数学八年级下册16.2 二次根式的乘除教案

这是一份数学八年级下册16.2 二次根式的乘除教案，共8页。

单位名称
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学科
初中数学
年级/册
八年级下册
教材版本
人教版
课题名称
《16.2二次根式的乘除——二次根式化简》
难点名称
被开方数是多项式和分式的二次根式的化简；挖掘题目的隐含条件
难点分析
从知识角度分析为什么难
辨析是不是最简二次根式和二次根式的化简内容复杂：二次根式在学生已学过的数学知识中是符号感最强的内容之一，作为二次根式乘、除法与加减法的过渡桥梁的“最简二次根式”这一节课在本章中起着承上启下的作用，因为加减法就是在识别“同类的”最简二次根式的前提下进行的。而最简二次根式是本章一个重要概念，它在二次根式的性质、运算中扮演十分重要的角色，在二次根式的化简过程中，当被开方数为整数或整式时，把被开方数进行因数或因式分解，使其转化为乘积的形式，再根据积的算术平方根的性质，把开得尽方的因数或因式用它的算术平方根代替移到根号外面去。当被开方数是分数或分式时，根据分式的基本性质和商的算术平方根的性质化去分母。化简二次根式时，要挖掘题目的隐含条件，化简时要特别注意从被开方数为非负数求字母的取值范围入手。
从学生角度分析为什么难
学生对于被开方数是多项式和分式的二次根式的化简运算感到困难：二次根式的运算是二次根式这一章的一大重点，运算的其中一个基础就是将二次根式化简为最简二次根式。在二次根式中，由于涉及的概念和性质都比较抽象，二次根式需要有一定的抽象思维能力，而多数学生的发散思维较弱，对本节课的内容理解还是有一定的难度。二次根式的运算比整式、分式复杂，学生对此会产生一些认知上的思维障碍。学生对一个二次根式是否为最简二次根式，是否还可以继续化简的判断存在一定的困难，特别是受分配律、积的乘方等法则的影响，有的学生误认为形如可以化简为。有部分学生在整式的加减、整式的乘除、分式的加减和乘除运算的公式、运算法则不清楚，即使本节课听懂，由于过去的知识不牢固，造成二次根式的化简运算不正确。
难点教学方法
根据本节教学内容和学生年龄等特点，本节课将采用启发引导和探究相结合的教学方法。在教学过程中让学生乘坐“观察”、“思考”、“探究”、“讨论”和“归纳”之舟，去认识数学的本质，提高学生的合情推理、运算和思辨能力，培养学生严谨的科学态度。通过实际运算的例子，引出最简二次根式的概念，再通过解题实践，总结归纳化简二次根式的方法。通过对化简二次根式方法的探讨，体会比较与分析的思维方法和“求简”、抓“本质”的数学方法，提高思维的缜密性。
教学环节
教学过程
导入
(一)回顾旧知 导入新课
1、二次根式有哪些性质？
（1）根的方：
（2）方的根：
（3）二次根式的乘法法则
（4）二次根式的除法法则
2.完成下列各题：
计算
答案：
师生活动：教师提出问题，学生互相补充回答问题。
设计意图：承前启后，复习旧知，为本节内容的引入进行铺垫，通过两种解法对比得出繁杂的二次根式化为简单的二次根式后，使解决问题更加容易。让学生在每一个二次根式的化简过程中进一步巩固二次根式的性质及二次根式乘除法法则，体会本节内容与前面几节内容的关系。
知识讲解
（难点突破）
（二）合作探究 获取新知
观察与思考
观察上面二次根式里的被开方数前后发生了什么变化，化简后的被开方数有哪些共同的特征？
追问1化简后二次根式的被开方数有什么特点？
追问2化简后二次根式的被开方数还含有开得尽方的因数或因式吗？
师生活动：引导学生观察考虑： 化简前后的根式，被开方数有什么不同？ 化简前的被开方数有分数，分式；化简后的被开方数都是整数或整式，且被开方数中开得尽方的因数或因式，被移到根号外，学生观察并独立思考，尝试着进行概括
师提问：满足什么样的条件是最简二次根式？
师生活动：教师引导学生谈论，分析共同特点，归纳得出最简二次根式的概念。
满足（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式这两个条件的二次根式叫做最简二次根式。
教师强调：在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式。
设计意图：通过具体问题的解决，让学生经历观察、思考、讨论过程，得出最简二次根式的概念，培养学生的归纳概括能力。
（三）辨析应用，加深理解
例1判断下列各式是否为最简二次根式？
师生活动：学生尝试解释，教师根据学生回答情况进行引导，先让学生说明判断的依据，然后逐一对照依据进行判断，加深对最简二次根式概念的理解。通过实例辨析，让学生进一步理解最简二次根式的概念。
学生回答：
（1）被开方数有开得方的，因此它不是最简二次根式；
（2）被开方数有开得方的，因此它不是最简二次根式；
根据定义知不是最简二次根式，因为
（3）根据定义知是最简二次根式
（4）被开方数有因式，它不是整式，因此它不是最简二次根式；
根据定义知不是最简二次根式，因为
（5）被开方数有因数，它不是整数，因此它不是最简二次根式；
根据定义知不是最简二次根式，因为
（6）根据定义知是最简二次根式，因为被开方数是多项式的要先分解因式再进行观察判断。不能分解因式， 显然满足最简二次根式的两个条件。
（7）根据定义知不是最简二次根式，因为能进行因式分解
设计意图：学生说明判断的依据强化了对概念的理解，在追问的过程中，帮助学生将所学过的概念梳理成比较清晰的知识体系。
（四）实战演练 探究新知
例2把例1中不是最简二次根式的式子化成最简二次根式
答案：
师生活动：
问题：把二次根式化成最简二次根式的根据是什么？应用了什么方法？
学生小组讨论后选派代表回答，教师补充完整。
当被开方数为整数或整式时，把被开方数进行因数或因式分解，使其转化为乘积的形式，继而根据积的算术平方根的性质，把开得尽方的因数或因式用它的算术平方根代替移到根号外面去。
当被开方数是分数或分式时，根据分式的基本性质和商的算术平方根的性质化去分母。此方法是先根据分式的基本性质把被开方数的分母化成能开得尽方的因式，然后分子、分母再分别化简。
设计意图: 在提问过程中，帮助学生将所学的化简方法梳理成比较清晰的知识体系，深化对所学内容的理解，内化研究问题的方法，提升学生总结概括、发思的能力。
补充练习：
师生活动：教师及时给予点拨和纠正，教师对产生的共性问题进行解释和强调。
师生活动：教师呈现问题，3名学生板演，其他学生在练习本上完成，教师巡视，及时给予指导，解题过程可由师生共同评价，教师可以引导学生来分析如何处理，教师要及时示范，规范书写的格式，为后续学习复杂的混合运算打好基础。
设计意图：以上练习题的设计，主要是为了给学生创造一个知识运用迁移及巩固的机会，同时也为了吸引和调动全班学生参与到积极动脑、各抒己见的活跃气氛中来，还培养了学生分析问题、解决问题的能力。
师生活动：化简二次根式的步骤是：
(1)把被开方数(或式)化成积的形式，即分解因式。
(2)化去根号内的分母。
(3)将根号内能开得尽方的因数(式)开出来。
设计意图：进一步培养学生运用二次根式的性质进行二次根式化简的能力，提高运算能力，通过由数的运算过渡到式的运算，让学生体会“数式通性”的特点，通过多种方法化简二次根式，渗透事物间相互联系的辩证观点。
课堂练习
（难点巩固）
（五）拓展应用，能力提升
例3 设长方形的面积为 ,相邻两边长分别为.已知 ，求
师生活动：
提问：本题是以长方形面积为背景的数学问题，二次根式的出发运算在此发挥什么作用？
设计意图：巩固性练习，同时培养学生应用二次根式的乘除运算法则解决实际问题的能力。
补充练习：若一个直角三角形的面积是，一条直角边是，求另一条直角边的长？
师生活动：学生代表做板眼，根据板眼情况，师生共同修改或补充。
再提问：章引言中的问题现在能解决了吗？
例4现在我们一起解决本章引言中的问题：
如果两个电视塔的高分别是，那么它们的传播半径之比是，这个式子如何化简？
师生活动：通过化简结果，我们可以发现，这个比与地球半径无关，只要知道，就可以求出比值了。
设计意图：通过对本章引言问题的解决，使学生对去掉分母中的根号进一步深化理解，让学生进一步体会到二次根式化简成最简二次根式在实际问题中的应用。
强化训练：
被开方数有隐含条件的二次根式化简：
例5化简
师生活动：含字母的化简，通常要知道字母的符号，而字母的符号又常借被开方数的非负性而隐藏。因此，化简时一定要从被开方数为非负数求字母的取值范围入手。
设计意图：通过具有一定典型性、代表性和层次性的练习题，让学生进一步巩固二次根式的化简方法，积累解题经验，灵活选择最优化简方案。
判断下列各等式是否成立，若不成立请说出正确的解法和答案。
答案：（1）×（2）×（3）×（4）×
设计意图：二次根式在学生已学过的数学知识中是符号感最强的内容之一，因此在二次根式的学习过程中会发生各类错误，我们要加强思辨训练，做到防患于未然。通过这道辨析题向学生说明，只有积和商的算术平方根性质，而没有和差的算术平方根性质。
小结
（六）归纳小结，反思提高
教师与学生一起回顾本节课所学习的主要内容，并请学生回答以下问题：
1.什么叫做最简二次根式？
2.二次根式的运算结果有些什么要求？
3.你会选择适当的方法将分母中的二次根式化为有理式吗？说说你是如何进行选择的？在化简的过程中用到哪些数学思想和方法？
设计意图：教师引导学生从知识内容和学习方法两个层面总结本节课的内容，归纳本节课的知识要点，建立知识间的内在联系，促进学生数学思维品质的优化。
（七）布置作业：
必做题：教科书第10页练习第2题，习题第3、4题，第11页第10、11题
选作题：
把中根号外的移入根号内得 .
设计意图：通过必做题，进一步加强了学生灵活运用多种方法对二次根式进行化简的能力，选做题综合运用二次根式的概念、性质和运算法则进行二次根式的运算，综合性较强，可以拓展学生的思维。
（八）当堂反馈 检测达标
1.下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
设计意图：学生独立完成，通过第1题考查目标1对最简二次根式概念的理解的完成情况，便于课后查漏补缺。
2.下列计算错误的是（ ）
A. B.
C. D.
3.下列各式计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
设计意图：通过第2、3题考查目标2的完成情况，对于根号下含有分母的要鼓励学生用不同方法进行计算，进一步深化学生对知识和方法的理解。