高中苏教版 (2019)3.1 椭圆课后作业题

这是一份高中苏教版 (2019)3.1 椭圆课后作业题，共16页。试卷主要包含了椭圆x2+y28=1的短轴长为，已知椭圆C等内容，欢迎下载使用。

题组一 由椭圆的标准方程探究其几何性质
1.(2020江苏南京天印高级中学高二上学期10月学情调研)椭圆x2+y28=1的短轴长为( )
A.6 B.3 C.1 D.2
2.点A(a,1)在椭圆x24+y22=1的内部,则a的取值范围是( )

A.(-∞,-2)∪(2,+∞)
B.(-2,2)
C.[-2,2]
D.(-2,2)
3.[2021新高考八省(市)1月联考]椭圆x2m2+1+y2m2=1(m>0)的焦点为F1,F2,上顶点为A,若∠F1AF2=π3,则m= ( )
A.1 B.2 C.3 D.2
4.(2021江苏扬州邗江中学高二上学期期中)椭圆x225+y29=1和椭圆x29-k+y225-k=1(0A.等长的长轴 B.相等的焦距
C.相等的离心率 D.等长的短轴
5.(2020江苏苏州外国语学校高二上学期期中)设AB是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴,若把线段AB 100等分,过每个分点作AB的垂线,依次交椭圆的上半部分于P1、P2、…、P99,F1为椭圆的左焦点,则F1A+F1P1+F1P2+…+F1P99+F1B的值是( )
A.99a B.100a
C.101a D.102a
题组二 由椭圆的几何性质求标准方程
6.(2020江苏南通通州、海安高二上学期期末)椭圆以坐标轴为对称轴,经过点(3,0),且长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的标准方程为( )
A.x29+4y29=1
B.y236+x29=1
C.x29+4y29=1或y236+x29=1
D.x29+4y29=1或y29+4x29=1
7.(2021江苏徐州沛县高二上学期第一次学情调研)过点(2,3),焦点在x轴上且与椭圆x24+y23=1有相同的离心率的椭圆方程为( )
A.x26+y24=1 B.x216+y212=1
C.x212+y29=1 D.x28+y26=1
8.(2021江苏扬州仪征中学高二上学期期中)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为33,过F2的直线交椭圆C于A,B两点,若△AF1B的周长为43,则椭圆C的标准方程为( )
A.x23+y22=1 B.x23+y2=1
C.x212+y28=1 D.x212+y24=1
9.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点P1,32,离心率为12,求椭圆C的标准方程.
题组三 求椭圆离心率的值(或范围)
10.(2021江苏镇江大港中学高二上学期10月学情检测)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),若a=3b,则C的离心率为( )
A.63 B.23
C.33 D.223
11.(2020江苏连云港东海高二上学期期中)在平面直角坐标系xOy中,椭圆x2m2+4+y23=1(m∈R)的离心率的取值范围为( )
A.0,12 B.22,1
C.12,1 D.13,12
12.(2021江苏盐城响水中学高二上学期期中)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为( )
A.14 B.13
C.12 D.34
13.(2021江苏南京航空航天大学附属中学高三上学期期中)P是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一点,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,点P到原点O的距离为焦距的一半,且PF1-PF2=a,求椭圆的离心率.
题组四 椭圆几何性质的应用
14.(2021江苏南京人民中学高二上学期9月月考)某同学数星星的时候,突然想到了哈雷彗星,于是上网找到了哈雷彗星图片及其轨道图片,如图.经查阅相关资料得知:在1986年2月9日出现的哈雷彗星轨道的近日点距离太阳约0.6 A.U.(A.U.是天文单位,是天文学中计量天体之间距离的一种单位,其数值取地球和太阳之间的平均距离,1 597 870 700米),将于2023年12月9日出现的哈雷彗星轨道远日点距离太阳约35 A.U.,哈雷彗星的周期约76年,质量约1015 kg.如果哈雷彗星轨道可以近似看成椭圆,那么该椭圆的离心率约是( )


15.若椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为35,两焦点分别为F1,F2,M为椭圆上一点,且△F1F2M的周长为16,则椭圆C的方程为 ( )
A.x216+y225=1
B.x225+y29=1
C. x29+y225=1
D.x225+y216=1
16.(多选)(2021江苏徐州第一中学高二上学期期中)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆,如图所示,已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m千米,远地点B(离地面最远的点)距地面n千米,并且F、A、B三点在同一直线上,地球半径约为R千米,设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a、2b、2c,则( )
A.a-c=m+R B.a+c=n+R
C.2a=m+n D.b=(m+R)(n+R)
17.(2020广东惠州高二上期末)椭圆x29+y225=1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m,则m的最大值为 ,此时点P的坐标为 .
能力提升练

题组一 椭圆的几何性质及其应用
(2021江苏南通中学高二上学期期中,)椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆C上的动点,若a=2b,则满足
∠F1PF2=90°的点P的个数为( )
A.2 B.4 C.0 D.1
(2020江苏南通启东中学高二下学期期初,)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1、F2,若椭圆上存在点P使得
∠F1PF2是钝角,则椭圆离心率的取值范围是( )
A.0,22 B.22,1 C.0,12 D.12,1
3.(2021江苏扬州仪征中学、江都中学高二上学期期中联考,)已知A、B为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点,C(0,b),直线l:x=2a与x轴交于点D,与直线AC交于点P,且PB平分∠APD,则此椭圆的离心率为( )
A.13 B.23 C.23 D.63
4.(2020江苏南通高二上学期教学质量调研(二),)已知椭圆C:x24+y23=1的右焦点为F,若过F的直线l与椭圆C交于A,B两点,则AFBF的取值范围是( )
A.14,2 B.14,3 C.13,3 D.12,2
5.(多选)()若椭圆C1:x2a12+y2b12=1(a1>b1>0)和椭圆C2:x2a22+y2b22=1(a2>b2>0)的离心率相同,且a1>a2,则下列结论正确的是( )
A.椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点
B.a1a2=b1b2
C.a12-a22D.a1-a26.(2021江苏无锡锡山高级中学高二上学期期中,)设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,O为坐标原点.过点F的直线2x+y-4=0与椭圆的交点为Q(点Q在x轴上方),且OF=OQ,则椭圆C的离心率为 .
题组二 椭圆几何性质的综合应用
7.(2021江苏南京高二上学期期中,)如图,已知圆柱的底面半径为2,与圆柱底面成60°角的平面截这个圆柱得到一个椭圆,则该椭圆的焦距为( )
A.22 B.23 C.42 D.43
8.()已知点P(x,y)(x≠0,y≠0)是椭圆x216+y28=1上的一个动点,F1,F2分别为椭圆的左,右焦点,O是坐标原点,若M是∠F1PF2的平分线上的一点(不与点P重合),且F1M·PM=0,则|OM|的取值范围为( )
A.[0,3) B.(0,22)
C.[22,3) D.[0,4]
9.(多选)(2021 江苏泰州中学上学期期中,)设椭圆C:x24+y23=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P为椭圆C上一动点,则下列说法中正确的是( )
A.当点P不在x轴上时,△PF1F2的周长是6
B.当点P不在x轴上时,△PF1F2面积的最大值为3
C.存在点P,使PF1⊥PF2
D.PF1长的取值范围是[1,3]
10.()黄金分割比例5-12具有严格的比例性、艺术性、和谐性,蕴含着丰富的美学价值.这一比值能够引起人们的美感,是建筑和艺术中最理想的比例.我们把离心率e=5-12的椭圆称为“黄金椭圆”,则以下四种说法:
①椭圆x22+y25+1=1是“黄金椭圆”;②若椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(c,0),且满足b2=ac,则该椭圆为“黄金椭圆”;③设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B,右顶点为A,若∠ABF=90°,则该椭圆为“黄金椭圆”;④设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右顶点分别是A,B,左,右焦点分别是F1,F2,若F1F22=AF1·F1B,则该椭圆为“黄金椭圆”.
其中说法正确的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D. 4
11.(多选)()如图所示,某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在点P第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在点P第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长,则下列式子正确的是( )
A.a1+c1=a2+c2 B.a1-c1=a2-c2
C.a2c1>c2a1 D.c1a112.()已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=22,过椭圆的左焦点F且倾斜角为30°的直线m与圆x2+y2=b2相交所得弦长为3.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)是否存在过点P(0,3)的直线l与椭圆C交于A、B两点,且PA=2AB?若存在,求直线l的方程;若不存在,说明理由.
13.(2020福建三明高二上期末,)利用圆的面积公式可以类比得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知平面直角坐标系xOy中,椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的面积为23π,两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过点P(1,0)的直线l与C交于不同的两点A,B,求△OAB面积的最大值.
答案全解全析
基础过关练
1.D 由椭圆的标准方程知b2=1,即b=1,所以椭圆的短轴长为2b=2,故选D.
2.B 由题意得a24+12<1,即a2<2,解得-23.C 由题可知a2=m2+1,b2=m2,故b=m,c=1,
∵∠F1AF2=π3,∴∠F1AO=π6,
∴tan∠F1AO=cb=1m=33,∴m=3.故选C.
4.B 依题意知椭圆x29-k+y225-k=1的焦点在y轴上,椭圆x225+y29=1的焦点在x轴上.对于椭圆x29-k+y225-k=1,有225-k-(9-k)=8.对于椭圆x225+y29=1,有225-9=8,所以两个椭圆有相等的焦距.长轴长、短轴长和离心率均不相等.故选B.
5.C 根据椭圆的对称性知F1A+F1P1+F1P2+…+F1P99+F1B=(F1A+F1B)+(F1P1+F1P99)+(F1P2+F1P98)+…+F1P50=2a+2a+…+a=101a.故选C.
6.C 设所求椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>0,b>0).当椭圆的焦点在x轴上时,a=3,则b=a2=32,所以椭圆方程为x29+4y29=1.
当椭圆的焦点在y轴上时,b=3,则a=2b=6,所以椭圆方程为y236+x29=1.故选C.
7.D 设所求椭圆方程为x24+y23=λ(λ>0),将点(2,3)代入可得44+33=λ,即λ=2,所以所求椭圆方程为x28+y26=1.故选D.
8.A 已知△AF1B的周长为43,则AB+AF1+BF1=AF2+BF2+AF1+BF1=4a=43,
所以a=3,又e=ca=33,所以c=1,所以b2=a2-c2=2,所以椭圆C的标准方程为x23+y22=1.故选A.
9.解析 ∵e=ca=12,∴a2-b2a2=14,∴b2=34a2,将点P1,32代入椭圆方程得1a2+9434a2=1,解得a2=4,∴b2=3,∴椭圆C的标准方程为x24+y23=1.
10.D 因为a=3b,a2=b2+c2,所以a2=a29+c2,整理可得c2a2=89,
所以e=ca=223.故选D.
11.C 由题意可得a2=m2+4,c2=m2+4-3,
所以e2=c2a2=m2+4-3m2+4=1-3m2+4<1,当m=0时,(e2)min=14,故14≤e2<1,整理得12≤e<1,故选C.
12.C 设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),不妨设直线l经过椭圆的上顶点和右焦点,
则直线方程为xc+yb=1,
由椭圆中心到l的距离为其短轴长的14,可得11c2+1b2=b2,
∴4=b21c2+1b2,∴b2c2=3,即a2-c2c2=3,∴e=ca=12,故选C.
13.解析 因为P是椭圆上一点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,所以PF1+PF2=2a,而PF1-PF2=a,则PF1=32a,PF2=12a,又因为点P到原点O的距离为焦距的一半,即PO=OF1=OF2,所以三角形PF1F2为直角三角形,则PF12+PF22=F1F22,即32a2+12a2=(2c)2,解得c2a2=58,所以e =104.
14.答案 B
信息提取 (1)在1986年2月9日出现的哈雷彗星轨道的近日点距离太阳约0.6 A.U.;
(2)在2023年12月9日出现的哈雷彗星轨道的远日点距离太阳约35 A.U.;(3)哈雷彗星轨道可以近似看成椭圆.
数学建模 本题以哈雷彗星的运动轨迹为背景构建与椭圆相关的问题,由题意可设椭圆的长半轴长为a,半焦距为c,由题意列方程求得a与c的值,即可求得离心率.
解析 设椭圆的长半轴长为a,半焦距为c,由题意可得a-c=0.6,a+c=35,解得a=17.8,c=17.2,
∴e=ca=17.217.8≈0.97.故选B.
15.D ∵e=ca=35,∴c3=a5,设c3=a5=t(t>0),则a=5t,c=3t.
又△F1F2M的周长为2a+2c=16t=16,
∴t=1,∴a=5,c=3,
∴b2=a2-c2=16.
∴椭圆C的方程为x225+y216=1,
故选D.
16.ABD ∵地球的中心是椭圆的一个焦点,并且根据图形可得m=a-c-R,n=a+c-R,(*)
∴a-c=m+R,故A正确;a+c=n+R,故B正确;(*)中两式相加得m+n=2a-2R,
可得2a=m+n+2R,故C不正确;由(*)可得m+R=a-c,n+R=a+c,两式相乘可得(m+R)(n+R)=a2-c2,∵a2-c2=b2,∴b2=(m+R)(n+R)⇒b=(m+R)(n+R),故D正确.故选ABD.
17.答案 25;(±3,0)(或分开写(-3,0)和(3,0))
解析 设F1、F2为椭圆的两焦点,m=PF1·PF2≤PF1+PF222=2a22=a2=25,当且仅当PF1=PF2=5时,等号成立,此时取最大值25,即点P在短轴端点时,m取最大值,所以点P的坐标为(±3,0)时,m取最大值,最大值为25.
能力提升练
1.A 设椭圆的半焦距为c,当a=2b时,c=a2-b2=b2=b,如图,连接PO,
若∠F1PF2=90°,则PO=OF1=b,此时P点在短轴的上下端点,即符合条件的P有2个.故选A.
2.B 当动点P从椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时,∠F1PF2逐渐增大,当且仅当P点位于短轴端点P0处时,∠F1PF2达到最大值.∵椭圆上存在点P使得∠F1PF2是钝角,∴在
△F1P0F2中,∠F1P0F2>90°,在Rt△OP0F2中,∠OP0F2>45°,
∴b22,
∵03.D 如图,由三角形相似可得OCDP=OAAD,
则DP=OC·ADOA=b·3aa=3b,
所以tan∠BPD=a3b,tan∠APD=3a3b=ab,
因为PB平分∠APD,所以tan∠APD=tan2∠BPD=2a3b1-a3b2=6ab9b2-a2,则ab=6ab9b2-a2,所以3b2=a2,又b2=a2-c2,所以2a2=3c2,所以离心率e=63.故选D.
方法总结
由直线与椭圆的位置关系解决离心率问题的思路:(1)由题中条件寻找a,b,c间的关系式(等式或不等式).(2)借助a2=b2+c2转化为关于ca的方程或不等式.
4.C 由题意得F(1,0),设P(x0,y0),x0∈[-2,2]为椭圆C上任意一点,则x024+y023=1,解得y02=34(4-x02),由两点间距离公式可得PF=(x0-1)2+y02=2-12x0,由上式可得当A为椭圆的右顶点时,AF最小,此时AF=2-1=1,当B为椭圆的左顶点时,BF最大,此时BF=2+1=3,则AFBF的最小值为13,同理可得AFBF的最大值为3,即AFBF的取值范围是13,3,故选C.
5.AB 依题意知c1a1=c2a2,即1-b1a12=1-b2a22,所以b1a1=b2a2,所以a1a2=b1b2,因此B正确;又a1>a2,所以椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点,因此A正确;设b1a1=b2a2=m,其中00,即有a12-b12>a22-b22,则a12-a22>b12-b22,因此C错误;(a1-b1)-(a2-b2)=(1-m)·(a1-a2)>0,即有a1-b1>a2-b2,则a1-a2>b1-b2,因此D错误.故选AB.
6.答案 53
解析 因为点F在直线2x+y-4=0上,所以F(2,0),椭圆左焦点F1(-2,0),c=2,
设点Q(x,-2x+4),则OQ=x2+(-2x+4)2=OF=2,解得x=65或x=2(舍去),
所以点Q65,85,所以2a=QF+QF1=-452+852+1652+852=1255,即a=655,所以椭圆的离心率e=ca=2655=53,故答案为53.
7.D 如图所示,
设椭圆的长轴为AB,短轴为CD,中心为点O1,圆柱的底面中心为O,则∠OAB=60°,OA=2,设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>0,b>0),
可得a=O1A=OAcs60°=4,b=12CD=2,∴c=a2-b2=23,
∴椭圆的焦距为43,故选D.
8.B 如图,延长PF2,F1M,交于点N,则△PF1N为等腰三角形,M为F1N的中点,|OM|=12|F2N|=12|PN-PF2|=12×|PF1-PF2|.由图可知,当P在短轴端点时,|OM|取得最小值,此时|OM|=0,当P在长轴端点时,|OM|取得最大值,此时|OM|=22,但P不能在坐标轴上,故取不到端点值,所以|OM|的取值范围为(0,22).
ABD 由椭圆方程可知a=2,b=3,从而c=a2-b2=1.对于选项A,根据椭圆定义知,PF1+PF2=2a=4,又F1F2=2c=2,所以△PF1F2的周长是2a+2c=6,故选项A正确;对于选项B,设点P(x0,y0)(y0≠0),因为F1F2=2,则S△PF1F2=12F1F2·|y0|=|y0|.因为0<|y0|≤b=3,所以△PF1F2面积的最大值为3,故选项B正确;对于选项C,由椭圆性质可知,当点P为椭圆C短轴的一个端点时,∠F1PF2最大,此时PF1=PF2=a=2,又F1F2=2,所以△PF1F2为正三角形,∠F1PF2=60°,所以不存在点P,使PF1⊥PF2,故选项C错误;对于选项D,当点P为椭圆C的右顶点时,PF1取得最大值,此时PF1=a+c=3,当点P为椭圆C的左顶点时,PF1取得最小值,此时PF1=a-c=1,所以PF1∈[1,3],故选项D正确.故选ABD.
方法总结
以椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点P(x0,y0)(y0≠0)和焦点F1(-c,0),F2(c,0)为顶点的△PF1F2中,若∠F1PF2=θ,则
(1)焦点三角形的周长为2a+2c;
(2)当点P为椭圆短轴的一个端点时,∠F1PF2=θ最大;
(3)S△PF1F2=12PF1×PF2×sin θ,当|y0|=b,即点P为椭圆短轴的一个端点时,S△PF1F2取得最大值,最大值为bc;
(4)S△PF1F2=b2tan θ2.
10.C ①由题意得a2=5+1,b2=2,故e=1-b2a2=5-12,故椭圆x22+y25+1=1是“黄金椭圆”;②b2=ac,即a2-c2=ac,故e2+e-1=0,解得e=5-12或e=-5-12(舍去),故该椭圆是“黄金椭圆”;③由∠ABF=90°得(a+c)2=a2+b2+b2+c2,化简可知e2+e-1=0,解得e=5-12或e=-5-12(舍去),故该椭圆是“黄金椭圆”;④由F1F22=AF1·F1B,得(2c)2=(a-c)(a+c),则e=55(负值舍去),故该椭圆不是“黄金椭圆”.故选C.
11.BC 由题图可得a1>a2,c1>c2,∴a1+c1>a2+c2,故A不正确;∵PF=a1-c1,PF=a2-c2,∴a1-c1=a2-c2,故B正确;由a1-c1=a2-c2得(a1+c2)2=(a2+c1)2,即a12-c12+2a1c2=a22-c22+2a2c1,亦即b12+2a1c2=b22+2a2c1,∵b1>b2,∴a2c1>a1c2,∴c1a1>c2a2,故C正确,D不正确.故选BC.
12.解析 (1)由题易得,圆心(0,0)到直线m的距离为b2-322,由直线m的倾斜角为30°得b2-322=c2,
由e=ca=22得a2=2c2,即b2+c2=2c2,
∴b2=c2,将其与b2-322=c2联立,
得b=c=1,∴a=2,∴椭圆C的标准方程为x22+y2=1.
(2)存在.设A(x1,y1),B(x2,y2).
①若直线l垂直于x轴,则l与椭圆C交于(0,1),(0,-1),
取A(0,-1),B(0,1),满足PA=2AB.
②若直线l不垂直于x轴,则设直线l的方程为y=kx+3,代入椭圆方程x22+y2=1,整理得(2k2+1)x2+12kx+16=0,
令Δ=16k2-64>0,则k<-2或k>2,x1+x2=-12k2k2+1(*),x1x2=162k2+1(**),
对于PA=2AB,包含两种情况:
(i)PA=2AB,即(x1-0,y1-3)=2(x2-x1,y2-y1),∴x1=2(x2-x1),即x2=32x1,
代入(*)(**)得52x1=-12k2k2+1,32x12=162k2+1,消去x1,得3225×-12k2k2+12=162k2+1,解得k=±52,
∴l的方程为y=52x+3或y=-52x+3.
(ii)PA=2BA,即(x1-0,y1-3)=2(x1-x2,y1-y2),∴x1=2x2,
代入(*)(**)得3x2=-12k2k2+1,2x22=162k2+1,消去x2,得213×-12k2k2+12=162k2+1,有2k2=2k2+1,无解.
综上,l的方程为x=0或5x-2y+6=0或5x+2y-6=0.
13.解析 (1)依题意得ab=23,a=2c,a2=b2+c2,
解得a=2,b=3,c=1,
所以椭圆C的标准方程是x24+y23=1.
(2)由题意得,直线l的斜率不能为0,设直线l的方程为x=my+1,
由方程组x=my+1,x24+y23=1得(3m2+4)y2+6my-9=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1+y2=-6m3m2+4,y1·y2=-93m2+4,
所以|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1·y2=12m2+13m2+4,
所以S△OAB=12×OP×|y1-y2|=6m2+13m2+4,
令t=m2+1(t≥1),则m2=t2-1,
S△OAB=6t3t2+1=63t+1t,
因为y=3t+1t在[1,+∞)上单调递增,
所以当t=1,即m=0时,△OAB的面积取得最大值32.