苏教版 (2019)选择性必修第一册5.1 导数的概念当堂检测题

这是一份苏教版 (2019)选择性必修第一册5.1 导数的概念当堂检测题，共5页。试卷主要包含了1　导数的概念，在x=1附近,取Δx=0等内容，欢迎下载使用。

5.1.1 平均变化率
基础过关练
题组一 函数的平均变化率
1.已知函数y=f(x)=x2+1,则在x=2,Δx=0.1时,Δy=( )

2.(2020陕西西安中学高二下期中)函数y=f(x)=x2-1在区间[1,m]上的平均变化率为3,则实数m的值为( )
A.5 B.4 C.3 D.2
3.(2020山西朔州应县一中高二下期末)在x=1附近,取Δx=0.3,则下列四个函数①y=x;②y=x2;③y=x3;④y=1x中,平均变化率最大的是 .(填序号)
4.若函数y=f(x)=-x2+x在[2,2+Δx](Δx>0)上的平均变化率不大于-1,求Δx的取值范围.
题组二 平均变化率的应用
5.(2020吉林东北师大附中高二下月考)某物体沿水平方向运动,其位移s(米)与时间t(秒)的关系式为s(t)=5t+2t2,则该物体在[0,2]上的平均速度为( )
A.18米/秒 B.13米/秒
C.9米/秒 D.132米/秒
6.汽车行驶的位移s和时间t之间的函数图象如图,在时间段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速度分别为v1,v2,v3,则三者的大小关系为( )
A.v2=v3C.v17.已知某物体运动的速度与时间之间的关系式是v(t)=t+13t3,则该物体在1,32上的平均加速度为 .
8.一质点作直线运动,其位移s与时间t的关系为s(t)=t2+1,该质点在2到2+Δt(Δt>0)之间的平均速度不大于5,则Δt的取值范围是 .
9.如图所示,在[x1,x2],[x2,x3],[x3,x4]这几个区间内,函数y=f(x)的平均变化率最大的一个区间是 .
10.已知气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是V(r)=43πr3.
(1)求半径r关于体积V的函数r(V);
(2)比较体积V从0 L增加到1 L和从1 L增加到2 L半径r的平均变化率;哪段半径变化得快(精确到0.01)?此结论可说明什么意义?
答案全解全析
5.1.1 平均变化率
基础过关练
1.B Δy=f(2+Δx)-f(2)=f(2.1)-f(2)=2.12-22=0.41.
2.D 根据题意,函数f(x)=x2-1在区间[1,m]上的平均变化率为ΔyΔx=m2-1-(12-1)m-1=m+1,则有m+1=3,解得m=2.
3.答案 ③
解析 ΔyΔx=f(x0+Δx)-f(x0)Δx,所以在x=1附近取Δx=0.3,则平均变化率为ΔyΔx=f(1.3)-f(1)0.3,要比较平均变化率的大小,只需比较Δy=f(1.3)-f(1)的大小即可,
下面逐项判定:
①中,函数y=x,则Δy=f(1.3)-f(1)=0.3;
②中,函数y=x2,则Δy=f(1.3)-f(1)=0.69;
③中,函数y=x3,则Δy=f(1.3)-f(1)=1.197;
④中,函数y=1x, 则Δy=f(1.3)-f(1)≈-0.23.
所以平均变化率最大的是③.
4.解析 因为函数y=f(x)在[2,2+Δx]上的平均变化率为ΔyΔx=f(2+Δx)-f(2)Δx=-(2+Δx)2+(2+Δx)-(-4+2)Δx
=-3Δx-(Δx)2Δx=-3-Δx,
所以由-3-Δx≤-1,得Δx≥-2.
又因为Δx>0,所以Δx>0,
即Δx的取值范围是(0,+∞).
5.C ∵s(t)=5t+2t2,∴该物体在运动前2秒的平均速度为s(2)-s(0)2=182=9(米/秒).
故选C.
方法总结
要求物体的平均速度,就要知道物体在一段时间的位移,位移除以时间即为平均速度.
6.C 由题意得,v1=kOA,v2=kAB,v3=kBC,
由题图易知kOA所以v17.答案 3112
解析 平均加速度=
32+13×323-1+1332-1=3112.
8.答案 (0,1]
解析 该质点在2到2+Δt之间的平均速度为[(2+Δt)2+1-(22+1)]Δt=4Δt+(Δt)2Δt=4+Δt,
则4+Δt≤5,所以Δt≤1,又Δt>0,所以Δt的取值范围是(0,1].
9.答案 [x3,x4]
解析 根据平均变化率的概念,记函数y=f(x)在区间[x1,x2],[x2,x3],[x3,x4]上的平均变化率分别为k1,k2,k3,则k1=f(x2)-f(x1)x2-x1,k2=f(x3)-f(x2)x3-x2,k3=f(x4)-f(x3)x4-x3,结合题中图象可以发现k3>k1>0>k2,故函数y=f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3,x4].
10.信息提取 (1)气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)的函数关系为V(r)=43πr3;(2)求r关于V的函数;(3)比较两个平均变化率.
数学建模 本题以气球的体积与半径的关系为背景构建函数模型,利用函数的平均变化率的知识解决.对于(1),由V求出r即可;对于(2),分别求出两个平均变化率,再比较它们的大小即可.
解析 (1)∵V=43πr3,∴r3=3V4π,
∴r=33V4π,即r(V)=33V4π.
(2)函数r(V)在区间[0,1]上的平均变化率为r(1)-r(0)1-0=33×14π-01≈0.62(dm/L),
函数r(V)在区间[1,2]上的平均变化率为r(2)-r(1)2-1=33×24π-33×14π≈0.16(dm/L).
显然体积V从0 L增加到1 L时,半径变化得快,这说明气球刚开始膨胀得快,随着体积的增大,半径增加得越来越慢.
解题模板
在比较平均变化率的大小时,若所得的结果是根式,则一般通过平方法或取近似值法比较大小.