高中苏教版 (2019)第2章 圆与方程2.1 圆的方程课时练习

这是一份高中苏教版 (2019)第2章 圆与方程2.1 圆的方程课时练习，共26页。试卷主要包含了1　圆的方程等内容，欢迎下载使用。

第1课时 圆的标准方程
基础过关练
题组一 圆的标准方程的理解
1.(2020北京八一学校高二期中)已知圆(x+1)2+y2=2,则其圆心和半径分别为( )

A.(1,0),2 B.(-1,0),2
C.(1,0),2 D.(-1,0),2
2.方程(x-a)2+(y-b)2=0表示的是( )
A.以(a,b)为圆心的圆 B.以(-a,-b)为圆心的圆
C.点(a,b) D.点(-a,-b)
3.(2020江苏苏州第六中学高二期中)若直线y=ax+b经过第一、二、四象限,则圆(x+a)2+(y-b)2=1的圆心位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.记圆(x+1)2+(y-2)2=2的圆心坐标为(a,b),半径为r,则a+b+r= .
题组二 求圆的标准方程
5.(2020江苏常州第二中学高二期中)圆心为(-2,3),半径为3的圆的标准方程为( )
A.(x-2)2+(y+3)2=9 B.(x+2)2+(y-3)2=3
C.(x+2)2+(y-3)2=9 D.(x-2)2+(y+3)2=3
6.(2020山东昌邑一中高二期中)以P(-2,3)为圆心,且圆心到y轴的距离为半径的圆的方程是( )
A.(x-2)2+(y+3)2=4 B.(x+2)2+(y-3)2=4
C.(x-2)2+(y+3)2=9 D.(x+2)2+(y-3)2=9
7.(2020山东淄博中学高二月考)已知点A(1,1),B(5,3),则以线段AB为直径的圆的标准方程为( )
A.(x-2)2+(y-3)2=5 B.(x-2)2+(y-3)2=1
C.(x-3)2+(y-2)2=5 D.(x-3)2+(y-2)2=1
8.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的标准方程是 .
9.已知圆C经过A(5,1),B(1,3)两点,圆心在x轴上,求圆C的标准方程.
10.(2020江苏淮安盱眙中学高二月考)求过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程.
题组三 点与圆的位置关系
11.(2020江苏常州金坛第一中学高二期中)点(sin 30°,cs 30°)与圆x2+y2=12的位置关系是( )
A.点在圆上 B.点在圆内
C.点在圆外 D.不能确定
12.(2020江苏淮安涟水中学高二月考)若原点在圆(x-2m)2+(y-m)2=5的内部,则实数m的取值范围是( )
A.-1C.-5513.(2020江苏盐城滨海中学高二月考)点P(m2,5)与圆x2+y2=24的位置关系是 .
题组四 圆的标准方程的应用
14.(2020江苏盐城大丰高级中学高二月考)P为圆x2+y2=1上任一点,则点P与点M(3,4)的距离的最小值是( )
A.1 B.4 C.5 D.6
15.如图所示,船行前方的河道上有一座圆拱桥,正常水位时,拱圈的最高点距水面9 m,拱圈内水面宽22 m,船体在水面以上的部分高6.5 m,船顶部宽4 m,此时船可以通行无阻.近日水位暴涨了2.7 m,船已经不能通过桥洞,船员必须加重船载,降低船身在水面以上的高度,则船身至少降低多少才能顺利通过桥洞?(精确到0.01 m)
能力提升练
题组一 圆的标准方程的求法及其简单应用
1.(2020江苏运河中学高二阶段测试,)若点A(a+1,3)在圆(x-a)2+(y-1)2=m外,则实数m的取值范围是( )
A.(0,+∞) B.(-∞,5)
C.(0,5) D.[0,5]
2.(2020江苏泰州中学高二月考,)圆(x-1)2+y2=1的圆心到直线x-y+a=0的距离为2,则a的值为( )
A.-1或-3 B.-1或3
C.1或-3 D.1或3
3.()已知直线(3+2λ)x+(3λ-2)y+5-λ=0恒过定点P,则与圆C:(x-2)2+(y+3)2=16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为( )
A.(x-2)2+(y+3)2=36
B.(x-2)2+(y+3)2=25
C.(x-2)2+(y+3)2=18
D.(x-2)2+(y+3)2=9
4.(2020江苏栟茶高级中学高二期中,)阿波罗尼斯是亚历山大时期的著名数学家,“阿波罗尼斯圆”是他的主要研究成果之一:若动点P与两定点M,N的距离之比为λ(λ>0,且λ≠1),则点P的轨迹就是圆.事实上,互换该定理中的部分题设和结论,命题依然成立.已知点M(2,0),点P为圆O:x2+y2=16上的点,若存在x轴上的定点N(t,0)(t>4)和常数λ,对满足已知条件的点P均有PM=λPN,则λ=( )
A.1 B.12 C.13 D.14
5.(多选)(2020江苏泰兴中学高二期中,)以直线2x+y-4=0与两坐标轴的一个交点为圆心,且过另一个交点的圆的方程为( )
A.x2+(y-4)2=20 B.(x-4)2+y2=20
C.x2+(y-2)2=20 D.(x-2)2+y2=20
6.(多选)(2020江苏常州洛阳高级中学高二月考,)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m>0).若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则实数m的取值可以为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
7.()已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,5)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为455,则圆C的标准方程为 .
8.(2020江苏张家港高级中学高二期中,)一个等腰三角形底边上的高等于5,底边两端点的坐标是(-4,0),(4,0),则这个三角形外接圆的方程为 .
9.(2020河南洛阳高一期末,)已知平面直角坐标系内四点A(1,1),B(-3,-1),C(3,-3),D(-1,1).
(1)判断△ABC的形状;
(2)A,B,C,D四点是否共圆?并说明理由.
10.(2020江苏常州第一中学高二期中,)已知圆C经过点A(-1,0)和B(3,4),且圆心C在直线x+3y-15=0上.
(1)求圆C的标准方程;
(2)设点Q(-1,m)(m>0)在圆C上,求△QAB的面积.
题组二 圆的方程的综合应用
11.(2020浙江杭州第二中学高二期末,)已知实数x,y满足y=9-x2,求t=y+3x+1的取值范围.
12.(2020江苏石榴高级中学高二月考,)一座圆拱桥,当水面在l位置时,拱顶离水面2米,水面宽12米,当水面下降1米后,水面宽多少米?
第2课时 圆的一般方程
基础过关练
题组一 圆的一般方程的理解
1.(2020江苏连云港海州高级中学高二月考)曲线方程x2+y2+Ex-y+4=0表示一个圆的充要条件为( )
A.E>15 B.E≥15
C.E2>15 D.E2≥15
2.(2020山东日照一中高二期中)方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(-2,3)为圆心,4为半径的圆,则D,E,F的值分别为( )
A.4,-6,3 B.-4,6,3
C.-4,-6,3 D.4,-6,-3
3.(2020江苏盐城射阳中学高二期中)若方程x2+y2-2ax+4y=5a表示圆,则实数a的取值范围是 .
4.(2020江苏侯集高级中学高二月考)方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0能否表示圆?若能表示圆,求出圆心坐标和半径.
题组二 求圆的一般方程
5.(2020湖北荆门高二期末)圆心为C(-1,1),半径为2的圆的方程为( )
A.x2+y2+2x-2y-2=0 B.x2+y2-2x+2y-2=0
C.x2+y2+2x-2y=0 D.x2+y2-2x+2y=0
6.(2020江苏丹阳高级中学高二期中)经过点A(1,5)和B(2,-22),且圆心在x轴上的圆的一般方程为( )
A.x2+y2-6y=0 B.x2+y2+6y=0
C.x2+y2+6x=0 D.x2+y2-6x=0
7.(2020江苏南通海门中学高二月考)过三点A(1,-1),B(1,4),C(4,-2)的圆的方程是( )
A.x2+y2-7x-3y+2=0 B.x2+y2+7x-3y+2=0
C.x2+y2+7x+3y+2=0 D.x2+y2-7x+3y+2=0
8.圆2x2+2y2+6x-4y-3=0的圆心坐标和半径分别为 .
9.已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圆心在直线x+y-1=0上,且圆心在第二象限,半径为2,求圆的一般方程.
题组三 求动点的轨迹问题
10.(2020江苏昆山中学高二月考)已知两定点A(-2,0),B(1,0),若动点P满足PA=2PB,则点P的轨迹为( )
A.直线 B.线段 C.圆 D.半圆
11.(2020江苏太湖高级中学高二期中)已知M是圆C:x2+y2=1上的动点,点N(2,0),则MN的中点P的轨迹方程是( )
A.(x-1)2+y2=14 B.(x-1)2+y2=12
C.(x+1)2+y2=12 D.(x+1)2+y2=14
12.(2020山东平度一中高二月考)在第四象限内,到原点的距离等于2的点M的轨迹方程是( )
A.x2+y2=4 B.x2+y2=4(x>0)
C.y=-4-x2 D.y=-4-x2(013.(2020山东淄博中学高二期中)若动点P到两点A(1,0),B(2,0)的距离之比为22,则点P的轨迹方程为 .
14.(2020江苏江浦高级中学高二期中)过原点O作圆x2+y2-8x=0的弦OA.
(1)求弦OA的中点M的轨迹方程;
(2)延长OA到N,使OA=AN,求点N的轨迹方程.
能力提升练
题组一 求圆的方程
1.(2020江苏南京天印高级中学高二期中,)已知圆C经过两点A(0,2),B(4,6),且圆心C在直线l:2x-y-3=0上,则圆C的方程为( )
A.x2+y2-6y-16=0 B.x2+y2-2x+2y-8=0
C.x2+y2-6x-6y+8=0 D.x2+y2-2x+2y-56=0
2.()当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C为圆心,5为半径的圆的方程为( )
A.x2+y2-2x+4y=0 B.x2+y2+2x+4y=0
C.x2+y2+2x-4y=0 D.x2+y2-2x-4y=0
3.(2020上海华师大二附中高二期中,)已知三角形的三边所在直线分别为x+y=-1,2x-y=1,2x+y=3,则该三角形的外接圆的方程为 .
4.(2020江苏赣榆高级中学高二期中,)已知圆C1的方程为x2+y2-4x+2my+2m2-2m+1=0.
(1)求实数m的取值范围;
(2)求当圆的面积最大时,圆C1的一般方程;
(3)求当圆的面积最大时,圆C1关于直线l:x-y+1=0对称的圆C2的方程.
题组二 圆的方程的应用
5.(2020江苏宿迁泗阳中学高二期中,)若直线2x-y+a=0始终平分圆x2+y2-4x+4y=0的周长,则a的值为( )
A.4 B.6 C.-6 D.-2
6.(2020山东烟台一中高二期中,)已知方程x2+y2+2mx-2my-2=0表示的曲线恒过第三象限内的一个定点A,若点A又在直线l:mx+ny+1=0上,则2m+2n=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7.(2020四川成都七中高二期中,)已知点A(3,0),B(0,4),点P在圆x2+y2=1上运动,则PA2+PB2的最小值为 .
8.(2020江苏南京田家炳高级中学高二月考,)如图,某海面上有O、A、B三个小岛(面积大小忽略不计),A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛402千米处,B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处.以O为坐标原点,O的正东方向为x轴的正方向,1千米为单位长度,建立平面直角坐标系.圆C经过O、A、B三点.
(1)求圆C的方程;
(2)若圆C区域内有未知暗礁,现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处,正沿着北偏东45°方向行驶,若不改变方向,试问该船有没有触礁的危险?
题组三 动点的轨迹问题
9.(2020河北石家庄二中高二月考,)方程|y|-1=3-(x-2)2所表示的曲线的长度是( )
A.6π B.23π
C.23π+43 D.6π+12
10.(多选)(2020江苏连云港白塔高级中学高二期中,)“平面内到两个定点A,B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆”.在平面直角坐标系xOy中,A(-2,0),B(4,0),点P满足PAPB=12.设点P的轨迹为C,则下列结论正确的是( )
A.C的方程为(x+4)2+y2=16
B.当A,B,P三点不共线时,射线PO是∠APB的平分线
C.△PAB的面积最大为12
D.在C上存在点M,使得MO=2MA
11.(2020江苏泰州中学高二期中,)已知线段AB的端点B的坐标是(3,4),端点A在圆(x+2)2+(y-1)2=2上运动,则线段AB的中点M的轨迹方程是 .
12.()已知动点M到点A(2,0)的距离是它到点B(8,0)的距离的一半.
(1)求动点M的轨迹方程;
(2)若N为线段AM的中点,求点N的轨迹.
答案全解全析
第1课时 圆的标准方程
基础过关练
1.D
2.C 由(x-a)2+(y-b)2=0,解得x=a,y=b,因此它只表示一个点(a,b).故选C.
3.A 因为直线y=ax+b经过第一、二、四象限,所以a<0,b>0.
又圆(x+a)2+(y-b)2=1的圆心坐标为(-a,b),
所以-a>0,b>0,所以圆心在第一象限.
故选A.
4.答案 2+1
解析 易知圆心坐标为(-1,2),半径为2,∴a+b+r=-1+2+2=2+1.
5.C
6.B 圆心P(-2,3)到y轴的距离为2,所以圆的半径为2,
故圆的方程为(x+2)2+(y-3)2=22=4.
故选B.
7.C 易知圆心坐标为(3,2),直径为(5-1)2+(3-1)2=25,所以半径为5,
故圆的标准方程为(x-3)2+(y-2)2=5.
故选C.
8.答案 x2+(y-2)2=1
解析 解法一(直接法):设圆心为C(0,b),则(0-1)2+(b-2)2=1,解得b=2,
∴圆的标准方程是x2+(y-2)2=1.
解法二(数形结合法):如图所示,根据点(1,2)到圆心的距离为1可知圆心为(0,2),
∴圆的标准方程是x2+(y-2)2=1.
9.解析 解法一:设圆心坐标为(a,0),
则(a-5)2+(0-1)2=(a-1)2+(0-3)2,
解得a=2,
故r=(2-5)2+(0-1)2=10.
所以圆C的标准方程为(x-2)2+y2=10.
解法二:因为A(5,1),B(1,3),
所以AB的中点坐标为(3,2),直线AB的斜率为-12,
所以线段AB的中垂线的方程为y-2=2(x-3),
令y=0,得x=2,即圆心为(2,0),
所以r=(2-5)2+(0-1)2=10,
所以圆C的标准方程为(x-2)2+y2=10.
10.解析 由已知得线段AB的中点坐标为(0,0),kAB=1-(-1)-1-1=-1,
所以弦AB的垂直平分线的斜率k=1,
所以线段AB的垂直平分线的方程为y=x.
又圆心在直线x+y-2=0上,
所以y=x,x+y-2=0,解得x=1,y=1,
即圆心为(1,1).
圆的半径r=(1-1)2+[1-(-1)]2=2,
所以圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.
11.C 因为sin230°+cs230°
=122+322=1>12,
所以点在圆外.故选C.
12.A 由原点在圆(x-2m)2+(y-m)2=5的内部,得(0-2m)2+(0-m)2<5,则-113.答案 点P在圆外
解析 ∵(m2)2+52=m4+25>24,∴点P在圆外.
14.B 易知点M(3,4)在圆x2+y2=1外,且圆心与M(3,4)的距离为32+42=5,又P为圆x2+y2=1上任一点,所以点P与点M(3,4)的距离的最小值等于圆心与点M的距离减去半径,因此最小值为5-1=4.
故选B.
15.解析 在正常水位时,设圆拱桥的圆心为C,以水面与桥横截面的交线所在直线为x轴,过拱圈的最高点且与水面垂直的直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示,
则A,B,D三点的坐标分别为(-11,0),(11,0),(0,9),
又圆心C在y轴上,故可设C(0,b).
因为CD=CB,所以(9-b)2=112+b2,解得b=-209,
所以圆拱桥所在圆的方程为x2+y+2092=10192.
当x=2时,y≈8.82,即拱桥宽为4 m的地方距正常水位时的水面约8.82 m,距涨水后的水面约8.82-2.7=6.12(m),因为船高6.5 m,
所以船身至少降低6.5-6.12=0.38(m),船才能顺利通过桥洞.
能力提升练
1.C 由题意,得(a+1-a)2+(3-1)2>m,即m<5,又易知m>0,所以02.C 由题意得,圆心坐标为(1,0),
由圆心到直线x-y+a=0的距离为2,得|1+a|2=2,
即|1+a|=2,解得a=1或a=-3.
故选C.
3.B 由(3+2λ)x+(3λ-2)y+5-λ=0,
得(2x+3y-1)λ+(3x-2y+5)=0,
令2x+3y-1=0,3x-2y+5=0,解得x=-1,y=1,即P(-1,1).
∵圆C:(x-2)2+(y+3)2=16的圆心为C(2,-3),
∴PC=(-1-2)2+(1+3)2=5,
∴所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=25.故选B.
4.B 如图所示,由于圆上的任意一点P均有PM=λ·PN,所以A,B两点也满足该关系式.
A(-4,0),B(4,0),M(2,0),N(t,0),
λ=AMAN=BMBN=64+t=2t-4,
解得t=8,所以λ=12.故选B.
5.AD 令x=0,则y=4;令y=0,则x=2.设直线2x+y-4=0与两坐标轴的交点分别为A(0,4),B(2,0),则AB=22+42=25.
以A为圆心,过B点的圆的方程为x2+(y-4)2=20.以B为圆心,过A点的圆的方程为(x-2)2+y2=20.
故选AD.
6.ABC 圆C:(x-3)2+(y-4)2=1的圆心为C(3,4),半径r=1.
设P(a,b)在圆C上,
则AP=(a+m,b),BP=(a-m,b).
若∠APB=90°,则AP⊥BP,
∴AP·BP=(a+m)(a-m)+b2=0,
∴m2=a2+b2=OP2,
∴m的最大值即为OP的最大值,为OC+r=5+1=6,最小值为5-1=4.
∴m的取值范围是[4,6].
故选ABC.
7.答案 (x-2)2+y2=9
解析 设圆心C的坐标为(a,0)(a>0),
由题意知|2a|5=455,解得a=2,∴C(2,0).
则圆C的半径r=CM=22+(-5)2=3.
∴圆C的标准方程为(x-2)2+y2=9.
8.答案 x2+y-9102=1 681100或x2+y+9102=1 681100
解析 由题意可设顶点坐标为A(0,±5),底边两端点的坐标是B(-4,0),C(4,0),圆心M(0,b),
所以MA=MC,
即(b±5)2=42+b2,得b=±910,
所以半径为MC=1 681100,
所以外接圆的方程为x2+y-9102=1 681100或x2+y+9102=1 681100.
9.解析 (1)∵AB=(1+3)2+(1+1)2=25,AC=(1-3)2+(1+3)2=25,
∴AB=AC,
又kAB=-1-1-3-1=12,kAC=-3-13-1=-2,
kAB·kAC=-1,∴AB⊥AC,
∴△ABC是等腰直角三角形.
(2)A,B,C,D四点共圆.理由如下:
由(1)可设△ABC的外接圆的圆心为M(x,y),
则MA=MB=MC,
即(x-1)2+(y-1)2=(x+3)2+(y+1)2=(x-3)2+(y+3)2,
解得x=0,y=-2,此时MA=10,
所以△ABC的外接圆的方程为x2+(y+2)2=10.
将D点坐标代入方程,得(-1)2+(1+2)2=10,即点D在△ABC的外接圆上.
∴A,B,C,D四点共圆.
10.解析 (1)依题意知圆心C为线段AB的垂直平分线和直线x+3y-15=0的交点.
∵AB的中点为(1,2),直线AB的斜率为1,
∴线段AB的垂直平分线的方程为y-2=-(x-1),即y=-x+3.
由y=-x+3,x+3y-15=0,得x=-3,y=6,
即圆心C(-3,6),
∴半径r=CA=4+36=210.
故圆C的标准方程为(x+3)2+(y-6)2=40.
(2)∵点Q(-1,m)(m>0)在圆C上,
∴m=12或m=0(舍去),∴Q(-1,12),
AQ=122=12,直线AQ的方程为x=-1,
∴点B到直线AQ的距离为4,
∴△QAB的面积S=12×AQ×4=12×12×4=24.
11.解析 方程y=9-x2表示的曲线为圆x2+y2=9位于x轴及其上方的部分,t可以看作动点(x,y)与定点(-1,-3)连线的斜率.
如图,A(-1,-3),B(3,0),C(-3,0),
则AB所在直线的斜率kAB=34,AC所在直线的斜率kAC=-32,
所以t≤-32或t≥34,
故t=y+3x+1的取值范围是-∞,-32∪34,+∞.
12.解析 以圆拱桥拱顶为坐标原点,以过拱顶的竖直直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示.
设圆心为C,水面所在弦的端点为A、B,则由已知得A(6,-2).
设圆的半径为r,则C(0,-r),
即圆的方程为x2+(y+r)2=r2.①
将A点的坐标(6,-2)代入方程①,
得36+(r-2)2=r2,∴r=10.
∴圆的方程为x2+(y+10)2=100.②
当水面下降1米后,
可设点A'的坐标为(x0,-3)(x0>0),
将A'的坐标(x0,-3)代入方程②,得x0=51,
∴水面下降1米后,水面宽2x0=251米.
第2课时 圆的一般方程
基础过关练
1.C 该方程表示圆的充要条件是E2+(-1)2-4×4>0,即E2>15.故选C.
2.D 由题意得,-D2=-2,-E2=3,
12D2+E2-4F=4,解得D=4,E=-6,F=-3.
故选D.
3.答案 (-∞,-4)∪(-1,+∞)
解析 方程x2+y2-2ax+4y=5a表示圆,则4a2+16+20a>0,即a2+5a+4>0,
解得a<-4或a>-1,所以实数a的取值范围是(-∞,-4)∪(-1,+∞).
4.解析 将方程进行配方得(x-2m)2+(y+m)2=5m2-20m+20=5(m-2)2,
若m=2,则该方程不能表示圆;
若m≠2,则该方程表示圆,圆心坐标为(2m,-m),半径为5|m-2|.
5.A 圆心为C(-1,1),半径为2的圆的方程为(x+1)2+(y-1)2=4,即x2+y2+2x-2y-2=0.
故选A.
6.D 设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).
因为圆心在x轴上,所以-E2=0,即E=0.
又圆经过点A(1,5)和B(2,-22),
所以12+(5)2+D+F=0,22+(-22)2+2D+F=0,
即D+F+6=0,2D+F+12=0,解得D=-6,F=0.
故所求圆的一般方程为x2+y2-6x=0.
故选D.
7.A 设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
因为点A(1,-1),B(1,4),C(4,-2)在所求的圆上,所以1+1+D-E+F=0,1+16+D+4E+F=0,16+4+4D-2E+F=0,
解得D=-7,E=-3,F=2,故圆的方程为x2+y2-7x-3y+2=0.
故选A.
8.答案 -32,1,192
解析 将圆的方程化为x2+y2+3x-2y-32=0,易得其圆心坐标为-32,1,半径为192.
9.解析 易知圆心C的坐标为-D2,-E2.
因为圆心在直线x+y-1=0上,
所以-D2-E2-1=0,即D+E=-2.①
因为D2+E2-122=2,所以D2+E2=20.②
由①②可得D=2,E=-4或D=-4,E=2.
又圆心在第二象限,所以-D2<0,-E2>0,
即D>0,E<0.
所以D=2,E=-4,
所以圆的一般方程为x2+y2+2x-4y+3=0.
10.C 设点P的坐标为(x,y).
∵A(-2,0),B(1,0),动点P满足PA=2PB,
∴(x+2)2+y2=2(x-1)2+y2,
两边同时平方得(x+2)2+y2=4[(x-1)2+y2],
整理得(x-2)2+y2=4.
∴点P的轨迹为圆.
故选C.
11.A 设线段MN的中点P(x,y),则M(2x-2,2y).
∵M是圆C:x2+y2=1上的动点,
∴(2x-2)2+(2y)2=1,即(x-1)2+y2=14.
故选A.
12.D 设点M的坐标是(x,y),x>0,y<0.
因为点M到原点的距离等于2,
所以x2+y2=4.
因为轨迹在第四象限内,所以y=-4-x2(0所以点M的轨迹方程是y=-4-x2(0误区警示
根据题意设点M的坐标是(x,y)且x>0、y<0,由两点间的距离公式列出关系式,再根据限制条件求出点M的轨迹方程.
13.答案 x2+y2=2
解析 设点P(x,y),
则PA=(x-1)2+y2,PB=(x-2)2+y2,
所以PAPB=(x-1)2+y2(x-2)2+y2=22,
化简得x2+y2=2.
故点P的轨迹方程为x2+y2=2.
14.解析 (1)设点M的坐标为(x,y),则点A的坐标为(2x,2y),
因为点A在圆上,所以(2x)2+(2y)2-16x=0,
整理得x2+y2-4x=0.
所以点M的轨迹方程为x2+y2-4x=0.
(2)设点N的坐标为(x,y),则点A的坐标为x2,y2,
因为点A在圆上,
所以x22+y22-4x=0,
整理得x2+y2-16x=0.
所以点N的轨迹方程为x2+y2-16x=0.
能力提升练
1.C 因为线段AB的中点坐标为(2,4),直线AB的斜率为6-24-0=1,所以线段AB的垂直平
分线的方程为y-4=-(x-2),即y=6-x.
由y=6-x,2x-y-3=0,得x=3,y=3,所以圆心坐标为(3,3).
又圆的半径r=(3-0)2+(3-2)2=10,所以圆C的方程为(x-3)2+(y-3)2=10,
即x2+y2-6x-6y+8=0.
故选C.
2.C 直线(a-1)x-y+a+1=0可化为(-x-y+1)+a(x+1)=0,
由-x-y+1=0,x+1=0,得x=-1,y=2,所以C(-1,2).
∴圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5,
即x2+y2+2x-4y=0.
3.答案 x2+y2-7x+3y+2=0
解析 由x+y=-1,2x-y=1,解得x=0,y=-1;
由x+y=-1,2x+y=3,解得x=4,y=-5;
由2x-y=1,2x+y=3,解得x=1,y=1.
根据题意,可得所求圆过点(0,-1),(4,-5),(1,1),
设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
则1-E+F=0,16+25+4D-5E+F=0,1+1+D+E+F=0,解得D=-7,E=3,F=2,
即所求圆的方程为x2+y2-7x+3y+2=0.
4.解析 (1)由题意得,D2+E2-4F=16+4m2-4(2m2-2m+1)>0,
即m2-2m-3<0,∴-1故所求实数m的取值范围是(-1,3).
(2)圆的面积最大,即圆的半径最大.
∵圆的半径r=12D2+E2-4F
=12-4m2+8m+12=-m2+2m+3
=-(m-1)2+4,
又由(1)知,m∈(-1,3),
∴当m=1时,圆的半径最大,为2.
此时圆C1的方程为x2+y2-4x+2y+1=0.
(3)由(2)可得圆C1的圆心坐标为(2,-1),半径为2.
设圆C2的圆心坐标为(a,b),则C1C2的中点坐标为a+22,b-12,且C1C2的斜率k=b+1a-2.
由题意可得,直线l垂直平分线段C1C2,
∴a+22-b-12+1=0,b+1a-2=-1,解得a=-2,b=3,
故圆C2的方程为(x+2)2+(y-3)2=4,
即x2+y2+4x-6y+9=0.
5.C 圆x2+y2-4x+4y=0的圆心坐标为(2,-2),
∵直线平分圆的周长,∴直线必经过圆心,
∴点(2,-2)在直线2x-y+a=0上,
∴4+2+a=0,∴a=-6,
故选C.
6.B 方程x2+y2+2mx-2my-2=0可化为x2+y2-2+2m(x-y)=0.
∵曲线恒过定点A,
∴x2+y2-2=0,x-y=0,解得x=1,y=1或x=-1,y=-1.
∵点A在第三象限,∴A(-1,-1),
代入直线l的方程mx+ny+1=0,
可得m+n=1,∴2m+2n=2.
故选B.
7.答案 17
解析 设P(x,y),
则PA2+PB2=(x-3)2+y2+x2+(y-4)2
=2×x-322+(y-2)2-254+25,
求(PA2+PB2)min,即求P(x,y)与32,2间距离d的平方的最小值,
又dmin2=32-02+(2-0)2-r2
=32-02+(2-0)2-12
=52-12=94,
∴(PA2+PB2)min=2×94-254+25=17.
故答案为17.
8.解析 (1)由题图可知A(40,40),B(20,0),
设过O、A、B三点的圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
则F=0,402+402+40D+40E+F=0,202+20D+F=0,
解得D=-20,E=-60,F=0,
所以圆C的方程为x2+y2-20x-60y=0.
(2)易知D(-20,-203),且船航线所在直线l的斜率为1,
故直线l:x-y+20-203=0,
由(1)得圆C的圆心为C(10,30),半径r=1010.
由于圆心C到直线l的距离d=|10-30+20-203|2=106<1010,
故该船有触礁的危险.
9.B 因为方程|y|-1=3-(x-2)2,
所以|y|-1≥0,所以y≥1或y≤-1.
将原式变形可得(x-2)2+(|y|-1)2=3,
所以曲线为两个半圆,半径为3,
所以曲线的长度为C=2π×3=23π.
故选B.
10.ABC 设P(x,y),因为A(-2,0),B(4,0),点P满足PAPB=12,
所以(x+2)2+y2(x-4)2+y2=12,
整理得(x+4)2+y2=16,故A正确;
当A,B,P三点不共线时,由OAOB=12=PAPB,可得射线PO是∠APB的平分线,故B正确;
因为AB=6,而P在圆(x+4)2+y2=16上,所以P到AB的最大距离为4,所以△PAB的面积最大为12×6×4=12,故C正确;
若在C上存在点M,使得MO=2MA,设M(x,y),即有x2+y2=2(x+2)2+y2,化简可得x2+y2+163x+163=0,与(x+4)2+y2=16联立,可得方程组无解,故不存在M,故D错误.
故选ABC.
解后反思
求平面上点的轨迹方程的一般步骤:建系,设点,建立方程,代入坐标求方程.根据这一过程可求出满足PAPB=12的点P的轨迹方程,圆上的动点到直径的距离的最大值即为半径,可求出该题中三角形的最大面积.
11.答案 (2x-1)2+(2y-5)2=2
解析 设A(x1,y1),M(x,y),
则3+x12=x,4+y12=y,即x1=2x-3,y1=2y-4.
∵端点A在圆(x+2)2+(y-1)2=2上运动,
∴(x1+2)2+(y1-1)2=2,
即(2x-1)2+(2y-5)2=2.
∴线段AB的中点M的轨迹方程是(2x-1)2+(2y-5)2=2.
12.解析 (1)设M(x,y),由题意得MA=12MB,
又A(2,0),B(8,0),所以(x-2)2+y2=12(x-8)2+y2,
整理得x2+y2=16,
所以动点M的轨迹方程为x2+y2=16.
(2)设动点N的坐标为(x,y),M的坐标为(x1,y1).
由于A(2,0),且N为线段AM的中点,
所以x=2+x12,y=0+y12,所以x1=2x-2,y1=2y.
因为点M在圆x2+y2=16上,
所以(2x-2)2+(2y)2=16,即(x-1)2+y2=4.
所以点N的轨迹是以(1,0)为圆心,2为半径的圆.