湘教版（2019）必修 第一册2.2 从函数观点看一元二次方程练习题

这是一份湘教版（2019）必修 第一册2.2 从函数观点看一元二次方程练习题，共18页。试卷主要包含了3　一元二次不等式，不等式x2-2x<3的解集为，解下列关于x的不等式等内容，欢迎下载使用。

基础过关练
题组一 二次函数的零点
1.函数y=x2-3x+4的零点个数为( )
A.0B.1C.2D.3
2.(2020山东邹城一中高一月考)下列图象表示的函数中没有零点的是( )
3.函数y=ax2+2ax+3(a≠0)的一个零点为1,则其另一个零点为 .
4.函数y=x2-ax-b的两个零点是2和3,则函数y=bx2-ax-1的零点为 .
5.已知关于x的方程x2-2x+a=0.当a为何值时,
(1)方程的一个根大于1,另一个根小于1?
(2)方程的一个根大于-1且小于1,另一个根大于2且小于3?
(3)方程的两个根都大于0?
题组二 一元二次不等式的解法
6.不等式x2-2x<3的解集为( )
A.{x|x<-3或x>1}B.{x|-3C.{x|x<-1或x>3}D.{x|-17.不等式-x2+x+6<0的解集是( )
A.{x|-2C.{x|x>3或x<-2}D.x|x>13或x<-12
8.不等式2x2-5x-3≥0成立的一个必要不充分条件是( )
A.x≥0B.x<0或x>2
C.x<-12 D.x≤-12或x≥3
9.解下列关于x的不等式:
(1)2+3x-2x2>0;
(2)x(3-x)≤x(x+2)-1;
(3)-1(4)2x+1x-1≤1.
题组三 含参数的一元二次不等式的解法
10.若0A.x|1t1t
C.x|x<1t或x>tD.x|t11.(2020江苏淮安淮阴中学高一月考)若关于x的不等式ax-b>0的解集是{x|x>1},则关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是( )
A.{x|x<-1或x>3}B.{x|-1C.{x|13}
12.若集合{x|ax2+ax+4≤0}=⌀,则实数a的取值范围是( )
A.[0,16) B.(0,16)
C.(-∞,0)∪(16,+∞)D.[0,16]
13.解关于x的不等式ax2-x>0(a≠0).
题组四 三个“二次”之间的关系
14.若关于x的不等式ax2+bx-1<0的解集为{x|-1A.-14B.0C.12 D.1
15.若关于x的不等式x2+ax-3<0的解集为(-3,1),则不等式ax2+x-3<0的解集为( )
A.(1,2)B.(-1,2)
C.-12,1D.-32,1
16.关于x的不等式x2-mx+1>0的解集为R,则实数m的取值范围是( )
A.{m|02}
C.{m|-2≤m≤2}D.{m|-217.(2020湖南长沙雅礼中学检测)已知x1,x2是二次函数y=x2-(2k+1)x+k2+1的两个零点,且x1,x2都大于1.
(1)求实数k的取值范围;
(2)若x1x2=12,求k的值.
题组五 一元二次不等式的实际应用
18.某城市对一种售价为每件160元的电子产品征收附加税,税率为R%(即每销售100元征税R元),若年销售量为30-52R万件,要使附加税不少于128万元,则R的取值范围是( )
A.[4,8] B.[6,10]
C.[4%,8%]D.[6%,10%]
19.国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农副产品m吨,按规定,农户要向国家纳税,且每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点,即8%).为减少农民负担,制定积极收购政策,根据市场规律,税率降低x(x>0)个百分点,收购量增加2x个百分点,为使得税率调低后,国家此项税收总收入不低于原计划的78%,则x的取值范围为 .
20.现要规划一块长方形绿地,且长方形绿地的长与宽的差为30米.若使长方形绿地的面积不小于4 000平方米,则这块绿地的长与宽至少分别为多少米?
能力提升练
题组一 三个“二次”的综合应用
1.(2020安徽合肥一中、合肥六中高一期末,)已知关于x的不等式(a2-4)x2+(a-2)x-1≥0的解集为空集,则实数a的取值范围是( )
A.a|-2≤a≤65
B.a|-2≤a<65
C.a|-65D.{a|a≠2}
2.(多选)(2020北京朝阳高一期中,)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为x<-2或x>3,则( )
A.a>0
B.不等式bx+c>0的解集是{x|x<-6}
C.a+b+c>0
D.不等式cx2-bx+a<0的解集为x|x<-13或x>12
3.(2021安徽合肥第一中学高一上段考,)已知函数y=x2+ax+b(a,b∈R)的最小值为0,若关于x的不等式x2+ax+bA.9B.8
C.6D.4
4.(2021北京大学附属中学高一上月考,)关于x的不等式(ax-1)2A.-32B.-32C.-32≤a<-43或43D.-32≤a<-43或43≤a<32
5.(2021上海华东师范大学第二附属中学高一上月考,)已知关于x的不等式-16.(2021北京清华大学附属中学高一上月考,)已知集合A={x|x2-2x+a≥0},B={x|x2-2x+a+1<0},若A∪B=R,则实数a的取值范围为 .
7.(2020山东济南历城二中10月月考,)已知关于x的不等式x2-2mx+m+2≤0(m∈R)的解集为M.
(1)当M为空集时,求实数m的取值范围;
(2)在(1)的条件下,求m2+2m+5m+1的最小值;
(3)当M不为空集,且M⊆{x|1≤x≤4}时,求实数m的取值范围.
题组二 一元二次不等式中的恒(能)成立问题
8.(2020河南郑州高二期末,)已知不等式-2x2+bx+c>0的解集是{x|-1A.{t|t≤2}B.{t|t≤-2}
C.{t|t≤-4}D.{t|t≤4}
9.(多选)()若对任意x∈[a,a+2],不等式x2-2x-3≤0恒成立,则实数a的值可能为( )
A.-2B.-1
C.12 D.2
10.()已知对任意m∈[1,3],mx2-mx-1<-m+5恒成立,则实数x的取值范围是( )
A.67,+∞
B.-∞,1-52∪1+52,+∞
C.-∞,67
D.1-52,1+52
11.()若不等式a2+8b2≥λb(a+b)对于任意的a,b∈R恒成立,则实数λ的取值范围为 .
答案全解全析
基础过关练
1.A 令x2-3x+4=0,其判别式Δ=9-16<0,
所以方程x2-3x+4=0无解,即函数y=x2-3x+4无零点.故选A.
2.A 根据图象与x轴的交点进行判断.
故选A.
3.答案 -3
解析 ∵函数y=ax2+2ax+3(a≠0)的一个零点为1,
∴a+2a+3=0,∴a=-1.
∴y=-x2-2x+3.
令-x2-2x+3=0,解得x1=1,x2=-3,
∴函数的另一个零点为-3.
4.答案 -12和-13
解析 因为函数y=x2-ax-b的两个零点是2和3,
所以4-2a-b=0,9-3a-b=0,解得a=5,b=-6,经检验,满足题意.
所以y=bx2-ax-1即为y=-6x2-5x-1.
令-6x2-5x-1=0,
解得x=-12或x=-13,
故函数y=bx2-ax-1的零点为-12和-13.
5.解析 (1)作满足题意的二次函数y=x2-2x+a的大致图象(如图1),由图知,12-2+a<0,解得a<1.
所以a的取值范围是{a|a<1}.
图1
(2)作满足题意的二次函数y=x2-2x+a的大致图象(如图2),由图知,1+2+a>0,1-2+a<0,4-4+a<0,9-6+a>0,解得-3图2
(3)作满足题意的二次函数y=x2-2x+a的大致图象(如图3),由图知,Δ=4-4a≥0,a>0,解得0所以a的取值范围是{a|0图3
6.D 将不等式x2-2x<3整理,得x2-2x-3<0.
∵方程x2-2x-3=0的实数解为x1=-1,x2=3,∴不等式x2-2x-3<0的解集为{x|-17.C 原不等式可化为x2-x-6>0,即(x-3)·(x+2)>0,解得x>3或x<-2,所以不等式的解集为{x|x>3或x<-2}.故选C.
8.B 由不等式2x2-5x-3≥0,解得x≤-12或x≥3,故不等式2x2-5x-3≥0成立的一个必要不充分条件是x<0或x>2.故选B.
9.解析 (1)原不等式可化为2x2-3x-2<0,所以(2x+1)(x-2)<0,解得-12(2)原不等式可化为2x2-x-1≥0,所以(2x+1)(x-1)≥0,解得x≤-12或x≥1,故原不等式的解集为xx≤-12或x≥1.
(3)原不等式等价于x2+2x-1>-1,x2+2x-1≤2,
即x2+2x>0,①x2+2x-3≤0.②
由①得x(x+2)>0,所以x<-2或x>0;
由②得(x+3)(x-1)≤0,所以-3≤x≤1.
所以原不等式的解集为{x|-3≤x<-2或0(4)原不等式可化为x+2x-1≤0,
所以(x+2)(x-1)≤0且x-1≠0,
解得-2≤x<1.
所以原不等式的解集为{x|-2≤x<1}.
10.D 当0因此不等式的解集为x|t11.A 因为不等式ax-b>0的解集是{x|x>1},所以a>0,ba=1,所以关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0,即ax+ba(x-3)>0,即(x+1)(x-3)>0,解得x<-1或x>3,故不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是{x|x<-1或x>3}.故选A.
12.A 集合{x|ax2+ax+4≤0}=⌀等价于不等式ax2+ax+4≤0无解.
当a=0时,4≤0,不成立,满足题意;
当a≠0时,需满足a>0,Δ=a2-4a×4<0,
解得0综上,0≤a<16.故选A.
13.解析 ∵a≠0,
∴方程ax2-x=0的两个根为x1=0,x2=1a.
当a>0时,1a>0,此时不等式的解集为x|x<0或x>1a;
当a<0时,1a<0,此时不等式的解集为x|1a综上,当a>0时,不等式的解集为x|x<0或x>1a;
当a<0时,不等式的解集为x|1a14.B 由题意可得-1和2是方程ax2+bx-1=0的两个根,且a>0,
则-1+2=-ba,-1×2=-1a,解得a=12,b=-12,
故a+b=0.故选B.
15.D 由题意知,-3和1是方程x2+ax-3=0的两根,则-3+1=-a,解得a=2,
所以不等式ax2+x-3<0即为2x2+x-3<0,即(2x+3)(x-1)<0,解得-32所以不等式的解集为-32,1.故选D.
16.D ∵不等式x2-mx+1>0的解集为R,
∴函数y=x2-mx+1的图象在x轴上方,
∴方程x2-mx+1=0无实数解,∴Δ<0,即m2-4<0,解得-2∴实数m的取值范围是{m|-2故选D.
17.解析 (1)∵x1,x2是二次函数y=x2-(2k+1)x+k2+1的两个零点,且x1>1,x2>1,
∴x1+x2=2k+1,x1x2=k2+1,
且Δ=[-(2k+1)]2-4(k2+1)>0,x1+x2>2,(x1-1)(x2-1)>0,
解得k>34且k≠1.
∴实数k的取值范围是kk>34且k≠1.
(2)由x1+x2=2k+1,x1x2=12,得x1=2k+13,x2=4k+23,
∴x1x2=2k+13·4k+23=k2+1,
即k2-8k+7=0,解得k1=7,k2=1(舍去).
∴k的值为7.
18.A 若附加税不少于128万元,则30-52R×160×R%≥128,化简并整理得R2-12R+32≤0,解得4≤R≤8.故选A.
19.答案 (0,2]
解析 原计划税收收入为2 400m×8%元.
税率降低x(x>0)个百分点,收购量增加2x个百分点后的税收收入为(1+2x%)m×2 400×(8-x)%元.
依题意可得(1+2x%)m×2 400×(8-x)%≥2 400m×8%×78%,
整理得x2+42x-88≤0,即(x+44)(x-2)≤0,解得-44≤x≤2.
因为x>0,所以0故x的取值范围为(0,2].
20.解析 设长方形绿地的长与宽分别为a米与b米.由题意可得a-b=30①,ab≥4 000②,
由①②可得b2+30b-4 000≥0,解得b≥50或b≤-80(舍去),
所以a=b+30≥80.
所以这块绿地的长至少为80米,宽至少为50米.
能力提升练
1.C 若a2-4=0,则a=±2.当a=2时,不等式(a2-4)x2+(a-2)x-1≥0化为-1≥0,其解集为空集,因此a=2满足题意;
当a=-2时,不等式(a2-4)x2+(a-2)x-1≥0化为-4x-1≥0,即x≤-14,其解集不为空集,因此a=-2不满足题意,应舍去.
若a2-4≠0,则a≠±2.
∵关于x的不等式(a2-4)x2+(a-2)x-1≥0的解集为空集,
∴a2-4<0,Δ=(a-2)2+4(a2-4)<0,
解得-65综上,a的取值范围是a|-65故选C.
2.ABD ∵关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为x<-2或x>3,∴a>0,A正确;易知-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=0的两根,∴-2+3=-ba,-2×3=ca,则b=-a,c=-6a,则a+b+c=-6a<0,C错误;
不等式bx+c>0即-ax-6a>0,即x+6<0,解得x<-6,B正确;
不等式cx2-bx+a<0即-6ax2+ax+a<0,即6x2-x-1>0,解得x<-13或x>12,D正确.故选ABD.
3.D ∵函数y=x2+ax+b(a,b∈R)的最小值为0,
∴Δ=a2-4b=0,∴b=a24,
∴函数y=x2+ax+b=x+a22,其图象的对称轴为直线x=-a2,
∵不等式x2+ax+b∴方程x2+ax+a24-c=0的根为m,m+4,
∴m+m+4=-a,解得m=-a-42,
∴c=m+a22=4.
故选D.
4.B 不等式(ax-1)2∴(a+1)(a-1)>0,解得a>1或a<-1.
当a>1时,不等式的解集为x|1a+1∵1a+1∈0,12,∴2个整数解为1,2,
∴2<1a-1≤3,即2a-2<1≤3a-3,解得43≤a<32;
当a<-1时,不等式的解集为x|1a+1∵1a-1∈-12,0,∴2个整数解为-1,-2,
∴-3≤1a+1<-2,即-2(a+1)<1≤-3(a+1),解得-32综上所述,实数a的取值范围是-32故选B.
5.答案 {2}
解析 ∵-1化简得(a2-1)xx+2a+2a2-1<0,
∵不等式的解集是{x|-2∴a2-1>0且-2a+2a2-1=-2,解得a=2或a=-1(舍去).
故答案为{2}.
6.答案 a≥1
解析 易知当a<1时,集合A={x|x≤1-1-a或x≥1+1-a};当a≥1时,A=R.
当a<0时,集合B={x|1--a要使A∪B=R,需满足a<0,1-1-a≥1--a,1+-a≥1+1-a或a≥1,解得a≥1.
7.解析 (1)∵M为空集,
∴Δ=4m2-4(m+2)<0,即m2-m-2<0,
解得-1∴实数m的取值范围为{m|-1(2)由(1)知-1∴m2+2m+5m+1=(m+1)2+4m+1=(m+1)+4m+1≥2(m+1)·4m+1=4,
当且仅当m+1=4m+1,即m=1时等号成立.
∴m2+2m+5m+1的最小值为4.
(3)设函数y=x2-2mx+m+2,结合其图象可知,
当M不为空集时,由M⊆{x|1≤x≤4},得
Δ=4m2-4(m+2)≥0,12-2m+m+2≥0,42-8m+m+2≥0,1≤m≤4,
解得2≤m≤187.
综上,实数m的取值范围为m|2≤m≤187.
8.B 由题意知-1和3是关于x的方程-2x2+bx+c=0的两个实数根,则-2-b+c=0,-18+3b+c=0,
解得b=4,c=6,则-2x2+bx+c=-2x2+4x+6.
由-2x2+bx+c+t≤4得t≤2x2-4x-2.当-1≤x≤0时,-2≤2x2-4x-2≤4,则t≤-2.
9.BC 易得不等式x2-2x-3≤0的解集是[-1,3].
因为对任意x∈[a,a+2],不等式x2-2x-3≤0恒成立,
所以[a,a+2]⊆[-1,3],
所以a≥-1,a+2≤3,解得-1≤a≤1.
所以实数a的值可能为-1,12.故选BC.
10.D 对任意m∈[1,3],不等式mx2-mx-1<-m+5恒成立,即对任意m∈[1,3],m(x2-x+1)<6恒成立,
所以对任意m∈[1,3],x2-x+1<6m恒成立,
所以对任意m∈[1,3],x2-x+1<6mmin=2,
所以x2-x+1<2,解得1-5211.答案 {λ|-8≤λ≤4}
解析 因为a2+8b2≥λb(a+b)对于任意的a,b∈R恒成立,所以a2+8b2-λb(a+b)≥0对任意的a,b∈R恒成立,即a2-λba+(8-λ)b2≥0对任意的a,b∈R恒成立,将其看作关于a的一元二次不等式,可得Δ=λ2b2+4(λ-8)b2=b2(λ2+4λ-32)≤0,所以λ2+4λ-32≤0,解得-8≤λ≤4.