,x-5≤0,y+2≥0,则z=x2+y2的最小值与最大值分别为( )
A.2,34 B.2,34 C.4,34 D.2,34
2.(★★★)已知x,y满足约束条件x+2y≤7,x-y≤0,x≥1,且不等式16ax2-xy+ay2≥0恒成立,则实数a的取值范围为( )
A.325,+∞ B.18,+∞
C.117,325 D.117,+∞
3.(★★☆)设实数x、y满足条件3x-|y|≥0、x+|y|≤2,则可行域面积为 ,xy的最大值为 .
4.(2020江西鹰潭高二期末,★★★)平面区域3y+2x-1≥0,y+4x-7≤0,y-x-2≤0的外接圆的方程是 .
5.(★★★)若实数x,y满足不等式组x-y+2≥0,2x+y-2≥0,4x-y-4≤0,存在可行解(x,y)满足mx-y-6m=0,则实数m的最小值为 .
6.(★★☆)一元二次方程x2+ax-2b=0有两实根,一根在区间(0,1)内,另一根在区间(1,2)内.若z=ba-1,求z的取值范围.
7.(2021河南焦作高二期中,★★☆)已知函数f(x)=mx2-2nx-1.
(1)若不等式f(x)<0的解集为(-1,3),求m,n的值;
(2)设不等式f(x)≥0的解集为A,若1∈A,-2∉A,求m+2n的取值范围.
8.(2020广东东莞高二期末,★★★)某家具公司制作木质的椅子和书桌两种家具,需要木工和漆工两道工序,已知木工平均6个小时做一把椅子,10个小时做一张书桌,该公司每月木工最多有6 000个工作时;漆工平均4个小时漆一把椅子,2个小时漆一张书桌,该公司每月漆工最多有2 600个工作时.又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元,根据以上条件,怎样安排每月的生产,才能获得最大的利润?
9.(★★★)在平面直角坐标系中,O是坐标原点,两定点A,B满足|OA|=|OB|=OA·OB=2,由点集{P|OP=λOA+μOB,|λ|+|μ|≤1,λ,μ∈R}所表示的区域的面积是 .
10.(2020河南洛阳高二期末,★★☆)太极图被称为“中华第一图”,从孔庙大成殿梁柱,到楼观台、三茅宫、白云观的标记物,太极图无不跃居其上.这种广为人知的太极图,其形状如阴阳两鱼互抱在一起,因而又被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中,阴影部分的区域可用不等式组x2+y2≤4,x≤0,x2+(y+1)2≥1或不等式x2+(y-1)2≤1来表示,设(x,y)是阴影中的任意一点,求z=x+y的最大值.
答案全解全析
第三章 不等式
3.3 二元一次不等式(组)与
简单的线性规划问题
3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域
基础过关练
1.D 代入坐标原点(0,0),得-1>0,则坐标原点(0,0)不在2x+y-1>0表示的平面区域内,且直线2x+y-1=0应画成虚线,从而确定选D.
2.D 由不等式组,画出可行域如图所示:
由图可知,点P(x,y)不可能落在第四象限,故选D.
3.B 由x2-y2≥0,得(x-y)(x+y)≥0,
即x-y≥0,x+y≥0或x-y≤0,x+y≤0,故选B.
4.A 由题图得,l1:x+y-1=0,l2:x-2y+2=0.取原点O(0,0)代入检验,满足x+y-1≤0,故异侧点应满足x+y-1≥0,排除B,D.又点O满足x-2y+2≥0,所以排除C.故选A.
5.解析 (1)
(2)
(3)
方法总结 若题设条件涉及的不等式组不是标准的二元一次不等式组,则要先根据相关的运算法则进行转化.高次不等式、绝对值不等式及双向不等式都可以转化为不等式组,从而画出这些不等式组表示的平面区域.对于含绝对值的不等式表示的平面区域的作法:先分情况讨论去掉绝对值符号,从而把含绝对值的不等式(组)转化为一般的二元一次不等式(组),然后按照“直线定界,特殊点定域”的方法作出所求的平面区域.
6.D 画出可行域如图阴影部分所示.由直线l:kx-y+1=0恒过定点B(0,1),结合图可知,当且仅当直线l:kx-y+1=0的斜率k满足07.A 画出不等式组2x+y-6≤0,x+y-3≥0,y≤2所表示的平面区域,如图阴影部分所示:
直线l:y=kx+k+1过定点M(-1,1),
由y=2,x+y-3=0,解得x=1,y=2,∴A(1,2),
当直线l过点A时,k=12;由2x+y-6=0,x+y-3=0,解得x=3,y=0,∴B(3,0),
当直线l过点B时,k=-14;由图可知,实数k的取值范围是-14,12.
8.答案 0或-1
解析 不等式组x≥0,y≥x表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界).易知直线kx-y+1=0过定点A(0,1),且不等式kx-y+1≥0表示的区域为直线kx-y+1=0上及其下方,要使题中不等式组所表示的平面区域的边界是直角三角形,则需满足直线kx-y+1=0与y轴垂直或与直线y=x垂直,所以k=0或k=-1.
解题模板 解决含参的有关不等式(组)问题,关键是回归解析几何的本质特征,一方面要抓住平面区域的几何特征,另一方面要把握直线的特征.
9.B 作出不等式组表示的平面区域如图.
由图得,A(-3,3),B(3,9),C(3,-3).
∴S△ABC=12×[9-(-3)]×[3-(-3)]=36.故选B.
10.C 画出x+y-1≥0,x-1≤0表示的平面区域如图.
∵直线y=ax+1过定点(0,1),且ax-y+1≥0与x+y-1≥0,x-1≤0围成的平面区域的面积为5,∴a>0.令x=1,得y=a+1,∴12×(a+1)×1=5,解得a=9.
11.答案 74
解析 如图所示,I为△BOE所表示的区域,当a从-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过I中的那部分区域为四边形BOCD.由图知,B(-2,0),O(0,0),C(0,1),D-12,32,E(0,2),△CDE为直角三角形,∴S四边形BOCD=12×2×2-12×1×12=74.
能力提升练
一、选择题
1.D 不等式组|x+y|≤1,|x-y|≤1等价于-1≤x+y≤1,-1≤x-y≤1,
即x+y≤1,x+y≥-1,x-y≤1,x-y≥-1,作出其表示的平面区域如图所示:
∴平面区域内的整点有(-1,0),(0,1),(0,0),(0,-1),(1,0),共5个.
2.B 作出不等式对应的平面区域,如图所示:
因为直线y=ax+1过定点C(0,1),所以要使表示的平面区域被直线y=ax+1分为面积相等的两部分,则直线y=ax+1必过A(2,6),B(4,2)的中点D(3,4),∴4=3a+1,∴a=1.
3.D 画出不等式组x+y≥0,x-y+4≥0,(m>0)x≤m表示的平面区域,如图所示.
则平面区域是以A(-2,2),C(m,-m),B(m,m+4)为顶点的三角形ABC(包含边界),
则该区域的面积为12[m-(-2)][m+4-(-m)]=9,解得m=1(m=-5舍去).故选D.
4.C 由于点M在不等式组确定的平面区域内,故有a≥0,b≥0,a+b≤2.
令a+b=m,a-b=n,则2a=m+n,2b=m-n,代入a,b满足的不等式组中, 得到m+n≥0,m-n≥0,m≤2,此不等式组表示的平面区域即为点N所在的平面区域,如图所示.
由图知,面积为12×2×4=4.
5.A (3λ+1)x+(1-λ)y+6-6λ=0等价于λ(3x-y-6)+(x+y+6)=0.
由3x-y-6=0,x+y+6=0,解得x=0,y=-6,即直线过定点(0,-6).
作出不等式组表示的平面区域如图所示,
其中A(2,1),B(5,2),D(0,-6).
由图得,当直线(3λ+1)x+(1-λ)y+6-6λ=0的斜率在kBD与kAD之间时,直线与不等式组表示的平面区域有公共点.
又kBD=-6-20-5=85,kAD=-6-10-2=72,
∴85<3λ+1λ-1<72,解得λ<-137或λ>9.
6.D 作出不等式组所表示的平面区域及各点坐标如图所示,
显然有a>-1,易得B(a,3a+23),C(a,-3a),取BC的中点E,则AE⊥BC,因为kAB=3,kAC=-3,所以∠BAE=60°,∠ACB=30°,所以∠ADO=∠ABC=30°,∠AOD=∠ACB=30°,|BC|=|3a+23-(-3a)|=|23a+23|=23(a+1).在Rt△ABE中,AB=BEsin60°=3(a+1)32=2(a+1),又AB=AC,所以AC=2(a+1),则△ABC的周长为AB+AC+BC=4(a+1)+23(a+1)=(4+23)(a+1)=8+43,解得a=1.
二、填空题
7.答案 323
解析 ∵(|x|+|2y|-4)(|2x|+|y|-4)=0所对应的区域关于原点,x轴,y轴对称,
∴只要作出在第一象限的区域即可.当x≥0,y≥0时,不等式等价为(x+2y-4)(2x+y-4)≤0,即x+2y-4≥0,2x+y-4≤0或x+2y-4≤0,2x+y-4≥0,在第一象限内对应的图象如图所示,
则A(2,0),B(4,0),由x+2y-4=0,2x+y-4=0,解得x=43,y=43,即C43,43,
则三角形ABC的面积S=12×2×43=43,则在第一象限的面积S=2×43=83,则点集K所对应的平面区域的面积S=4×83=323.
8.答案 x+y<250x·20%+y·25%≥60x≥0y≥0
9.答案 12,2
解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,三条边界线的交点分别记为A,B,C.
由图可知,y=kx应在直线OA与OB之间,所以kOB≤k≤kOA.
又由x-y+1=0,x+y-3=0得x=1,y=2,即A(1,2).
由3x-y-5=0,x+y-3=0得x=2,y=1,即B(2,1).
所以kOA=2,kOB=12.
所以12≤k≤2.
三、解答题
10.解析 由题意可知,x和y满足的数学关系式为4x+y≤10,18x+15y≤66,x≥0,y≥0,画出不等式组表示的平面区域,然后取交集.作出不等式组表示的平面区域,如图所示阴影部分.
11.解析 (1)作出平面区域Q,它是一个等腰直角三角形(如图所示).
由x+y=0,x=4,得A(4,-4),
由x-y+8=0,x=4,得B(4,12),
由x-y+8=0,x+y=0,得C(-4,4).
于是可得|AB|=16,AB边上的高h=8,
∴平面区域Q的面积S=12×16×8=64.
(2)由已知得t-1+8≥0,t+1≥0,t≤4,t∈Z,
即t≥-7,t≥-1,t≤4,t∈Z,亦即-1≤t≤4,t∈Z,
∴t=-1,0,1,2,3,4.
故整数t的取值集合是{-1,0,1,2,3,4}.
3.3.2 简单的线性规划问题
基础过关练
1.A 画出不等式组x+2y-4≥0,2x-y-3≤0,x-y≥0表示的平面区域,如图.由图知,x+y的最小值在直线x+2y-4=0与直线x-y=0的交点N43,43处取得,所以x+y的最小值是83.故选A.
2.B 画出不等式组x+y≥3,x-y≥-1,2x-y≤3表示的可行域,如图.
由z=2x+3y可化为y=-2x3+z3,
易知当直线y=-2x3+z3过点B时,目标函数取得最小值.
由x+y=3,2x-y=3得x=2,y=1,
所以点B的坐标为(2,1),
所以zmin=4+3=7,故选B.
3.D 作出可行域如图所示:
由z=2x-2y-1,得y=x-1+z2,
平移直线y=x-1+z2,当直线y=x-1+z2经过点C时,直线y=x-1+z2的纵截距最小,此时z取得最大值,由x=2,x+y-1=0,解得x=2,y=-1,即C(2,-1),将其代入z=2x-2y-1,得z=2x-2y-1=4+2-1=5;
当直线y=x-1+z2经过点A时,直线y=x-1+z2的纵截距最大,此时z取得最小值,
由x-2y+1=0,x+y-1=0,解得x=13,y=23,
即A13,23,
将其代入z=2x-2y-1,得z=2×13-2×23-1=-53,故z∈-53,5.故选D.
4.答案 2
解析 作出约束条件|x|+2|y|≤2所表示的平面区域如图所示(阴影部分),易知z=y-x在点(-2,0)上取得最大值,此时z=0-(-2)=2.
陷阱分析 线性规划的实质是把代数问题几何化,即运用数形结合的思想解题.需要注意的是:
(1)准确作出可行域;(2)画目标函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;(3)一般情况下,目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点处或边界上取得.
5.D 画出不等式组对应的可行域,如图所示.
x2+y2表示可行域内的点到原点距离的平方.
易得A(1,1),|OA|=2,B(2,2),|OB|=22,C(1,3),|OC|=10.
所以(x2+y2)max=|OC|2=(10)2=10.
6.A 不等式组表示的平面区域为图中阴影部分(包括边界).
点P到Q的最小距离为(-1,0)到(0,-2)的距离减去半径1,所以|PQ|min=(-1-0)2+[0-(-2)]2-1=5-1.
7.答案 14
解析 由已知约束条件可得可行域,且z=yx表示直线y=zx的斜率k=z,如图所示:
当直线y=zx过(4,1)时z有最小值,当直线y=zx过(2,3)时z有最大值,
∴z∈14,32,即zmin=14.
8.D 根据题意,作出可行域(如图),由图可知,当直线z=x+3y+m过点12,12时,z取得最小值6,从而m=6- 12- 32=4.故选D.
9.D 作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示.
由图可知,当直线z=2x+4y经过直线x=3与x+y+k=0的交点(3,-3-k)时,z最小,所以-6=2×3+4×(-3-k),解得k=0.
10.B 作出可行域,如图.若直线y=2x上存在点(x,y)满足约束条件,则3-m≥2m,即m≤1,故m的最大值为1.
11.答案 (1,+∞)
解析 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,当直线y=ax+z的斜率大于1时,目标函数在点(1,3)处取得最大值.故a>1.
12.B 设使用甲型货车x辆,乙型货车y辆,所花运输费用为z元,则0≤x≤4,0≤y≤8,20x+10y≥100,x,y∈N,z=400x+300y,可行域为如图所示的阴影部分(为整点).
由图可得,当直线z=400x+300y过点(4,2)时,z取得最小值,故zmin=2 200,故选B.
13.答案 13
解析 由于x和y需满足约束条件2x-y≥5,x-y≤2,x≤6,画出可行域,如图所示:
对于需要求该校安排教师人数最多,设目标函数为z=x+y,得y=-x+z,则题意转化为在可行域内任意取x、y且为整数,使得目标函数的斜率为定值-1,由图可知,直线y=-x+z过点A(6,7)时,z取得最大值,故zmax=6+7=13.
14.信息提取 ①生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元;②题中的表格.
数学建模 本题是以生产产品的分配为背景,求最大利润的实际问题,易构建线性规划问题数学模型.设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨,y吨,利润为z元,然后根据题目条件(实际问题)建立约束条件,得到目标函数,画出约束条件所表示的平面区域,最后利用平移法求出z的最大值(数学方法).
解析 设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨,y吨,利润为z元,
则3x+2y≤12,x+2y≤8,x≥0,y≥0,目标函数为z=3x+4y.
作出二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分),如图所示.
由z=3x+4y,得y=-34x+z4,平移直线y=-34x+z4,由图象可知,当直线y=-34x+z4经过点A时,直线y=-34x+z4的纵截距最大,此时z取最大值,
由3x+2y=12,x+2y=8,解得x=2,y=3,即A的坐标为(2,3),
∴zmax=3x+4y=6+12=18.
则该企业每天生产甲、乙两种产品分别为2吨,3吨时,能够产生最大的利润,最大的利润是18万元.
能力提升练
一、选择题
1.D 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,
z=2x+y等价于y=-2x+z,作直线y=-2x,向上平移,知当直线y=-2x+z经过点A(2,0)时z最大,所以zmax=2×2+0=4,故选D.
2.C 如图,
根据图形可知:-1则满足区域的整点(x,y)有:(0,1),(1,0),(1,1),(1,2),共4个.故选C.
3.B 如图,阴影部分为点B(x,y)所在的区域.
OA·OB=x+y,令z=x+y,则y=-x+z.
由图可知,当直线y=-x+z过C点或D点时,z取最小值,故点B的个数为2.
4.D 画出可行域,如图所示.z=y+1x的几何意义为可行域内的点(x,y)与点(0,-1)连线的斜率.由图易得,z=y+1x在(2,0)处取得最小值,且最小值为0+12=12;在(1,1)处取得最大值,且最大值为1+11=2.故z=y+1x的取值范围是12,2.
故选D.
5.D 由题中约束条件作可行域如图所示:
将z=y-ax化为y=ax+z,即直线y=ax+z的纵截距取得最大值的最优解不唯一,
当a>2时,直线y=ax+z经过点A(-2,-2)时纵截距最大,此时最优解仅有一个,不符合题意;当a=2时,直线y=ax+z与y=2x+2重合时纵截距最大,此时最优解不唯一,符合题意;当-16.D 设生产甲产品x吨,乙产品y吨,获得的利润为z万元,则z=5x+3y.
由题意得x≥0,y≥0,3x+y≤13,2x+3y≤18,可行域如图中阴影部分所示.
由图可知,当z=5x+3y过A点时,z取得最大值.由3x+y=13,2x+3y=18,解得x=3,y=4,即A(3,4),所以zmax=5×3+3×4=27.故该企业可获得的最大利润是27万元.
二、填空题
7.答案 529
解析 作出不等式组所表示的平面区域,如图所示:
则y-4x-8的几何意义是可行域内的点与(8,4)的斜率,然后求解最小值.由x-y+4=0,x+2y-3=0可得P-53,73,所以kPA=529.
故y-4x-8的最小值为529.
8.答案 -3
解析 不等式组对应的可行域如图所示,
由3x+2y-1=0,x-4y+9=0可得x=-1,y=2,∴A(-1,2),
平移初始直线x-y=0至A时,z取最小值且最小值为-1-2=-3.
9.答案 45
解析 令f(x)=3x2+2ax+b,
因为对任意的x∈[-1,0],关于x的不等式3x2+2ax+b≤0恒成立,
所以3×(-1)2-2a+b≤0,b≤0,
即2a-b-3≥0,b≤0,其可行域如图阴影部分所示:
z=a2+b2表示的几何意义是原点O(0,0)与点P(a,b)之间距离的平方,
由图可知,当OP垂直于2a-b-3=0所在的直线时,距离最小,最小值为|2×0-0-3|22+12=35,所以a2+b2-1的最小值为352-1=45.
三、解答题
10.解析 (1)不等式组表示的可行域如图①所示:
图①
由x-2y-2=0,x-y+1=0,解得x=-4,y=-3,
∴A(-4,-3).
由z=y-3x得到y=3x+z,z表示直线y=3x+z在y轴上的截距.
由图可知,当直线y=3x+z过A(-4,-3)时,z取得最大值,zmax=-3-3×(-4)=9.
(2)z=y+2x+5表示可行域内的点(x,y)与点D(-5,-2)连线的斜率,由图②知,当点D(-5,-2)与点A(-4,-3)连线时,斜率最小,故zmin=-3+2-4+5=-1.
图②
(3)z=(x-1)2+(y-1)2表示可行域内的点(x,y)与点E(1,1)距离的平方,由图③知,
当点E(1,1)与点A(-4,-3)连线时,距离最大,故zmax=(-4-1)2+(-3-1)2=41.
图③
11.解析 设甲种薄钢板用x张,乙种薄钢板用y张,则可做A种产品外壳(3x+6y)个,B种产品外壳(5x+6y)个.
由题意可得3x+6y≥45,5x+6y≥55,x≥0,y≥0,x,y∈N,薄钢板的总面积是z=2x+3y,
可行域的阴影部分如图所示(整点),其中l1:3x+6y=45,l2:5x+6y=55,l1与l2的交点为A(5,5).
由图可得,当目标函数z=2x+3y过点A(5,5)时,z取得最小值,为2×5+3×5=25.
即甲、乙两种薄钢板各用5张时,总面积最小.
3.3综合拔高练
五年高考练
1.B 由约束条件画出可行域如图.
易知z=x+2y在点A(2,1)处取得最小值4,无最大值,所以z=x+2y的取值范围是[4,+∞).故选B.
2.C |x|≤1-y,且y≥-1等价于y-1≤x≤1-y,y≥-1,表示的平面区域如图中阴影部分所示.
令3x+y=z,则y=-3x+z,当z=0时,方程y=-3x+z表示直线l,当直线l向右上方平移时,z逐渐增大,当直线过点A(2,-1)时,z=3x+y取最大值,为3×2-1=5,故选C.
3.C 作出可行域(如图中阴影部分),
平移直线-4x+y=0可知,目标函数z=-4x+y在点P处取最大值.
由x-y+2=0,x=-1得P(-1,1).
∴zmax=-4×(-1)+1=5.
故选C.
4.答案 1
解析 作出可行域如图,由z=x+7y得y=-x7+z7,易知当直线y=-x7+z7经过点A(1,0)时,z取得最大值,zmax=1+7×0=1.
5.答案 9
解析 作出可行域(如图阴影部分所示).
易得A(3,0),B(1,2),C(0,2).
将z=3x-y化为y=3x-z,由图知,当直线y=3x-z经过点A(3,0)时,截距-z取得最小值,从而z取得最大值.zmax=3×3=9.
6.解析 (1)由已知得x,y满足的数学关系式为70x+60y≤600, 5x+5y≥30,x≤2y,x≥0,y≥0,x,y∈N,即7x+6y≤60,x+y≥6,x-2y≤0,x≥0,y≥0,x,y∈N.
该不等式组所表示的平面区域如图1所示(阴影部分,且包括边界,整点).
图1
(2)设总收视人次为z万,则目标函数为z=60x+25y.
将z=60x+25y变形为y=-125x+z25,这是斜率为-125,随z变化的一族平行直线,z25为直线在y轴上的截距.当z25取得最大值时,z的值最大.又因为x,y满足约束条件,所以由图2可知,当直线z=60x+25y经过可行域上的点M时,截距z25最大,即z最大.
图2
解方程组7x+6y=60,x-2y=0,得x=6,y=3,所以点M的坐标为(6,3).
所以电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.
三年模拟练
1.D 作出不等式组表示的可行域如图所示:
由x=5,x-y-2=0,解得x=5,y=3,∴A(5,3).
由图可知,z=x2+y2表示的几何意义是点P(x,y)到坐标原点的距离的平方,
所以z=x2+y2的最大值为AO2=25+9=34,
最小值为PO2=222=2.故选D.
2.A 作出不等式组表示的平面区域如图所示,
则可行域内的点恒满足16x2+y2>0,
则不等式16ax2-xy+ay2≥0,即a≥xy16x2+y2恒成立,
即a≥yx16+yx2,令t=yx(t>0)可知:a≥t16+t2恒成立,即a≥1t+16t(t>0)恒成立.
其中t=yx=y-0x-0表示坐标原点与可行域内点连线的斜率(如图所示),在点A和点C处目标函数取得最值,据此可知:t∈[1,3].结合对勾函数的性质可知,当t=3时,t+16t取得最小值,此时1t+16t取最大值,即t16+t2取得最大值,最大值为316+9=325,又a≥t16+t2恒成立,∴实数a的取值范围为325,+∞.
3.答案 3;1
解析 因为实数x、y满足条件3x-|y|≥0,x+|y|≤2,
所以实数x、y满足y≥0,3x-y≥0,x+y≤2或y<0,3x+y≥0,x-y≤2,绘出可行域,如图所示:
易知A12,32,B12,-32,C(2,0),故可行域面积S=2S△AOC=3.
结合图象可知,当xy最大时,点(x,y)在线段AC上,直线AC的方程为y=2-x,
则xy=x(2-x)=-x2+2x=-(x-1)2+1≤1,
故当x=1时,xy取得最大值,xy的最大值为1.
4.答案 x2+y2-115x-95y-125=0
解析 作出不等式组3y+2x-1≥0,y+4x-7≤0,y-x-2≤0所表示的平面区域如图所示:
由图可知,平面区域为△ABC,联立y-x-2=0,y+4x-7=0,解得x=1,y=3,则点A(1,3),同理可得点B(2,-1)、C(-1,1).设△ABC的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),由题意可得D+3E+F+10=0,2D-E+F+5=0,-D+E+F+2=0,解得D=-115,E=-95,F=-125,因此,所求圆的方程为x2+y2-115x-95y-125=0.
5.答案 -1
解析 根据题意作出可行域,如图阴影部分所示:
直线mx-y-6m=0,即为直线m(x-6)-y=0,所以直线mx-y-6m=0恒过定点(6,0),围绕点(6,0)旋转直线m(x-6)-y=0,可知当直线m(x-6)-y=0过点P时其斜率有最小值,即当直线m(x-6)-y=0过点P时m有最小值,解方程组4x-y-4=0,x-y+2=0,解得x=2,y=4,所以点P的坐标为(2,4),又因为直线m(x-6)-y=0恒过点(6,0),所以此时斜率m=4-02-6=-1.
6.解析 设f(x)=x2+ax-2b,因为一元二次方程x2+ax-2b=0有两实根,一根在区间(0,1)内,另一根在区间(1,2)内,
所以f(0)=-2b>0,f(1)=1+a-2b<0,f(2)=4+2a-2b>0,即b<0,a-2b+1<0,a-b+2>0.
作出不等式组表示的可行域,如图中△ABC内部的部分.
由图可知,z=ba-1表示可行域内的点与点P(1,0)连线的斜率,
此时过点A和点P的直线的斜率最大,过点B(C)和点P的直线的斜率最小.
由a-2b+1=0,a-b+2=0,解得a=-3,b=-1,∴A(-3,-1),易得B(-1,0),C(-2,0),
所以kPA=-1-0-3-1=14,kPC=0,故z的取值范围为0,14.
7.解析 (1)由题意,知-1和3是方程mx2-2nx-1=0的两个根,
则m+2n-1=0,9m-6n-1=0,解得m=13,n=13.
(2)由题意可知f(1)≥0,f(-2)<0,
即m-2n-1≥0,4m+4n-1<0,
作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示:
则点P的坐标为12,-14.
作平行直线系z=m+2n,可知直线z=m+2n过点P12,-14时取最大值,∴zmax=12+2×-14=0,故m+2x的取值范围是(-∞,0).
8.解析 依题意,设每月生产x把椅子,y张书桌,利润为z元,那么,目标函数为z=15x+20y,
x,y满足限制条件6x+10y≤6000,4x+2y≤2600,x≥0,x∈N,y≥0,y∈N,
即3x+5y≤3000,2x+y≤1300,x≥0,x∈N,y≥0,y∈N.
作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域,如图阴影部分(为整点).
作直线l:15x+20y=0,
平移直线l,当直线过B点时,目标函数取得最大值.
由3x+5y=3000,2x+y=1300,得x=500,y=300,所以点B的坐标为(500,300),此时,z=15×500+20×300=13 500,
所以该公司每月制作500把椅子、300张书桌,可获得最大利润13 500元.
9.答案 43
解析 由|OA|=|OB|=OA·OB=2,知cs=OA·OB|OA|×|OB|=22×2=12,
∴=π3.不妨设OA=(2,0),OB=(1,3),OP=(x,y),则x=2λ+μ,y=3μ,解得μ=y3,λ=12x-y3,由|λ|+|μ|≤1得|3x-y|+|2y|≤23.作出可行域,如图所示:
则所求面积S=2×12×4×3=43.
10.解析 根据线性规划的知识,将目标函数z=x+y对应的基准直线y=-x向上平移到阴影部分的边界位置,即直线x+y-z=0与圆x2+(y-1)2=1在第一象限部分相切时,z取得最大值.根据圆心(0,1)到直线x+y-z=0的距离等于1,得|1-z|2=1(z>0),解得z=1+2,所以z=x+y的最大值为1+2.
甲
乙
原料限额
A(吨)
3
2
12
B(吨)
1
2
8
连续剧播放时长(分钟)
广告播放时长(分钟)
收视人次(万)
甲
70
5
60
乙
60
5
25
P123
3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域
基础过关练
题组一 二元一次不等式(组)表示的区域
1.不等式2x+y-1>0表示的平面区域是( )
2.若实数x,y满足x-y+1>0,2x-y<0,则点P(x,y)不可能落在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.在平面直角坐标系内,满足不等式x2-y2≥0的点(x,y)的集合(用阴影表示)是( )
4.图中阴影部分表示的区域对应的二元一次不等式组为 ( )
A.x+y-1≥0x-2y+2≥0 B.x+y-1≤0x-2y+2≤0
C.x+y-1≥0x-2y+2≤0 D.x+y-1≤0x-2y+2≥0
5.画出下列不等式(组)表示的平面区域.
(1)y≥-2x+3;
(2)x-y+5≥0,x+y≤0,y≥-3,
(3)x≤|y|≤2x.
题组二 含参数的不等式(组)表示的平面区域问题
6.若直线l:kx-y+1=0上不存在满足不等式组x-y≥0,x+y-2≤0的点(x,y),则实数k的取值范围为( )
A.(1,+∞) B.(0,+∞)
C.(0,1) D.(0,1]
7.(2020江西赣州高二期末)已知直线l:y=kx+k+1经过不等式组2x+y-6≤0,x+y-3≥0,y≤2表示的平面区域,则实数k的取值范围是( )
A.-14,12 B.-∞,-14∪12,+∞
C.-∞,12 D.-∞,-14
8.若关于x,y的不等式组x≥0,y≥x,kx-y+1≥0(k为常数)所表示的平面区域的边界是一个直角三角形,则实数k= .
题组三 二元一次不等式(组)所表示的平面区域的面积问题
9.不等式组x-y+6≥0,x+y≥0,x≤3表示的平面区域的面积是( )
A.18 B.36 C.72 D.144
10.在平面直角坐标系中,若不等式组x+y-1≥0,x-1≤0,ax-y+1≥0(a为常数)所表示的平面区域的面积等于5,则a的值为( )
A.-11 B.3 C.9 D.9或-11
11.若不等式组x≤0,y≥0,y-x≤2表示的平面区域为I,则当a从-2连续变化到1时,动直线x+y-a=0扫过I中的那部分区域的面积为 .
能力提升练
一、选择题
1.(★★☆)不等式组|x+y|≤1,|x-y|≤1表示的平面区域内整点的个数是( )
A.0 B.2 C.4 D.5
2.(2020山西临汾高二期末,★★☆)在平面直角坐标系中,若不等式组x-4y+4≤0,2x+y-10≤0,5x-2y+2≥0所表示的平面区域被直线y=ax+1分为面积相等的两部分,则a的值为( )
A.12 B.1 C.2 D.94
3.(2020江西南昌二中高三月考,★★☆)不等式组x+y≥0,x-y+4≥0,(m>0)x≤m表示的平面区域的面积是9,则m的值是( )
A.8 B.6 C.4 D.1
4.(★★★)已知点M(a,b)在不等式组x≥0,y≥0,x+y≤2确定的平面区域内,则点N(a+b,a-b)所在的平面区域的面积是( )
A.1 B.2 C.4 D.8
5.(★★★)若直线(3λ+1)x+(1-λ)y+6-6λ=0与不等式组x+y-7<0,x-3y+1<0,3x-y-5>0表示的平面区域有公共点,则实数λ的取值范围是( )
A.-∞,-137∪(9,+∞)
B.-137,1∪(9,+∞)
C.(1,9)
D.-∞,-137
6.(★★★)在平面直角坐标系中,不等式组3x+y≥0,3x-y+23≥0x≤a,所表示的平面区域的周长是8+43,那么实数a的值为( )
A.-12 B.12 C.34 D.1
二、填空题
7.(2020上海建平中学高一月考,★★☆)在平面直角坐标系xOy中,点集K={(x,y)|(|x|+|2y|-4)(|2x|+|y|-4)≤0}所对应的平面区域的面积为 .
8.(★★☆)某公司从银行贷款不足250万元,分配给下属甲、乙两个工厂进行技术改造.已知甲厂可以从投入的金额中获取20%的利润;乙厂可以从投入的金额中获取25%的利润.若该公司计划从这笔贷款中至少获利60万元,甲、乙两个工厂分配到的贷款的金额分别为x万元、y万元,则x,y所满足的数学关系式为 .
9.(★★★)已知x,y满足x+y-3≥0,x-y+1≥0,3x-y-5≤0,若方程y=kx有解,则k的取值范围是 .
三、解答题
10.(★★☆)一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产1 t甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐4 t,硝酸盐18 t;生产1 t乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1 t,硝酸盐15 t.现有库存磷酸盐10 t,硝酸盐66 t.如果在此基础上进行生产,设x,y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的吨数,请列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域.
11.(★★☆)设不等式组x-y+8≥0,x+y≥0,x≤4表示的平面区域是Q.
(1)求平面区域Q的面积S;
(2)若点M(t,1)在平面区域Q内,求整数t的取值集合.
3.3.2 简单的线性规划问题
基础过关练
题组一 线性规划问题中线性目标函数的最值问题
1.(2020浙江绍兴高二期末)若实数x,y满足不等式组x+2y-4≥0,2x-y-3≤0,x-y≥0,则x+y的最小值是( )
A.83 B.3
C.4 D.6
2.设变量x,y满足约束条件x+y≥3,x-y≥-1,2x-y≤3,则目标函数z=2x+3y的最小值为( )
A.6 B.7
C.8 D.23
3.(2020江西新余高二期末)已知实数x,y满足x-2y+1≥0,x<2,x+y-1≥0,则z=2x-2y-1的取值范围是( )
A.53,5 B.-53,5
C.53,5 D.-53,5
4.(2020上海闵行七宝中学高三月考)满足约束条件|x|+2|y|≤2的目标函数z=y-x的最大值是 .
题组二 线性规划问题中非线性目标函数的最值问题
5.已知点P(x,y)的坐标满足条件x+y≤4,y≥x,x≥1,则x2+y2的最大值为( )
A.10 B.8 C.16 D.10
6.如果点P在不等式组2x-y+2≥0,x-2y+1≤0,x+y-2≤0表示的平面区域内,点Q在曲线x2+(y+2)2=1上,那么|PQ|的最小值为 ( )
A.5-1 B.45-1 C.22-1 D.2-1
7.(2020四川泸州高三四模)若变量(x,y)满足约束条件y≤3,x≤4,x+y-5≥0,则z=yx的最小值为 .
题组三 已知目标函数的最值求参数
8.已知点P(x,y)的坐标满足约束条件x-y≤0,x+y-1≥0,x-2y+2≥0,若z=x+3y+m的最小值为6,则m=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
9.已知x,y满足x-y+5≥0,x≤3,x+y+k≥0,且z=2x+4y的最小值为-6,则常数k=( )
A.2 B.9 C.310 D.0
10.若直线y=2x上存在点(x,y)满足x+y-3≤0,x-2y-3≤0,x≥m,则实数m的最大值为( )
A.-1 B.1 C.32 D.2
11.已知实数x,y满足不等式组x-y+2≥0,x+y-4≥0,2x-y-5≤0,目标函数z=y-ax(a∈R).若目标函数取最大值时的唯一最优解是(1,3),则实数a的取值范围是 .
题组四 线性规划的实际应用
12.在“家电下乡”活动中,某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇,现有4辆甲型货车、8辆乙型货车可供使用,每辆甲型货车运输费用400元,可装洗衣机20台;每辆乙型货车运输费用300元,可装洗衣机10台,若每辆货车至多运送一次,则该厂所花的最少运输费用为( )
A.2 000元 B.2 200元
C.2 400元 D.2 800元
13.(2020贵州威宁高二期末)2020年春节期间,因新冠肺炎疫情防控工作需要,某高中学校需要安排男教师x名,女教师y名做义工,x和y需满足条件2x-y≥5,x-y≤2,x≤6,则该校安排教师最多为 人.
14.(2020四川乐山高一期末)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产每种产品所需原料及每天原料的可用限额如下表所示.
如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为多少?
能力提升练
一、选择题
1.(2020黑龙江大庆高二期末,★★☆)已知x,y满足约束条件x-y≥0,x+y≤2,y≥0,则z=2x+y的最大值为( )
A.0 B.2 C.3 D.4
2.(2020浙江绍兴阳明中学高二期中,★★☆)实数x,y满足x-y+2>0,x+y>0,x<2,则整点(x,y)的个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
3.(2020山东烟台高二期中,★★☆)设O为坐标原点,A(1,1),若点B(x,y)满足x2+y2-2x-2y+1≥0,1≤x≤2,1≤y≤2,则OA·OB取得最小值时,点B的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.无数
4.(2020河南洛阳高二期末,★★☆)若变量x,y满足约束条件x+y≤2,x≥1,y≥0,则z=y+1x的取值范围是( )
A.[0,1] B.12,1
C.[1,2] D.12,2
5.(2020山西大同高一期末,★★★)x,y满足约束条件x+y-2≤0,x-2y-2≤0,2x-y+2≥0,若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为( )
A.12或-1 B.2或12
C.2或1 D.2或-1
6.(★★★)某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨,B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨,B原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元,销售每吨乙产品可获得利润3万元,该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨,B原料不超过18吨,那么该企业可获得的最大利润是( )
A.12万元 B.20万元
C.25万元 D.27万元
二、填空题
7.(2021河南三门峡高二期末,★★☆)若x,y满足约束条件x-y+4≥0,x+2y-3≤0,y≥-2,则y-4x-8的最小值为 .
8.(2020皖西南名校高二期末,★★☆)已知实数x,y满足不等式组2x-y-3≤0,3x+2y-1≥0,x-4y+9≥0,则z=x-y的最小值为 .
9.(2020四川宜宾高二期末,★★★)若对任意的x∈[-1,0],关于x的不等式3x2+2ax+b≤0恒成立,则a2+b2-1的最小值为 .
三、解答题
10.(2020吉林白城高一期末,★★☆)若x,y满足约束条件x-2y-2≤0,x-y+1≥0,y≤0,求:
(1)z=y-3x的最大值;
(2)z=y+2x+5的最小值;
(3)z=(x-1)2+(y-1)2的最大值.
11.(2020黑龙江东南联合体高一期末,★★☆)某工厂要制造A种电子装置45台,B种电子装置55台,需用薄钢板给每台装置配一个外壳,已知薄钢板的面积有两种规格:甲种薄钢板每张面积2 m2,可做A、B的外壳分别为3个和5个,乙种薄钢板每张面积3 m2,可做A、B的外壳分别为6个和6个,求两种薄钢板各用多少张,才能使总面积最小.
3.3综合拔高练
五年高考练
考点1 求线性目标函数的最值
1.(2020浙江,3,4分,★★☆)若实数x,y满足约束条件x-3y+1≤0,x+y-3≥0,则z=x+2y的取值范围是( )
A.(-∞,4] B.[4,+∞)
C.[5,+∞) D.(-∞,+∞)
2.(2019北京,5,5分,★★☆)若x,y满足|x|≤1-y,且y≥-1,则3x+y的最大值为( )
A.-7 B.1 C.5 D.7
3.(2019天津,2,5分,★★☆)设变量x,y满足约束条件x+y-2≤0,x-y+2≥0,x≥-1,y≥-1,则目标函数z=-4x+y的最大值为( )
A.2 B.3 C.5 D.6
4.(2020全国Ⅰ(文),13,5分,★★☆)若x,y满足约束条件2x+y-2≤0,x-y-1≥0,y+1≥0,则z=x+7y的最大值为 .
5.(2019课标全国Ⅱ(文),13,5分,★★☆)若变量x,y满足约束条件2x+3y-6≥0,x+y-3≤0,y-2≤0,则z=3x-y的最大值是 .
考点2 线性规划的实际应用
6.(2017天津,16,13分,★★★)电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示:
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟,广告的总播放时间不少于30分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x,y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.
(1)用x,y列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;
(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使总收视人次最多?
三年模拟练
应用实践
1.(★★☆)设x,y满足约束条件x-y-2≥0,x-5≤0,y+2≥0,则z=x2+y2的最小值与最大值分别为( )
A.2,34 B.2,34 C.4,34 D.2,34
2.(★★★)已知x,y满足约束条件x+2y≤7,x-y≤0,x≥1,且不等式16ax2-xy+ay2≥0恒成立,则实数a的取值范围为( )
A.325,+∞ B.18,+∞
C.117,325 D.117,+∞
3.(★★☆)设实数x、y满足条件3x-|y|≥0、x+|y|≤2,则可行域面积为 ,xy的最大值为 .
4.(2020江西鹰潭高二期末,★★★)平面区域3y+2x-1≥0,y+4x-7≤0,y-x-2≤0的外接圆的方程是 .
5.(★★★)若实数x,y满足不等式组x-y+2≥0,2x+y-2≥0,4x-y-4≤0,存在可行解(x,y)满足mx-y-6m=0,则实数m的最小值为 .
6.(★★☆)一元二次方程x2+ax-2b=0有两实根,一根在区间(0,1)内,另一根在区间(1,2)内.若z=ba-1,求z的取值范围.
7.(2021河南焦作高二期中,★★☆)已知函数f(x)=mx2-2nx-1.
(1)若不等式f(x)<0的解集为(-1,3),求m,n的值;
(2)设不等式f(x)≥0的解集为A,若1∈A,-2∉A,求m+2n的取值范围.
8.(2020广东东莞高二期末,★★★)某家具公司制作木质的椅子和书桌两种家具,需要木工和漆工两道工序,已知木工平均6个小时做一把椅子,10个小时做一张书桌,该公司每月木工最多有6 000个工作时;漆工平均4个小时漆一把椅子,2个小时漆一张书桌,该公司每月漆工最多有2 600个工作时.又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元,根据以上条件,怎样安排每月的生产,才能获得最大的利润?
9.(★★★)在平面直角坐标系中,O是坐标原点,两定点A,B满足|OA|=|OB|=OA·OB=2,由点集{P|OP=λOA+μOB,|λ|+|μ|≤1,λ,μ∈R}所表示的区域的面积是 .
10.(2020河南洛阳高二期末,★★☆)太极图被称为“中华第一图”,从孔庙大成殿梁柱,到楼观台、三茅宫、白云观的标记物,太极图无不跃居其上.这种广为人知的太极图,其形状如阴阳两鱼互抱在一起,因而又被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中,阴影部分的区域可用不等式组x2+y2≤4,x≤0,x2+(y+1)2≥1或不等式x2+(y-1)2≤1来表示,设(x,y)是阴影中的任意一点,求z=x+y的最大值.
答案全解全析
第三章 不等式
3.3 二元一次不等式(组)与
简单的线性规划问题
3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域
基础过关练
1.D 代入坐标原点(0,0),得-1>0,则坐标原点(0,0)不在2x+y-1>0表示的平面区域内,且直线2x+y-1=0应画成虚线,从而确定选D.
2.D 由不等式组,画出可行域如图所示:
由图可知,点P(x,y)不可能落在第四象限,故选D.
3.B 由x2-y2≥0,得(x-y)(x+y)≥0,
即x-y≥0,x+y≥0或x-y≤0,x+y≤0,故选B.
4.A 由题图得,l1:x+y-1=0,l2:x-2y+2=0.取原点O(0,0)代入检验,满足x+y-1≤0,故异侧点应满足x+y-1≥0,排除B,D.又点O满足x-2y+2≥0,所以排除C.故选A.
5.解析 (1)
(2)
(3)
方法总结 若题设条件涉及的不等式组不是标准的二元一次不等式组,则要先根据相关的运算法则进行转化.高次不等式、绝对值不等式及双向不等式都可以转化为不等式组,从而画出这些不等式组表示的平面区域.对于含绝对值的不等式表示的平面区域的作法:先分情况讨论去掉绝对值符号,从而把含绝对值的不等式(组)转化为一般的二元一次不等式(组),然后按照“直线定界,特殊点定域”的方法作出所求的平面区域.
6.D 画出可行域如图阴影部分所示.由直线l:kx-y+1=0恒过定点B(0,1),结合图可知,当且仅当直线l:kx-y+1=0的斜率k满足0
直线l:y=kx+k+1过定点M(-1,1),
由y=2,x+y-3=0,解得x=1,y=2,∴A(1,2),
当直线l过点A时,k=12;由2x+y-6=0,x+y-3=0,解得x=3,y=0,∴B(3,0),
当直线l过点B时,k=-14;由图可知,实数k的取值范围是-14,12.
8.答案 0或-1
解析 不等式组x≥0,y≥x表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界).易知直线kx-y+1=0过定点A(0,1),且不等式kx-y+1≥0表示的区域为直线kx-y+1=0上及其下方,要使题中不等式组所表示的平面区域的边界是直角三角形,则需满足直线kx-y+1=0与y轴垂直或与直线y=x垂直,所以k=0或k=-1.
解题模板 解决含参的有关不等式(组)问题,关键是回归解析几何的本质特征,一方面要抓住平面区域的几何特征,另一方面要把握直线的特征.
9.B 作出不等式组表示的平面区域如图.
由图得,A(-3,3),B(3,9),C(3,-3).
∴S△ABC=12×[9-(-3)]×[3-(-3)]=36.故选B.
10.C 画出x+y-1≥0,x-1≤0表示的平面区域如图.
∵直线y=ax+1过定点(0,1),且ax-y+1≥0与x+y-1≥0,x-1≤0围成的平面区域的面积为5,∴a>0.令x=1,得y=a+1,∴12×(a+1)×1=5,解得a=9.
11.答案 74
解析 如图所示,I为△BOE所表示的区域,当a从-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过I中的那部分区域为四边形BOCD.由图知,B(-2,0),O(0,0),C(0,1),D-12,32,E(0,2),△CDE为直角三角形,∴S四边形BOCD=12×2×2-12×1×12=74.
能力提升练
一、选择题
1.D 不等式组|x+y|≤1,|x-y|≤1等价于-1≤x+y≤1,-1≤x-y≤1,
即x+y≤1,x+y≥-1,x-y≤1,x-y≥-1,作出其表示的平面区域如图所示:
∴平面区域内的整点有(-1,0),(0,1),(0,0),(0,-1),(1,0),共5个.
2.B 作出不等式对应的平面区域,如图所示:
因为直线y=ax+1过定点C(0,1),所以要使表示的平面区域被直线y=ax+1分为面积相等的两部分,则直线y=ax+1必过A(2,6),B(4,2)的中点D(3,4),∴4=3a+1,∴a=1.
3.D 画出不等式组x+y≥0,x-y+4≥0,(m>0)x≤m表示的平面区域,如图所示.
则平面区域是以A(-2,2),C(m,-m),B(m,m+4)为顶点的三角形ABC(包含边界),
则该区域的面积为12[m-(-2)][m+4-(-m)]=9,解得m=1(m=-5舍去).故选D.
4.C 由于点M在不等式组确定的平面区域内,故有a≥0,b≥0,a+b≤2.
令a+b=m,a-b=n,则2a=m+n,2b=m-n,代入a,b满足的不等式组中, 得到m+n≥0,m-n≥0,m≤2,此不等式组表示的平面区域即为点N所在的平面区域,如图所示.
由图知,面积为12×2×4=4.
5.A (3λ+1)x+(1-λ)y+6-6λ=0等价于λ(3x-y-6)+(x+y+6)=0.
由3x-y-6=0,x+y+6=0,解得x=0,y=-6,即直线过定点(0,-6).
作出不等式组表示的平面区域如图所示,
其中A(2,1),B(5,2),D(0,-6).
由图得,当直线(3λ+1)x+(1-λ)y+6-6λ=0的斜率在kBD与kAD之间时,直线与不等式组表示的平面区域有公共点.
又kBD=-6-20-5=85,kAD=-6-10-2=72,
∴85<3λ+1λ-1<72,解得λ<-137或λ>9.
6.D 作出不等式组所表示的平面区域及各点坐标如图所示,
显然有a>-1,易得B(a,3a+23),C(a,-3a),取BC的中点E,则AE⊥BC,因为kAB=3,kAC=-3,所以∠BAE=60°,∠ACB=30°,所以∠ADO=∠ABC=30°,∠AOD=∠ACB=30°,|BC|=|3a+23-(-3a)|=|23a+23|=23(a+1).在Rt△ABE中,AB=BEsin60°=3(a+1)32=2(a+1),又AB=AC,所以AC=2(a+1),则△ABC的周长为AB+AC+BC=4(a+1)+23(a+1)=(4+23)(a+1)=8+43,解得a=1.
二、填空题
7.答案 323
解析 ∵(|x|+|2y|-4)(|2x|+|y|-4)=0所对应的区域关于原点,x轴,y轴对称,
∴只要作出在第一象限的区域即可.当x≥0,y≥0时,不等式等价为(x+2y-4)(2x+y-4)≤0,即x+2y-4≥0,2x+y-4≤0或x+2y-4≤0,2x+y-4≥0,在第一象限内对应的图象如图所示,
则A(2,0),B(4,0),由x+2y-4=0,2x+y-4=0,解得x=43,y=43,即C43,43,
则三角形ABC的面积S=12×2×43=43,则在第一象限的面积S=2×43=83,则点集K所对应的平面区域的面积S=4×83=323.
8.答案 x+y<250x·20%+y·25%≥60x≥0y≥0
9.答案 12,2
解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,三条边界线的交点分别记为A,B,C.
由图可知,y=kx应在直线OA与OB之间,所以kOB≤k≤kOA.
又由x-y+1=0,x+y-3=0得x=1,y=2,即A(1,2).
由3x-y-5=0,x+y-3=0得x=2,y=1,即B(2,1).
所以kOA=2,kOB=12.
所以12≤k≤2.
三、解答题
10.解析 由题意可知,x和y满足的数学关系式为4x+y≤10,18x+15y≤66,x≥0,y≥0,画出不等式组表示的平面区域,然后取交集.作出不等式组表示的平面区域,如图所示阴影部分.
11.解析 (1)作出平面区域Q,它是一个等腰直角三角形(如图所示).
由x+y=0,x=4,得A(4,-4),
由x-y+8=0,x=4,得B(4,12),
由x-y+8=0,x+y=0,得C(-4,4).
于是可得|AB|=16,AB边上的高h=8,
∴平面区域Q的面积S=12×16×8=64.
(2)由已知得t-1+8≥0,t+1≥0,t≤4,t∈Z,
即t≥-7,t≥-1,t≤4,t∈Z,亦即-1≤t≤4,t∈Z,
∴t=-1,0,1,2,3,4.
故整数t的取值集合是{-1,0,1,2,3,4}.
3.3.2 简单的线性规划问题
基础过关练
1.A 画出不等式组x+2y-4≥0,2x-y-3≤0,x-y≥0表示的平面区域,如图.由图知,x+y的最小值在直线x+2y-4=0与直线x-y=0的交点N43,43处取得,所以x+y的最小值是83.故选A.
2.B 画出不等式组x+y≥3,x-y≥-1,2x-y≤3表示的可行域,如图.
由z=2x+3y可化为y=-2x3+z3,
易知当直线y=-2x3+z3过点B时,目标函数取得最小值.
由x+y=3,2x-y=3得x=2,y=1,
所以点B的坐标为(2,1),
所以zmin=4+3=7,故选B.
3.D 作出可行域如图所示:
由z=2x-2y-1,得y=x-1+z2,
平移直线y=x-1+z2,当直线y=x-1+z2经过点C时,直线y=x-1+z2的纵截距最小,此时z取得最大值,由x=2,x+y-1=0,解得x=2,y=-1,即C(2,-1),将其代入z=2x-2y-1,得z=2x-2y-1=4+2-1=5;
当直线y=x-1+z2经过点A时,直线y=x-1+z2的纵截距最大,此时z取得最小值,
由x-2y+1=0,x+y-1=0,解得x=13,y=23,
即A13,23,
将其代入z=2x-2y-1,得z=2×13-2×23-1=-53,故z∈-53,5.故选D.
4.答案 2
解析 作出约束条件|x|+2|y|≤2所表示的平面区域如图所示(阴影部分),易知z=y-x在点(-2,0)上取得最大值,此时z=0-(-2)=2.
陷阱分析 线性规划的实质是把代数问题几何化,即运用数形结合的思想解题.需要注意的是:
(1)准确作出可行域;(2)画目标函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;(3)一般情况下,目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点处或边界上取得.
5.D 画出不等式组对应的可行域,如图所示.
x2+y2表示可行域内的点到原点距离的平方.
易得A(1,1),|OA|=2,B(2,2),|OB|=22,C(1,3),|OC|=10.
所以(x2+y2)max=|OC|2=(10)2=10.
6.A 不等式组表示的平面区域为图中阴影部分(包括边界).
点P到Q的最小距离为(-1,0)到(0,-2)的距离减去半径1,所以|PQ|min=(-1-0)2+[0-(-2)]2-1=5-1.
7.答案 14
解析 由已知约束条件可得可行域,且z=yx表示直线y=zx的斜率k=z,如图所示:
当直线y=zx过(4,1)时z有最小值,当直线y=zx过(2,3)时z有最大值,
∴z∈14,32,即zmin=14.
8.D 根据题意,作出可行域(如图),由图可知,当直线z=x+3y+m过点12,12时,z取得最小值6,从而m=6- 12- 32=4.故选D.
9.D 作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示.
由图可知,当直线z=2x+4y经过直线x=3与x+y+k=0的交点(3,-3-k)时,z最小,所以-6=2×3+4×(-3-k),解得k=0.
10.B 作出可行域,如图.若直线y=2x上存在点(x,y)满足约束条件,则3-m≥2m,即m≤1,故m的最大值为1.
11.答案 (1,+∞)
解析 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,当直线y=ax+z的斜率大于1时,目标函数在点(1,3)处取得最大值.故a>1.
12.B 设使用甲型货车x辆,乙型货车y辆,所花运输费用为z元,则0≤x≤4,0≤y≤8,20x+10y≥100,x,y∈N,z=400x+300y,可行域为如图所示的阴影部分(为整点).
由图可得,当直线z=400x+300y过点(4,2)时,z取得最小值,故zmin=2 200,故选B.
13.答案 13
解析 由于x和y需满足约束条件2x-y≥5,x-y≤2,x≤6,画出可行域,如图所示:
对于需要求该校安排教师人数最多,设目标函数为z=x+y,得y=-x+z,则题意转化为在可行域内任意取x、y且为整数,使得目标函数的斜率为定值-1,由图可知,直线y=-x+z过点A(6,7)时,z取得最大值,故zmax=6+7=13.
14.信息提取 ①生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元;②题中的表格.
数学建模 本题是以生产产品的分配为背景,求最大利润的实际问题,易构建线性规划问题数学模型.设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨,y吨,利润为z元,然后根据题目条件(实际问题)建立约束条件,得到目标函数,画出约束条件所表示的平面区域,最后利用平移法求出z的最大值(数学方法).
解析 设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨,y吨,利润为z元,
则3x+2y≤12,x+2y≤8,x≥0,y≥0,目标函数为z=3x+4y.
作出二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分),如图所示.
由z=3x+4y,得y=-34x+z4,平移直线y=-34x+z4,由图象可知,当直线y=-34x+z4经过点A时,直线y=-34x+z4的纵截距最大,此时z取最大值,
由3x+2y=12,x+2y=8,解得x=2,y=3,即A的坐标为(2,3),
∴zmax=3x+4y=6+12=18.
则该企业每天生产甲、乙两种产品分别为2吨,3吨时,能够产生最大的利润,最大的利润是18万元.
能力提升练
一、选择题
1.D 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,
z=2x+y等价于y=-2x+z,作直线y=-2x,向上平移,知当直线y=-2x+z经过点A(2,0)时z最大,所以zmax=2×2+0=4,故选D.
2.C 如图,
根据图形可知:-1
3.B 如图,阴影部分为点B(x,y)所在的区域.
OA·OB=x+y,令z=x+y,则y=-x+z.
由图可知,当直线y=-x+z过C点或D点时,z取最小值,故点B的个数为2.
4.D 画出可行域,如图所示.z=y+1x的几何意义为可行域内的点(x,y)与点(0,-1)连线的斜率.由图易得,z=y+1x在(2,0)处取得最小值,且最小值为0+12=12;在(1,1)处取得最大值,且最大值为1+11=2.故z=y+1x的取值范围是12,2.
故选D.
5.D 由题中约束条件作可行域如图所示:
将z=y-ax化为y=ax+z,即直线y=ax+z的纵截距取得最大值的最优解不唯一,
当a>2时,直线y=ax+z经过点A(-2,-2)时纵截距最大,此时最优解仅有一个,不符合题意;当a=2时,直线y=ax+z与y=2x+2重合时纵截距最大,此时最优解不唯一,符合题意;当-1
由题意得x≥0,y≥0,3x+y≤13,2x+3y≤18,可行域如图中阴影部分所示.
由图可知,当z=5x+3y过A点时,z取得最大值.由3x+y=13,2x+3y=18,解得x=3,y=4,即A(3,4),所以zmax=5×3+3×4=27.故该企业可获得的最大利润是27万元.
二、填空题
7.答案 529
解析 作出不等式组所表示的平面区域,如图所示:
则y-4x-8的几何意义是可行域内的点与(8,4)的斜率,然后求解最小值.由x-y+4=0,x+2y-3=0可得P-53,73,所以kPA=529.
故y-4x-8的最小值为529.
8.答案 -3
解析 不等式组对应的可行域如图所示,
由3x+2y-1=0,x-4y+9=0可得x=-1,y=2,∴A(-1,2),
平移初始直线x-y=0至A时,z取最小值且最小值为-1-2=-3.
9.答案 45
解析 令f(x)=3x2+2ax+b,
因为对任意的x∈[-1,0],关于x的不等式3x2+2ax+b≤0恒成立,
所以3×(-1)2-2a+b≤0,b≤0,
即2a-b-3≥0,b≤0,其可行域如图阴影部分所示:
z=a2+b2表示的几何意义是原点O(0,0)与点P(a,b)之间距离的平方,
由图可知,当OP垂直于2a-b-3=0所在的直线时,距离最小,最小值为|2×0-0-3|22+12=35,所以a2+b2-1的最小值为352-1=45.
三、解答题
10.解析 (1)不等式组表示的可行域如图①所示:
图①
由x-2y-2=0,x-y+1=0,解得x=-4,y=-3,
∴A(-4,-3).
由z=y-3x得到y=3x+z,z表示直线y=3x+z在y轴上的截距.
由图可知,当直线y=3x+z过A(-4,-3)时,z取得最大值,zmax=-3-3×(-4)=9.
(2)z=y+2x+5表示可行域内的点(x,y)与点D(-5,-2)连线的斜率,由图②知,当点D(-5,-2)与点A(-4,-3)连线时,斜率最小,故zmin=-3+2-4+5=-1.
图②
(3)z=(x-1)2+(y-1)2表示可行域内的点(x,y)与点E(1,1)距离的平方,由图③知,
当点E(1,1)与点A(-4,-3)连线时,距离最大,故zmax=(-4-1)2+(-3-1)2=41.
图③
11.解析 设甲种薄钢板用x张,乙种薄钢板用y张,则可做A种产品外壳(3x+6y)个,B种产品外壳(5x+6y)个.
由题意可得3x+6y≥45,5x+6y≥55,x≥0,y≥0,x,y∈N,薄钢板的总面积是z=2x+3y,
可行域的阴影部分如图所示(整点),其中l1:3x+6y=45,l2:5x+6y=55,l1与l2的交点为A(5,5).
由图可得,当目标函数z=2x+3y过点A(5,5)时,z取得最小值,为2×5+3×5=25.
即甲、乙两种薄钢板各用5张时,总面积最小.
3.3综合拔高练
五年高考练
1.B 由约束条件画出可行域如图.
易知z=x+2y在点A(2,1)处取得最小值4,无最大值,所以z=x+2y的取值范围是[4,+∞).故选B.
2.C |x|≤1-y,且y≥-1等价于y-1≤x≤1-y,y≥-1,表示的平面区域如图中阴影部分所示.
令3x+y=z,则y=-3x+z,当z=0时,方程y=-3x+z表示直线l,当直线l向右上方平移时,z逐渐增大,当直线过点A(2,-1)时,z=3x+y取最大值,为3×2-1=5,故选C.
3.C 作出可行域(如图中阴影部分),
平移直线-4x+y=0可知,目标函数z=-4x+y在点P处取最大值.
由x-y+2=0,x=-1得P(-1,1).
∴zmax=-4×(-1)+1=5.
故选C.
4.答案 1
解析 作出可行域如图,由z=x+7y得y=-x7+z7,易知当直线y=-x7+z7经过点A(1,0)时,z取得最大值,zmax=1+7×0=1.
5.答案 9
解析 作出可行域(如图阴影部分所示).
易得A(3,0),B(1,2),C(0,2).
将z=3x-y化为y=3x-z,由图知,当直线y=3x-z经过点A(3,0)时,截距-z取得最小值,从而z取得最大值.zmax=3×3=9.
6.解析 (1)由已知得x,y满足的数学关系式为70x+60y≤600, 5x+5y≥30,x≤2y,x≥0,y≥0,x,y∈N,即7x+6y≤60,x+y≥6,x-2y≤0,x≥0,y≥0,x,y∈N.
该不等式组所表示的平面区域如图1所示(阴影部分,且包括边界,整点).
图1
(2)设总收视人次为z万,则目标函数为z=60x+25y.
将z=60x+25y变形为y=-125x+z25,这是斜率为-125,随z变化的一族平行直线,z25为直线在y轴上的截距.当z25取得最大值时,z的值最大.又因为x,y满足约束条件,所以由图2可知,当直线z=60x+25y经过可行域上的点M时,截距z25最大,即z最大.
图2
解方程组7x+6y=60,x-2y=0,得x=6,y=3,所以点M的坐标为(6,3).
所以电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.
三年模拟练
1.D 作出不等式组表示的可行域如图所示:
由x=5,x-y-2=0,解得x=5,y=3,∴A(5,3).
由图可知,z=x2+y2表示的几何意义是点P(x,y)到坐标原点的距离的平方,
所以z=x2+y2的最大值为AO2=25+9=34,
最小值为PO2=222=2.故选D.
2.A 作出不等式组表示的平面区域如图所示,
则可行域内的点恒满足16x2+y2>0,
则不等式16ax2-xy+ay2≥0,即a≥xy16x2+y2恒成立,
即a≥yx16+yx2,令t=yx(t>0)可知:a≥t16+t2恒成立,即a≥1t+16t(t>0)恒成立.
其中t=yx=y-0x-0表示坐标原点与可行域内点连线的斜率(如图所示),在点A和点C处目标函数取得最值,据此可知:t∈[1,3].结合对勾函数的性质可知,当t=3时,t+16t取得最小值,此时1t+16t取最大值,即t16+t2取得最大值,最大值为316+9=325,又a≥t16+t2恒成立,∴实数a的取值范围为325,+∞.
3.答案 3;1
解析 因为实数x、y满足条件3x-|y|≥0,x+|y|≤2,
所以实数x、y满足y≥0,3x-y≥0,x+y≤2或y<0,3x+y≥0,x-y≤2,绘出可行域,如图所示:
易知A12,32,B12,-32,C(2,0),故可行域面积S=2S△AOC=3.
结合图象可知,当xy最大时,点(x,y)在线段AC上,直线AC的方程为y=2-x,
则xy=x(2-x)=-x2+2x=-(x-1)2+1≤1,
故当x=1时,xy取得最大值,xy的最大值为1.
4.答案 x2+y2-115x-95y-125=0
解析 作出不等式组3y+2x-1≥0,y+4x-7≤0,y-x-2≤0所表示的平面区域如图所示:
由图可知,平面区域为△ABC,联立y-x-2=0,y+4x-7=0,解得x=1,y=3,则点A(1,3),同理可得点B(2,-1)、C(-1,1).设△ABC的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),由题意可得D+3E+F+10=0,2D-E+F+5=0,-D+E+F+2=0,解得D=-115,E=-95,F=-125,因此,所求圆的方程为x2+y2-115x-95y-125=0.
5.答案 -1
解析 根据题意作出可行域,如图阴影部分所示:
直线mx-y-6m=0,即为直线m(x-6)-y=0,所以直线mx-y-6m=0恒过定点(6,0),围绕点(6,0)旋转直线m(x-6)-y=0,可知当直线m(x-6)-y=0过点P时其斜率有最小值,即当直线m(x-6)-y=0过点P时m有最小值,解方程组4x-y-4=0,x-y+2=0,解得x=2,y=4,所以点P的坐标为(2,4),又因为直线m(x-6)-y=0恒过点(6,0),所以此时斜率m=4-02-6=-1.
6.解析 设f(x)=x2+ax-2b,因为一元二次方程x2+ax-2b=0有两实根,一根在区间(0,1)内,另一根在区间(1,2)内,
所以f(0)=-2b>0,f(1)=1+a-2b<0,f(2)=4+2a-2b>0,即b<0,a-2b+1<0,a-b+2>0.
作出不等式组表示的可行域,如图中△ABC内部的部分.
由图可知,z=ba-1表示可行域内的点与点P(1,0)连线的斜率,
此时过点A和点P的直线的斜率最大,过点B(C)和点P的直线的斜率最小.
由a-2b+1=0,a-b+2=0,解得a=-3,b=-1,∴A(-3,-1),易得B(-1,0),C(-2,0),
所以kPA=-1-0-3-1=14,kPC=0,故z的取值范围为0,14.
7.解析 (1)由题意,知-1和3是方程mx2-2nx-1=0的两个根,
则m+2n-1=0,9m-6n-1=0,解得m=13,n=13.
(2)由题意可知f(1)≥0,f(-2)<0,
即m-2n-1≥0,4m+4n-1<0,
作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示:
则点P的坐标为12,-14.
作平行直线系z=m+2n,可知直线z=m+2n过点P12,-14时取最大值,∴zmax=12+2×-14=0,故m+2x的取值范围是(-∞,0).
8.解析 依题意,设每月生产x把椅子,y张书桌,利润为z元,那么,目标函数为z=15x+20y,
x,y满足限制条件6x+10y≤6000,4x+2y≤2600,x≥0,x∈N,y≥0,y∈N,
即3x+5y≤3000,2x+y≤1300,x≥0,x∈N,y≥0,y∈N.
作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域,如图阴影部分(为整点).
作直线l:15x+20y=0,
平移直线l,当直线过B点时,目标函数取得最大值.
由3x+5y=3000,2x+y=1300,得x=500,y=300,所以点B的坐标为(500,300),此时,z=15×500+20×300=13 500,
所以该公司每月制作500把椅子、300张书桌,可获得最大利润13 500元.
9.答案 43
解析 由|OA|=|OB|=OA·OB=2,知cs
∴
则所求面积S=2×12×4×3=43.
10.解析 根据线性规划的知识,将目标函数z=x+y对应的基准直线y=-x向上平移到阴影部分的边界位置,即直线x+y-z=0与圆x2+(y-1)2=1在第一象限部分相切时,z取得最大值.根据圆心(0,1)到直线x+y-z=0的距离等于1,得|1-z|2=1(z>0),解得z=1+2,所以z=x+y的最大值为1+2.
甲
乙
原料限额
A(吨)
3
2
12
B(吨)
1
2
8
连续剧播放时长(分钟)
广告播放时长(分钟)
收视人次(万)
甲
70
5
60
乙
60
5
25
P123
相关试卷
高中数学人教版新课标A必修53.3 二元一次不等式（组）与简单的线性练习题： 这是一份高中数学人教版新课标A必修53.3 二元一次不等式（组）与简单的线性练习题，共11页。
高中数学人教版新课标A必修53.3 二元一次不等式（组）与简单的线性测试题： 这是一份高中数学人教版新课标A必修53.3 二元一次不等式（组）与简单的线性测试题，共11页。
高中人教版新课标A3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性同步测试题： 这是一份高中人教版新课标A3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性同步测试题，共11页。
