第一章达标测评-2022版数学选择性必修第一册 苏教版（2019） 同步练习 （Word含解析）

这是一份第一章达标测评-2022版数学选择性必修第一册 苏教版（2019） 同步练习 （Word含解析），共16页。

本章达标检测
(满分:150分;时间:120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.直线x-3y+a=0,a∈R的倾斜角为 (　　)
A.π6　　　　B.π3　　　　C.2π3　　　　D.5π6
2.两直线x+y-1=0与2x+2y-3=0之间的距离为 (　　)
A.2　　　　B.24　　　　C.22　　　　D.28
3.若直线2x+y+5=0与直线kx+2y=0互相垂直,则它们的交点坐标为 (　　)
A.(-1,-3)　　　　B.(-2,-1)　　　　
C.-12,-1　　　　D.(-1,-2)
4.已知直线l1:xsin α-2y+5=0,l2:32x+(2-sin α)y+cosπ2-α=0,若l1∥l2,则sin α= (　　)
A.-1　　　　B.0　　　　C.1　　　　D.-1或1
5.一束光线从点M(5,3)射出,经x轴反射后的光线经过点N(7,3),则反射光线所在的直线方程为 (　　)
A.y=3x-18　　　　B.y=-3x-12
C.y=3x+12　　　　D.y=-3x+18
6.著名数学家华罗庚曾说过:“数形结合百般好,割裂分家万事休.”事实上,有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决,如:(x-a)2+(y-b)2可以转化为平面上点M(x,y)与点N(a,b)的距离.结合上述观点,可得f(x)=x2+10x+29+x2+6x+18的最小值为 (　　)
A.5　　　　B.29　　　　
C.31　　　　D.2+13
7.设m∈R,动直线l1:x+my-1=0过定点A,动直线l2:mx-y-2m+3=0过定点B,若直线l1与l2相交于点P(异于点A,B),则△PAB周长的最大值为 (　　)
A.2+2　　　　B.22+1　　　　C.2+1　　　　D.22+2
8.已知0 则M的最小值为 (　　)
A.22　　　　B.23　　　　C.2　　　　D.42
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.已知直线l1:x+my-1=0,l2:(m-2)x+3y+1=0,则下列说法正确的是 (　　)
A.若l1∥l2,则m=-1或m=3
B.若l1∥l2,则m=-1
C.若l1⊥l2,则m=-12
D.若l1⊥l2,则m=12
10.在同一平面直角坐标系中,表示直线l1:y=ax+b与l2:y=bx-a的图象可能正确的是 (　　)

11.已知直线l1:3x-y-1=0,l2:x+2y-5=0,l3:x-ay-3=0不能围成三角形,则实数a的值可能为 (　　)
A.1　　　　B.13　　　　C.-2　　　　D.-1
12.台球运动已有五、六百年的历史,参与者用球杆在台上击球.如图,有一张长方形球台ABCD,AB=2AD,现从角落A沿角α的方向把球打出去,球经2次碰撞球台内沿后进入角落C的球袋中,若和光线一样,台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律,则tan α的值可以为 (　　)

A.16　　　　B.12　　　　
C.1　　　　D.32


三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)
13.已知直线l:x-y-1=0,l1:2x-y-2=0,若直线l2与l1关于l对称,则l2的方程为　　　　. 
14.若动点A、B分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则线段AB的中点M到原点距离O的最小值为　　　　. 
15.数学选修课中,同学们进行节能住房设计,在分析气候和民俗后,设计出房屋的剖面图(如图所示).屋顶所在直线的方程分别是y=12x+3和y=-16x+5,为保证采光,竖直窗户的高度设计为1 m,那么点A的横坐标是　　　　. 

16.已知点A(4,5),点B在x轴上,点C在2x-y+2=0上,则△ABC周长的最小值为　　　　,此时点C的坐标为　　　　.(第一个空3分,第二个空2分) 
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知直线l1:2x+y-2=0;l2:mx+4y+n=0(m,n为常数).
(1)若l1⊥l2,求m的值;
(2)若l1∥l2,且它们的距离为5,求m,n的值.








18.(本小题满分12分)已知三角形的顶点为A(2,3),B(0,-1),C(-2,1).
(1)求直线AC的方程;
(2)求点B关于直线AC的对称点D的坐标;
(3)若直线l过点B且与直线AC交于点E,BE=3,求直线l的方程.













19. (本小题满分12分)直线过点P43,2且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,是否存在直线满足下列条件:(1)△AOB的周长为12;(2)△AOB的面积为6.若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.












20.(本小题满分12分)为了绿化城市,准备在如图所示的区域ABCDE内修建一个矩形的草坪PQRD,其中∠AED=∠EDC=∠DCB=90°,点Q在AB上,且PQ∥CD,QR⊥CD,经测量BC=70 m,CD=80 m,DE=100 m,AE=60 m,则应如何设计才能使草坪的占地面积最大?并求出最大面积.(结果精确到1 m2)












21. (本小题满分12分)设集合L={l|直线l与直线y=3x相交,且以交点的横坐标为斜率}.
(1)是否存在直线l0使l0∈L,且l0过点(1,5)?若存在,请写出l0的方程,若不存在,请说明理由;
(2)点P(-3,5)到集合L中的哪一条直线的距离最小?
(3)设a∈(0,+∞),点Q(-3,a)到集合L中直线的距离的最小值为f(a),求f(a)的解析式.











22.(本小题满分12分)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,第一象限内有定点C和射线OA,已知直线OA,OC的倾斜角分别为α,β,tan α=3,tan β=512,OC=13a(0 (1)求点C的坐标(用a表示);
(2)求△OAM的面积S关于m的表达式S=f(m);
(3)求△OAM的面积取得最小时,直线AC的方程.











答案全解全析
本章达标检测
一、单项选择题
1.A　∵直线x-3y+a=0,a∈R的斜率为13=33,∴它的倾斜角为π6.故选A.
2.B　两直线方程分别为x+y-1=0与2x+2y-3=0,即2x+2y-2=0与2x+2y-3=0,
故它们之间的距离为|-2+3|4+4=24.故选B.
3.B　∵直线2x+y+5=0与直线kx+2y=0互相垂直,∴2k+1×2=0,解得k=-1,
∴直线kx+2y=0即-x+2y=0,
由2x+y+5=0,-x+2y=0得x=-2,y=-1,∴两直线的交点坐标为(-2,-1),
故选B.
4.A　∵直线l1:xsin α-2y+5=0,l2:32x+(2-sin α)y+cosπ2-α=0,l1∥l2,
∴sin α(2-sin α)=-2×32,且5×(2-sin α)≠-2×cosπ2-α,解得sin α=3(舍去)或sin α=-1,
故选A.
5.A　设点M(5,3)关于x轴对称的点为M',则M'(5,-3),则M'(5,-3)在反射光线的反向延长线上,
则kM'N=3-(-3)7-5=3,
所以反射光线所在的直线方程为y-3=3(x-7),即y=3x-18.
故选A.
6.B　f(x)=x2+10x+29+x2+6x+18=(x+5)2+4+(x+3)2+9,
表示平面上点M(x,0)与点A(-5,2),B(-3,-3)的距离之和,
则f(x)的最小值为AB=(-5+3)2+(2+3)2=29,故选B.
7.D　直线l1:x+my-1=0过定点A(1,0),
直线l2:mx-y-2m+3=0,即m(x-2)=y-3,可得直线l2过定点B(2,3),
∵1×m+(-1)×m=0,
∴l1与l2始终垂直,
又P是直线l1与l2的交点,
∴PA⊥PB,∴PA2+PB2=AB2=4.
由不等式的相关知识可知2(PA2+PB2)≥(PA+PB)2,
即PA+PB≤2×4=22,
当且仅当PA=PB=2时,等号成立,
∴△PAB周长的最大值为2+22.
故选D.
8.D　根据题意可知(2-x)2+y2表示点(x,y)与点A(2,0)间的距离;
x2+(2-y)2表示点(x,y)与点B(0,2)间的距离;
(2-x)2+(22-y)2表示点(x,y)与点C(2,22)间的距离;
(22-x)2+(2-y)2表示点(x,y)与点D(22,2)间的距离.
则M表示点(x,y)到A、B、C、D四个点的距离之和的最小值.
如图:

∵(2-x)2+y2+(2-x)2+(22-y)2取最小值时点(x,y)在线段AC上,
x2+(2-y)2+(22-x)2+(2-y)2取最小值时点(x,y)在线段BD上,
∴当M取最小值时,点(x,y)既在线段AC上,又在线段BD上,
∴点(x,y)即为图中点P,
∴M的最小值为AC+BD=42.
故选D.
二、多项选择题
9.AD　已知直线l1:x+my-1=0,l2:(m-2)x+3y+1=0,
若l1∥l2,则1×3-m(m-2)=0,且m×1≠-1×3,解得m=3或m=-1,故A正确,B不正确.
若l1⊥l2,则1×(m-2)+m×3=0,解得m=12,故C不正确,D正确.
故选AD.
10.AC　由题图A可得直线l1的斜率a>0,在y轴上的截距b<0;
而l2的斜率b<0,在y轴上的截距-a<0,即a>0,故A能成立.
由题图B可得直线l1的斜率a>0,在y轴上的截距b>0;
而l2的斜率b<0,矛盾,故B不能成立.
由题图C可得直线l1的斜率a<0,在y轴上的截距b>0;
而l2的斜率b>0,在y轴上的截距-a>0,即a<0,故C能成立.
由题图D可得直线l1的斜率a<0,在y轴上的截距b<0;
而l2的斜率b>0,在y轴上的截距-a>0,即a<0,矛盾,故D不能成立.
故选AC.
11.BCD　∵直线l1:3x-y-1=0,l2:x+2y-5=0,l3:x-ay-3=0不能围成三角形,
∴有2条直线平行或者三条直线经过同一个点.
若其中有2条直线平行,则1a=3或1a=-12,解得a=13或a=-2.
若三条直线经过同一个点,则直线l1:3x-y-1=0和直线l2:x+2y-5=0的交点(1,2)在l3上,故1-2a-3=0,解得a=-1.
综上,实数a的值可能为13,-2,-1.
故选BCD.
12.AD　如图1:

图1
设A关于DC的对称点为E,C关于AB的对称点为F,
则tan α=EGGF=3AD2AD=32.
如图2:

图2
设点A关于BC的对称点为P,C关于AD的对称点为M,
则tan α=MNNP=AD6AD=16.
故选AD.
三、填空题
13.答案　x-2y-1=0
解析　联立x-y-1=0,2x-y-2=0,
解得x=1,y=0,
所以三条直线的交点坐标为(1,0),
在l1上取点(2,2),依题意知该点关于l的对称点(3,1)在l2上,
则l2的方程为y-01-0=x-13-1,化简得x-2y-1=0.
14.答案　32
解析　∵A在直线l1上,B在直线l2上,点M是线段AB的中点,∴点M在到两直线l1与l2距离相等的直线上,
∵直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0,
∴点M所在直线的方程为x+y-6=0,
则MO的最小值为|-6|12+12=32.
15.答案　4.5
解析　根据题意,设点A的横坐标为m,则点A的坐标为(m,0),
对于直线y=12x+3,当x=m时,y=m2+3,
对于直线y=-16x+5,当x=m时,y=-m6+5,
若满足竖直窗户的高度设计为1 m,
则m2+3--m6+5=2m3-2=1,
解得m=4.5,故点A的横坐标为4.5.
16.答案　410;(1,4)
解析　按题意画图,设点B的坐标为(m,0),点A关于直线2x-y+2=0的对称点D的坐标为(a,b),

则线段AD的中点E的坐标为4+a2,5+b2,
则b-5a-4=-12,2·4+a2-5+b2+2=0,
即a+2b-14=0,2a-b+7=0,解得a=0,b=7,即D(0,7),
易知点A关于x轴对称的点的坐标为P(4,-5),
则当D,C,B,P四点共线时,△ABC的周长最小,最小为DP=42+(-5-7)2=410.
则直线DP的方程为y+57+5=x-40-4,即3x+y-7=0,
联立3x+y-7=0,2x-y+2=0,解得C(1,4).
四、解答题
17.解析　(1)若l1⊥l2,则-2·-m4=-1, (3分)
解得m=-2,故m的值为-2. (5分)
(2)若l1∥l2,则m2=41≠n-2,解得m=8,n≠-8, (8分)
故直线l1:8x+4y-8=0,l2:8x+4y+n=0.
故|n+8|64+16=5,
解得n=12或n=-28.
故m的值为8,n的值为12或-28. (10分)
18.解析　(1)因为直线AC的斜率为1-3-2-2=12,
所以直线AC的方程为y-3=12(x-2),
即x-2y+4=0. (4分)
(2)设点D的坐标为(m,n),
则n+1m·12=-1,m2-2·n-12+4=0,解得m=-125,n=195,
故点D的坐标为-125,195. (8分)
(3)设点E的坐标为t,12t+2,
∵BE=3,∴t2+12t+2+12=3,
解得t=0或t=-125, (10分)
∴点E的坐标为(0,2)或-125,45,
∴直线l的方程为x=0或3x+4y+4=0. (12分)
易错警示
　　求解直线方程时应该注意以下问题:
(1)根据斜率求倾斜角时,要注意倾斜角的范围;
(2)若不能判断直线的斜率是否存在,则应对斜率存在与不存在加以讨论;
(3)在用截距式表示直线时,应先判断截距是不是0,若不确定,则需分类讨论.
19.解析　存在.设直线方程为xa+yb=1(a>0,b>0),
若满足条件(1),则a+b+a2+b2=12.① (3分)
∵直线过点P43,2,∴43a+2b=1.②
由①②可得5a2-32a+48=0,
解得a=4,b=3或a=125,b=92. (6分)
则直线的方程为x4+y3=1或5x12+2y9=1,即3x+4y-12=0或15x+8y-36=0.
若满足条件(2),则ab=12,③ (8分)
由题意得,43a+2b=1,④
由③④可得a2-6a+8=0,
解得a=4,b=3或a=2,b=6. (10分)
则直线的方程为x4+y3=1或x2+y6=1,即3x+4y-12=0或3x+y-6=0. (11分)
综上所述,存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程,为3x+4y-12=0. (12分)
20.解析　如图,以BC边所在直线为x轴,以AE边所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(0,20),B(30,0). (2分)

所以直线AB的方程为x30+y20=1,即y=20-23x, (5分)
设Qx,20-2x3,则矩形PQRD的面积S=(100-x)80-20-2x3, (8分)
即S=-23x2+203x+6 000=-23(x-5)2+6 000+503(0≤x≤30), (10分)
易得当x=5,y=503时,S取得最大值,最大值约为6 017 m2. (12分)
21.解析　(1)假设存在直线l0使l0∈L,且l0过点(1,5),
设l0的方程为y-5=k(x-1)(k≠3),
联立y=3x,y-5=k(x-1), 得x=5-k3-k, (2分)
则5-k3-k=k,化简得k2-4k+5=0,此方程无解,
故不存在直线l0符合题意. (4分)
(2)设直线l的方程为y=k1x+b(k1≠3),联立y=3x,y=k1x+b,得x=b3-k1,则b3-k1=k1,化简得b=3k1-k12,故点P(-3,5)到直线l的距离为|-3k1-5+b|k12+1=5+k12k12+1=k12+1+4k12+1≥4,当且仅当k1=±3时取等号. (6分)
当k1=3时,b=33-3,直线方程为y=3x+33-3,
当k1=-3时,b=-33-3,直线方程为y=-3x-33-3,
故点P(-3,5)与集合L中的直线y=3x+33-3和y=-3x-33-3的距离最小. (8分)
(3)设直线l的方程为y=k2x+m(k2≠3),联立y=3x,y=k2x+m,得x=m3-k2,则m3-k2=k2,化简得m=3k2-k22,故点Q(-3,a)到直线l的距离d=|-3k2-a+m|k22+1=a+k22k22+1=k22+1+a-1k22+1.
当a>2时,d≥2a-1,当且仅当k2=±a-2时取等号, (10分)
当0 综上,f(a)=2a-1,a≥2,a,0 22.解析　(1) ∵β∈[0,π),tan β=512,
∴sin β=513,cos β=1213,又OC=13a,
∴C(12a,5a). (2分)
(2)直线OA:y=3x,∵M,C,A共线,∴当AM⊥x轴时,M(12a,0),A(12a,36a),当AM不与x轴垂直时,设A(x0,3x0),由kMC=kMA,得5a12a-m=3x0x0-m,
解得x0=5am3m-31a,经检验,当AM⊥x轴时,A点横坐标也满足此式,∴S=f(m)=15am22(3m-31a)31a3 (3)解法一:S=f(m)=15am22(3m-31a)=15a2×1-31am2+3m31a3 记t=1m,g(t)=-31at2+3t=-31a×t-362a2+9124a,t∈162,331a. (8分)
①若362a≤162,即3≤a≤4,则函数g(t)在162,331a上递减,当且仅当t=162,即m=62时,g(t)取得最大值,即f(m)取得最小值,此时M(62,0),直线AC的方程为5ax-(12a-62)y-310a=0. (10分)
②若162<362a<331a,即0 解法二:记3m-31a=t,t∈(0,186-31a],
则S=h(t)=15a2·(t+31a)29t=5a6·t+(31a)2t+62a,t∈(0,186-31a]. (8分)
①若3≤a≤4,则186-31a≤31a,则h(t)在(0,186-31a]上递减,当且仅当t=186-31a,即m=62时,h(t)取得最小值,此时M(62,0),直线AC的方程为5ax-(12a-62)·y-310a=0. (10分)
②若031a,则h(t)在(0,31a)上递减, 在(31a,186-31a]上递增,
当且仅当t=31a,即m=62a3时,h(t)取得最小值,此时M62a3,0,直线AC的方程为15x+26y-310a=0. (12分)