高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册第3章 圆锥曲线与方程3.1 椭圆课时训练

这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册第3章 圆锥曲线与方程3.1 椭圆课时训练，共11页。试卷主要包含了1　椭圆，过点且与椭圆C等内容，欢迎下载使用。

3.1.1 椭圆的标准方程
基础过关练
题组一 椭圆的定义及应用
1.(2020江苏南京师范大学、苏州实验学校高二上学期9月月考)平面内有定点A,B及动点P,则“PA+PB为定值”是“P点的轨迹为椭圆”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
2.(2020江苏淮安高中校协作体高二上学期期中)椭圆x2m+y24=1的焦距为2,则m的值为( )
A.5 B.3 C.5或3 D.8
3.(2020江苏南京秦淮中学高二上学期第一次段考)已知椭圆x225+y216=1上的点P到椭圆一个焦点的距离为7,则P到另一个焦点的距离为( )
A.2 B.3 C.5 D.7
4.(2020江苏无锡青山高级中学高二上学期期中)点F1、F2分别为椭圆x216+y27=1左、右两个焦点,过F1的直线交椭圆于A、B两点,则△ABF2的周长为( )
A.32 B.16 C.8 D.4
题组二 求椭圆的标准方程
5.(2021江苏镇江中学高二上学期期初考试)设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,与y轴正半轴的交点为B,若BF2=F1F2=2,则该椭圆的方程为( )
A.x24+y23=1 B.x23+y2=1
C.x22+y2=1 D.x24+y2=1
6.(2021江苏无锡江阴二中、要塞中学等四校高二上学期期中)过点(-3,2)且与椭圆C:x29+y24=1有相同焦点的椭圆E的方程是( )
A.x215+y210=1 B.x2225+y2100=1
C.x210+y215=1 D.x2100+y2225=1
7.已知点M(4,0),N(1,0),若动点P满足MN·MP=6|NP|,则动点P的轨迹C的方程为 .
题组三 椭圆标准方程的应用
8.(2020江苏扬州邗江高二上学期期中)“4A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
9.(2020江苏苏州中学园区高三上学期8月期初调研)若方程x2m+y24-m=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围是( )
A.m<2 B.0C.22
10.(2021江苏南通如皋高二上学期教学质量调研)当α∈0,π2时,方程x2sin α+y2cs α=1表示焦点在x轴上的椭圆,则α的取值范围为 .
11.已知椭圆x29+y22=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,若PF1=4,则∠F1PF2= .
题组四 直线与椭圆的位置关系
12.(2020江苏镇江中学高二上学期第一次月考)若直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆x29+y24=1的交点的个数为( )
A.2 B.0或1 C.1 D.0
13.(2020江苏南京六合大厂高级中学高二上学期10月学情调研)直线x+4y+m=0交椭圆x216+y2=1于A、B两点,若线段AB中点的横坐标为1,则m=( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
14.(2020江苏盐城响水中学高二上学期期中)已知椭圆C:x22+y2=1,过右焦点的直线l:y=x-1与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△AOB的面积为 .
能力提升练
题组一 椭圆的定义与标准方程及其应用
(2021江苏南通平潮高级中学高二上学期期中,)设F1,F2是椭圆C:x212+y23=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在椭圆C上且OP=3,则
△PF1F2的面积为( )
A.3 B.6 C.23 D.215
2.(2020江苏南通启东中学高二上学期期中,)在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC的顶点A(-4,0)和C(4,0),顶点B在椭圆x225+y29=1上,则sinA+sinCsin(A+C)=( )
A.43 B.53 C.45 D.54
3.()已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与椭圆C交于A,B两点.若AF2=2F2B,AB=BF1,则椭圆C的标准方程为( )
A.x22+y2=1 B.x23+y22=1
C.x24+y23=1 D.x25+y24=1
4.(多选)(2020江苏南通如皋高二上学期教学质量调研,)设F1,F2分别为椭圆C:x216+y27=1的左、右焦点,M为椭圆C上一点且在第一象限,若△MF1F2为等腰三角形,则下列结论正确的是( )
A.MF1=2 B.MF2=2
C.点M的横坐标为83 D.S△MF1F2=35
5.(多选)(2020山东潍坊中学高二期中,)已知P是椭圆x29+y24=1上一点,椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,且cs∠F1PF2=13,则下列结论正确的是( )
A.△PF1F2的周长为12
B.S△PF1F2=22
C.点P到x轴的距离为2105
D.PF1·PF2=2
6.()已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点M1,32,F1,F2是椭圆C的两个焦点,F1F2=23,P是椭圆C上的一个动点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若点P在第一象限,且PF1·PF2≤14,求点P的横坐标的取值范围.
题组二 直线与椭圆的位置关系
7.(2021黑龙江哈尔滨第六中学高二上学期期中,)经过椭圆x22+y2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l,交椭圆于A,B两点.设O为坐标原点,则OA·OB等于( )
A.-3 B.-13 C.-13或-3 D.±13
8.(2019江苏泰州中学高二上期末,)已知椭圆C:x216+y212=1,过点P(0,6)的直线l与椭圆C交于A,B两点,若A是线段PB的中点,则点A的坐标为 .
9.(2020吉林长春实验中学高二上期中,)已知中心在原点,焦点坐标为(0,±52)的椭圆截直线3x-y-2=0所得的弦的中点的横坐标为12,则该椭圆的标准方程为 .
10.()已知P(m,n)(m>0,n>0)为椭圆x28+y22=1上一点,Q,R,S分别为P关于y轴,原点,x轴的对称点.
(1)求四边形PQRS面积的最大值;
(2)当四边形PQRS面积最大时,在线段PQ上任取一点M(不与端点重合),若过M的直线与椭圆相交于A,B两点,且AB中点恰为M,求直线AB斜率k的取值范围.
答案全解全析
基础过关练
1.B 根据椭圆的定义知PA+PB为定值,且PA+PB>AB,则P点的轨迹为椭圆,所以“PA+PB为定值”不能推出“P点的轨迹为椭圆”,但“P点的轨迹为椭圆”能推出“PA+PB为定值”,故“PA+PB为定值”是“P点的轨迹为椭圆”的必要不充分条件,故选B.
2.C 由题意知椭圆焦距为2,即c=1.
当焦点在x轴上时,a2=m,b2=4,∴m-4=1,即m=5;当焦点在y轴上时,a2=4,b2=m,∴4-m=1,即m=3.∴m的值为5或3.故选C.
3.B 根据椭圆的定义可知,P到两个焦点的距离之和为2a=2×5=10,所以P到另一个焦点的距离为10-7=3.故选B.
4.B 由x216+y27=1得a=4,由椭圆的定义得AF1+AF2=BF1+BF2=2a,所以△ABF2的周长等于AB+AF2+BF2=AF1+AF2+BF1+BF2=4a=16,故选B.
5.A 因为BF2=F1F2=2,所以a=2,c=1,由a2=b2+c2可得b2=3,所以所求椭圆的方程是x24+y23=1.故选A.
6.A 由题意得椭圆C的焦点坐标为(5,0),(-5,0),c=5.
设椭圆E的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),把点(-3,2)代入,得9a2+4b2=1,①
∵椭圆C与椭圆E有相同的焦点,
∴a2-b2=5,②
由①②得a2=15,b2=10,∴椭圆E的方程为x215+y210=1,故选A.
7.答案 x24+y23=1
解析 设P(x,y),则MN=(-3,0),MP=(x-4,y),NP=(x-1,y).
由题意可得-3(x-4)=6(x-1)2+y2,
化简得3x2+4y2=12,即x24+y23=1,
∴动点P的轨迹C的方程为x24+y23=1.
8.B ∵方程x2k-4+y210-k=1表示焦点在x轴上的椭圆,∴k-4>0,10-k>0,k-4>10-k,解得79.B 若方程x2m+y24-m=1表示焦点在y轴上的椭圆,则满足m>0,4-m>0,4-m>m⇒m>0,m<4,m<2,解得0故选B.
10.答案 0,π4
解析 由x2sin α+y2cs α=1,得x21sinα+y21csα=1,α∈0,π2,故1sinα>0,1csα>0,又方程
x2sin α+y2cs α=1表示焦点在x轴上的椭圆,所以1sinα>1csα,即cs α>sin α,
故α∈0, π4.
11.答案 120°
解析 由椭圆的标准方程知a2=9,b2=2,∴a=3,c2=a2-b2=9-2=7,即c=7,
∴F1F2=27.
∵PF1=4,∴PF2=2a-PF1=2.
∴cs∠F1PF2=PF12+PF22-F1F222×PF1×PF2
=42+22-(27)22×4×2=-12,又0°<∠F1PF2<180°,∴∠F1PF2=120°.
12.A ∵直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有交点,∴4m2+n2>2,∴013.A ∵x+4y+m=0,∴y=-14x-m4,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1216+y12=1,x2216+y22=1,两式相减并整理,得y1-y2x1-x2=-x1+x216(y1+y2)=-14,∵AB中点的横坐标为1,∴AB中点的纵坐标为14,将1,14代入y=-14x-m4,解得m=-2.
14.答案 23
解析 由题意可知椭圆的右焦点为(1,0),又直线l的方程为y=x-1,将其代入x22+y2=1中,消去x,整理可得3y2+2y-1=0,解得y=-1或y=13,
所以S△AOB=12×-1-13×1=23.
能力提升练
1.A 由椭圆的标准方程可知a2=12,b2=3,∴c2=a2-b2=9,∴c=3,
∵OP=3,∴PF1⊥PF2,∵PF1+PF2=2a=43,平方得PF12+PF22+2PF1·PF2=48,即4c2+2PF1·PF2=48,即36+2PF1·PF2=48,解得PF1·PF2=6,故S△PF1F2=12·PF1·PF2=3.故选A.
2.D 由椭圆的方程可得a=5,b=3,则其焦点坐标为(-4,0)和(4,0),恰好是A,C两点,则AC=2c=8,BC+BA=2a=10,由正弦定理可得sinA+sinCsin(A+C)=sinA+sinCsinB=BC+BAAC=54,故选D.
3.B 设F2B=x(x>0),则AF2=2x,AB=BF1=3x,AF1=4a-(AB+BF1)=4a-6x,
由椭圆的定义知BF1+BF2=2a=4x,所以AF1=2x.
在△BF1F2中,由余弦定理得BF12=F2B2+F1F22-2F2B·F1F2·cs∠BF2F1,即9x2=x2+22-4x·
cs∠BF2F1①,
在△AF1F2中,由余弦定理可得AF12=AF22+F1F22-2AF2·F1F2·cs∠AF2F1,即4x2=4x2+22+8x·
cs∠BF2F1②,
由①②得x=32,所以2a=4x=23,所以a=3,所以b2=a2-c2=2.
所以椭圆C的标准方程为x23+y22=1.故选B.
4.BCD 因为椭圆C:x216+y27=1,所以a=4,b=7,c=3,因为M为椭圆C上一点且在第一象限,△MF1F2为等腰三角形,所以MF1>MF2,MF1=F1F2=2c=6,MF2=2,在△MF1F2中,由余弦定理得cs∠MF1F2=MF12+F1F22-MF222MF1·F1F2=62+62-222×6×6=1718,
所以点M的横坐标为MF1·cs∠MF1F2-c=6×1718-3=83,sin∠MF1F2=1-17182=3518,
所以S△MF1F2=12×MF1×F1F2×sin∠MF1F2=12×6×6×3518=35,故选BCD.
BCD 由椭圆方程知a=3,b=2,所以c=5,所以PF1+PF2=6,于是△PF1F2的周长为2a+2c=6+25,故A选项错误;在△PF1F2中,由余弦定理可得F1F22=PF12+PF22-2PF1·PF2·
cs∠F1PF2=(PF1+PF2)2-2PF1·PF2-2PF1·PF2·cs∠F1PF2,即20=36-2PF1·PF2-23PF1·PF2,解得PF1·PF2=6,故S△PF1F2=12PF1·PF2·sin∠F1PF2=12×6×223=22,故B选项正确;设点P到x轴的距离为d,则S△PF1F2=12F1F2·d=12×25d=22,所以d=2105,故C选项正确;PF1·PF2=|PF1|·|PF2|·cs∠F1PF2=6×13=2,故D选项正确.
6.解析 (1)∵椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点M1,32,F1,F2是椭圆C的两个焦点,F1F2=23,
∴2c=23,1a2+34b2=1,a2=b2+c2,解得a=2,b=1,c=3,
∴椭圆C的标准方程为x24+y2=1.
(2)设P(x,y)(x>0,y>0),∵c=3,
∴令F1(-3,0),F2(3,0),
∴PF1=(-3-x,-y),PF2=(3-x,-y),
∴PF1·PF2=(-3-x,-y)·(3-x,-y)=x2+y2-3,
又x24+y2=1,即y2=1-x24,
∴PF1·PF2=x2+y2-3=x2+1-x24-3
=14(3x2-8)≤14,
解得-3≤x≤3,
∵x>0,∴0∴点P的横坐标的取值范围是(0,3].
7.B 由x22+y2=1,得a2=2,b2=1,c2=a2-b2=1,则椭圆的焦点为(-1,0),(1,0),
若直线l过右焦点,则直线l的方程为y=x-1,
代入x22+y2=1,整理得x2+2(x-1)2-2=0,即3x2-4x=0.设交点A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1x2=0,x1+x2=43,则y1y2=(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=1-43=-13,
故OA·OB=x1x2+y1y2=0-13=-13.
8.答案 (2,3)或(-2,3)
解析 (1)当直线l斜率不存在时,l的方程为x=0,此时A(0,23),B(0,-23),很显然不满足题意,故舍去.
(2)当直线l斜率存在时,设l:y=kx+6,代入椭圆方程,并整理得(3+4k2)x2+48kx+96=0,
令A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-48k3+4k2,x1x2=963+4k2.
因为A是线段PB的中点,所以x2=2x1,则3x1=-48k3+4k2,2x12=963+4k2,故x1=-16k3+4k2,x12=483+4k2①,
所以256k2(3+4k2)2=483+4k2,
解得k2=94,
代入①得x1=±2,易得y1=3,则A(2,3)或A(-2,3).
9.答案 y275+x225=1
解析 设椭圆方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0),则a2=b2+c2=b2+50.①
设直线3x-y-2=0与椭圆相交的弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则b2y12+a2x12=a2b2,b2y22+a2x22=a2b2,
∴b2(y1-y2)(y1+y2)+a2(x1-x2)(x1+x2)=0.
易得x1+x2=2×12=1,y1+y2=2×-12=-1,y1-y2x1-x2=3,
∴b2×3×(-1)+a2×1=0,即a2=3b2.②
联立①②得,a2=75,b2=25.
故该椭圆的标准方程为y275+x225=1.
10.解析 (1)由P在椭圆上得m28+n22=1,
∵m>0,n>0,∴利用基本不等式得1=m28+n22≥2×m8×n2=mn2,当且仅当m28=n22=12,即m=2,n=1时,等号成立,
易知S四边形PQRS=2m×2n=4mn≤8,当m=2,n=1时取等号,
故当m=2,n=1时,四边形PQRS的面积取最大值,最大值为8.
(2)由(1)得P(2,1),则Q(-2,1),设M的坐标为(t,1),其中-2则有x128+y122=1,x228+y222=1,两式相减得
(x1-x2)(x1+x2)8=-(y1-y2)(y1+y2)2(*),
∵M为线段AB的中点,
∴x1+x22=t,y1+y22=1,
∴(*)化为(x1-x2)t4=-(y1-y2),
∴k=-t4,
故k∈-12,12.