人教版新课标A必修12.1.2指数函数及其性质第2课时精练

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这是一份人教版新课标A必修12.1.2指数函数及其性质第2课时精练，共14页。试卷主要包含了1　指数函数，已知a=0，设x>0,且1
2.1.2 指数函数及其性质
第2课时指数函数的性质及其应用
基础过关练
题组一指数型函数的单调性及其应用
1.(2020福建厦门双十中学高一月考)已知a=0.80.7,b=0.80.9,c=1.20.8,则a,b,c的大小关系是( )

A.a>b>cB.c>a>b
C.b>a>cD.c>b>a
2.若函数f(x)=(3-a)x-3,x≤7,ax-6,x>7在定义域上单调递增,则实数a的取值范围是( )
A.94,3B.94,3
C.(1,3)D.(2,3)
3.(2020广东普宁华美实验学校开学考试)设x>0,且1A.0C.14.(2020陕西西安电子科技大学附属中学高一月考)已知函数f(x)=a|2x-4|(a>0,a≠1),且满足f(1)=19,则f(x)的单调递减区间是( )
A.(-∞,2]B.[2,+∞)
C.[-2,+∞)D.(-∞,-2]
5.(2020浙江杭州高级中学高一上期末)函数f(x)=14-|x|+1的单调增区间为 ;奇偶性为 (填奇函数、偶函数或者非奇非偶函数).
6.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时, f(x)=e-x(e为自然对数的底数).
(1)求函数f(x)在R上的解析式,并作出函数f(x)的大致图象;
(2)根据图象写出函数f(x)的单调区间和值域.
7.(1)判断f(x)=13x2-2x 的单调性,并求其值域;
(2)求函数y=ax2+2x-3 (a>0,且a≠1)的单调区间.
题组二指数型方程与指数型不等式
8.方程4x-3·2x+2=0的解构成的集合为( )

A.{0}B.{1}
C.{0,1}D.{1,2}
9.(2020山东日照第一中学高一月考)已知集合A={x|x2-2x-3<0},集合B={x|2x+1>1},则∁BA=( )
A.[3,+∞)B.(3,+∞)
C.(-∞,-1]∪[3,+∞)D.(-∞,-1)∪(3,+∞)
10.已知关于x的不等式13x-4>3-2x,则该不等式的解集为 ( )
A.{x|x≥4}B.{x|x>-4}
C.{x|x≤-4}D.{x|-411.已知函数f(x)=2x+b的图象过点(2,8).
(1)求实数b的值;
(2)求不等式f(x)>332的解集.
能力提升练
一、选择题
1.(2020河北保定一中高一月考,)若关于x的不等式a2x≥a3-x(0
A.1B.3C.6D.9
2.(2020湖南株洲二中高一月考,)对于函数f(x)定义域中任意的x1,x2(x1≠x2),当f(x)=2-x时,下列结论中错误的是( )
A.f(x1+x2)=f(x1)f(x2)
B.f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)
C.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0
D.fx1+x223.(2020湖南衡阳第四中学高一月考,)函数f(x)=x|x|·2x的图象大致是( )
4.(2020安徽安庆高一上期末教学质量调研监测,)某数学课外兴趣小组对函数f(x)=2|x-1|的图象与性质进行了探究,得到下列四条结论:①该函数的值域为(0,+∞);②该函数在区间[0,+∞)上单调递增;③该函数的图象关于直线x=1对称;④该函数的图象与直线y=-a2(a∈R)不可能有交点.则其中正确结论的个数为( )

A.1B.2C.3D.4
5.(2020河北石家庄高一期末,)已知函数f(x)=mx-m(m>0,且m≠1)的图象经过第一、二、四象限,则a=|f(2)|,b=|f(438)|,c=|f(0)|的大小关系为( )
A.cC.a二、填空题
6.(2020江西临川第二中学高一月考,)如果函数y=a2x+2ax-1(a>0,且a≠1)在[-1,1]上的最大值是14,那么a的值为 .
7.(2020山东烟台高一上期末,)已知函数f(x)=3|x+a|(a∈R)满足f(x)=f(2-x),则实数a的值为 ;若f(x)在[m,+∞)上单调递增,则实数m的最小值等于 .
8.(2020合肥第六中学高一开学考试,)若关于x的不等式2x+1-2-x-a>0的解集包含区间(0,1),则a的取值范围为 .
9.(2020黑龙江大庆实验中学高一上月考,)已知函数f(x)=b·ax(其中a,b为常数,a>0,且a≠1)的图象经过点A(1,6),B(2,18).若不等式2ax+1bx-m≥0在x∈(-∞,1]上恒成立,则实数m的最大值为 .
三、解答题
10.(2020山东泰安一中高一上期中,)已知函数f(x)=a+22x-1.
(1)求f(x)的定义域;
(2)若 f(x)为奇函数,求a的值,并求f(x)的值域.
11.(2020甘肃兰州五十一中高一期中,)已知函数f(x)=13ax2-4x+3.
(1)若a=-1,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)有最大值3,求a的值;
(3)若f(x)的值域是(0,+∞),求a的取值范围.
12.(2020河南郑州高一段考,)为了检验某种溶液的挥发性,在容积为1升的容器中注入该溶液,然后在挥发的过程中测量剩余溶液的体积.已知溶液注入过程中,其体积y(升)与时间t(分钟)成正比,且恰在2分钟注满;注入完成后,y与t的关系为y=15t30-a(a为常数),如图.
(1)求溶液的体积y与时间t之间的函数关系式;
(2)当容器中的溶液少于0.008升时,试验结束,则从注入溶液开始,至少需要经过多少分钟,才能结束试验?
13.(2019河南郑州高一上期末,)设函数f(x)=2kx2+x(k∈R且k为常数)为奇函数,函数g(x)=af(x)+1(a>0,且a≠1).
(1)求k的值;
(2)求函数g(x)在[-2,1]上的最大值和最小值;
(3)当a=2时,g(x)≤-2mt+3对所有的x∈[-1,0]及m∈[-1,1]恒成立,求实数t的取值范围.
14.()设函数f(x)=ax-(k-1)a-x(a>0,且a≠1)是定义域为R的奇函数.
(1)求实数k的值;
(2)若f(1)<0,求使不等式f(x2+tx)+f(4-x)<0恒成立的实数t的取值范围;
(3)若f(1)=32,g(x)=a2x+a-2x-2mf(x),且g(x)在[1,+∞)上的最小值为-2,求实数m的值.
答案全解全析
第二章基本初等函数(Ⅰ)
2.1 指数函数
2.1.2 指数函数及其性质
第2课时指数函数的性质及其应用
基础过关练
1.B 因为1=0.80>0.80.7>0.80.9,1.20.8>1.20=1,即1>a>b,c>1,
所以c>a>b,故选B.
2.B 由函数f(x)=(3-a)x-3,x≤7,ax-6,x>7在定义域上单调递增,可得3-a>0,a>1,(3-a)×7-3≤a7-6,
解得94≤a<3.
所以实数a的取值范围是94,3 .
3.C ∵x>0,且bx>1,∴b>1,同理可得a>1,又ax>bx>1,∴axbx=abx>1,∴ab>1,即a>b,∴a>b>1,故选C.
4.B 由f(1)=19,得a2=19,所以a=13或a=-13(舍),即f(x)=13|2x-4|.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,y=ax(05.答案 [0,+∞);偶函数
解析设μ=-|x|+1,则y=14μ.
易知μ=-|x|+1的递减区间为[0,+∞),递增区间为(-∞,0).
又y=14μ是减函数,
∴y=14-|x|+1的递增区间是[0,+∞).
易知函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.
又f(-x)=14-|-x|+1=14-|x|+1=f(x),
∴f(x)是偶函数.
6.解析 (1)当x<0时,-x>0,
所以f(-x)=ex,
因为f(x)是偶函数,所以当x<0时,f(x)=f(-x)=ex,所以f(x)=ex,x<0,e-x,x≥0.
作出大致图象如图所示.
(2)由图象得,函数f(x)的单调递增区间是(-∞,0],单调递减区间是[0,+∞),值域是(0,1].
7.解析 (1)令u=x2-2x,则u=x2-2x=(x-1)2-1在(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增.又0<13<1,所以y=13u在R上单调递减.根据“同增异减”规律可得,f(x)=13x2-2x在(-∞,1]上单调递增,在[1,+∞)上单调递减.
因为u=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,所以y=13u,u∈[-1,+∞),所以0<13u≤13-1=3,由此可得函数f(x)的值域为(0,3].
(2)令u=x2+2x-3,则y=au(a>0,且a≠1),
由u=x2+2x-3=(x+1)2-4,得u=x2+2x-3在(-∞,-1]上为减函数,在[-1,+∞)上为增函数.
当a>1时,y=au在R上为增函数,此时函数y=ax2+2x-3 的增区间为[-1,+∞),减区间为(-∞,-1];
当08.C 令2x=t(t>0),则4x=(2x)2=t2,
原方程可化为t2-3t+2=0,
解得t=1或t=2.
当t=1时,2x=1=20,解得x=0;
当t=2时,2x=2=21,解得x=1.
因此原方程的解构成的集合为{0,1},
故选C.
9.A 因为A={x|x2-2x-3<0}={x|(x+1)(x-3)<0}=(-1,3),B={x|2x+1>1}=(-1,+∞),所以∁BA=[3,+∞).故选A.
10.B ∵3-2x=132x,∴原不等式可化为13x-4>132x.又函数y=13x在R上是单调递减函数,∴x-4<2x,解得x>-4.∴原不等式的解集为{x|x>-4}.故选B.
方法指导
解不等式af(x)>ag(x)(a>0,且a≠1)的依据是指数型函数的单调性,若底数不确定,需进行分类讨论.
af(x)>ag(x)⇔f(x)>g(x),a>1,f(x)11.解析 (1)∵函数f(x)=2x+b的图象过点(2,8),∴22+b=8,即2+b=3,故b=1.
(2)由(1)得,f(x)=2x+1,由f(x)>332,得2x+1>253,∴x+1>53,即x>23,∴不等式f(x)>332的解集为23,+∞.
能力提升练
一、选择题
1.D ∵02.B 由已知得,f(x1+x2)=2-(x1+x2),f(x1)·f(x2)=2-x1·2-x2=2-(x1+x2),故A正确;
f(x1·x2)=2-(x1·x2)≠2-x1+2-x2=f(x1)+f(x2),故B错误;
因为f(x)=2-x=12x为减函数,
所以有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0,故C正确;
画出y=12x的图象,如图,不妨设x1由图可知,fx1+x223.B f(x)=x|x|·2x=2x,x>0,-2x,x<0.
∴当x>0时,其图象为y=2x(x>0)的图象;
当x<0时,其图象与y=2x(x<0)的图象关于x轴对称.故选B.
4.B 函数f(x)的值域为[1,+∞),①错误;函数f(x)在区间(-∞,1)上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,②错误;函数f(x)的图象关于直线x=1对称,③正确;因为y=-a2≤0,所以函数f(x)的图象与直线y=-a2(a∈R)不可能有交点,④正确.所以正确结论的个数为2,故选B.
5.C 因为f(x)=mx-m(m>0,且m≠1)的图象经过第一、二、四象限,
所以0所以函数f(x)为减函数,
易知f(1)=0,所以函数|f(x)|在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
又因为1<2=212<438=234<2,
所以a又c=|f(0)|=1-m,|f(2)|=m2-m,
所以|f(2)|-|f(0)|=m2-1<0,
所以|f(2)|<|f(0)|=c,
所以a二、填空题
6.答案 3或13
解析设t=ax,t>0,则y=t2+2t-1,其图象的对称轴为直线t=-1.
若a>1,则当x∈[-1,1]时,t=ax∈1a,a,
∴当t=a时,ymax=a2+2a-1=14,解得a=3或a=-5(舍去).
若0∴当t=1a时,ymax=1a2+2×1a-1=14,
解得a=13或a=-15(舍去).
综上,a的值为3或13.
7.答案 -1;1
解析由f(x)=f(2-x),得f(x)的图象关于直线x=1对称,又f(x)=3|x+a|的图象关于直线x=-a对称,∴-a=1,即a=-1.
此时f(x)=3|x-1|,它的单调递增区间为[1,+∞),依题意得[m,+∞)⊆[1,+∞),从而m≥1,
因此m的最小值为1.
8.答案 (-∞,1]
解析不等式2x+1-2-x-a>0的解集包含区间(0,1),等价于对任意的x∈(0,1),2x+1-2-x>a恒成立.
令2x=t,则t∈(1,2),问题转化为a<2t-1tmin,
易知y=2t-1t在区间(1,2)上是单调递增函数,
所以y>2-1=1.故只需a≤1即可.
9.答案 76
解析由已知可得ba=6,ba2=18,解得a=3,b=2,则不等式为23x+12x-m≥0,设g(x)=23x+12x-m,显然函数g(x)在(-∞,1]上单调递减,
∴g(x)≥g(1)=23+12-m=76-m,
故76-m≥0,解得m≤76,
∴实数m的最大值为76.
三、解答题
10.解析 (1)由2x-1≠0,可得x≠0,
∴函数f(x)的定义域为{x|x≠0}.
(2)∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),
又f(-x)=a+22-x-1=a+2×2x1-2x
=a-2(2x-1)+22x-1=a-2-22x-1,
-f(x)=-a-22x-1,
∴a-2=-a,解得a=1.因此f(x)=1+22x-1.
当x>0时,2x-1>0,∴f(x)>1;当x<0时,
-1<2x-1<0,∴f(x)<-1.
∴f(x)的值域为(-∞,-1)∪(1,+∞).
11.解析 (1)当a=-1时,f(x)=13-x2-4x+3,
令g(x)=-x2-4x+3,
易知g(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,+∞)上单调递减,
又y=13x在R上单调递减,
所以f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,+∞)上单调递增,
即函数f(x)的单调递增区间是(-2,+∞),单调递减区间是(-∞,-2).
(2)令h(x)=ax2-4x+3,y=13ℎ(x),由于f(x)有最大值3,
所以h(x)应有最小值-1,
因此a>0,ℎ(2a)=3a-4a=-1,
解得a=1.
即当f(x)有最大值3时,a的值等于1.
(3)由指数函数的性质知,
要使y=f(x)的值域为(0,+∞),
应使h(x)=ax2-4x+3的值域为R.
若a≠0,则h(x)为二次函数,其值域不可能为R,
因此只能有a=0.
故a的取值范围是{0}.
12.信息提取溶液的体积y(升)与时间t(分钟)的关系与图象.
数学建模以检验溶液的挥发性为情境,构建溶液的体积与时间的函数关系.
解析 (1)当0≤t≤2时,设函数的解析式为y=kt(k≠0),将点(2,1)的坐标代入,得k=12,
所以y=12t;
当t>2时,函数的解析式为y=15t30-a,
将点(2,1)的坐标代入,得a=115,所以y=15t30-115.
综上,y=12t,0≤t≤2,15t30-115,t>2.
(2)令15t30-115<0.008=1125,解得t>92,所以至少需要经过92分钟后,试验才能结束.
13.解析 (1)因为函数f(x)=2kx2+x(k∈R,且k为常数)为奇函数,且定义域为R,
所以f(-x)=-f(x),即2kx2-x=-2kx2-x,所以k=0.
(2)由(1)知,f(x)=x,则g(x)=af(x)+1=ax+1(a>0,且a≠1).
当a>1时,g(x)在[-2,1]上是增函数,
所以g(x)的最大值为g(1)=a+1,g(x)的最小值为g(-2)=1a2+1;
当0所以g(x)的最大值为g(-2)=1a2+1,g(x)的最小值为g(1)=a+1.
(3)当a=2时,g(x)=2x+1,在[-1,0]上是增函数,则g(x)≤g(0)=2,
所以-2mt+3≥2,即2mt-1≤0对所有的m∈[-1,1]恒成立.
令h(m)=2tm-1,m∈[-1,1],
则ℎ(-1)≤0,ℎ(1)≤0,即-2t-1≤0,2t-1≤0,
解得-12≤t≤12,
故实数t的取值范围是-12,12.
14.解析 (1)∵f(x)是定义域为R的奇函数,∴f(0)=0,∴k=2.
此时f(x)=ax-a-x,为奇函数,
∴k=2符合题意.
(2)由(1)得f(x)=ax-a-x,
∵f(1)<0,∴a-1a<0,∴0∴f(x)在R上为减函数.
又∵f(x2+tx)+f(4-x)<0在R上恒成立,即f(x2+tx)∴x2+tx>x-4在R上恒成立,
∴x2+(t-1)x+4>0在R上恒成立,
∴(t-1)2-4×1×4<0,解得-3∴t的取值范围为(-3,5).
(3)∵f(1)=32,∴a=2a=-12舍去,∴g(x)=22x+2-2x-2m(2x-2-x).令t=2x-2-x,x≥1,则h(t)=t2-2mt+2,t≥32.函数g(x)在[1,+∞)上的最小值为-2可转化为函数h(t)=t2-2mt+2在区间32,+∞上的最小值为-2,当m≤32时,h(t)在区间32,+∞上单调递增,∴h(t)min=h32=-2,解得m=2512,舍去;当m>32时,h(t)在区间32,m上单调递减,在区间[m,+∞)上单调递增,∴h(t)min=h(m)=-2,解得m=2(负值舍去).
综上所述,m=2.
1.B
2.B
3.C
4.B
8.C
9.A
10.B
1.D
2.B
3.B
4.B
5.C