高中数学人教版新课标A必修4第一章 三角函数1.6 三角函数模型的简单应用课后练习题

这是一份高中数学人教版新课标A必修4第一章 三角函数1.6 三角函数模型的简单应用课后练习题，共14页。试卷主要包含了6　三角函数模型的简单应用等内容，欢迎下载使用。

基础过关练
题组一 已知三角函数模型确定参数的值或函数值
1.(2021北京丰台高二期末)音叉是呈“Y”形的钢质或铝合金发声器(如图1),各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音.敲击某个音叉时,在一定时间内,音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为y=11000sin ωt.图2是该函数在一个周期内的图象,根据图中数据可确定ω的值为( )
A.200 B.400 C.200π D.400π
2.(2021江苏泰州高二期末)心脏跳动时,血压在增加或减小,血压的最大值、最小值分别称为收缩压、舒张压,血压计上的读数就是收缩压和舒张压,读数120/80 mmHg为标准值.健康成年人的收缩压和舒张压一般在120～140 mmHg和60～90 mmHg内.高三同学在参加高考之前需要参加统一的高考体检,其中血压、视力等对于大学的报考有一些影响.某同学测得的血压值满足函数式P(t)=a+bsin ωt(ω>0),其中P(t)为血压值(mmHg),t为检测时间(min),其函数图象如图所示,则下列说法错误的是( )
A.收缩压为120 mmHg B.ω=80π
C.舒张压为70 mmHg D.a=95
3.(2021山东潍坊昌乐二中高二期中)小张以10元一股的价格购买了某股票,他将该股票当天一股的最高价格y(元)与第t个交易日(其中0≤t≤24)进行了记录,得到有关数据如下表(不考虑股票交易涨跌停规律):
他经过研究后认为该股票当天一股的最高价格y(元)是第t个交易日的函数,即y=f(t),并且认为曲线y=f(t)可近似作为函数f(t)=Asin ωt+b的图象,请根据小张的观点解决下列问题.
(1)试根据以上数据,求出函数y=f(t)=Asin ωt+b的振幅、最小正周期和表达式;
(2)小张认为当该股票一股的价格不低于11.5元时抛售股票比较合理,请问在该股票一股的最高价格波动的一个周期内小张有几天可以抛售股票?
题组二 建立三角函数模型
如图,设点A是单位圆上的一定点,动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周,点P所经过的弧AP的长为l,弦AP的长为d,则函数d=f(l)的图象大致是( )
5.动点A(x,y)在圆x2+y2=1上绕坐标原点按逆时针方向匀速旋转,12 s旋转一周.已知时间t=0时,点A的坐标是12,32,则当0≤t≤12时,动点A的纵坐标y关于t(单位:s)的函数的单调递增区间是( )
A.[0,1] B.[1,7]
C.[7,12] D.[0,1]和[7,12]
6.一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一些对应值如下表所示,则可近似地描述该物体的位移y和时间t之间的关系的一个三角函数式为 .
7.如图,某动物种群数量1月1日时低至700,7月1日时高至900,其总量在此两值之间呈正弦型曲线变化(周期为一年).
(1)求出种群数量y关于时间t的正弦型函数解析式(其中t以年初以来的月为计量单位);
(2)估计当年3月1日时的动物种群数量.
题组三 三角函数模型的应用
8.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数,某天某商场的人流量满足函数F(t)=50+4sin t2(t≥0),则在下列时间段内,人流量增加的是( )
A.[0,5] B.[5,10]
C.[10,15] D.[15,20]
9.(2021江苏镇江高一期末)如图,摩天轮的半径为40米,摩天轮的中心轴(简化为O点)距离地面的高度为45米,摩天轮按逆时针方向匀速旋转,每6分钟转一圈,摩天轮上点P的起始位置在最高点处,则下列结论中错误的是( )
A.经过3分钟,点P首次到达最低点
B.第4分钟和第8分钟时,点P距离地面一样高
C.从第7分钟至第10分钟,摩天轮上的点P距离地面的高度一直在降低
D.摩天轮在旋转一周的过程中距离地面不低于65米的时长为2分钟
10.某景区酒店的工作人员为了控制经营成本,减少浪费,合理安排入住游客的用餐,调查并统计了每个月入住的游客人数,发现每年各个月份入住的游客人数呈周期性变化,并且有以下规律:
①每年相同的月份,入住的游客人数基本相同;
②入住的游客人数在2月份最少,在8月份最多,相差约400;
③2月份入住的游客人数约为100,随后逐月递增,8月份达到最多.
(1)若入住酒店的游客人数y与月份x之间的关系可用函数y=Asin(ωx+φ)+B(A>0, ω>0, 0<|φ|<π)近似描述,求该函数的解析式;
(2)请问哪几个月份要准备不少于400人的食物?
能力提升练
一、选择题
1.()设y=f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数,其中0≤t≤24,下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的相关数据:
经长期观察,函数y=f(t)的图象可以近似地看成函数y=k+Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0)的图象.下面的函数中,最能表示表中数据间对应关系的函数是( )
A.y=12+3sin π6t,t∈[0,24]
B.y=12+3sinπ6t+π,t∈[0,24]
C.y=12+3sin π12t,t∈[0,24]
D.y=12+3sinπ12t+π2,t∈[0,24]
2.(2021浙江台州高一期末,)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,因其经济又环保,至今还在农业生产中使用.假设在水流量稳定的情况下,筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动.现将筒车抽象为一个几何图形,如图2所示,圆O的半径为4米,盛水筒M从点P0处开始运动,OP0与水面所成的角为30°,且每分钟恰好转动1圈,则盛水筒M距离水面的高度H(单位:m)与时间t(单位:s)之间的函数的图象可能是( )
图1 图2
二、填空题
3.(2020北京朝阳高一上期末质检,)在物理学中,把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.可以证明,在适当的直角坐标系中,简谐运动可以用函数y=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞)表示,其中A>0,ω>0.如图,在平面直角坐标系xOy中,以原点O为圆心,r为半径作圆,A为圆周上的一点,以Ox为始边,OA为终边的角为α,则点A的坐标是 ,从A点出发,以恒定的角速度ω转动,经过t秒转动到点B(x,y),动点B在y轴上的投影C做简谐运动,则点C的纵坐标y与时间t的函数关系式为 .
三、解答题
4.(2021吉林长春第八中学高一期末,)长春某日气温y(℃)是时间t(0≤t≤24,单位:h)的函数,下面是某天不同时间的气温预报数据:
根据上述数据描出的曲线如图所示,经拟合,该曲线可近似地看成余弦型函数y=Acs(ωt+φ)+b的图象.
(1)根据以上数据,试求y=Acs(ωt+φ)+b(A>0,ω>0,0<φ<π)的表达式;
(2)大数据统计显示,某种特殊商品在室外销售可获利润是在室内销售可获利润的3倍,但对室外温度要求是气温不能低于23 ℃.根据(1)中所得函数模型,一个24小时营业的商家想获得最大利润,应在什么时间段(用区间表示)将该种商品放在室外销售?单日室外销售时间最长不能超过多少?(忽略商品搬运时间及其他非主要因素)
答案全解全析
基础过关练
1.D 由题图2可知14T=1800,所以T=1200,所以ω=2πT=400π.故选D.
2.B 由题中图象可知,函数的最大值为120,最小值为70,所以收缩压为120 mmHg,舒张压为70 mmHg,所以选项A、C中说法正确;周期T=180,由2πω=180,得ω=160π,所以选项B中说法错误;由题可得a+b=120,a-b=70,所以a=95,b=25,所以选项D中说法正确.故选B.
3.解析 (1)根据题表中数据可得A+b=13,-A+b=7,∴A=3,b=10,最小正周期T=15-3=12,
∴ω=2πT=π6,故函数的表达式为y=3sin π6t+10(0≤t≤24).
(2)若该股票一股的价格不低于11.5元,
则令3sinπ6t+10≥11.5,
即2kπ+π6≤π6t≤2kπ+5π6,k∈Z,
解得12k+1≤t≤12k+5,k∈Z.
∵T=12,
∴在该股票一股的最高价格波动的一个周期内小张有5天可以抛售股票.
4.C 设弧AP所对的圆心角为θ,由|OA|=1,
得l=θ,sin θ2=d2,
∴d=2sin θ2=2sin l2,
即d=f(l)=2sin l2(0≤l≤2π),它的图象为C.
5.D 设y关于t的函数关系式为y=sin(ωt+φ)ω>0,|φ|<π2.由已知可得该函数的最小正周期T=12,则ω=2πT=π6.
又当t=0时,点A的坐标为12,32,∴φ=π3,∴此函数为y=sinπ6t+π3,t∈[0,12].
易得此函数的单调递增区间是[0,1]和[7,12].
6.答案 y=-4cs5π2t(t≥0)(答案不唯一)
解析 设y=Asin(ωt+φ)+b,则从题表中数据可以得到A=4,b=0,ω=2πT=2π0.8=5π2,又由4sin φ=-4.0,可得sin φ=-1,取φ=-π2,故y=4sin5π2t-π2=-4cs 5π2t(t≥0).(答案不唯一)
7.解析 (1)设种群数量y关于时间t的解析式为y=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0),
则-A+B=700,A+B=900,解得A=100,B=800.
又周期T=12,∴ω=2πT=π6,
∴y=100sinπ6t+φ+800.
又当t=6时,y=900,
∴900=100sinπ6×6+φ+800,
∴sin(π+φ)=1,
∴sin φ=-1,∴可取φ=-π2,
∴y=100sinπ6t-π2+800.
(2)当t=2时,y=100sinπ6×2−π2+800=750,
即当年3月1日时的动物种群数量约是750.
8.C 令2kπ-π2≤t2≤2kπ+π2,k∈Z,得函数F(t)的增区间为[4kπ-π,4kπ+π],k∈Z.当k=1时,t∈[3π,5π],而[10,15]⊆[3π,5π],故选C.
9.C 以O为原点,过O且平行于地面的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,☉O为摩天轮,P为圆上的动点,设P距离地面的高度为h米.
由题意可知P点坐标为40csπ3t+π2,40sinπ3t+π2,
故h=40sinπ3t+π2+45=40cs π3t+45,其中t≥0.
对于A,令h=5,则cs π3t=-1,解得t=6k+3,k∈N,故点P首次到达最低点所需的时间为3分钟,故A中结论正确.
对于B,当t=4时,h1=40cs 4π3+45=25,当t=8时,h2=40cs 8π3+45=25,所以h1=h2,故B中结论正确.
对于C,当7≤t≤10时,7π3≤π3t≤10π3,
而2π<7π3<3π<10π3<7π2,且y=cs u在(2π,3π)上单调递减,在3π,7π2上单调递增,故h=40cs π3t+45在[7,10]上不是单调递减函数,故C中结论错误.
对于D,当0≤t≤6时,令40cs π3t+45≥65,则cs π3t≥12,解得0≤t≤1或5≤t≤6,故摩天轮在旋转一周的过程中距离地面不低于65米的时长为2分钟,故D中结论正确.故选C.
10.解析 (1)由①得f(x)的周期T=2πω=12,所以ω=π6;由②得f(2)最小,f(8)最大,且f(8)-f(2)=400;由③得f(x)在[2,8]上单调递增,且f(2)=100,所以f(8)=500,所以-A+B=100,A+B=500,解得A=200,B=300,
又f(2)最小,f(8)最大,
所以sinπ6×2+φ=−1,sinπ6×8+φ=1,由于0<|φ|<π,所以φ=-5π6,所以入住酒店的游客人数y与月份x之间的函数解析式为f(x)=200sinπ6x-5π6+300(x∈N*,且1≤x≤12).
(2)由条件可知,200sinπ6x-5π6+300≥400,化简得sinπ6x-5π6≥12,所以2kπ+π6≤π6x-5π6≤2kπ+5π6(k∈Z),解得12k+6≤x≤12k+10(k∈Z).因为x∈N*,且1≤x≤12,故x=6,7,8,9,10,即6月份,7月份,8月份,9月份,10月份要准备不少于400人的食物.
能力提升练
一、选择题
1.A 将t=3分别代入各选项中函数进行检验,A中,12+3sinπ6×3=15,符合题中的结果;B中,12+3sinπ6×3+π=9≠15,不符合题中的结果,排除B选项;C中,12+3sinπ12×3=12+3×22≠15,不符合题中的结果,排除C选项;D中,12+3sinπ12×3+π2=12+3×22≠15,不符合题中的结果,排除D选项.故选A.
2.D 以O为原点,过点O且与水面平行的直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,
由题可知∠xOP0=30°=π6,
∴OP在t(s)内转过的角为2π60t=π30t,
∴以x轴正半轴为始边,以射线OP为终边的角为π30t-π6,
∴P点的纵坐标为4sinπ30t-π6,
∴高度H与时间t之间的函数关系式为H=4sinπ30t-π6+2.
当sinπ30t-π6=1时,Hmax=4+2=6,
当sinπ30t-π6=-1时,Hmin=-4+2=-2.
对于A、B,由图象易知Hmax=-Hmin,故A、B均错误;
对于C,Hmax<-Hmin,故C错误;
对于D,Hmax>-Hmin,故D正确.故选D.
二、填空题
3.答案 (rcs α,rsin α);y=rsin(ωt+α)
解析 如图,过点A作AD⊥x轴于点D.
则OA=r,∠AOx=α,
所以OD=rcs α,DA=rsin α,
所以A点的坐标为(rcs α,rsin α).
由题意知,∠BOx=ωt+α,
易知∠OBC=ωt+α.
因为OB=r,
所以OC=OBsin∠OBC,
所以y=rsin(ωt+α).
三、解答题
4.解析 (1)根据题表中数据可得,A+b=26,-A+b=14,解得b=20,A=6.
由题图知T2=15-3=12,解得T=24,所以ω=2πT=π12.
由x=3时y=14,即6cs3π12+φ+20=14,
解得csπ4+φ=-1,即π4+φ=π+2kπ,k∈Z,
所以φ=3π4+2kπ,k∈Z,
由0<φ<π,得φ=3π4,
所以y=6csπ12t+3π4+20,t∈[0,24].
(2)令y=6csπ12t+3π4+20≥23,
得csπ12t+3π4≥12,
即-π3+2kπ≤π12t+3π4≤π3+2kπ,k∈Z,
解得-13+24k≤t≤-5+24k,k∈Z,
当k=1时,11≤t≤19,19-11=8,
所以一个24小时营业的商家想获得最大利润,应在t∈[11,19]时间段将该种商品放在室外销售,且单日室外销售时间最长不能超过8小时.
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y/元
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.01
7.0
10.0
t
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
y
-4.0
-2.8
0.0
2.8
4.0
2.8
0.0
-2.8
-4.0
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
12
15
12.1
9.1
11.9
14.9
11.9
8.9
12.1
t(h)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(℃)
15.7
14.0
15.7
20.0
24.2
26.0
24.2
20.0
15.7