2020-2021学年2.3 幂函数课时练习

这是一份2020-2021学年2.3 幂函数课时练习，共9页。试卷主要包含了3　幂函数，下列函数是幂函数的是，下面命题，已知幂函数f的图象过点等内容，欢迎下载使用。

基础过关练
题组一 幂函数的概念
1.(2019湖南长沙南雅中学高一下期中)下列函数是幂函数的是( )
A.y=2x2B.y=x3+xC.y=3xD.y=x12
2.(2019山东曲阜一中高一月考)已知函数y=(m2+2m-2)·x1m-1是幂函数,则m=( )
A.1B.-3C.-3或1D.2
3.(2020浙江宁波高一期中)已知幂函数y=f(x)的图象过点2,22,则f(9)= ;若f(a)=4,则a= .
4.(2020广东广州第一中学高一期中)下面命题:①幂函数图象不过第四象限;②y=x0图象是一条直线;③若函数y=1x的定义域是{x|x>2},则它的值域是yy<12;④若函数y=x2的值域是{y|0≤y≤4},则它的定义域一定是{x|-2≤x≤2}.其中不正确命题的序号是 .
5.已知幂函数f(x)的图象过点(25,5).
(1)求f(x)的解析式;
(2)若函数g(x)=f(2-lg x),求g(x)的定义域、值域.
题组二 幂函数的图象及其应用
6.下面给出4个幂函数的图象,则图象与函数大致对应的是( )
A.①y=x2,②y=x13,③y=x12,④y=x-1 B.①y=x3,②y=x2,③y=x12,④y=x-1
C.①y=x2,②y=x3,③y=x12,④y=x-1 D.①y=x12,②y=x3,③y=x2,④y=x-1
7.(2020四川成都第四中学高一期中)已知函数y=xa,y=xb,y=cx的图象如图所示,则a,b,c的大小关系为( )
A.c8.(2020浙江丽水一中高一期末)在同一平面直角坐标系中,函数y=xa,y=lg|a|(x-a)(a≠0)的图象不可能是( )
9.已知x2>x13,则x的取值范围是 .
题组三 幂函数的性质及综合应用
10.(2020山东菏泽高一期中)已知幂函数f(x)=xa的图象经过函数g(x)=ax-2-12(a>0且a≠1)的图象所过的定点,则幂函数f(x)不具有的特性是( )
A.在定义域内有单调递减区间 B.图象过定点(1,1)
C.f(x)是奇函数 D.其定义域是R
11.(2020陕西西安中学高一月考)已知幂函数f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)为偶函数,且在(0,+∞)上是增函数.
(1)求f(x)的解析式;
(2)g(x)=lga[f(x)-ax](a>0,且a≠1)在区间(2,3)上为增函数,求实数a的取值范围.
能力提升练
一、选择题
1.(2020湖南长郡中学高一月考,)幂函数y=xα(α≠0),当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图象是一簇曲线(如图).设点A(1,0),B(0,1),连接AB,线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xm,y=xn的图象三等分,即有BM=MN=NA,则mn等于( )

A.1B.2C.3D.无法确定
2.(2020湖北武汉高一开学考试,)已知点P2,14在幂函数f(x)=xn的图象上,设a=f(ln 2),b=f(lg2e),c=f(e2),d=f(2e),则a,b,c,d的大小关系为( )
A.d>c>b>aB.a>b>d>c C.c>d>b>aD.a>b>c>d
3.(2020广东中山一中高一月考,)已知m,n∈(1,+∞),且m>n,若lgmn2+lgnm6=13,则函数f(x)=xmn2的大致图象为( )
二、填空题
4.(2019辽宁省实验中学高一期末,)已知幂函数y=(m2-5m-5)x2m+1在(0,+∞)上为减函数,则实数m= .
5.(2019广东中山纪念中学高一上第一次大考,)若关于x的函数f(x)=tx2+2x+t2+2018x5x2+t(t>0)的最大值为M,最小值为N,且M+N=4,则实数t的值为 .
三、解答题
6.(2020黑龙江大庆实验中学高一月考,)已知幂函数f(x)=(m2-2m-2)xm2-4m+2在(0,+∞)上单调递减.
(1)求m的值并写出f(x)的解析式;
(2)试判断是否存在实数a(a>0),使得函数g(x)=(2a-1)x-af(x)+1在[-1,2]上的值域为[-4,11].若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
7.(2020山东济南外国语学校高一期中,)已知幂函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,且f(f(32))=8.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由;
(3)若函数g(x)=[f(x)]-23-ax(a∈R)在[1,2]上的最小值为-14,求实数a的值.
答案全解全析
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
2.3 幂函数
基础过关练
1.D y=2x2,y=x3+x不是幂函数;y=3x是指数函数;y=x12是幂函数.故选D.
2.B 由函数y=(m2+2m-2)x1m-1是幂函数,得m2+2m-2=1,m-1≠0,解得m=-3.故选B.
3.答案 13;116
解析 设幂函数f(x)=xα,α∈R,
∵f(x)的图象过点2,22,
∴2α=22=2-12,解得α=-12,
∴f(x)=x-12,∴f(9)=9-12=13,
由f(a)=4,得a-12=4,解得a=116.
4.答案 ②③④
解析 幂函数图象不过第四象限,①正确;y=x0图象是直线y=1去掉点(0,1),②错误;若函数y=1x的定义域是{x|x>2},则它的值域是y05.解析 (1)设f(x)=xα,则由题意可知25α=5,∴α=12,∴f(x)=x12.
(2)∵g(x)=f(2-lg x)=2-lgx,
∴要使g(x)有意义,只需2-lg x≥0,且x>0,解得0∴g(x)的定义域为(0,100].
又2-lg x≥0,
∴g(x)的值域为[0,+∞).
6.B 由幂函数的不同指数的图象特征,可知选B.
7.A 由图象可知,a>1,b=12,0b>c,故选A.
8.A 对于A,幂函数中0对于B,幂函数中a>1,对数函数单调递增且平移后的图象应该在直线x=a右侧(定义域为(a,+∞)),所以B是可能的;
对于C,幂函数中a<0,选择a<-1,对数函数单调递增且平移后的图象应该在直线x=a右侧(定义域为(a,+∞)),所以C是可能的;
对于D,幂函数中a<0,选择-19.答案 (-∞,0)∪(1,+∞)
解析 作出函数y=x2和y=x13的图象(如图所示).
由图象易知,x<0或x>1时,x2>x13.
故x的取值范围是(-∞,0)∪(1,+∞).
10.D 函数g(x)=ax-2-12过定点2,12,故f(2)=2a=12⇒a=-1.故f(x)=1x,x≠0.
故函数f(x)是奇函数,且在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减,其图象过点(1,1),故A,B,C是正确的.f(x)的定义域中无x=0这个值,故定义域不是R,D错误.
故答案为D.
11.解析 (1)∵f(x)=x-2m2+m+3在(0,+∞)上是增函数,
∴-2m2+m+3>0,解得-1∵m∈Z,∴m=0或m=1,
又f(x)为偶函数,
∴m=1,此时f(x)=x2.
(2)g(x)=lga[f(x)-ax]=lga(x2-ax)(a>0,且a≠1),是由y=lgau和u=x2-ax复合而成的,
当0u=x2-ax在(2,3)上为增函数,
∴函数g(x)=lga(x2-ax)在(2,3)上为减函数,不满足题意;
当a>1时,要使g(x)=lga(x2-ax)在区间(2,3)上为增函数,
需满足a2≤2,4-2a≥0,
∴1∴实数a的取值范围是{a|1能力提升练
一、选择题
1.A ∵A(1,0),B(0,1),BM=MN=NA,
∴M13,23,N23,13,
∴23=13m,13=23n,
∴13mn=13mn=23n=13,
∴mn=1.故选A.
2.B 由于点P2,14在幂函数f(x)=xn的图象上,
所以2n=14=2-2⇒n=-2,
所以f(x)=x-2=1x2,函数f(x)在(0,+∞)上递减.
画出y=2x,y=x2的图象如图所示,由图可知,在区间(2,4)上,x2>2x,
所以e2>2e,ln 2根据f(x)在(0,+∞)上递减,可知a>b>d>c.故选B.
3.A 由题意,令t=lgmn(m>n>1),则0故n=m,所以mn2=1,所以f(x)=xmn2=x,其大致图象为A选项中的图,故选A.
二、填空题
4.答案 -1
解析 ∵y=(m2-5m-5)x2m+1是幂函数,∴m2-5m-5=1,解得m=6或m=-1.当m=6时,y=(m2-5m-5)x2m+1=x13,不满足在(0,+∞)上为减函数;当m=-1时,y=(m2-5m-5)x2m+1=x-1,满足在(0,+∞)上为减函数,∴m=-1.
名师点拨
本题由幂函数的解析式得到关于参数m的一元二次方程,然后由函数在(0,+∞)上为减函数得幂指数应小于0,从而求得参数m的值.
5.答案 2
解析 由题得f(x)=t(x2+t)+2x+2018x5x2+t=t+2x+2018x5x2+t.设F(x)=f(x)-t=2x+2018x5x2+t,则F(x)是奇函数.由f(x)的最大值为M,最小值为N,得F(x)的最大值为M-t,最小值为N-t,又F(x)是奇函数,所以(M-t)+(N-t)=0,即M+N=2t,又M+N=4,所以t=2.
三、解答题
6.解析 (1)因为幂函数f(x)=(m2-2m-2)·xm2-4m+2在(0,+∞)上单调递减,
所以m2-2m-2=1,m2-4m+2<0,解得m=3,
所以f(x)=x-1.
(2)由(1)得f(x)=x-1,
所以g(x)=(a-1)x+1,
假设存在满足题意的实数a(a>0),
则当a-1>0,即a>1时,g(x)在[-1,2]上单调递增,
所以g(-1)=-4,g(2)=11⇒1-a+1=-4,2a-2+1=11,
解得a=6;
当a-1=0,即a=1时,g(x)=1,显然不满足题意;
当a-1<0,即a<1时,g(x)在[-1,2]上单调递减,
所以g(-1)=11,g(2)=-4⇒1-a+1=11,2a-2+1=-4,此时a无解.
综上,存在a=6满足题意.
7.解析 (1)设f(x)=xα,则f(32)=(32)α=2α3,f(f(32))=(2α3)α=2α23.
∵f(f(32))=8,∴2α23=23,∴α23=3,即α=±3.
当α=3时,f(x)=x3,在(-∞,0)上单调递增,不满足题意,舍去;
当α=-3时,f(x)=x-3,在(-∞,0)上单调递减,满足题意.
∴函数f(x)的解析式为f(x)=x-3.
(2)函数f(x)为奇函数.理由如下:
由(1)知f(x)=x-3,其定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
又f(-x)=(-x)-3=-x-3=-f(x),
∴函数f(x)=x-3是奇函数.
(3)由(1)得g(x)=(x-3)-23-ax=x2-ax=x-a22-a24,
∴函数g(x)图象的对称轴为直线x=a2.
①当1∴g(x)min=ga2=-a24=-14,
解得a=±1,不满足2②当a2≤1,即a≤2时,g(x)在[1,2]上单调递增,
∴g(x)min=g(1)=1-a=-14,
解得a=54,满足a≤2,∴a=54;
③当a2≥2,即a≥4时,g(x)在[1,2]上单调递减,
∴g(x)min=g(2)=4-2a=-14,
解得a=178,不满足a≥4.
综上所述,a=54.
1.D
2.B
6.B
7.A
8.A
10.D
1.A
2.B
3.A