数学4.2 平面课后复习题

这是一份数学4.2 平面课后复习题，共12页。试卷主要包含了如图所示,用符号语言可表示为，下列命题正确的是，下列四个命题，下列说法正确的是，下列说法不正确的是等内容，欢迎下载使用。

题组一 点、直线、平面位置关系的三种语言转换
1.若点Q在直线b上,b在平面β内,则Q,b,β之间的关系可记作 ( )
A.Q∈b∈βB.Q∈b⊂β
C.Q⊂b⊂βD.Q⊂b∈β
2.下列关于两个相交平面的画法正确的是( )
3.如图所示,用符号语言可表示为( )
A.α∩β=m,n⊂α,m∩n=A
B.α∩β=m,n∈α,m∩n=A
C.α∩β=m,n⊂α,A⊂m,A⊂n
D.α∩β=m,n∈α,A∈m,A∈n
4.已知点A在直线l上,点B不在直线l上,l在平面α外,l在平面β内,下列表示正确的有 .(填序号)
①A∈l,②A⊂l,③B∉l,④B⊄l,⑤l⊂α,⑥l⊄α,⑦l⊄β,⑧l⊂β.
题组二 平面的基本事实及其应用
5.下列命题正确的是( )
A.一条直线和一点确定一个平面
B.两条相交直线确定一个平面
C.四点确定一个平面
D.三条平行直线确定一个平面
6.下列四个命题:①任意两条直线都可以确定一个平面;②若两个平面有3个不同的公共点,则这两个平面重合;③对于直线a,b,c,若a与b共面,b与c共面,则a与c共面;④若直线l上有一点在平面α外,则l在平面α外.其中错误命题的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
7.(2020河北衡水武邑中学高一上月考)下列说法正确的是( )
A.三点确定一个平面
B.四边形一定是平面图形
C.梯形一定是平面图形
D.不重合的平面α和平面β有不同在一条直线上的三个公共点
8.(2020广东中山第一中学高一段考)下列说法不正确的是( )
A.三角形一定是平面图形
B.若四边形的两条对角线相交于一点,则该四边形是平面图形
C.圆心和圆上两点可确定一个平面
D.三条平行线最多可确定三个平面
9.已知平面α与平面β、γ分别相交,则这三个平面的交线有( )
A.1条或2条B.2条或3条
C.1条或3条D.1条或2条或3条
题组三 共点、共线、共面问题
10.空间四边形ABCD中,在AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,如果GH,EF交于一点P,则( )
A.P一定在直线BD上
B.P一定在直线AC上
C.P在直线AC或BD上
D.P既不在直线BD上,也不在直线AC上
11.(2020河南南阳一中高三上月考)如图所示,六面体ABCD-A1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是( )
A.A,M,O三点共线B.A,M,O,A1不共面
C.A,M,C,O不共面D.B,B1,O,M共面
12.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证:
(1)D,B,F,E四点共面;
(2)若A1C交平面DBFE于点R,则P,Q,R三点共线.
能力提升练
题组一 平面的基本性质及其应用
1.(2020江西南昌八一中学高二下期中,)如图所示,α∩β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,C∉l,则平面ABC与平面β的交线是( )
A.直线ACB.直线AB
C.直线CDD.直线BC
2.(2020上海华东师范大学第二附属中学高二下月考,)设P1、P2、P3、P4为空间中的四个不同点,则“P1、P2、P3、P4中有三点在同一条直线上”是“P1、P2、P3、P4在同一个平面内”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3.(2020广东汕头高三二模,)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=3,点G为正方形ABCD的中心,点E为A1D1的中点,点F为AE的中点,则( )
A.C、E、F、G四点共面,且CF=EG
B.C、E、F、G四点共面,且CF≠EG
C.C、E、F、G四点不共面,且CF=EG
D.C、E、F、G四点不共面,且CF≠EG
4.(2020广西崇左高一上期末,)过直线l外两点作与l平行的平面,则这样的平面( )
A.不存在B.只能作一个
C.能作无数个D.以上都有可能
5.(2020上海复旦大学附属中学高三下月考,)对于空间中的三条直线,有以下四个条件:①三条直线两两相交;②三条直线两两平行;③三条直线共点;④两直线相交,第三条平行于其中一条,且与另一条相交.其中使这三条直线共面的充分条件有 (填正确结论的序号).
6.(2020吉林梅河口第五中学高一下月考,)下列命题中正确的个数为 .
①若△ABC在平面α外,它的三条边所在的直线分别交α于P,Q,R,则P,Q,R三点共线;
②若三条直线a,b,c互相平行且分别交直线l于A,B,C三点,则这四条直线共面;
③空间中不共面的五个点一定能确定10个平面.
题组二 共点、共线、共面问题
7.()如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC,BD交于点O,判断下列命题是否正确,并说明理由.
(1)由点A,O,C可以确定一个平面;
(2)由点A,C1,B1确定的平面为平面ADC1B1.
8.()如图所示,△ABC与△A1B1C1不在同一个平面内,如果三条直线AA1,BB1,CC1两两相交,求证:三条直线AA1,BB1,CC1交于一点.
答案全解全析
基础过关练
1.B 因为点Q(元素)在直线b(集合)上,所以Q∈b.因为直线b(集合)在平面β(集合)内,所以b⊂β.所以Q∈b⊂β.
2.D 对于A,图中没有画出平面α与平面β的交线,另外图中的虚、实线也没有按照画法原则去画,因此A的画法不正确,同理,B,C的画法也不正确,D的画法正确.
3.A 两个平面α与β相交于直线m,直线n在平面α内,直线m和直线n相交于点A,故用符号语言可表示为α∩β=m,n⊂α,m∩n=A,故选A.
4.答案 ①③⑥⑧
解析 ∵点A在直线l上,直线l在平面α外,点B不在直线l上,l在平面β内,
∴A∈l,l⊄α,B∉l,l⊂β.
故正确的为①③⑥⑧.
5.B 根据一条直线和这条直线外一点确定一个平面,知A不正确;B显然正确;C中,当四点在一条直线上时,可确定无数个平面,故C不正确;三条平行直线可以确定一个平面或三个平面,故D不正确.故选B.
6.C ①显然错误;
在②中,若两个平面有3个不共线的公共点,则这两个平面重合,若两个平面有3个共线的公共点,则这两个平面相交或重合,故②错误;
在③中,对于直线a,b,c,若a与b共面,b与c共面,则a与c不一定共面,如图所示的四面体S-ABC中,SA与AB共面,AB与BC共面,但SA与BC不共面,故③错误;
在④中,若直线l上有一点在平面α外,则l在平面α外,故④正确.
故选C.
7.C A错误,不共线的三个点才可以确定一个平面;
B错误,四边形不一定是平面图形;
C正确,梯形有一组对边平行,两条平行线确定一个平面;
D错误,若平面α与β有公共点,则这些公共点都在两个平面的交线上.故选C.
8.C 三角形一定是平面图形,A中说法正确;由两条相交直线确定一个平面可知,若四边形的两条对角线相交于一点,则该四边形是平面图形,B中说法正确;当圆心和圆上两点在同一条直线上(即圆的直径)时,可确定无数个平面,C中说法不正确;三条平行线最多可确定三个平面,D中说法正确.故选C.
9.D 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD和平面A1B1C1D1都与平面BB1D1D相交,这三个平面有两条交线;平面ABB1A1和平面BB1D1D都与平面BB1C1C相交,这三个平面有一条交线;平面ABB1A1和平面AA1D1D都与平面BB1D1D相交,这三个平面有三条交线.故若平面α与平面β、γ分别相交,则这三个平面的交线有1条或2条或3条.故选D.
10.B 由题意知GH⊂平面ADC.因为GH,EF交于一点P,所以P∈平面ADC.同理,P∈平面ABC.因为平面ABC∩平面ADC=AC,所以由基本事实3可知点P一定在直线AC上.故选B.
11.A 连接A1C1,AC,易知A1C1∥AC,
∴A1,C1,A,C四点共面,
∴A1C⊂平面ACC1A1.
∵M∈A1C,∴M∈平面ACC1A1,
又M∈平面AB1D1,
∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,同理点A、点O均在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,
∴A,M,O三点共线.
故选A.
12.证明 (1)连接B1D1,
∵E,F分别为D1C1,C1B1的中点,
∴EF∥B1D1.
在正方体AC1中,易知B1D1∥BD,
∴EF∥BD,
∴EF,BD可确定一个平面,即D,B,F,E四点共面.
(2)正方体AC1中,设A1A、CC1确定的平面为α,平面BDEF为β.
∵Q∈A1C1,∴Q∈α,又Q∈EF,∴Q∈β,
∴点Q在平面α与β的交线上,
同理P∈α,P∈β,
∴点P在平面α与β的交线上,
∴α∩β=PQ.
又A1C∩β=R,∴R∈β,R∈A1C,∴R∈α,
∴R∈PQ,故P,Q,R三点共线.
能力提升练
1.C 由题意知,D∈l,l⊂β,所以D∈β,又因为D∈AB,所以D∈平面ABC,即D在平面ABC与平面β的交线上,又C∈平面ABC,C∈β,所以点C在平面ABC与平面β的交线上,所以平面ABC∩平面β=CD.故选C.
2.A 若P1、P2、P3、P4中有三点在同一条直线上,则有一点不在该直线上,由推论1可知,P1、P2、P3、P4在同一平面内,故充分性成立;当P1∈l1,P2∈l1,P3∈l2,P4∈l2,l1∥l2时,P1、P2、P3、P4在同一平面内,但P1、P2、P3、P4中无三点共线,故必要性不成立.故选A.
3.B 如图,连接AC,FG,EC,因为G为正方形ABCD的中心,所以AG=GC.又因为F为AE的中点,所以AF=FE,所以由三角形的中位线定理可知,FG∥EC,所以由推论3知,C、E、F、G四点共面.
过点E作EH⊥AD于H,连接HG,则EG=EH2+HG2=3+1=2.
过点F作FT⊥AD于T,连接CT,则CF=CD2+DT2+FT2=22+322+322=7,所以CF≠EG,故选B.
4.D 过直线l外两点作与l平行的平面,若两点所在的直线与l相交,则这样的平面不存在;若两点所在的直线与直线l异面,则这样的平面有且仅有一个;若两点所在的直线与直线l平行,则这样的平面有无数个.故选D.
5.答案 ④
解析 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB,AD,AA1两两相交,且三条直线共点,但三条直线不共面,故①③不符合要求;②三条直线两两平行也可能构成三个平面,故②不符合要求;④设a∥b,a∩c=M,b∩c=N,则a,b可唯一确定一个平面,记为α,且M∈α,N∈α,所以MN⊂α,即c⊂α,即三条直线共面,故④符合要求.
6.答案 2
解析 对于①,因为P∈α,P∈平面ABC,所以P在平面α与平面ABC的交线上,同理R,Q也在两平面的交线上,故P、Q、R三点共线,①正确;
对于②,因为a∥b,所以a,b可唯一确定一个平面,记为α,因为A∈a,B∈b,a⊂α,b⊂α,所以AB⊂α,即l⊂α,即a,b,l共面于α;同理,a,c,l三线也共面,不妨设为β,而α,β有两条公共直线a,l,所以α,β重合,即a,b,c,l共面,故②正确;
对于③,以如图所示的四棱锥P-ABCD为例.
A、B、C、D、P五点不共面,但这五个点确定了7个平面,故③错误.
故正确命题的个数为2.
7.解析 (1)不正确.因为点A,O,C在同一条直线上,所以不能确定一个平面.
(2)正确.因为点A,B1,C1不共线,所以可确定一个平面.又因为AD∥B1C1,所以点D∈平面AB1C1.所以由点A,C1,B1确定的平面为平面ADC1B1.
8.证明 设BB1与CC1,CC1与AA1,AA1与BB1分别确定平面α,β,γ,AA1与BB1的交点为P,因为P∈AA1,P∈BB1,AA1⊂β,BB1⊂α,所以P∈α,P∈β,即P∈(α∩β).又α∩β=CC1,所以P∈CC1,所以三条直线AA1,BB1,CC1交于一点P.