人教版新课标A选修2-31.3二项式定理课后练习题

这是一份人教版新课标A选修2-31.3二项式定理课后练习题，共10页。试卷主要包含了10的展开式中第7项为等内容，欢迎下载使用。
基础过关练

题组一 二项式定理的正用与逆用
1.若(1+2)4=a+b2(a,b均为有理数),则a+b=( )
A.33B.29C.23D.19
2.设A=37+C72×35+C74×33+C76×3,B=C71×36+C73×34+C75×32+1,则A-B的值为( )
A.128B.129C.47D.0
3.S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4x-3,则S=( )
A.x4B.x4+1
C.(x-2)4D.x4+4
4.已知n∈N*,则Cn0+3Cn1+32Cn2+33Cn3+…+3nCnn= .
5.设a∈Z,且0≤a0)为整数,若a和b被m除得的余数相同,则称a和b对模m同余,记为a=b(mdm).若a=C200+C201·2+C202·22+…+C2020·220,a=b(md8),则b的值可以是( )
A.2020B.2021C.2024D.2025
二、填空题
8.(2020湖南湘潭一中、双峰一中、邵东一中高二下联考,)(x-2)(x+1)5的展开式中,x3的系数是 .(用数字填写答案)
9.(2019福建宁德高二期末,)若(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a4+a2+a0= .
10.(2020河南商丘高二下期末联考,)已知m,n∈(0,+∞),若二项式m3x3-nx8的展开式中常数项为2800,所有项的系数和为0,则n5m3= .
11.()设a≠0,n是大于1的自然数,1+xan的展开式为a0+a1x+a2x2+…+anxn.若点Ai(i,ai)(i=0,1,2)的位置如图所示,则a= .
三、解答题
12.(2020山东济宁育才中学高二下4月月考,)(1)若ax2+bx6的展开式中x3的系数为20,求a2+b2的最小值;
(2)已知(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,若a1+a2+…+an-1=29-n,求n.
13.(2019甘肃嘉峪关酒钢三中高二下期中,)若等差数列{an}的首项为C5n11-2n-A11-3n2n-2,公差d为52x-253x2m的展开式中的常数项,其中m是7777-15除以19的余数,则此数列前多少项的和最大?并求出这个最大值.
1.3 二项式定理
1.3.1 二项式定理
基础过关练
B ∵(1+2)4=C40(2)0+C41(2)1+C42(2)2+C43(2)3+C44(2)4=17+122=a+b2,∴a=17,b=12,
∴a+b=29,故选B.
2.A A-B=37-C71×36+C72×35-C73×34+C74×33-C75×32+C76×3-1=(3-1)7=27=128,故选A.
3.A S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1=C40(x-1)4+C41(x-1)3+C42(x-1)2+C43·(x-1)+C44=[(x-1)+1]4=x4,故选A.
4.答案 4n
解析 Cn0+3Cn1+32Cn2+33Cn3+…+3nCnn=(1+3)n=4n.
5.答案 1
解析 ∵512017+a=(52-1)2017+a=C20170·522017-C20171522016+…+C20172016521-1+a能被13整除,∴-1+a能被13整除,又0≤a0)为整数,若a和b被m除得的余数相同,则称a和b对模m同余,记为a=b(mdm);②a=C200+C201·2+C202·22+…+C2020·220,a=b(md8).
数学建模 本题以数学文化为背景,通过《孙子算经》中对同余除法的研究构建关于二项式定理的模型,求解时首先要对“同余”的概念理解清楚,再结合二项式定理求解.
解析 由题意可得a=(1+2)20=320=910=(8+1)10,由二项式定理可得
a=C100×810+C101×89+…+C109×81+1,即a除以8的余数为1.因为a=b(md8),
所以b除以8的余数也为1,题中各选项中只有2025除以8的余数为1,则b的值可以是2025.故选D.
二、填空题
8.答案 -10
解析 (x-2)(x+1)5=x(x+1)5-2(x+1)5,(x+1)5的展开式的通项为Tr+1=C5rx5-r,令5-r=2,则r=3,所以(x+1)5的展开式中含x2的项为C53x2,令5-r=3,则r=2,所以(x+1)5的展开式中含x3的项为C52x3,所以(x-2)(x+1)5的展开式中,x3的系数是C53-2C52=-10.
9.答案 41
解析 令x=0,可得a0=1.
令x=1,可得a0+a1+a2+a3+a4=1,
则a1+a2+a3+a4=0.①
令x=-1,可得a0-a1+a2-a3+a4=81,
则-a1+a2-a3+a4=80.②
将①和②相加可得,2(a2+a4)=80,所以a2+a4=40,
所以a4+a2+a0=41.
10.答案 10
解析 由题意,得Tr+1=C8r(m3x3)8-r·-nxr=C8rm24-3r(-n)rx24-4r,令24-4r=0,得r=6,所以C86m6n6=2800且m,n∈(0,+∞),所以m3n3=10.令x=1,得展开式中所有项的系数和为(m3-n)8=0,所以m3=n,所以n4=10,所以n5m3=n5n=n4=10.
11.答案 3
解析 由题图知A0(0,1),A1(1,3),A2(2,4),即a0=1,a1=3,a2=4.
因为1+xan的展开式的通项为Tk+1=Cnkxak(k=0,1,2,…,n),
所以Cn1a=3,Cn2a2=4,解得a=3(a=0舍去).
三、解答题
12.解析 (1)ax2+bx6的展开式的通项为Tr+1=C6r·a6-r·br·x12-3r,
令12-3r=3,得r=3,故ax2+bx6的展开式中x3的系数为C63·a3·b3=20,
∴a3·b3=1,即ab=1,∴a2+b2≥2ab=2,当且仅当a=b时等号成立.∴a2+b2的最小值为2.
(2)令x=0,得a0=1+1+1+…+1=n,
令x=1,得2+22+…+2n=a0+a1+a2+…+an,
即2-2n+11-2=a0+a1+a2+…+an,
即2n+1-2=a0+a1+a2+…+an.
∵an=1,∴a1+a2+…+an-1=2n+1-n-3,
∴2n+1-n-3=29-n,解得n=4.
13.解析 由已知,得11-2n≤5n,2n-2≤11-3n,
∵n∈N*,∴n=2,
∴C5n11-2n-A11-3n2n-2=C107-A52=100,故等差数列的首项a1=100.
∵7777-15=(76+1)77-15=7677+C771·7676+…+C7776·76+1-15,∴7777-15除以19的余数是5,即m=5.
52x-253x25的展开式的通项为Tr+1=C5r·52x5-r-253x2r=(-1)rC5r·525-2rx5r3-5(r=0,1,2,3,4,5),若它为常数项,则5r3-5=0,∴r=3,
∴T4=-4=d.从而等差数列的通项公式是an=104-4n,设其前k(k∈N*)项之和最大,则104-4k≥0,104-4(k+1)≤0,解得k=25或k=26,故此数列的前25项之和与前26项之和相等且最大,为100+104-4×252×25=1300.
1.B
2.A
3.A
6.A
7.B
8.D
9.B
10.D
12.C
1.C
2.D
3.B
4.B
5.D
6.D
7.D