苏教版 (2019)选择性必修第一册第2章 圆与方程2.2 直线与圆的位置关系一课一练

这是一份苏教版 (2019)选择性必修第一册第2章 圆与方程2.2 直线与圆的位置关系一课一练，共19页。试卷主要包含了对任意实数k,直线l，已知直线l等内容，欢迎下载使用。

题组一 直线与圆的位置关系
1.(2020江苏南京宁海中学高二期中)直线y=3x与圆(x-1)2+y2=1的位置关系是( )
A.相交且直线过圆心 B.相切
C.相离 D.相交
2.(2020江苏宜兴中学高二期中)直线ax-y+2a=0与圆x2+y2=11的位置关系是( )
A.相离 B.相交
C.相切 D.不确定
3.(2020江西南昌二中高二月考)对任意实数k,直线l:kx-y-4k+3=0与圆C:x2+y2-6x-8y+12=0的位置关系是 .
4.(2020江苏连云港海头高级中学高二月考)已知圆x2+y2=2,直线y=x+b,求b为何值时,
(1)直线与圆有两个公共点;
(2)直线与圆只有一个公共点;
(3)直线与圆没有公共点.
题组二 与圆有关的相切问题
5.(2020江苏无锡梅村高级中学高二月考)圆心为(0,1)且与直线y=2相切的圆的方程为( )
A.(x-1)2+y2=1 B.(x+1)2+y2=1
C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1
6.(2020江苏苏州木渎高级中学高二期中)过点P(1,0)作圆(x-2)2+(y-2)2=1的切线,则切线方程为( )
A.x=1或3x+4y-3=0 B.x=1或3x-4y-3=0
C.y=1或4x-3y+4=0 D.y=1或3x-4y-3=0
7.过点A(4,-3)作圆(x-3)2+(y-1)2=1的切线,求此切线方程.
题组三 与圆有关的弦长问题
8.(2020山东济南外国语学校高二期中)已知直线l:x-y+1=0与圆C:x2+y2-4x-2y+1=0交于A、B两点,则AB=( )
A.2 B.22 C.4 D.42
9.(2020江苏徐州第二中学高二期中)直线ax+y-1=0被圆(x-1)2+y2=2截得的弦长为2,则a=( )
A.12 B.1 C.0 D.3
10.(2020江苏常州溧阳中学高二阶段测试)直线y=x+1被圆(x-1)2+y2=6截得的弦长为 .
11.(2020江苏镇江中学高二月考)在平面直角坐标系xOy中,已知A(3,0)、C(1,0).
(1)求以点C为圆心,且经过点A的圆C的标准方程;
(2)若直线l的方程为3x-4y+2=0,判断直线l与(1)中圆C的位置关系,并说明理由.若直线与圆相交,求直线被圆截得的弦长.
题组四 直线与圆的位置关系的综合应用
12.(2020江苏淮安洪泽中学高二期中)若实数x,y满足x2+y2=3,则yx-2的取值范围是( )
A.(-3,3)
B.(-∞,-3)∪(3,+∞)
C.[-3,3]
D.(-∞,-3]∪[3,+∞)
13.(2020山东东营第一中学高二期中)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x2+y2=9及圆C内的一点P(1,2),圆C的过点P的直径为MN,若线段AB是圆C的所有过点P的弦中最短的弦,则(AM-BN)·AB的值为 .
能力提升练
题组一 直线与圆的位置关系
1.(2020江苏宿迁沭阳如东中学高二月考,)无论实数t取何值,直线tx+y+t-1=0与圆(x-2)2+(y-2)2=m2恒有公共点,则实数m的取值范围是( )
A.m>10 B.m≥10
C.m<-10或m>10 D.m≤-10或m≥10
2.(多选)(2020湖南湘潭一中高二期末,)已知直线l:mx-(2-m)y+1-m=0,圆C:(x-1)2+y2=1,则下列结论中正确的是( )
A.存在实数m,使直线l经过圆心C
B.无论m为何值,直线l与圆C一定有两个公共点
C.圆心C到直线l的最大距离是22
D.当m=1时,圆C关于直线l对称的圆的方程为x2+(y-1)2=1
3.()求实数m的取值范围,使直线x-my+3=0与圆x2+y2-6x+5=0分别满足:
(1)相交;
(2)相切;
(3)相离.
题组二 圆的切线与弦长问题
4.(多选)(2020江苏常州武进高级中学高二期中,)已知圆C和直线3x-y=0及x轴都相切,且过点(3,0),则该圆的方程是( )
A.(x-3)2+(y-3)2=3
B.(x-3)2+(y+33)2=27
C.(x+3)2+(y-3)2=3
D.(x-3)2+(y-33)2=27
5.(多选)(2020重庆复旦中学高二月考,)点P是直线x+y-3=0上的动点,由点P向圆O:x2+y2=4作切线,则切线长可能为( )
A.22 B.12 C.13 D.32
6.(2020浙江杭州第二中学高二期中,)已知A(a,0),B(a+3,0),直线x+3y=1上存在唯一一点P,使得PB=2PA,则a的值为( )
A.-6 B.-2或6 C.2或-6 D.-2
7.(2020江苏苏州昆山震川高级中学高二期中,)若直线l:y=kx-5与圆x2+y2-2x+my-4=0交于M、N两点,且M、N关于直线2x+y=0对称,则直线l被圆截得的弦长为( )
A.2 B.3 C.4 D.23
8.(2020山东潍坊一中高二期中,)直线2ax-by+2=0被x2+y2+2x-4y-4=0截得的弦长为6,则ab的最大值是 ( )
A.9 B.4 C.12 D.14
9.(2020江苏连云港高二期中,)已知圆C:x2+y2=3,从点A(-2,0)观察点B(2,a),要使视线不被圆C挡住,则a的取值范围是( )
A.-∞,433∪433,+∞
B.(-∞,-2)∪(2,+∞)
C.(-∞,-23)∪(23,+∞)
D.(-∞,-43)∪(43,+∞)
10.(2020江苏常州前黄高级中学高二月考,)过点(-3,1)的直线l与圆x2+y2=4相切,则直线l在y轴上的截距为 .
11.(2020江苏如皋石庄高级中学高二期中,)已知圆C:x2+y2-8x-2y+10=0内一点M(3,0),过M点最短的弦所在的直线方程是 .
12.(2020广东佛山一中高二期中,)直线l:y=kx+1与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,当△AOB的面积最大时,k= .
13.(2020江苏苏州高二期中,)已知点M(3,1),直线ax-y+4=0及圆(x-1)2+(y-2)2=4.
(1)求过点M的圆的切线方程;
(2)若直线ax-y+4=0与圆相交于A,B两点,且弦AB的长为23,求a的值.
题组三 直线与圆的位置关系的综合应用
14.(2020江苏徐州第七中学高二期中,)若圆C:(x-1)2+y2=4上恰有两个点到直线x-3y+b=0的距离为1,则实数b的取值范围为( )
A.(-7,-3) B.(1,5)
C.(-3,5) D.(-7,-3)∪(1,5)
15.(2020江苏盐城建湖高级中学高二期中,)过点P(-3,0)作直线l与圆O:x2+y2=1交于A,B两点,O为坐标原点,设∠AOB=θ,且θ∈0,π2,当△AOB的面积为34时,直线l的斜率为( )
A.33 B.±33
C.3 D.±3
16.(2020广东茂名第一中学高二月考,)已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=2和点P(x0,0),若圆C上存在两点A,B使得∠APB=π3,则实数x0的取值范围是( )
A.[-3,1] B.[-1,3]
C.[-2,3] D.[-2,4]
17.(2020安徽宿州高二期中,)若P是直线l:3x+4y-9=0上一动点,过P作圆C:x2+y2+4x=0的两条切线,切点分别为A,B,则四边形PACB面积的最小值为( )
A.5 B.25
C.7 D.27
18.(多选)(2020山东泰安高二期中,)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现:平面内到两个定点A,B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆,此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xOy中,已知A(-4,2),B(2,2),点P满足PAPB=2,设点P的轨迹为圆C,则下列结论正确的是( )
A.圆C的方程是(x-4)2+(y-2)2=16
B.过点A作圆C的切线,两条切线的夹角为π3
C.过点A作直线l,若圆C上恰有三个点到直线l的距离为2,则直线l的斜率为±155
D.在直线y=2上存在异于A,B的两点D,E,使得PDPE=2
19.(2020江苏宿迁高二联考,)已知M(m,n)为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点.
(1)求m+2n的最大值;
(2)求n-3m+2的最大值和最小值;
(3)求m2+n2的最大值和最小值.
20.(2020湖北武汉高二期中,)已知圆C:(x+3)2+(y+4)2=4,直线l过定点A(-1,0).
(1)若直线l与圆C相切,求直线l的方程;
(2)若直线l与圆C相交于P,Q两点,线段PQ的中点为M,l与l0:x+2y-2=0的交点为N,求证:AM·AN为定值.
答案全解全析
基础过关练
1.D 因为圆(x-1)2+y2=1的圆心坐标为(1,0),半径r=1,
圆心(1,0)到直线y=3x的距离d=|3-0|3+1=32<1,
所以直线与圆相交.
故选D.
2.B 易知直线ax-y+2a=0过定点P(-2,0),又(-2)2+02=4<11,
∴P在圆内,∴直线与圆相交.故选B.
3.答案 相交
解析 因为直线l的方程为kx-y-4k+3=0,
整理得k(x-4)-y+3=0,
所以直线l过定点P(4,3).
因为圆C的方程为x2+y2-6x-8y+12=0,
整理得(x-3)2+(y-4)2=13,
所以圆C的圆心C(3,4),半径r=13.
因为圆心C(3,4)到定点P(4,3)的距离d=(3-4)2+(4-3)2=2所以直线与圆的位置关系是相交.
4.解析 解法一:圆心O(0,0)到直线y=x+b的距离d=|b|2,圆的半径r=2.
(1)当d(2)当d=r,即b=±2时,直线与圆相切,有一个公共点.
(3)当d>r,即b>2或b<-2时,直线与圆相离,无公共点.
解法二:联立直线与圆的方程,得方程组x2+y2=2,y=x+b,
消去y并整理,得2x2+2bx+b2-2=0,
则Δ=16-4b2.
(1)当Δ>0,即-2(2)当Δ=0,即b=±2时,直线与圆只有一个公共点.
(3)当Δ<0,即b>2或b<-2时,直线与圆没有公共点.
5.C 设圆的方程为x2+(y-1)2=r2(r>0),
∵直线y=2与圆相切,
∴圆心到直线的距离等于半径r,
∴r=2-1=1,∴圆的方程为x2+(y-1)2=1.
故选C.
6.B 易知圆(x-2)2+(y-2)2=1的圆心为(2,2),半径为1,点P在圆外.
当直线的斜率不存在时,直线方程为x=1,点(2,2)到该直线的距离等于1,符合题意;
当直线的斜率存在时,设直线方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0,
若直线与圆相切,则圆心到直线的距离为|2k-2-k|k2+1=1,解得k=34,
所以该切线方程为3x-4y-3=0.
所以切线方程为x=1或3x-4y-3=0.
故选B.
7.解析 因为(4-3)2+(-3-1)2=17>1,
所以点A在圆外.
①当所求直线的斜率存在时,设切线斜率为k,
则切线方程为y+3=k(x-4),
即kx-y-4k-3=0.
设圆心为C,
因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1,
所以|3k-1-4k-3|k2+1=1,解得k=-158,
所以切线方程为-158x-y+152-3=0,
即15x+8y-36=0.
②当直线斜率不存在时,直线方程为x=4.
圆心C(3,1)到直线x=4的距离为1,
这时直线x=4与圆相切,
所以另一条切线方程为x=4.
综上,所求切线方程为15x+8y-36=0或x=4.
8.B 由已知得圆C的圆心C(2,1),半径为2,
∴圆心C到直线l:x-y+1=0的距离d=|2-1+1|1+1=2,
∴AB=24-(2)2=22,
故选B.
9.C 因为直线ax+y-1=0被圆(x-1)2+y2=2截得的弦长为2,圆(x-1)2+y2=2的圆心为(1,0),半径为2,
所以|a-1|a2+1=(2)2-12,即|a-1|=a2+1,解得a=0,故选C.
10.答案 4
解析 因为圆(x-1)2+y2=6的圆心为(1,0),半径为6,
圆心到直线y=x+1的距离为22=2,
所以所求弦长为26-2=4.
11.解析 (1)圆C的半径r=AC=(3-1)2+(0-0)2=2,
因此圆C的标准方程为(x-1)2+y2=4.
(2)相交.理由如下:
圆心C到直线l的距离d=|3×1+2|32+(-4)2=1因此直线l被圆C截得的弦长为2r2-d2=222-12=23.
解题模板
圆的弦长的求法:
(1)几何法,设圆的半径为r,弦心距为d,弦长为L,则L22=r2-d2;
(2)代数法,设直线y=kx+m与圆(x-a)2+(y-b)2=r2相交于A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线与圆的方程y=kx+m,(x-a)2+(y-b)2=r2,消去y得到一个关于x的一元二次方程,从而可求出x1+x2,x1x2,根据弦长公式AB=1+k2·(x1+x2)2-4x1x2即可得出结果.
12.C yx-2的几何意义是点(x,y)与点(2,0)连线的斜率,
设k=yx-2,则kx-y-2k=0,x≠2,
当直线kx-y-2k=0与圆相切时,k取得最值,
此时|-2k|k2+1=3,解得k=±3,
所以yx-2的取值范围是[-3,3],
故选C.
13.答案 16
解析 由题意可知AB⊥MN,圆C的半径r=3,OP=5,
∴NM·AB=0,AB=2r2-OP2=4,
∴(AM-BN)·AB=[AM-(AN-AB)]·AB=(NM+AB)·AB=NM·AB+AB2=AB2=16.
能力提升练
1.D 直线tx+y+t-1=0,整理得t(x+1)+y-1=0,所以直线过定点(-1,1),
因为直线与圆恒有公共点,
所以点(-1,1)在圆内或圆上,
所以(-1-2)2+(1-2)2≤m2,
解得m≤-10或m≥10,
故选D.
2.BCD 圆心C的坐标为(1,0),代入直线l得m+1-m=0,无解,故无论m为何值,圆心都不在直线l上,A错误;
直线l方程整理为m(x+y-1)-2y+1=0,
由x+y-1=0,-2y+1=0得x=12,y=12,
即直线l过定点M12,12,又MC=12-12+122=22<1,所以M在圆C内部,则直线l与圆C相交,故无论m为何值,直线l与圆C一定有两个公共点,B正确;
设直线l与圆相交于A,B两点,弦AB的中点为N,则CN⊥AB,CN为C到直线AB的距离,显然CN≤CM=22,当且仅当N,M重合时取等号,C正确;
当m=1时,直线l的方程为x-y=0,C(1,0)关于l的对称点为(0,1),因此圆C关于直线l对称的圆的方程为x2+(y-1)2=1,D正确.
故选BCD.
3.解析 圆的方程化为标准形式为(x-3)2+y2=4,
故圆心(3,0)到直线x-my+3=0的距离d=61+m2,圆的半径r=2.
(1)若直线与圆相交,则d22.
(2)若直线与圆相切,则d=r,即61+m2=2,所以m=±22.
(3)若直线与圆相离,则d>r,即61+m2>2,所以-224.AB 设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=b2,则(3-a)2+b2=b2,|3a-b|2=|b|,
解得a=3,b=3或a=3,b=-33,
所以该圆的方程为(x-3)2+(y-3)2=3或(x-3)2+(y+33)2=27.
故选AB.
5.AD 设PT是圆O的切线,T是切点,连接OP,OT,
所以PT=OP2-4,
当OP最小时,PT取得最小值,
易知原点到直线的距离是OP的最小值,此时OPmin=32,
则PTmin=92-4=22,
所以切线长PT≥22.
故选AD.
6.B 设P(x,y),由PB=2PA得(x-a-3)2+y2=4(x-a)2+4y2,
整理得(x-a+1)2+y2=4,
则直线x+3y=1上存在唯一一点P,使得PB=2PA,等价于直线x+3y=1与圆(x-a+1)2+y2=4相切,
则|a-1+0-1|1+3=2,解得a=-2或a=6.
故选B.
7.C ∵M、N关于直线2x+y=0对称,∴圆心1,-m2在直线2x+y=0上,∴m=4.
易知直线2x+y=0与直线l:y=kx-5垂直,
∴-2×k=-1,∴k=12.
设圆心(1,-2)到直线12x-y-5=0的距离为d,
∴d=12×1-(-2)-5122+1=5,
圆的半径r=12(-2)2+42+16=3,
∴MN=2r2-d2=4.
故选C.
8.D 将x2+y2+2x-4y-4=0化为(x+1)2+(y-2)2=9,
故该圆圆心为(-1,2),半径为3.
因为直线被圆截得的弦长为6,
所以直线过圆心,所以-2a-2b+2=0,
即a+b=1,所以ab≤a+b22=14当且仅当a=b=12时取等号,
故选D.
9.D 设过点A(-2,0)与圆C:x2+y2=3相切的直线为y=k(x+2),则圆心(0,0)到直线的距离为|2k|k2+1=3,解得k=±3,故切线方程为y=±3(x+2),设切线分别与直线x=2交于M,N,如图所示.
当点B位于点M上方或点N下方时,满足题意.
将x=2代入y=3(x+2),得y=43,故点M的坐标为(2,43);
将x=2代入y=-3(x+2),得y=-43,故点N的坐标为(2,-43).
则a的取值范围是(-∞,-43)∪(43,+∞),
故选D.
10.答案 4
解析 ∵(-3)2+12=4,
∴点(-3,1)在圆x2+y2=4上,
∴切线l的斜率k=-11-0-3-0=3,
∴切线l的方程为y-1=3(x+3),
即y=3x+4,
∴直线l在y轴上的截距为4.
11.答案 x+y-3=0
解析 将圆的方程整理成标准方程得(x-4)2+(y-1)2=7,
则圆心C的坐标为(4,1),kCM=1-04-3=1,
由圆的几何性质知,当所求直线与直线CM垂直时,弦最短,此时所求直线的斜率为-1,
故所求直线方程为y=-(x-3),即x+y-3=0.
12.答案 ±1
解析 易知圆心坐标为O(0,0),半径r=1,
直线l的方程为y=kx+1,
即l:kx-y+1=0,
∴圆心O(0,0)到直线AB的距离d=1k2+1,
∴AB=2r2-d2=2k2k2+1,
∴S△AOB=12×2k2k2+1×1k2+1=|k|k2+1=1|k|+1|k|,
又|k|+1|k|≥2|k|·1|k|=2,
当且仅当|k|=1|k|,即k=±1时取等号,
∴S△AOB≤12,
∴当△AOB的面积最大时,k=±1.
13.解析 (1)∵(3-1)2+(1-2)2=5>4,
∴点M在圆外.
当过点M的直线斜率不存在时,易知直线x=3与圆相切.
当直线的斜率存在时,设直线的方程为y-1=k(x-3),即kx-y-3k+1=0,
∵直线与圆相切,∴|k-2-3k+1|k2+1=2,
解得k=34,
∴切线方程为34x-y-94+1=0,
即3x-4y-5=0.
∴所求切线方程为x=3或3x-4y-5=0.(2)由题意得圆心到直线的距离d=|a+2|a2+1,
由AB=23,圆的半径r=2,
得AB22+d2=r2,解得a=-34.
14.D 易知圆心C(1,0),半径r=2,
圆心C(1,0)到直线x-3y+b=0的距离
d=|1-0+b|12+(-3)2=|b+1|2,
由题意知r-1即2-1<|b+1|2<2+1,即2<|b+1|<6,
所以b∈(-7,-3)∪(1,5),
故选D.
15.B ∵△AOB的面积为34,
∴12×1×1×sin θ=34,
∴sin θ=32,∵θ∈0,π2,∴θ=π3.
∴圆心O到直线l的距离为1×sin π3=32.
设直线l的方程为y=k(x+3),
即kx-y+3k=0,
∴32=|3k|k2+1,∴k=±33.
故选B.
16.B 由圆C:(x-1)2+(y-2)2=2,得圆心C(1,2),半径r=2,作出大致图形,如图所示:
由图可知,当PA和PB与圆C相切时,∠APB最大,若圆C上存在两点A,B使得∠APB=π3,则∠APC≥π6,则PC≤2sinπ6=22,即(x0-1)2+(0-2)2≤22,解得-1≤x0≤3,故选B.
17.B 圆C:(x+2)2+y2=4,圆心为(-2,0),半径r=AC=2,画出图形,如图所示:
因为直线与圆相切,所以∠PAC=∠PBC=90°,且△PAC≌△PBC,
所以四边形PACB的面积为2S△PAC=2×12×AC×PA=2PA,
又PA=PC2-AC2=PC2-4,
所以当PC取得最小值时,PA取得最小值,此时四边形PACB的面积取得最小值,
由图形可得,PC的最小值即为点C到直线3x+4y-9=0的距离,
所以PCmin=|3×(-2)-9|32+42=3,
所以PAmin=9-4=5,
所以四边形PACB面积的最小值为2PAmin=25.
18.ABD 设点P(x,y),因为A(-4,2),B(2,2),点P满足PAPB=2,
所以(x+4)2+(y-2)2(x-2)2+(y-2)2=2,
化简得x2+y2-8x-4y+4=0,即(x-4)2+(y-2)2=16,故A正确;
易知点C(4,2),圆C的半径R=4,所以AC=8,设两切线的夹角为α,所以sinα2=RAC=12,则α2=π6,解得α=π3,故B正确;
易知直线l的斜率存在,设直线l:kx-y+4k+2=0,因为圆C上恰有三个点到直线l的距离为2,所以圆心到直线l的距离d=|8k|k2+1=2,解得k=±1515,故C错误;
假设直线y=2上存在异于A,B的两点D(m,2),E(n,2),则(x-m)2+(y-2)2(x-n)2+(y-2)2=2,
化简得x2+y2+2m-8n3x-4y+4n2-m2+123=0,因为点P的轨迹方程为x2+y2-8x-4y+4=0,所以2m-8n3=-8,4n2-m2+123=4,解得m=12,n=6或m=-4,n=2(舍去),故存在D(12,2),E(6,2),故D正确,
故选ABD.
19.解析 x2+y2-4x-14y+45=0的圆心C(2,7),半径r=22.
(1)设m+2n=t,将m+2n=t看成直线方程,
∵该直线与圆C有公共点,∴圆心C到直线的距离d=|1×2+2×7-t|12+22≤22,
解得16-210≤t≤16+210,
∴m+2n的最大值为16+210.
(2)记点Q(-2,3),则n-3m+2表示直线MQ的斜率,设直线MQ的方程为y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0,
∵直线MQ与圆C有公共点,
∴|2k-7+2k+3|k2+1≤22,
解得2-3≤k≤2+3,
∴n-3m+2的最大值为2+3,最小值为2-3.
(3)设μ=(m-0)2+(n-0)2,则μ等价于圆C的圆心C(2,7)到原点的距离的平方,
则μmax=[(2-0)2+(7-0)2+r]2=(53+22)2=61+4106,
μmin=[(2-0)2+(7-0)2-r]2=(53-22)2=61-4106.
20.解析 (1)由题意知直线l的斜率不为0,设直线l的方程为x=my-1,即x-my+1=0,则由直线l与圆C相切得|-3+4m+1|m2+1=2,解得m=0或m=43,故l的方程为x=-1或3x-4y+3=0.
(2)证明:∵直线l与圆C相交于P,Q两点,∴l的斜率存在且不为0.设直线l的方程为x=ty-1,
联立x=ty-1,x+2y-2=0,得x=3tt+2-1,y=3t+2,
∴N3tt+2-1,3t+2.
∵线段PQ的中点为M,∴CM⊥PQ,
设直线CM的方程为y+4=-t(x+3),
联立x=ty-1,y+4=-t(x+3),得x=-2t2-4tt2+1-1,y=-2t-4t2+1,
∴M-2t2-4tt2+1-1,-2t-4t2+1.
∴AM=-2t2-4tt2+1,-2t-4t2+1,
AN=3tt+2,3t+2,∴AM·AN=-6,
又A,M,N三点共线,∴AM·AN=6,
∴AM·AN为定值.