高中数学5.2 导数的运算课后练习题

这是一份高中数学5.2 导数的运算课后练习题，共12页。试卷主要包含了函数f=sin 2x的导数是，已知函数f=ln,则f '=，以下函数求导正确的是，求下列函数的导数等内容，欢迎下载使用。

题组一 复合函数的求导法则
1.(2020江苏南京师范大学附属中学高二下期中)函数f(x)=sin 2x的导数是( )
A. f '(x)=2cs 2x B. f '(x)=-2cs 2x
C. f '(x)=2sin 2x D. f '(x)=-2sin 2x
2.(2020江苏建湖二中高二下线上学情检测)已知函数f(x)=ln(2x+1),则f '(0)=( )
A.0 B.1 C.2 D.12
3.已知函数f(x)=ln(ax-1)的导函数是f '(x),且f '(2)=2,则实数a的值为( )
A.12 B.23 C.34 D.1
4.(多选)(2020江苏常熟高二下期中)以下函数求导正确的是( )
A.若f(x)=x2-1x2+1,则f '(x)=4x(x2+1)2
B.若f(x)=e2x,则f '(x)=e2x
C.若f(x)=2x-1,则f '(x)=12x-1
D.若f(x)=cs2x-π3,则f '(x)=-sin2x-π3
5.函数f(x)=cs2xex的导函数f '(x)= .
6.求下列函数的导数.
(1)y=x2(2x+1)3;
(2)y=e-xsin 2x;
(3)y=ln2x+1-1;
(4)y=cs(-2x)+32x+1.
题组二 复合函数求导的综合运用
7.(2020江苏常州新桥高级中学高二下期中)函数f(x)=ln(x2+1)的图象在点(1,f(1))处的切线的倾斜角为( )
A.0 B.π2 C.π3 D.π4
8.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少,这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯137的衰变过程中,其含量M(单位:太贝克)与时间t(单位:年)满足函数关系:M(t)=600·2-t30,则铯137的含量M在t=30时的瞬时变化率为( )
A.-10ln 2(太贝克/年) B.300ln 2(太贝克/年)
C.-300ln 2(太贝克/年) D.300(太贝克/年)
9.已知函数f(x)=2ln(3x)+8x,则limΔx→0f(1-2Δx)-f(1)Δx的值为( )
A.10 B.-10 C.-20 D.20
10.已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为( )
A.1 B.2 C.-1 D.-2
11.设函数f(x)在(-∞,+∞)上的导函数为f'(x),若f(ln x)=x+1x,则f(0)f'(0)=( )
A.2 B.-2 C.1 D.e+1
12.设曲线y=eax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a= .
13.已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-2-x,则曲线y=f(x)在(2,f(2))处的切线方程为 .
14.设f(x)=a(x-5)2+6ln x,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴交于点(0,6),试确定a的值.
能力提升练
题组 复合函数的导数及其应用
1.()已知函数y=f(x)=ln|x|,则下列各结论中,正确的是( )
A.x>0时,f '(x)=1x,x<0时,f '(x)=-1x
B.x>0时,f '(x)=1x,x<0时,f '(x)无意义
C.x≠0时,都有f '(x)=1x
D.因为x=0时f(x)无意义,所以不能对y=ln|x|求导
2.()设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数,则曲线y=f(x)在x=5处的切线的斜率为( )
A.- 15 B.0 C.15 D.5
3.(2020河南开封五县高二上期末联考,)设a∈R,函数f(x)=ex+a·e-x为奇函数,曲线y=f(x)的一条切线的切点的纵坐标是0,则该切线方程为( )
A.2x-y=0 B.2x+y=0
C.4x-y=0 D.4x+y=0
4.(2020安徽黄山屯溪一中高二期中,)已知函数f(x)为R上的可导函数,其导函数为f'(x),且f(x)=3f'π6·sin x+cs x,在△ABC中, f(A)=f'(B)=1,则△ABC的形状为( )
A.等腰锐角三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰钝角三角形
5.(2020江苏南京江浦高级中学高三上月考,)直线l:y=kx+b是曲线f(x)=ln(x+1)和曲线g(x)=ln(e2x)的公切线,则b=( )
A.2 B.12 C.lne2 D.ln(2e)
6.(多选)()已知函数f(x)及其导数f'(x),若存在x0,使得f(x0)=f'(x0),则称x0是f(x)的一个“巧值点”.下列函数中,有“巧值点”的是( )
A.f(x)=x2 B.f(x)=e-x
C.f(x)=ln x D.f(x)=1x
7.(多选)(2021海南、山东等高三上期中,)已知函数f(x)=sinωx+π4(0<ω≤3)的图象的一条对称轴为直线x=π8,f '(x)为函数f(x)的导函数,函数g(x)=f(x)+f '(x),则下列说法正确的是( )
A.直线x=π8是函数g(x)图象的一条对称轴
B.g(x)的最小正周期为π
C.π8,0是函数g(x)图象的一个对称中心
D.g(x)的最大值为5
8.(2020江苏苏州中学高二下二调,)如图,酒杯的形状为倒立的圆锥,杯深8 cm,上口宽6 cm,将水以20 cm3/s的流速倒入杯中,则当时刻t= s时,水深为4 cm,此时水升高的瞬时变化率v=
cm/s.
9.()已知函数f(x)=3x+cs 2x+sin 2x,f'(x)是f(x)的导函数,且a=f'π4,求曲线f(x)=3x+cs 2x+sin 2x过曲线y=x3上一点P(a,b)的切线方程.
10.(2020江西南昌莲塘第一中学高二期末,)设函数f(x)=ax+1x+b(a,b∈Z),曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为y=3.求:
(1)f(x)的解析式;
(2)曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=1,直线y=x所围成的三角形的面积.
答案全解全析
5.2.3 简单复合函数的导数
基础过关练
1.A f '(x)=(sin 2x)'=(2x)'cs 2x=2cs 2x.故选A.
2.C f '(x)=22x+1,∴f '(0)=2,故选C.
3.B 由f(x)=ln(ax-1)可得f '(x)=aax-1,
由f '(2)=2,可得a2a-1=2,解得a=23.故选B.
4.AC 对于A, f '(x)=2x(x2+1)-(x2-1)·2x(x2+1)2
=4x(x2+1)2,故A正确;
对于B,f '(x)=e2x·2=2e2x,故B错误;
对于C,f '(x)=[(2x-1)12]'=12·(2x-1)-12·2=(2x-1)-12=12x-1,故C正确;
对于D,f '(x)=-sin2x-π3·2
=-2sin2x-π3,故D错误.故选AC.
5.答案 -2sin2x+cs2xex
解析 由f(x)=cs2xex,
得f '(x)=-2sin2x+cs2xex.
6.解析 (1)∵y=x2(2x+1)3,
∴y'=2x·(2x+1)3-x2·3(2x+1)2·2(2x+1)6
=2x-2x2(2x+1)4.
(2)∵y=e-xsin 2x,
∴y'=-e-xsin 2x+2e-xcs 2x
=e-x(2cs 2x-sin 2x).
(3)∵y=ln 2x+1-1=12ln(2x+1)-1,
∴y'=12×12x+1×(2x+1)'=12x+1.
(4)∵y=cs(-2x)+32x+1=cs 2x+32x+1,
∴y'=-2sin 2x+(2x+1)'32x+1ln 3
=-2sin 2x+2·32x+1ln 3.
方法点拨
分析函数的运算结构,以基本初等函数的导数为基础,利用导数的四则运算法则及复合函数的求导法则依次求导即可.
D 由f(x)=ln(x2+1)得f '(x)=2xx2+1,则函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线的斜率k=
f '(1)=2×112+1=1,设函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线的倾斜角为θ,则tan θ=1,∵θ∈[0,π),∴θ=π4,故选D.
8.答案 A
信息提取 (1)在铯137的衰变过程中,其含量M与时间t满足函数关系M(t)=600·2-t30;
(2)求M'(30).
数学建模 本题以放射性同位素铯137的衰变过程为背景构建函数模型,利用导数知识求铯137的含量M在t=30时的瞬时变化率.求出函数M(t)的导函数,令t=30即可得到含量M在t=30时的瞬时变化率.
解析 M'(t)=-130×600×2-t30ln 2=-20×2-t30ln 2,所以铯137的含量M在t=30时的瞬时变化率为M'(30)=-20×2-1×ln 2=-10ln 2(太贝克/年),故选A.
9.C ∵f(x)=2ln(3x)+8x,∴f '(x)=2x+8,∴f '(1)=10,
∴limΔx→0f(1-2Δx)-f(1)Δx
=-2limΔx→0f(1-2Δx)-f(1)-2Δx
=-2f '(1)=-20.故选C.
10.B 设切点为P(x0,y0),
则y0=x0+1,y0=ln(x0+a),
∵y=ln(x+a)的导数为y'=1x+a,
∴当x=x0时,y'=1x0+a=1,∴x0+a=1,
∴y0=ln(x0+a)=0,
∴x0=y0-1=-1,∴a=1-x0=2.故选B.
11.B 令ln x=t,则x=et,代入f(ln x)=x+1x,得f(t)=et+1et=1+1et=1+e-t,
∴f '(t)=-1et,∴f(0)f'(0)=1+1-1=-2.故选B.
12.答案 2
解析 令y=f(x)=eax,则曲线y=eax在点(0,1)处的切线的斜率为f'(0),又切线与直线x+2y+1=0垂直,所以f'(0)=2.因为f(x)=eax,所以f'(x)=(eax)'=eax·(ax)'=aeax,所以f'(0)=ae0=a,故a=2.
13.答案 y=2x-1
解析 设x>0,则-x<0,∴f(-x)=ex-2+x,
∵f(x)为偶函数,∴f(x)=ex-2+x(x>0),则f'(x)=ex-2+1(x>0),∴f'(2)=2,
又f(2)=3,∴曲线y=f(x)在(2,f(2))处的切线方程为y-3=2(x-2),即y=2x-1.
14.解析 因为f(x)=a(x-5)2+6ln x,
所以f '(x)=2a(x-5)+6x.
令x=1,得f(1)=16a,f '(1)=6-8a,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-16a=(6-8a)(x-1).
由点(0,6)在切线上,可得6-16a=8a-6,
解得a=12.
能力提升练
1.C 由题意得f(x)=lnx(x>0),ln(-x)(x<0).
分两种情况讨论:
(1)x>0时,f(x)=ln x⇒f '(x)=(ln x)'=1x;
(2)x<0时,f(x)=ln(-x)⇒f '(x)=[ln(-x)]'=1-x·(-1)=1x.故选C.
2.B 由题设可知f(x+5)=f(x),
∴f '(x+5)=f '(x),∴f '(5)=f '(0),
又f(-x)=f(x),∴f '(-x)·(-1)=f '(x),
即f '(-x)=-f '(x),∴f '(0)=0,
∴f '(5)=f '(0)=0.故选B.
3.A 因为函数f(x)=ex+a·e-x是奇函数,
所以f(-x)=-f(x)对一切x∈R恒成立,
所以e-x+a·ex=-ex-a·e-x对一切x∈R恒成立,即(a+1)(ex+e-x)=0对一切x∈R恒成立,所以a+1=0,解得a=-1,
因此f(x)=ex-e-x,故f'(x)=ex+e-x.
因为曲线y=f(x)的一条切线的切点的纵坐标是0,所以令f(x)=ex-e-x=0,解得x=0.
所以曲线y=f(x)的这条切线的切点的坐标为(0,0),
切线的斜率为f'(0)=e0+e0=2.
故曲线y=f(x)的这条切线方程为y-0=2(x-0),即2x-y=0.故选A.
4.D f'(x)=3f'π6cs x-sin x,
则f'π6=3f'π6cs π6-sinπ6
=3×32f'π6-12
=32f'π6-12,
则12f'π6=12,则f'π6=1,
故f'(x)=3cs x-sin x=2csx+π6,
f(x)=3sin x+cs x=2csx-π3,
又f(A)=f'(B)=1,
所以f'(B)=2csB+π6=1,
即csB+π6=12,
又B∈(0,π),所以B+π6=π3,解得B=π6,
f(A)=2csA-π3=1,
即csA-π3=12,
又A∈(0,π),所以A-π3=π3,解得A=2π3>π2,则C=π-2π3-π6=π6,
则B=C,即△ABC是等腰钝角三角形.
5.C 设直线l与曲线f(x)=ln(x+1)相切于点A(x1,y1),直线l与曲线g(x)=ln(e2x)相切于点B(x2,y2),∵f(x)=ln(x+1),
∴f '(x)=1x+1,由f '(x1)=1x1+1=k,可得x1=1-kk,
又y1=f(x1)=ln(x1+1)=-ln k,所以点A1-kk,-lnk,
将点A的坐标代入直线l的方程,可得-ln k=k·1-kk+b,可得b=k-ln k-1,①
∵g(x)=ln(e2x)=2+ln x,则g'(x)=1x,由g'(x2)=1x2=k,可得x2=1k,
又y2=g(x2)=2-ln k,所以点B1k,2-ln k,将点B的坐标代入直线l的方程,可得2-ln k=k·1k+b=b+1,
∴b=1-ln k,②
联立①②可得k=2,b=1-ln 2=lne2.
故选C.
6.ACD 在A中,若f(x)=x2,则f'(x)=2x,令x2=2x,这个方程显然有解,故A符合要求;在B中,若f(x)=e-x,则f'(x)=-e-x,令e-x=-e-x,此方程无解,故B不符合要求;在C中,若f(x)=ln x,则f'(x)=1x,令ln x=1x,易知该方程存在实数解,故C符合要求;在D中,若f(x)=1x,则f'(x)=-1x2,令1x=-1x2,可得x=-1,故D符合要求.故选ACD.
7.BD 因为f(x)=sinωx+π4的图象的一条对称轴为直线x=π8,所以π8ω+π4=kπ+π2,k∈Z,所以ω=8k+2,k∈Z,又0<ω≤3,所以ω=2,所以f(x)=sin2x+π4,所以f '(x)=2cs2x+π4,
所以g(x)=sin2x+π4+2cs2x+π4=322cs 2x-22sin 2x=5cs(2x+φ)其中tanφ=13,可取0<φ<π2,显然φ≠π4,gπ8≠5且gπ8≠-5且gπ8≠0,易知g(x)的最大值为5,最小正周期为π,故A,C错误,B,D正确.故选BD.
8.答案 3π20;809π
信息提取 (1)酒杯的形状为倒立的圆锥,杯深8 cm,上口宽6 cm;(2)将水以20 cm3/s的流速倒入杯中;(3)求水深为4 cm时的时刻t及水升高的瞬时变化率.
数学建模 本题以立体几何问题为背景构建函数模型,利用导数的实际意义求出水升高的瞬时变化率.计算出当水深为4 cm时杯中水的容积,然后除以流速可得出时刻t的值,设水的深度为h cm,求出h关于t的函数表达式,利用导数可求得当水深为4 cm时,水升高的瞬时变化率.
解析 当水深为4 cm时,酒杯中水面的半径为32 cm,此时水的体积V=13π×322×4=3π(cm3),
由题意可得20t=3π,可得t=3π20.
设t时水的深度为h cm,水面半径为r cm,则ℎr=83,则r=38h,
由题意可得20t=13πr2h=13π×38ℎ2×h=364πh3,∴h=1 280t3π13,
h'=13×1 2803π13t-23,当t=3π20时,h'=13×1 2803π13×3π20-23=809π(cm/s).
陷阱分析
将函数的求导与导数的实际意义相结合是一种常见的题型,这类问题要注意理解“函数在某点处的导数反映了函数在该点处的瞬时变化率”.
9.解析 由f(x)=3x+cs 2x+sin 2x,
得f'(x)=3-2sin 2x+2cs 2x,
则a=f'π4=3-2sin π2+2cs π2=1.
由y=x3得y'=3x2.
当P点为切点时,切线的斜率k=3a2=3×12=3,
又b=a3,∴b=1,
∴切点P的坐标为(1,1),
∴以点P为切点的切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.
当P点不是切点时,设切点坐标为(x0,x03),
此时切线的斜率k'=3x02,
∴切线方程为y-x03=3x02(x-x0).
∵P(a,b)在曲线y=x3上,且a=1,
∴b=1,将P(1,1)代入切线方程,
得1-x03=3x02(1-x0),
∴2x03-3x02+1=0,即2x03-2x02-x02+1=0,
即(x0-1)2(2x0+1)=0,
解得x0=-12(x0=1舍去),
∴切点坐标为-12,-18,
又切线的斜率为3×-122=34,
∴切线方程为y+18=34x+12,
即3x-4y+1=0.
综上,满足题意的切线方程为3x-y-2=0或3x-4y+1=0.
10.解析 (1)由题意得f'(x)=a-1(x+b)2,
于是2a+12+b=3,a-1(2+b)2=0,
解得a=1,b=-1或a=94,b=-83,
因为a,b∈Z,
所以a=1,b=-1,
所以f(x)=x+1x-1.
(2)由(1)知f(x)=x+1x-1,则f'(x)=1-1(x-1)2.在曲线y=f(x)上任取一点x0,x0+1x0-1(x0≠1),
则f'(x0)=1-1(x0-1)2,故过此点的切线方程为y-x0-1x0-1=1-1(x0-1)2(x-x0).
令x=1,得y=x0+1x0-1,则切线与直线x=1的交点坐标为1,x0+1x0-1.
令y=x,得x=2x0-1,则切线与直线y=x的交点坐标为(2x0-1,2x0-1).
易得直线x=1与直线y=x的交点的坐标为(1,1).
故所围成的三角形的面积为12·x0+1x0-1-1·|2x0-1-1|=12·2x0-1·|2x0-2|=2.