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第三章复习提升-2022版数学选择性必修第一册 苏教版（2019） 同步练习 （Word含解析）
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这是一份第三章复习提升-2022版数学选择性必修第一册 苏教版（2019） 同步练习 （Word含解析），共18页。
本章复习提升易混易错练易错点1 求轨迹方程时忽略题中的限制条件而致错1.()已知△ABC的周长是20,且顶点B(0,-4),C(0,4),则顶点A的轨迹方程是 ( )A.x220-y236=1(x≠0) B.x236+y220=1(x≠0)C.x220+y236=1(x≠0) D.x236-y220=1(x≠0)2.()已知动点P(x,y)与两定点M(-1,0),N(1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0),则动点P的轨迹方程为 . 3.()如图,圆E:(x+2)2+y2=4,点F(2,0),动圆P过点F,且与圆E内切于点M,求动圆P的圆心P的轨迹方程.易错点2 对圆锥曲线的定义理解不清而致错4.(2019山东聊城高二月考,)若动圆与圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹为 ( )A.双曲线的一支 B.圆C.抛物线 D.双曲线5.()设P(x,y),若x2+(y-23)2+x2+(y+23)2=8,则点P的轨迹方程为 ( )A.x216+y24=1 B.x24+y216=1C.x24-y28=1 D.x28-y24=1易错点3 忽视圆锥曲线标准方程的“特征”而致错6.()抛物线y=4x2的焦点坐标为 ( )A.116,0 B.(1,0)C.0,18 D.0,1167.()方程x2m2+y22m+3=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围是 ( )A.-10,b>0)的焦点到渐近线的距离为1,且与椭圆x28+y22=1有公共焦点,则双曲线C的渐近线方程为 ( )A.y=±77x B.y=±7xC.y=±55x D.y=±5x易错点4 忽略椭圆、双曲线和抛物线的焦点位置而致错9.()若椭圆x24+y2m=1(m>0)的焦距为2,则m的值是( )A.3 B.15 C.3或5 D.1或510.()已知双曲线的两条渐近线的夹角为60°,则双曲线的离心率为 . 易错点5 忽视判别式对参数的限制而致错11.()已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的实轴长为4,一条渐近线方程为y=32x.(1)求双曲线C的方程;(2)若直线l:y=k(x-1)与双曲线C相交于不同的两点,求实数k的取值范围.12.()已知点F为椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点,且两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形,直线x4+y2=1与椭圆E有且仅有一个交点M.(1)求椭圆E的方程;(2)设直线x4+y2=1与y轴交于P,过点P的直线l与椭圆E交于两个不同的点A,B,若λPM2=PA·PB,求实数λ的取值范围. 易错点6 忽视直线的斜率不存在的情况而致错13.()如图,点O是坐标原点,椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且椭圆C过点M3,-32,离心率e=12,点P在椭圆C上,延长PF1交椭圆C于点Q,点R是PF2的中点.(1)求椭圆C的方程;(2)记△QF1O与△PF1R的面积之和为S,试求S的最大值. 思想方法练一、数形结合思想在圆锥曲线中的应用1.()F1,F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,P是椭圆上任一点,从任一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线,垂足为Q,则点Q的轨迹为 ( )A.圆 B.椭圆C.双曲线 D.抛物线2.()一动圆与已知圆O1:(x+3)2+y2=1外切,与圆O2:(x-3)2+y2=81内切,求此动圆圆心的轨迹方程. 二、函数与方程思想在圆锥曲线中的应用3.()已知椭圆的两个焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),且直线y=x-3与椭圆相切.(1)求椭圆的方程;(2)过F1作两条互相垂直的直线l1,l2,与椭圆分别交于点P,Q及M,N,求四边形PMQN的面积的最大值与最小值.4.()已知菱形ABCD的顶点A,C在椭圆x2+3y2=4上,对角线BD所在直线的斜率为1.(1)当直线BD过点(0,1)时,求直线AC的方程;(2)当∠ABC=60°时,求菱形ABCD面积的最大值.三、转化与化归思想在圆锥曲线中的应用5.()已知点A(1,0),B(5,1),点P为抛物线C:y2=4x上任意一点,则PA+PB的最小值为 ( )A.6 B.7 C.8 D.176.()已知AB为抛物线y=x2上的动弦,且AB=a(a是常数且a≥1),F为抛物线的焦点,求弦AB的中点M到x轴的距离的最小值. 四、分类讨论思想在圆锥曲线中的应用7.()已知抛物线的焦点在直线x-2y-4=0上,则此抛物线的标准方程是 ( )A.y2=16x B.x2=-8yC.y2=16x或x2=-8y D.y2=16x或x2=8y 8.(2020辽宁师大附中高二期末,)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线的夹角(锐角或直角)为α,且cos α=13,则双曲线的离心率等于 . 9.()在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)设斜率为k的直线l过定点P(-2,1),分别求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的取值范围.答案全解全析易混易错练1.C 由题意可知AC+AB=20-8=12>BC=8,则点A的轨迹是焦点在y轴且中心为原点的椭圆,且点A不在y轴上,2a=12,c=4,故b2=20,所以点A的轨迹方程为x220+y236=1(x≠0),故选C.2.答案 x2-y2λ=1(λ≠0,x≠±1)解析 由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零,所以kPM·kPN=yx+1·yx-1=λ,整理得x2-y2λ=1(λ≠0,x≠±1).所以动点P的轨迹方程为x2-y2λ=1(λ≠0,x≠±1).3.解析 由已知,得圆E的半径为2,设圆P的半径为R,则PF=PM=R,ME=2,PE=PM-ME=R-2,所以PF-PE=2,又易知PF-PE43=F1F2,所以点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,其中2a=8,2c=43,所以a=4,c=23,所以b2=a2-c2=16-12=4,所以点P的轨迹方程为x24+y216=1,故选B.6.D 抛物线方程可化为x2=14y,则2p=14,p=18,故焦点为0,116,故选D.易错警示 根据抛物线方程求其焦点坐标和准线方程时,应先把抛物线的方程化为标准形式,即等式左端是二次项且系数是1,等式右端是一次项,这样才能准确写出其焦点坐标和准线方程.7.C 由方程表示焦点在y轴上的椭圆可得2m+3>0,m2>0,2m+3>m2,解得-10,n>0时才表示椭圆.8.C 椭圆的焦点坐标为(±6,0),也是双曲线的焦点坐标,故在双曲线中c=6,易知双曲线一条渐近线方程为bx-ay=0,则|6b|a2+b2=6b6=1,∴b=1,∴a=5,∴渐近线方程为y=±55x,故选C.9.C 由椭圆的焦距为2,知c=1,当焦点在x轴上时,a2=4,b2=m,∴4-m=1,即m=3;当焦点在y轴上时,a2=m,b2=4,∴m-4=1,即m=5,∴m的值为3或5.故选C. 易错警示 涉及椭圆的标准方程的问题,如果没有明确指出椭圆焦点的位置,一般都要分两种情况进行讨论,不能想当然地认为焦点在x轴上或在y轴上.10.答案 2或233解析 解法一:由题意知,双曲线的渐近线存在两种情况.当双曲线的焦点在x轴上时,其中一条渐近线的倾斜角为60°,如图1所示,或其中一条渐近线的倾斜角为30°,如图2所示,均符合题意,所以双曲线的一条渐近线的斜率k=3或k=33,即ba=3或ba=33.又b2=c2-a2,所以c2-a2a2=3或c2-a2a2=13,所以e2=4或e2=43,所以e=2或e=233(负值舍去).同理,当双曲线的焦点在y轴上时,则有ab=3或ab=33,所以ba=33或ba=3,亦可得到e=233或e=2(负值舍去).综上可得,双曲线的离心率为2或233.解法二:根据解法一知,当双曲线的焦点在x轴上时,渐近线的倾斜角θ为30°或60°,则离心率e=1cosθ=233或e=2;当双曲线的焦点在y轴上时,渐近线的倾斜角θ为30°或60°,则离心率e=1sinθ=2或e=233.综上可得,双曲线的离心率为2或233.11.解析 (1)由条件可知2a=4,ba=32,所以a=2,b=3,所以双曲线C的方程为x24-y23=1.(2)联立y=k(x-1),x24-y23=1,消去y,得(3-4k2)x2+8k2x-4k2-12=0,因为l与双曲线交于不同的两点,所以3-4k2≠0,Δ=64k4-4(3-4k2)(-4k2-12)>0,解得-10,则k2>14,∴PA·PB=(1+k2)|x1x2|=(1+k2)·43+4k2=1+13+4k2=54λ,∴λ=451+13+4k2,又k2>14,∴45<λ<1,综上所述,λ的取值范围是45,1.13.解析 (1)由题意得3a2+34b2=1,a2=b2+c2,e=ca=12,解得a=2,b=3,c=1,∴椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)连接OR,PO,∵O,R分别为F1F2,PF2的中点,∴OR∥PF1,∴△PF1R与△PF1O同底等高,∴S△PF1R=S△PF1O,∴S=S△QF1O+S△PF1O=S△PQO.①当直线PQ的斜率不存在时,其方程为x=-1,此时S△PQO=12×1×32--32=32;②当直线PQ的斜率存在时,设其方程为y=k(x+1),设P(x1,y1),Q(x2,y2),显然直线PQ不与x轴重合,即k≠0.联立y=k(x+1),x24+y23=1,得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,Δ=144(k2+1)>0,则x1+x2=-8k23+4k2,x1x2=4k2-123+4k2,∴PQ=1+k2|x1-x2|=1+k2·(x1+x2)2-4x1x2=12(1+k2)3+4k2,又点O到直线PQ的距离d=|k|1+k2,∴S=12PQ·d=6k2(k2+1)(3+4k2)2,令a=3+4k2,则a∈(3,+∞),则S=6(a-3)(a+1)16a2=32-3a2-2a+1,∵a∈(3,+∞),∴1a∈0,13,∴-3a2-2a+1∈(0,1),∴S∈0,32,综上所述,S∈0,32,则S的最大值为32.思想方法练1.A (由题意直接画出图形,将题目中的关系在图形中体现出来,充分体现了数形结合的思想)延长垂线F1Q,交F2P的延长线于点A,如图所示,则△APF1是等腰三角形,∴PF1=AP,∴AF2=AP+PF2=PF1+PF2=2a.由题意知O是F1F2的中点,Q是AF1的中点,连接OQ,则OQ=12·AF2=a.∴Q点的轨迹是以原点O为圆心,a为半径的圆.故选A.2.解析 两定圆圆心和半径分别为O1(-3,0),r1=1,O2(3,0),r2=9,(根据题意直接画出图形,借助图形得出相关关系,体现了数形结合思想)如图所示,设动圆圆心为M(x,y),半径为R,则MO1=1+R,MO2=9-R,∴MO1+MO2=10>O1O2=6,故点M在以O1、O2为焦点的椭圆上,且a=5,c=3,则b=4,故动圆圆心的轨迹方程为x225+y216=1.3.解析 (1)设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0).因为直线y=x-3与该椭圆相切,所以方程组x2a2+y2b2=1,y=x-3只有一组解,消去y,整理得(a2+b2)x2-23a2x+3a2-a2b2=0,所以Δ=(-23a2)2-4(a2+b2)(3a2-a2b2)=0,得a2+b2=3.又焦点为F1(-1,0),F2(1,0),所以a2-b2=1,所以a2=2,b2=1,所以椭圆的方程为x22+y2=1.(2)若直线PQ的斜率不存在(或为0),则S四边形PMQN=MN·PQ2=22×22=2.若直线PQ的斜率存在且不为0,设为k(k≠0),则直线MN的斜率为-1k,所以直线PQ的方程为y=kx+k,设P(x1,y1),Q(x2,y2),由x22+y2=1,y=kx+k,得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0,所以x1+x2=-4k22k2+1,x1x2=2k2-22k2+1,所以PQ=1+k2|x1-x2|=(1+k2)[16k4-4(2k2-2)(2k2+1)]2k2+1=22×k2+12k2+1,同理可得,MN=22×k2+1k2+2.(建立四边形PMQN的面积关于k的函数,再结合不等式求最值,充分体现了函数与方程思想)所以S四边形PMQN=PQ·MN2=4×(k2+1)2(2+k2)(2k2+1)=4×k4+2k2+12k4+5k2+2=4×12-12k22k4+5k2+2=4×12-14k2+4k2+10.因为4k2+4k2+10≥24k2·4k2+10=18(当且仅当k2=1时取等号),所以14k2+4k2+10∈0,118,所以4× 12-14k2+4k2+10∈169,2.综上所述,四边形PMQN的面积的最小值为169,最大值为2.4.解析 (1)由题意得直线BD的方程为y=x+1.因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD.于是可设直线AC的方程为y=-x+n,与椭圆方程联立,可得4x2-6nx+3n2-4=0.因为点A,C在椭圆上,所以Δ=-12n2+64>0,解得-4330),则p=8,∴y2=16x;
当焦点为(0,-2)时,设标准方程为x2=-2py(p>0),则p=4,∴x2=-8y.故选C.
8.答案 62或3
解析 设渐近线y=bax的倾斜角为θ,
(根据双曲线渐近线的斜率与1的大小关系进行分类讨论,充分体现了分类讨论思想)
当01时,依题意有α=2(90°-θ)=180°-2θ,由于cos α=13,所以cos(180°-2θ)=13,即1-tan2θ1+tan2θ=-13,解得tan2θ=2,即b2a2=2,故离心率e=ca=1+b2a2=3.
9.解析 (1)设点M(x,y),依题意,得MF=|x|+1,即(x-1)2+y2=|x|+1,
化简并整理,得y2=2(|x|+x).
(通过去绝对值,分x≥0和x<0两种情况进行讨论)
故当x≥0时,点M的轨迹C的方程为y2=4x,当x<0时,点M的轨迹C的方程为y=0.
(2)记C1:y2=4x(x≥0),C2:y=0(x<0),
依题意,可知直线l的方程为y-1=k(x+2).
联立y-1=k(x+2),y2=4x,可得
ky2-4y+4(2k+1)=0.①
(k为二次项系数,分k=0和k≠0两种情况进行讨论)
(i)当k=0时,y=1.把y=1代入轨迹C的方程,得x=14.
此时直线l:y=1与轨迹C恰好有一个公共点14,1.
(ii)当k≠0时,方程①的判别式Δ=-16×(2k2+k-1).②
设直线l与x轴的交点为(x0,0),则x0=-2k+1k.③
若Δ<0,x0<0,由②③解得k<-1或k>12,
即当k∈(-∞,-1)∪12,+∞时,直线l与C1没有公共点,与C2有一个公共点,
此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点.
若Δ=0,x0<0或Δ>0,x0≥0,由②③解得k=-1或k=12或-12≤k<0,
(根据k的不同取值,分别求出k取这些值对应的公共点个数,体现了分类讨论思想)
即当k∈-1,12时,直线l与C1有一个公共点,与C2有一个公共点;
当k∈-12,0时,直线l与C1有两个公共点,与C2没有公共点.
故当k∈-12,0∪-1,12时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点.
若Δ>0,x0<0,由②③解得-1
本章复习提升易混易错练易错点1 求轨迹方程时忽略题中的限制条件而致错1.()已知△ABC的周长是20,且顶点B(0,-4),C(0,4),则顶点A的轨迹方程是 ( )A.x220-y236=1(x≠0) B.x236+y220=1(x≠0)C.x220+y236=1(x≠0) D.x236-y220=1(x≠0)2.()已知动点P(x,y)与两定点M(-1,0),N(1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0),则动点P的轨迹方程为 . 3.()如图,圆E:(x+2)2+y2=4,点F(2,0),动圆P过点F,且与圆E内切于点M,求动圆P的圆心P的轨迹方程.易错点2 对圆锥曲线的定义理解不清而致错4.(2019山东聊城高二月考,)若动圆与圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹为 ( )A.双曲线的一支 B.圆C.抛物线 D.双曲线5.()设P(x,y),若x2+(y-23)2+x2+(y+23)2=8,则点P的轨迹方程为 ( )A.x216+y24=1 B.x24+y216=1C.x24-y28=1 D.x28-y24=1易错点3 忽视圆锥曲线标准方程的“特征”而致错6.()抛物线y=4x2的焦点坐标为 ( )A.116,0 B.(1,0)C.0,18 D.0,1167.()方程x2m2+y22m+3=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围是 ( )A.-1
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