数学选择性必修 第一册3.1 椭圆第2课时课后作业题

这是一份数学选择性必修 第一册3.1 椭圆第2课时课后作业题，共19页。试卷主要包含了过原点的直线l与曲线C，设椭圆C等内容，欢迎下载使用。
题组一 直线与椭圆的位置关系
1.直线y=x+1与椭圆x25+y24=1的位置关系是( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.无法判断
2.若直线y=kx+2与椭圆x23+y22=1有且只有一个交点,则斜率k的值是 ( )
A.63 B.-6 3 C.±63 D.±33
3.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为33,若直线y=kx与椭圆的一个交点的横坐标为b,则k的值为( )
A.±1 B.±2 C.±33 D.±3
4.(2020山东聊城高二上期末)直线y=kx+2与焦点在x轴上的椭圆x216+y2b2=1(b>0)恒有两个公共点,则实数b的取值范围是 .
题组二 直线与椭圆的相交弦问题
5.直线y=x+1被椭圆x24+y22=1所截得的线段的中点的坐标是( )
A.23,53 B.43,73
C.-23,13 D.-132,-172
6.过原点的直线l与曲线C:x23+y2=1相交,直线l被曲线C所截得的线段长等于6,则直线l的斜率k的可能取值是( )
A.33 B.-33 C.3 D.1
7.经过椭圆x22+y2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l,交椭圆于A,B两点.设O为坐标原点,则OA·OB等于( )
A.-3 B.-13 C.-13或-3 D.±13
8.过椭圆x25+y24=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为 .
9.(2021江西南昌二中高二上月考)在平面直角坐标系中,已知动点P到定点F1(-1,0)、F2(1,0)的距离之和为22.
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)若直线l:y=x+t与曲线C交于A、B两点,|AB|=423,求t的值.
题组三 直线与椭圆位置关系的综合运用
10.设椭圆C:x29+y24=1的左,右焦点分别为F1,F2,以F1F2为直径的圆与C在第一象限的交点为P,则直线PF1的斜率为( )
11.(2020北京清华大学附中高二上期中)已知椭圆C:x216+y24=1的右顶点为A,上顶点为B.点E在椭圆C上,且不在直线AB上.
(1)求椭圆C的离心率和直线AB的方程;
(2)若以AE为直径的圆经过点B,求点E的坐标.
能力提升练
题组一 直线与椭圆的相交弦问题
1.(多选)()已知直线l:y=2x+3被椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)截得的弦长为7,则下列直线中被椭圆C截得的弦长一定为7的有( )
A.y=2x-3 B.y=2x+1 C.y=-2x-3 D.y=-2x+3
2.(2020浙江宁波九校高二上期末,)已知圆C:(x+3)2+y2=48和点B(3,0),P是圆上一点,线段BP的垂直平分线交CP于M点,则M点的轨迹方程为 ;若直线l与M点的轨迹相交,且相交弦的中点为P(2,1),则直线l的方程是 .
3.(2021江苏南京金陵中学高二上月考,)阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知平面直角坐标系Oxy中,椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的面积为23π,两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过点P(1,0)的直线l与C交于不同的两点A,B,求△OAB面积的最大值.
题组二 直线与椭圆位置关系的综合运用
4.(2019黑龙江牡丹江一中高二上期中,)若直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆x29+y24=1的交点的个数为( )
A.0或1 B.2 C.1 D.0
5.(2021江西上饶高二上月考,)已知椭圆C:x28+y26=1的左、右顶点分别为A、B,点P为椭圆C上不同于A,B的动点,若直线PA斜率的取值范围是[1,2],则直线PB斜率的取值范围是( )
A.[-2,-1] B.-32,-34
C.-1,-12 D.-34,-38
6.(2021江苏泰州中学高二上期初检测,)如图,椭圆C:x24+y2=1的右顶点为A,上顶点为B,动直线l交椭圆C于M、N两点,且始终满足OM⊥ON,作OH⊥MN交MN于点H,则HA·HB的取值范围是( )
A.[3-23,3+23] B.45-455,45+455
C.-65,145 D.-54,154
7.(多选)()已知椭圆C:x24+y22=1的左,右焦点分别为F1,F2,直线y=kx(k≠0)与C交于A,B两点,AE⊥x轴,垂足为E,直线BE与C的另一个交点为P,则下列结论正确的是( )
A.四边形AF1BF2为平行四边形 B.∠F1PF290°
8.(2020山东烟台高二上期末,)过椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F1作斜率为12的直线l与C交于A,B两点,若|OF1|=|OA|,则椭圆C的离心率为 .
9.(2020海南中学高二上期中,)已知点P是椭圆x225+y29=1上任意一点,则当点P到直线4x-5y+40=0的距离达到最小值时,点P的坐标为 .
10.(2020天津一中高二上期末质量调查,)已知椭圆C:x24+y23=1,F1,F2分别为椭圆的左,右焦点,P为椭圆上任意一点.
(1)若|PF1|-|PF2|=1,求△PF1F2的面积;
(2)是否存在直线l,使得当l经过椭圆左顶点A且与椭圆相交于点B,点D与点B关于x轴对称,满足OB·OD=-207?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
11.()已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=22,点P(-2,1)在该椭圆上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若点A,B是椭圆C上关于直线y=kx+1(k≠0)对称的两点,求实数k的取值范围.
12.(2020北京通州高二上期末,)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右焦点分别是F1,F2,且|F1F2|=2,离心率为22.
(1)求椭圆的方程;
(2)过椭圆右焦点F2的直线l交椭圆于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≥x2)两点.
(i)求|AF2|·|BF2|的最小值;
(ii)点Q是直线l上异于F2的点,且满足|QA||QB|=|F2A||F2B|,求证:点Q在一条定直线上.
答案全解全析
基础过关练
1.A 直线y=x+1过点(0,1),将(0,1)代入x25+y24=1得,0+142,又因为椭圆的焦点在x轴上,所以b|F1F2|=2,所以动点P的轨迹为椭圆,且长轴长2a=22,焦点坐标为(-1,0),(1,0),
所以a=2,c=1,又因为a2=b2+c2,所以b2=1,
所以C的方程为x22+y2=1.
(2)设点A(x1,y1),B(x2,y2),
联立x2+2y2-2=0,y=x+t,消去y,得3x2+4tx+2t2-2=0,
所以x1+x2=-4t3,x1x2=2t2-23,
Δ=16t2-12(2t2-2)=24-8t2>0,即t20,所以t=±1.
10.B 依题意得,a2=9,b2=4,∴c2=5,
因此以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=5.
由x2+y2=5,x29+y24=1,得x2=95,y2=165,
又点P在第一象限,∴P355,455,
又F1(-5,0),
∴kPF1=455-0355+5=12,故选B.
11.解析 (1)由题可得a=4,b=2,c=23,则A(4,0),B(0,2),椭圆的离心率e=ca=32.
直线AB的方程为x4+y2=1,即x+2y-4=0.
(2)设E(x0,y0),由题意可知AB⊥BE,
即kAB×kBE=-1,
结合(1)得-12×y0-2x0=-1,则2x0=y0-2,
∵E是椭圆C上的点,
∴x0216+y024=1.
联立x0216+y024=1,2x0=y0-2,消去x0,整理得17y02-4y0-60=0,解得y0=2(舍去)或y0=-3017,则x0=-3217,
所以E-3217,-3017.
能力提升练
1.ACD 直线y=2x-3与直线l关于原点对称,直线y=-2x-3与直线l关于x轴对称,直线y=-2x+3与直线l关于y轴对称,因此A、C、D中的直线被椭圆C截得的弦长一定为7,而直线y=2x+1被椭圆C截得的弦长大于7.故选ACD.
2.答案 x212+y23=1;x+2y-4=0
解析 由圆的方程可知,圆心C(-3,0),半径等于43,设点M的坐标为(x,y),
∵BP的垂直平分线交CP于点M,
∴|MB|=|MP|.又|MP|+|MC|=43,
∴|MC|+|MB|=43>|BC|.依据椭圆的定义可得,点M的轨迹是以B、C为焦点的椭圆,且2a=43,即a=23,c=3,∴b=3,
故M点的轨迹方程为x212+y23=1.
设直线l交椭圆于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,AB的中点为(2,1),
∴x1+x2=4,y1+y2=2,
则x1212+y123=1,x2212+y223=1,
作差得4(x1-x2)12=-2(y1-y2)3,
∴y1-y2x1-x2=-12,
故直线l的方程是y-1=-12(x-2),即x+2y-4=0.
3.解析 (1)依题意有ab=23,a=2c,a2=b2+c2,解得a=2,b=3,所以椭圆C的标准方程是x24+y23=1.
(2)由题意知直线l的斜率不为0,设直线l的方程为x=my+1,
由方程组x=my+1,x24+y23=1,得(3m2+4)y2+6my-9=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
所以y1+y2=-6m3m2+4,y1y2=-93m2+4,
所以|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2
=12m2+13m2+4,
所以S△OAB=12×|OP|×|y1-y2|
=6m2+13m2+4,
令t=m2+1(t≥1),则m2=t2-1,S△OAB=6t3t2+1=63t+1t,
因为y=3t+1t在[1,+∞)上单调递增,
所以当t=1,即m=0时,△OAB面积取得最大值,为32.
4.B 因为直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有交点,所以4m2+n2>2,所以m2+n2